Apostila ELM parte 1 2011 01

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APOSTILA DE ELETROTÉCNICA 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
 Esta apostila tem como finalidade oferecer aos alunos de ELM – 
Eletrotécnica, do curso de Engenharia Mecânica, de maneira simples e prática, os 
principais fundamentos da eletrônica. Todos os assuntos do curso serão voltados ao 
chão de fábrica, ou seja, terão uma abordagem mais técnica, e não somente focada 
na engenharia. Desta forma os acadêmicos de Engenharia Mecânica terão a sua 
disposição o conhecimento técnico e de fácil entendimento da Eletrônica. 
 
 PROFESSOR SAIMON MIRANDA FAGUNDES 
 
EMENTA DO CURSO: 
 Circuitos de corrente contínua: série, paralelo e misto. Voltímetros. 
Amperímetros. Corrente alternada. Transformadores. Circuitos magnéticos. 
Eletroímã. Circuitos retificadores. Introdução à automação industrial. Motores 
monofásicos e trifásicos. Chaves magnéticas. Disjuntores. 
 
BIBLIOGRAFIA: 
HAYT, Willian H.; Kemmerly. J. E. Análise de Circuitos em Engenharia. São Paulo: 
McGraw-Hill, 1975. 
IRWIN, J. David; Análise de Circuitos em Engenharia. 4ª. Edição, São Paulo: 
Makron Books, 2000. 
BOYLESTAD, Robert L.. Introdução à Análise de Circuitos. 8ª. Edição. Rio de 
Janeiro: Editora LTC, 1998. 
JOHNSON, David, HILBURN, John, JOHNSON, Johnny. Fundamentos de Análise 
de Circuitos Elétricos. 4ª. Edição. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2000. 
ALEXANDER, Charles K; SADIKU, Matthew N. O.. Fundamentos de Circuitos 
Elétricos. 1ª. Edição. Rio de Janeiro: Bookman Companhia Editora, 2003. 
DORF, Richard C.; SVOBODA, James A.. Introduction to Eletric Circuits. 7ª. Edição. 
Editora IE-Wiley .2006. 
NILSSON, James; RIEDEL, Susan A.. Circuitos Elétricos. 6ª. Edição. Rio de Janeiro: 
Editora LTC, 2003. 
ORSINI, L. Q. Curso de Circuitos Elétricos. Vol. 1 e 2. 2ª. Edição. São Paulo: 
Editora Edgard Blücher, 2002 
 
 
 
 2
1. REVISÃO DE CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA 
 
 
1.1 LEI DE OHM 
 
 A lei de OHM é uma fórmula matemática que estabelece a relação entre as 
três grandezas fundamentais da eletricidade: a corrente, a resistência e a tensão 
(tensão : também conhecida como diferença de potencial). Foi descoberta pelo 
alemão George S. Ohm. 
 As grandezas elétricas são representadas por símbolos (letras), veja a seguir: 
 
 Grandeza Símbolo Unidade 
 tensão U ou V Volt (V) 
 corrente I Ampère (A) 
 resistência R Ohm (Ω) 
 potência P Watts (W) 
 
 
1.1.1 Tensão 
 
 A diferença de potencial entre os terminais de um circuito é igual ao produto 
da resistência desse circuito pela intensidade da corrente elétrica que passa por tal 
circuito. Para um exemplo prático, temos um circuito elétrico, uma corrente de 2 
ampères ao passar por um resistor de 10Ω provoca uma diferença de potencial 
elétrico de 20 volts sobre esta resistência, desta forma confirmando a Lei de Ohm, 
V = R.I. 
 
 
1.1.2 Corrente 
 
 A intensidade da corrente elétrica que percorre o circuito é igual à divisão da 
diferença de potencial entre os terminais desse circuito pela resistência que esse 
circuito apresenta à passagem da corrente elétrica. Novamente usando o exemplo 
anterior, com uma fonte de tensão de 10V e os terminais de uma resistência de 10 
ohm, provoca uma corrente elétrica de 2 ampères. 
 3
Veja como fica a representação da lei de OHM através de uma fórmula matemática: 
I = V / R 
 
 
1.1.3 Resistência 
 
 A resistência que um circuito, apresenta a passagem da corrente elétrica é 
igual à divisão da diferença de potencial (tensão) entre os terminais desse circuito 
pela intensidade da corrente que por ele passa. 
Veja como fica a representação da lei de OHM através de uma fórmula matemática: 
R = V / I 
 
 
1.1.4 Potência 
 
 Existe ainda uma grandeza que é muito utilizada em eletrotécnica, não faz 
parte da lei de OHM mas está ligada diretamente a ela. É a potência elétrica. 
Saber qual a potência elétrica na dissipação de calor dos componentes eletrônicos e 
seus circuitos é de extrema importância para o bom funcionamento dos mesmos. 
A potência elétrica produzida é medida em WATTS, sua unidade é o W e seu 
símbolo de grandeza é o P. 
 Exemplo prático: Num circuito, onde aplicamos uma diferença de potencial de 
20 volts e obtemos uma corrente elétrica de 2 ampères, produzimos uma potência 
elétrica de 40 watts. Teoricamente nosso circuito formado pela resistência de 10ohm 
teria que suportar uma potência de 40 W. 
Veja como fica a representação através de uma fórmula matemática: 
P = V.I 
 O circuito é funcional quando temos as três grandezas da eletricidade 
presente, a tensão produzida por uma fonte de energia, a resistência elétrica 
produzida pelo circuito e a corrente elétrica que percorre o circuito realizando o seu 
funcionamento. 
 
 4
 
 
Fig. 1 - Esquema elétrico Montagem real 
 
 
 Dados conhecidos, fornecidos pelo fabricante dos componentes: Bateria: 
Tensão 9V, Lâmpada : Tensão 9V, potência 3W. Com estas informações e utilizando 
as fórmulas de OHM, encontraremos todos os dados restantes como a corrente 
elétrica do circuito e a resistência da lâmpada no circuito. 
Cálculo da corrente elétrica: 
 
Fórmula: I = P / V 3 / 9 I = 0,333A 
 
 Nosso resultado será aprox. 333mA (miliamperes) a corrente elétrica que 
percorre nosso circuito. 
Cálculo da resistência da lâmpada: 
 
Fórmula: R = V / I 9 / 0,333 R = 27,027Ω 
 
 
 
1.2 LEIS DE KIRCHHOFF 
 
As leis de Kirchhoff são assim chamadas em homenagem ao físico alemão 
Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) e são baseadas no Princípio da Conservação 
de Energia e no Princípio de Quantidade de Carga. 
 As Leis de Kirchhoff regem a associação de componentes num circuito. Ao 
contrário da Lei de Ohm, cujo âmbito é a resistência, as Leis de Kirchhoff das 
 5
tensões e das correntes estabelecem as regras às quais devem respeitar as 
associações de componentes. A aplicação conjunta das Leis de Kirchhoff e de Ohm 
permite obter um conjunto de equações cuja resolução conduz aos valores das 
correntes e das tensões aos terminais dos componentes. 
 
 1ª Lei de Kirchhoff (Lei das Correntes ou Leis dos Nós) 
 Em um nó, a soma das correntes elétricas que entram é igual à soma das 
correntes que saem, ou seja, um nó não acumula carga. 
 
 
 
 
 
Fig. 2 – Exemplo de nó 
 
 
 
 
 
Fig. 3 – Circuito com duas malhas 
 
 
Relativamente ao circuito representado na figura anterior, a aplicação da Lei 
dos nós conduz a: 
 6
 
• No nó A 
 
• No nó B 
 
• No nó C 
 
 
 
 
2ª Lei de Kirchhoff (Lei das Tensões ou Lei das Malhas) 
 
 A soma algébrica da d.d.p (Diferença de Potencial Elétrico) em um percurso 
fechado é nula. Ou seja, a soma de todas as tensões (forças electromotrizes) no 
sentido horário é igual a soma de todas as tensões no sentido anti-horário, ocorridas 
numa malha, é igual a zero. 
 
 
 
Fig. 4 – Malha com diferentes referências 
 
 7
De acordo com o sentido de referência das tensões representadas na figura 
anterior e circulando no sentido dos ponteiros do relógio, a lei das malhas permite 
obter a equação: 
 
Note-se que se considerou o simétrico das tensões u2 e u4 uma vez que o seu 
sentido de referência representado é o oposto ao de circulação. Não é determinante 
escolher o sentido horário ou o anti-horário, pois as equações obtidas de uma ou 
outra forma são exactamente equivalentes. 
 
 
Fig. 5 – Malhas do circuito 
 
O somatório das tensões ao longo da malha ser nulo, equivale a dizer que é 
nulo o trabalho necessário para deslocar uma carga ao longo da malha fechada. Isto 
acontece porque o sistema é conservativo. 
Relativamente ao circuito representado na figura 2, a aplicação da Lei das 
Malhas conduz a: 
 
• Na malha vermelha e circulando no sentidohorário 
 
 
• Na malha azul e circulando no sentido horário 
 8
 
 
• Na malha verde e circulando no sentido horário 
 
 
 
1.3 EXERCÍCIOS DE CORRENTE CONTÍNUA 
 
1 – Encontre a resistência equivalente dos circuitos abaixo: 
 
 
 
2 – Encontre Vx nos circuitos abaixo. 
 
 
 
3 – Dado o circuito abaixo, calcule: 
 9
 
 
 
a) resistências R1, R2, R3 e RT; 
b) a potência dissipada por cada resistência; 
c) o consumo de energia de cada resistência com o custo do kWh em R$ 0,36. 
 
4 – Qual a corrente e a resistência de uma lâmpada de 60W ligada na tensão 
nominal de Joinville? 
 
5 – Para um chuveiro de 6kW ligado na tensão nominal de Joinville, calcule: 
a) Corrente do disjuntor do circuito; 
b) resistência do chuveiro; 
c) a corrente que circularia por uma pessoa que entrasse em contato com esta 
resistência. 
 
 
 
2. CORRENTE ALTERNADA 
 
Vamos estudar neste capítulo o conceito de corrente alternada e o 
funcionamento do gerador elementar.Esse estudo é muito importante, pois quase 
toda a energia elétrica que consumimos é sob a forma de corrente alternada. 
Chamamos de corrente alternada, a uma corrente que muda 
periodicamente de sentido, ou seja, que ora flui numa direção, ora em outra. 
A uma representação gráfica de corrente alternada, chamamos de forma 
de onda. A forma de onda mostra as variações da corrente ou da tensão no tempo. 
Podemos ter várias formas de onda de corrente alternada. 
A seguir tem-se alguns exemplos: 
 
 10
 
 
Fig. 6 – Formas de Onda de Tensão Alternada 
 
A tensão que utilizamos em nossos lares, na indústria e no comércio é do 
tipo alternada senoidal. 
A justificativa da utilização da corrente alternada senoidal está nas 
inúmeras vantagens que esta oferece. 
Dentre estas vantagens, destacamos: 
- facilidade de geração em larga escala; 
- facilidade de transformação da tensão; 
- as máquinas de corrente alternada são mais econômicas (mais baratas, 
a manutenção é menos freqüente, o tamanho é menor). 
 
 
2.1. GERADOR ELEMENTAR 
 
Vamos agora aprender o funcionamento do gerador elementar, que é um 
tipo de fonte de f.em. que gera a corrente alternada. É dito elementar por ser um 
modelo simplificado dos grandes geradores. No entanto, seu princípio de 
funcionamento é o mesmo que dos geradores encontrados em grandes usinas. 
 
 11
 
 
Fig. 7 – Gerador Elementar 
 
 
E da forma de onda resultante do processo de geração, se obtém a 
fórmula da Tensão Instantânea: 
αsenEe máx ⋅= 
 
A equação αsenEe máx ⋅= é também válida quando tratamos de corrente. 
Neste caso a equação fica: 
 
αsenIi máx ⋅= 
Observe que são utilizadas letras minúsculas (e,i) para denotar uma 
grandeza na forma instantânea. 
 
 
2.2. FREQÜÊNCIA E PERÍODO 
 
O conjunto dos valores positivos e negativos de uma senóide representa o 
que chamamos de ciclo (que corresponderá a uma volta completa da espira no caso 
analisado do gerador elementar). 
 
 12
 
 
Fig. 8 – Senoide, Ciclo e Semi-ciclo 
 
A freqüência (f) de uma tensão ou corrente alternada é o número de ciclos 
que ocorrem em uma unidade de tempo (que é o segundo). Sua unidade é o hertz 
(Hz). 
O período (T) é o tempo necessário à ocorrência de um ciclo. 
Sua unidade é o segundo (s). 
Podemos relacionar freqüência e período, pelo seguinte raciocínio. Se um 
ciclo ocorre em T segundos, f ciclos ocorrem em um segundo: 
 
1 ciclo – T segundos 
f ciclos – 1 segundo 
 
Onde: 
 
1=⋅Tf fT
1
= 
T
f 1= 
 
 
2.3. VALORES DE UMA CORRENTE OU TENSÃO ALTERNADAS 
 
Existem diversas maneiras de se avaliar uma corrente ou tensão 
alternadas. São elas: 
• Valor máximo; 
• Valor de pico a pico; 
• Valor instantâneo; 
• Valor médio; 
• Valor eficaz. 
 13
2.3.1. Valor máximo ou valor de pico 
 
O valor máximo equivale à máxima amplitude da senóide que representa a 
tensão ou a corrente. 
 
 
 
Fig. 9 – Tensão e Corrente de Pico 
 
Portanto, é o maior valor assumido pela grandeza num semi-ciclo. 
 
 
2.3.2. Valor de pico a pico 
 
O valor de pico a pico de uma grandeza senoidal é o valor compreendido 
entre o máximo positivo e o máximo negativo. 
 
 
Fig. 10– Tensão e Corrente Pico a Pico 
 
EPP = tensão de pico a pico (V) 
IPP = corrente de pico a pico (A) 
 
Pode-se observar no diagrama senoidal, que o valor de pico a pico 
corresponde a duas vezes o valor máximo. 
 14
máxPP EE ⋅= 2 máxPP EI ⋅= 2 
 
 
2.3.3. Valor instantâneo 
 
O valor instantâneo de uma grandeza é o valor que essa grandeza 
assume no instante de tempo considerado. 
 
 
 
Fig. 11 – Valor instantâneo 
 
No instante de tempo “t1” a tensão vale “e1”. O valor instantâneo pode ser 
expresso em função do ângulo α (visto no estudo do gerador elementar) ou em 
função do tempo. 
 
a) em função do ângulo α: 
Sabemos do gerador elementar que: αsenvlBe ⋅⋅⋅= 
Como o maior valor que a tensão pode assumir corresponde a senα = 1, o 
valor máximo da tensão será: 
 
vlBEmáx ⋅⋅= 
 
Então: αsenEe máx ⋅= 
 
Essa é a expressão do valor instantâneo em função do ângulo α. Para a 
corrente, temos: 
 
αsenIi máx ⋅= 
 
b) Em função do tempo: 
Observando-se o gerador elementar abaixo, notamos que a espira perfaz 
um ângulo “α”, gastando para isso um tempo “t”. 
 15
A relação entre o ângulo percorrido e o tempo gasto é a velocidade 
angular (ω), dada em radianos por segundo (rad/s). 
 
t
α
ω = t⋅= ωα 
 
Outra fórmula para a velocidade angular é f⋅⋅= piω 2 onde f = freqüência 
(Hz). Então a expressão do valor instantâneo em função do tempo fica: 
 
tsenEe máx ⋅=∴⋅= ωαα 
( ) ( )tfsenEeoutsenEe máxmáx ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= piω 2 
 
Para corrente: 
 
( ) ( )tfsenIioutsenIi máxmáx ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= piω 2 
 
2.3.4. Valor médio 
 
O valor médio de uma corrente ou tensão alternada é a média dos valores 
instantâneos de um semi-ciclo. 
 
 
Fig. 12 – Valor Médio 
 
 
 
O valor médio corresponde a: 
 
máxméd
máx
méd EE
E
E ⋅=∴
⋅
= 637,02
pi
 
máxméd
máx
méd II
I
I ⋅=∴
⋅
= 637,02
pi
 
 
Eméd = tensão média (V) 
Iméd = corrente média (A) 
 
 16
2.3.5. Valor eficaz 
 
É o valor da corrente alternada que produz o mesmo efeito que uma 
corrente contínua aplicada a uma resistência. 
O valor eficaz corresponde a: 
 
máx
máx EE
E
E ⋅=∴= 707,0
2
 
máx
máx II
I
I ⋅=∴= 707,0
2
 
 
E = tensão eficaz (V) 
I = corrente eficaz (A) 
O valor eficaz corresponde à altura de um retângulo de base igual a um 
semiciclo e área equivalente a esse semiciclo. 
 
 
Fig. 13 – Valor Eficaz 
 
 
 
2.4. EXERCÍCIOS DE FREQÜÊNCIA E PERÍODO 
 
1 – Calcular quanto tempo dura um semi-ciclo na freqüência de 50 Hz. 
 
2 – Quantos ciclos ocorrem em um segundo na freqüência de 60 Hz? 
 
3 – Quanto tempo uma corrente alternada de 60 Hz gasta para varrer o trecho 
compreendido entre 0 e 30º? 
 
 17
 
 
4 – Quantos ciclos ocorrem em uma hora na freqüência de 60 Hz? 
 
5 – Quanto tempo uma CA de 60 Hz gasta para atingir metade de seu valor 
máximo? 
 
 
 
 
 
2.5. EXERCÍCIOS DE VALORES DE UMA TENSÃO OU CORRENTE ALTERNADA 
 
1 – Para uma tensão alternada senoidal cujo valor eficaz é 200 V, determinar: 
 
a) o valor máximo; 
b) o valor de pico a pico; 
c) o valor médio; 
d) o valor instantâneo para α = 45º. 
 
2 – Para uma tensão alternada senoidal cujo valor médio é 65 V e frequência 60 Hz, 
determinar: 
 
a) o valor máximo; 
b) o valor de pico a pico; 
c) o valor eficaz; 
d) o valor instantâneo para t = 20 ms. 
 
3 – Uma corrente alternada cruza o eixo das abcissasiniciando um semi-cilo positivo 
em t = 0 s. Calcular em que instante de tempo essa corrente de 60 Hz, cujo valor 
máximo é 10 A, atinge pela primeira vez o valor de 5,5 A? 
 18
 
 
 
 
3. NOTAÇÃO DE FASORES 
 
Já vimos que uma corrente ou tensão pode ser representada em função 
de suas variações com o tempo (ou com o ângulo α). Assim, a representação de 
uma corrente senoidal fica como o mostrado abaixo. 
 
 
Fig. 14 – Representação Senoidal 
 
 
No entanto, existe uma outra forma de representarmos uma grandeza que 
varia senoidalmente. É a representação fasorial. Nessa representação, 
consideramos o valor absoluto da grandeza, que corresponde ao valor eficaz, como 
um segmento de reta que gira no sentido anti-horário ou sentido trigonométrico 
positivo, cuja referência para marcarmos o ângulo é o eixo das abscissas. 
 
 
 
Fig. 15 – Representação Fasorial 
 
 19
 
Observe que as projeções desse segmento sobre o eixo y nos dão o valor 
da componente senoidal da corrente. Dessa forma existe uma relação muito íntima 
entre a representação senoidal e fasorial, conforme podemos constatar na figura 
abaixo. 
 
 
Fig. 16 – Representação Fasorial e Senoidal 
 
Podemos ver também que um ângulo α, na representação fasorial, 
corresponde a um mesmo ângulo α, na representação senoidal. 
Assim, na representação de uma grandeza na forma senoidal podemos 
visualizar os valores instantâneos da grandeza. Ou ainda é uma representação que 
mostra as variações da grandeza com o tempo ou com o ângulo α. Na 
representação fasorial, tornamos evidente o módulo da grandeza através do 
comprimento do segmento de reta e posicionamos esse segmento a um ângulo α, 
conveniente a nossos propósitos. 
Por exemplo: 
Representar na forma fasorial, a 30º uma tensão alternada senoidal cujo 
valor máximo é 141,4 V. 
Inicialmente, transformamos o valor máximo em valor eficaz pela já 
conhecida relação: 
VEEEE máx 100
414,1
4,141
2
=∴=∴= 
 
 
Em seguida adotamos uma escala: 
Escala: 1 cm = 50 V (ou 50 V/cm) 
 
 20
 
Fig. 17 – Fasor 
 
 
Em alguns casos, torna-se necessário calcular as componentes da 
grandeza segundo o eixo x e y. Para tanto, basta aplicarmos as relações 
trigonométricas, conhecidas. 
 
Fig. 18 – Fasor decomposto em X e Y 
 
 
Assim, as componentes EX e EY são calculadas por: 
 
αcos⋅= EEX 
αsenEEY ⋅= 
 
 
 
3.1. DEFASAMENTO ELÉTRICO 
 
Em um circuito elétrico, nem sempre temos corrente e tensão cujos 
valores máximos ou zeros ocorrem ao mesmo tempo. Dependendo dos 
componentes do circuito, a corrente poderá estar atrasada ou adiantada em relação 
à tensão. Esse adiantamento ou atraso de uma grandeza sobre a outra, chamamos 
de defasamento elétrico. A seguir, mostramos três situações distintas: 
 
 
 21
 
 
Fig. 19 - Corrente atrasada da tensão de um ângulo φ: 
 
 
: 
 
 
 
Fig. 20 - Corrente adiantada da tensão de um ângulo φ 
 
 
 
 
 
 
Fig. 21 - Corrente em fase com a tensão: 
 
 
O ângulo entre as duas grandezas é chamado de ângulo de fase. Note 
que na representação da corrente adiantada da tensão, a corrente foi posicionada 
de tal maneira que um observador em qualquer posição veja passar primeiro a 
corrente e depois a tensão, considerando-se o menor ângulo entre as duas 
grandezas. 
 
 
 22
 
Fig. 22– Ângulo do fasor 
 
°= 9,44α 
 
 
4. CIRCUITOS PUROS DE CORRENTE ALTERNADA 
 
Vamos estudar agora os três tipos básicos de circuitos com os quais 
obtemos todos os demais tipos de circuitos encontrados na Eletricidade. São eles: 
- circuito puramente resistivo 
- circuito puramente indutivo 
- circuito puramente capacitivo 
 
 
4.1. CIRCUITO PURAMENTE RESISTIVO 
 
Este circuito é constituído apenas por resistências, como o próprio nome 
(resistivo) já diz. A característica desse circuito é que a corrente e a tensão estão em 
fase. 
 
 
 
Fig. 23 – Defasamento em circuito resistivo 
Conhecendo-se o valor da resistência e da tensão aplicada, podemos 
determinar a corrente pela Lei de Ohm. 
 
 23
( )tsenE
iou
R
ei máx
⋅⋅
==
ω
 (valores instantâneos) 
R
EI = (valores eficazes) 
 
A potência média entregue à carga ou potência ativa pode ser 
determinada pela fórmula: 
 
ϕcos⋅⋅= IEP 
 
Essa fórmula vale para qualquer tipo de circuito. No caso de circuito 
puramente resistivo, temos que φ = 0o. Portanto: 
 
IEPIEP ⋅=∴°⋅⋅= 0cos 
 
Ou ainda: 
R
VPouRIP
2
2
=⋅= . 
 
 
4.2. CIRCUITO PURAMENTE INDUTIVO 
 
Esse circuito é constituído por uma ou mais bobinas perfeitas (resistência 
interna igual a zero). Como sabemos, as bobinas quando percorridas por correntes, 
produzem um campo magnético que por sua vez criam um fluxo que as atravessa. A 
capacidade de uma bobina criar um fluxo com determinada corrente que a percorre 
é denominada indutância. 
Na prática temos como exemplos de circuito Indutivo equipamentos com 
grande consumo de energia elétrica em bobinas, como Motores, Transformadores, 
Fornos de Indução, Reatores Indutivos etc. 
A indutância é representada por “L” e sua unidade é o Henry (H). 
 
 
 
A indutância de uma bobina depende: 
 
 24
- do número de espiras (quanto maior o número de espiras, maior a 
indutância) 
- núcleo 
- formato geométrico da bobina 
 
4.2.1. Características dos circuitos puramente indutivos. 
 
A principal característica dos circuitos puramente indutivos é o fato da 
corrente estar atrasada em relação à tensão de 90º. 
 
 
 
 
 
 
Fig. 24 – Defasamento em circuito puramente Indutivo 
 
 
Os valores instantâneos de tensão e corrente são dados por: 
 
αsenEe máx ⋅= ( )°−⋅= 90αsenIi máx 
 
Para calcularmos a corrente num circuito puramente indutivo, calculamos 
o valor da oposição à passagem de corrente pelo indutor (bobina), que chamamos 
de reatância indutiva. Portanto, a reatância indutiva é a oposição total oferecida pela 
bobina à passagem de corrente alternada. 
Representação: XL 
Unidade: Ω 
 
Matematicamente: 
 
LfX L ⋅⋅⋅= pi2 
 
f = freqüência (Hz) 
L = Indutância (H) 
 25
 
A corrente no circuito puramente indutivo é calculada também pela Lei de 
Ohm, onde temos: 
 
LX
EI = 
 
I = corrente (A) 
E = tensão aplicada (V) 
XL = reatância indutiva (Ω) 
 
 
4.2.2. Potência no circuito puramente indutivo 
 
Como vimos, a potência ativa P é dada por: ϕcos⋅⋅= IEP . Como no 
circuito puramente indutivo o ângulo de fase φ é igual a 90º, WP 0= . 
Sendo assim, a potência ativa consumida por um indutor é nula. Podemos 
observar isso no diagrama senoidal. 
 
 
Fig. 25 – Potência em um Indutor 
 
Notamos no diagrama que a potência ora assume valores positivos, ora 
negativos, correspondendo aos instantes em que está recebendo energia da fonte e 
a transforma em um campo magnético (semi-ciclo positivo da potência). Em seguida 
desfaz esse campo, devolvendo energia à fonte (semi-ciclo negativo da potência). 
 
 
 
 
 26
Exercícios resolvidos: 
 
• Calcular a corrente no circuito abaixo 
 
 
 
3,06022 ⋅⋅⋅=∴⋅⋅⋅= pipi LL XLfX 
Ω= 1,113LX 
 
1,113
120
=∴= I
X
EI
L
 
AI 06,1= 
 
• Calcular a indutância da bobina do circuito abaixo 
 
 
2,0
100
=∴= LL XI
EX 
Ω= 500LX 
 
602
500
2 ⋅⋅
=∴
⋅⋅
=
pipi
Lf
X
L L 
HL 33,1= 
 
 
4.2.3. EXERCÍCIOS DE CIRCUITO PURAMENTE INDUTIVO 
 
1 – Calcular a corrente absorvida por um indutor de 150 mH, ligado a uma fonte de 
220 V/60 Hz. 
 
2 – Calcular a indutância de uma bobina que absorve uma corrente de 2,5 A, quando 
ligada a uma fonte de 20 V/60 Hz.27
3 – Você dispõe de uma fonte de 10 V cuja freqüência pode ser variada. Nessa fonte 
é ligada uma bobina de 500 mH. Calcule os valores de corrente na bobina, quando a 
freqüência for: 
 
a) 250 Hz; 
b) 60 Hz; 
c) 20 Hz 
d) 0 Hz. 
 
4 – Qual deve ser a indutância de uma bobina a fim de que ela tenha uma reatância 
de 942 Ω a uma freqüência de 60 Hz? 
 
 
 
4.3. CIRCUITO PURAMENTE CAPACITIVO 
 
Um circuito puramente capacitivo é constituído por capacitores. Um 
capacitor é a princípio, um dispositivo capaz de armazenar cargas elétricas. E é 
constituído basicamente por dois condutores (normalmente placas), separadas por 
um isolante (dielétrico). 
Os símbolos de capacitores são: 
- símbolo geral 
- capacitor eletrolítico 
+
 
- capacitor variável 
 
4.3.1. Funcionamento do capacitor 
 
Quando ligamos um capacitor a uma fonte de tensão contínua, as cargas 
da fonte se deslocam para as placas e aí permanecem, pois as cargas negativas e 
positivas se atraem. 
 
 28
 
 
Fig. 26 – Capacitor em C.C. 
 
 
Se desligarmos o capacitor da fonte, veremos que o capacitor se mantém 
carregado com a mesma ddp da fonte. 
Se ligarmos esse mesmo capacitor a uma fonte de CA, ela sofrerá as 
mesmas variações da tensão alternada. Portanto ora estará carregado com uma 
polaridade, ora com outra. 
 
 
 
 
 Fig. 27 – Capacitor em CA 
 
 
4.3.2. Capacitância 
 
Os capacitores são especificados principalmente pela sua capacitância. 
A capacitância é a capacidade do capacitor em armazenar cargas 
elétricas e sua unidade é o farad (F). 
A capacitância é a relação entre a carga do capacitor e a tensão resultante 
em seus terminais. 
 
V
QC = 
 
Q = carga elétrica em Coulomb (C) 
V = tensão elétrica em volt (V) 
 
 29
A capacitância de um capacitor depende: 
- da distância entre as placas (menor distância, maior capacitância) 
- da área das placas (maior área, maior capacitância) 
- da forma geométrica do capacitor 
 
Obs: comercialmente os capacitores são especificados em µF, nF, pF. 
 
 
4.3.3. Características do circuito puramente capacitivo 
 
 
Quando ligamos um capacitor a uma fonte CA, surge uma corrente, que é 
na verdade, o resultado do deslocamento de cargas para carregar o capacitor, ora 
com uma polaridade ora com outra. É interessante frisar que a corrente não passa 
pelo capacitor. Isto é evidente porque o dielétrico apresenta uma resistência infinita 
(dielétrico ideal). 
 Na prática, circuitos Puramente Capacitivos são banco de capacitores. 
 
 
Fig. 28 – Circuito Puramente Capacitivo 
 
 
No circuito puramente capacitivo, a tensão está atrasada 90º da corrente. 
 
 
 
Fig. 29 – Representação de Circuito Puramente Capacitivo 
 
 
 
 
 30
Os valores instantâneos são: 
 
αsenIi máx ⋅= ( )°−⋅= 90αsenEe máx 
 
 
Da mesma maneira que no indutor, nós podemos admitir um elemento de 
oposição à corrente, que neste caso chamaremos de reatância capacitiva. A 
reatância capacitiva é, pois a oposição oferecida à circulação da corrente alternada 
no capacitor. 
Representação: XC 
Unidade: Ω 
 
Calcula-se a reatância capacitiva por: 
 
CfX C ⋅⋅⋅= pi2
1
 
f = freqüência (Hz) 
C = capacitância (F) 
 
A corrente é calculada pela Lei de Ohm aplicada a circuitos puramente 
capacitivos. 
 
CX
EI = 
 
I = corrente (A) 
E = tensão (V) 
XC = reatância capacitiva (Ω) 
 
 
4.3.4. Potência no circuito puramente capacitivo 
 
No circuito puramente capacitivo, também temos ângulo de fase 90º. 
Portanto, a potência também será nula: 
 
WPIEP 090cos =∴°⋅⋅= 
 
 31
 
Fig. 30 – Potência em Circuito Puramente Capacitivo 
 
 
Neste caso, a potência ativa é nula porque as cargas chegam às placas 
do capacitor e em seguida são devolvidas à fonte, não consumindo assim nenhuma 
energia. 
 
 
Exercícios resolvidos: 
 
• Calcular a corrente elétrica no circuito abaixo: 
 
 
 
61024602
1
2
1
−
⋅⋅⋅⋅
=∴
⋅⋅⋅
=
pipi
CC XCfX 
Ω= 52,110CX 
 
52,110
100
=∴= I
X
EI
C
 
AI 9,0= 
 
 
• Calcular o valor da tensão aplicada ao circuito a seguir: 
 
 
 
61040602
1
2
1
−
⋅⋅⋅⋅
=∴
⋅⋅⋅
=
pipi
CC XCfX 
 32
Ω= 3,66CX 
 
3,662 ⋅=∴⋅= EXIE C 
VE 6,132= 
 
 
4.3.5 EXERCÍCIOS DE CIRCUITO PURAMENTE CAPACITIVO 
 
1 – Calcular o valor da corrente num circuito onde a capacitância é 40 µF e a tensão 
aplicada 110 V/60 Hz. 
 
2 – Determinar o valor da capacitância no circuito abaixo: 
 
 
 
3 – No circuito abaixo, a fonte possui freqüência ajustável. Calcule o valor da 
corrente para as seguintes freqüências: 
 
 
 
a) 250 Hz; 
b) 60 Hz; 
c) 20 Hz; 
d) 0 Hz. 
 
4 – Um capacitor de 20 µF num circuito amplificador de áudio produz uma queda de 
tensão de 5 V em 1 kHz. Calcule a corrente que passa pelo capacitor. 
 
 
 
 
 33
4.4. INDUTÂNCIA EQUIVALENTE 
 
A indutância equivalente de uma associação possui um valor tal que 
equivale a de todas as indutâncias componentes da associação. A indutância 
equivalente é calculada da mesma maneira que a resistência equivalente. Na 
associação série: 
 
 
 
Fig. 31 – Associação de Indutores em série 
 
 
 
321 LLLLe ++= 
321 LLLLe XXXX ++= 
 
 
Le = indutância equivalente (H) 
XLe = reatância indutiva equivalente (Ω) 
L1, L2, L3 = indutâncias componentes (H) 
XL1, XL2, XL3 = reatâncias indutivas componentes (Ω) 
 
Para “n” indutâncias em série: 
 
ne LLLL +++= L21 
LnLLLe XXXX +++= L21 
 
 
Na associação em paralelo, temos: 
 
 
Fig. 32 – Associação de Indutores em Paralelo 
 
 34
n
e
LLLL
L 1111
1
321
++++
=
L
 
LnLLL
Le
XXXX
X 1111
1
321
++++
=
L
 
 
Para duas indutâncias: 
 
21
21
LL
LL
Le +
⋅
= 
21
21
LL
LL
Le XX
XX
X
+
⋅
= 
 
Para “n” indutâncias de valores iguais a L: 
 
n
LLe = 
n
XX LLe = 
 
Exemplo: calcular a indutância equivalente do circuito: 
 
 
 
mHLL
LL
LL
L eee 246040
6040
11
53
53
1 =∴+
⋅
=∴
+
⋅
= 
mHLLLLL eeee 442024 22212 =∴+=∴+= 
mHLL
L
LLL ee
e
ee 222
44
2 33
2
342 =∴=∴=⇒= 
mHLLLLL eeee 32221031 =∴+=∴+= 
 
 
 
4.5. CAPACITÂNCIA EQUIVALENTE 
 
A capacitância equivalente de associação paralela é dada pela soma das 
capacitâncias componentes. A reatância capacitiva equivalente é calculada pelas 
mesmas fórmulas da resistência em paralelo, ou seja: 
 
 35
 
Fig. 33 – Associação de Capacitores em Paralelo 
 
 
 
ne CCCCC ++++= L321 
CnCCC
Ce
XXXX
X 1111
1
321
++++
=
L
 
 
 
Ce = capacitância equivalente (F) 
XCe = reatância capacitiva equivalente (Ω) 
C1, C2, C3, Cn = capacitâncias componentes (F) 
XC1, XC2, XC3, XCn = reatâncias capacitivas componentes (Ω) 
 
Para duas reatâncias: 
 
21
21
CC
CC
Ce XX
XX
X
+
⋅
= 
 
Para “n” reatâncias capacitivas de valores iguais a XC: 
 
n
X
X CCe = 
 
Na associação série, a capacitância e a reatância capacitiva são dadas 
por: 
 
 
Fig. 34 – Associação de Capacitores em Série 
 
 
n
e
CCCC
C 1111
1
321
++++
=
L
 
 36
CnCCCCe XXXXX ++++= L321 
 
Para duas capacitâncias: 
 
21
21
CC
CCCe +
⋅
= 
 
 
Dedução: 
 
 
 
 
2
2
2
1
1
1 C
QV
C
QV
C
QV
e
t
t === 
Mas: 21 QQQt == , logo: 21 VVVt += . 
Assim: 
 






+⋅=∴+=
2121
11
CC
QV
C
Q
C
QV tt 
2121
11111CCCCC
Q
C
Q
ee
+=∴





+⋅= 
 
Para “n” capacitâncias de valores iguais a C: 
 
n
CCe = 
 
Exemplo: Calcular Ce: 
 
 
 
FCCCCC eee µ1003070 11321 =∴+=∴+= 
 37
FCCCCCC eeeee µ502
100
2 22
1
211 =∴=∴=⇒= 
FCCCCCC eeeee µ252
50
2 33
2
342 =∴=∴=⇒= 
FCCCCC eeee µ452025 153 =∴+=∴+= 
 
 
4.5.1. EXERCÍCIOS DE ASSOCIAÇÃO DE INDUTORES E CAPACITORES 
 
1 – Calcular a indutância equivalente dos circuitos abaixo: 
 
a) 
 
 
b) 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 38
2 – Calcular a capacitância equivalente das associações de capacitores abaixo: 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
 
 
5. CIRCUITOS COMPOSTOS DE CORRENTE ALTERNADA 
 
 
5.1. CIRCUITO RL SÉRIE 
 
 
5.1.1. Diagrama fasorial 
 
Um circuito RL série é composto por um indutor e uma resistência 
associados em série. Portanto, as características desse circuito serão uma 
composição das características dos circuitos puramente resistivo e puramente 
indutivo. 
 
 39
 
Fig. 35 – Circuito RL 
 
 
Quando aplicamos uma tensão “E”, surge no circuito uma corrente “I”, que 
provoca uma queda de tensão na resistência “VR” e uma queda de tensão no indutor 
“VL”. 
Podemos montar o diagrama fasorial, utilizando as características dos 
circuitos puros. Ou seja, a corrente “I” está em fase com a tensão “VR” e atrasada de 
“VL” de 90º. Então, colocando-se a corrente na referência (eixo x), temos: 
Como sabemos pela 2ª Lei de Kirchhoff, a somatória fasorial de “VR” e “VL” 
deve resultar na tensão aplicada “E”. Então, pela regra do paralelogramo, o 
diagrama fasorial ficará: 
 
 
Fig. 36 – Fasores Circuito RL 
 
 
O ângulo entre a tensão aplicada e a corrente é o ângulo de fase do 
circuito. 
A partir do diagrama fasorial mostrado, podemos obter a série de relações 
abaixo: 
 
222
LR VVE += E
VR
=ϕcos 
E
V
sen L=ϕ 
R
L
V
V
=ϕtan 
 
Podemos também obter um diagrama de impedâncias. Basta fazer a 
divisão das tensões pela corrente. 
 
 40
R
I
VR
= L
L X
I
V
= Z
I
E
= 
 
Z é a oposição total oferecida à passagem da corrente e é dada em ohms 
(Ω). 
O diagrama de impedâncias ficará então: 
 
 
Fig. 37 – Impedância em circuito RL 
 
 
222
LXRZ += Z
R
=ϕcos 
Z
X
sen L=ϕ 
R
X L
=ϕtan 
 
Exemplo: para o circuito a seguir, calcular a corrente e as quedas de 
tensão, montando o diagrama fasorial: 
 
 
 
 
 
Ω=∴⋅⋅⋅⋅=∴⋅⋅⋅= − 4,75102006022 3 LLL XXLfX pipi 
Ω=∴+=∴+= 4,964,7560 2222 ZZXRZ L 
AII
Z
EI 04,1
4,96
100
=∴=∴= 
VVVIRV RRR 4,6204,160 =∴⋅=∴⋅= 
VVVIXV LLLL 4,7804,14,75 =∴⋅=∴⋅= 
 
 
622,0cos
4,96
60
coscos =∴=∴= ϕϕϕ
Z
R
 
°= 5,51ϕ 
 
 41
 
 
5.1.2. Potência 
 
Existem três tipos de potência que são: 
- potência ativa 
- potência reativa 
- potência aparente 
 
 
5.1.2.1. Potência ativa 
 
A potência ativa é a que realmente produz trabalho. 
Por exemplo, num motor é a parcela de potência absorvida da fonte que é 
transferida em forma de potência mecânica ao eixo. 
Sua unidade é o watt (W). 
É calculada por: 
 
ϕcos⋅⋅= IEP 
 
P = potência ativa (W) 
E = tensão aplicada (V) 
I = corrente (A) 
Φ = ângulo de fase (o) 
 
Sabemos do diagrama fasorial que: 
 
E
VR
=ϕcos ou ϕcos⋅= EVR , então 
 
IVP R ⋅= 
 
VR = queda de tensão na resistência (V) 
Ou ainda: 
 42
 
RIP ⋅= 2 e 
R
V
P R
2
= 
 
5.1.2.2. Potência reativa 
 
É a potência solicitada por indutores e capacitores. Ela circula na linha 
sem produzir trabalho. Sua unidade é o volt-ampère-reativo (VAr). 
É calculada por: 
 
ϕsenIEQ ⋅⋅= 
Ou: 
 
IVQ L ⋅= LXIQ ⋅= 2 
L
L
X
VQ
2
= 
 
Q = potência reativa (VAr) 
E = tensão aplicada (V) 
I = corrente (A) 
Φ = ângulo de fase (o) 
VL = queda de tensão no indutor (V) 
 
 
5.1.2.3. Potência aparente 
 
A potência aparente é a resultante da potência ativa e reativa. 
 
IES ⋅= ZIS ⋅= 2 
Z
ES
2
= 
 
S = potência aparente, dada em volt-ampère (VA) 
E = tensão aplicada (V) 
I = corrente (A) 
Z = impedância do circuito (Ω) 
 
5.1.3. Triângulo de potências 
 
Podemos montar um diagrama, conhecido como triângulo de potências, 
que mostra as três potências como catetos e hipotenusa de um triângulo. 
 43
A partir do diagrama fasorial podemos obter o triângulo de potências 
multiplicando as tensões pela corrente. 
 
 
 
 
 
Fig. 38 – Triângulo de Potência Circuito RL 
 
 
A partir do triângulo de potências, podemos obter as seguintes relações: 
 
ϕϕ coscos ⋅=∴= SP
S
P
 
ϕϕ senSQ
S
Q
sen ⋅=∴= 
ϕϕ tantan ⋅=∴= PQ
P
Q
 
222 QPS += 
 
Exemplo: para o circuito abaixo, calcular o valor das potências ativa, 
reativa e aparente e montar o triângulo de potências. 
 
 
 
VVV
V
V
RR
R
L 100
45tan
100
tan =∴
°
=∴=ϕ 
AII
R
VI R 2
50
100
=∴=∴= 
WPPRIP 20050222 =∴⋅=∴⋅= 
VArQQIVQ L 2002100 =∴⋅=∴⋅= 
ASSQPS 8,282200200 2222 =∴+=∴+= 
 
 44
 
 
 
5.1.3. EXERCÍCIOS DE CIRCUITO RL SÉRIE 
 
1 – No circuito abaixo, calcular: 
 
 
 
a) reatância indutiva; 
b) queda de tensão no indutor; 
c) corrente; 
d) resistência; 
e) impedância; 
f) potência ativa; 
g) potência reativa; 
h) potência aparente; 
i) tensão aplicada ao circuito; 
j) montar o diagrama fasorial; 
k) montar o triângulo de potências. 
 
 
5.2. CIRCUITO RC SÉRIE 
 
Um circuito RC série é obtido pela associação de um capacitor e um 
resistor em série. Desta maneira, vai apresentar características que são comuns aos 
circuitos puramente capacitivo e puramente resistivo, e é através dessas 
características que podemos montar o diagrama fasorial para esse circuito. 
 
 45
 
Fig. 39 – Circuito RC série 
 
 
5.2.1. Diagrama fasorial 
 
Sabemos que VR está em fase com a corrente e VC está atrasada 90º da 
corrente. Sabemos também que a soma fasorial de VR e VC nos dá a tensão 
aplicada E. 
 
 
 
Fig. 40 – Fasores circuito RC 
 
 
Podemos extrair as seguintes relações: 
 
222
CR VVE += 
E
VR
=ϕcos 
E
V
sen C=ϕ 
R
C
V
V
=ϕtan 
 
Dividindo-se todos os componentes do diagrama pela corrente, temos: 
 
R
I
VR
= 
C
C X
I
V
= 
Z
I
E
= 
 
Logo, o diagrama de impedâncias será: 
 46
 
 
Fig. 41 – Impedância em circuito RC 
 
 
Donde: 
 
222
CXRZ += Z
R
=ϕcos 
Z
X
sen C=ϕ 
R
X C
=ϕtan 
 
Exemplo: calcular a corrente, o ângulo de fase e as quedas de tensão no 
circuito abaixo, montando o diagrama fasorial. 
 
 
 
Ω=∴
⋅⋅⋅⋅
=∴
⋅⋅⋅
=
−
7,132
1020602
1
2
1
6 CCC XXCfX pipi 
Ω=∴+=∴+= 1507,13270 2222 ZZXRZ C 
AII
Z
EI 8,0
150
120
=∴=∴= 
VVVIRV RRR 568,070 =∴⋅=∴⋅= 
VVVIXV CCCC 2,1068,07,132 =∴⋅=∴⋅= 
°=∴=∴=∴= 2,62467,0cos
150
70
coscos ϕϕϕϕ
Z
R
 
 
 
 
 47
5.2.2. Potências 
 
As potências num circuito RC série são as mesmas que aparecem num 
circuito RL série. As fórmulas também são as mesmas, mudando apenas aquelas 
que estão em função da reatância (XL, XC) ou em função da queda de tensão (VL, 
VC). 
São elas: 
 
ϕcos⋅⋅= IEP ϕsenIEQ ⋅⋅= IES ⋅= RIP ⋅= 2 
 
CXIQ ⋅= 2 R
V
P R
2
= 
C
C
X
V
P
2
= ZIS ⋅= 2 
 
Z
ES
2
= 
222 QPS += 
S
P
=ϕcos 
S
Q
sen =ϕ 
 
P
Q
=ϕtan IVP R ⋅= IVQ C ⋅= 
 
5.2.3. Triângulo de potências 
 
O triângulo de potências para um circuito RC série só difere do circuitoRL 
série pela posição em que fica a potência reativa. Vimos que no circuito RL a 
potência reativa é positiva. No circuito RC série, ela é negativa. 
 
 
Fig. 42 – Triângulo de Potência Circuito RC 
 
Exemplo: calcular as potências ativa, reativa e aparente, montando o 
triângulo de potências para o circuito abaixo: 
 
 
 48
 
Ω=∴
⋅⋅⋅⋅
=∴
⋅⋅⋅
=
−
4,88
1030602
1
2
1
6 CCC XXCfX pipi 
Ω=∴+=∴+= 05,1494,88120 2222 ZZXRZ C 
AII
Z
EI 476,1
05,149
220
=∴=∴= 
VASSIES 7,324476,1220 =∴⋅=∴⋅= 
WPPRIP 5,261120476,1 22 =∴⋅=∴⋅= 
VArQQXIQ C 6,1924,88476,1 22 =∴⋅=∴⋅= 
°=∴=∴=∴= 4,36805,0cos
05,149
120
coscos ϕϕϕϕ
Z
R
 
 
 
5.2.4. EXERCÍCIOS DE CIRCUITO RC SÉRIE 
 
1 – No circuito abaixo, calcular: 
 
 
 
a) reatância capacitiva; 
b) resistência; 
c) corrente; 
d) queda de tensão no capacitor; 
e) tensão aplicada; 
f) potência ativa; 
g) potência reativa; 
h) potência aparente; 
i) impedância; 
j) montar o diagrama fasorial; 
k) montar o triângulo de potências. 
 49
 
5.3. CIRCUITO RLC SÉRIE 
 
O circuito RLC série é uma composição em série dos três tipos de 
circuitos puros. 
 
 
Fig. 43 – Circuito RLC série 
 
 
5.3.1. Diagrama fasorial 
 
Ao aplicarmos a tensão “E”, surge em todos os elementos uma queda de 
tensão. Essas quedas de tensão e a corrente podem ser visualizadas num diagrama 
fasorial, construído observando-se as características de cada um dos elementos. Ou 
seja, a queda de tensão “VR” estará em fase com a corrente, “VL” estará adiantada 
90º da corrente e “VC” estará atrasada 90º da corrente. Assim, colocando-se a 
corrente na referência (eixo x), temos: 
 
 
Fig. 44 – Fasores circuito RLC 
 
 
É óbvio que os valores de VL, VC e VR dependerão das respectivas 
reatâncias indutiva e capacitiva e da resistência. No diagrama mostrado, VC é maior 
que VL, a título de exemplo. No entanto, num circuito pode ocorrer o contrário, ou 
mesmo VL e VC podem ser iguais. 
 50
Podemos obter no diagrama a tensão total aplicada fazendo-se a soma 
fasorial das três quedas de tensão, conforme a 2ª Lei de Kirchhoff. 
 
 
Fig. 45 – Fasores circuito RLC 
 
Deste diagrama, podemos extrair as relações trigonométricas para o 
circuito RLC série. 
 
E
VV
sen CL
−
=ϕ 
E
VR
=ϕcos 
R
CL
V
VV −
=ϕtan ( )222 CLR VVVE −+= 
 
Dividindo-se todos os elementos do diagrama pela corrente, teremos o 
diagrama de impedâncias. 
 
 
 
Fig. 44 – Fasores circuito RLC 
 
 
Z
XX
sen CL
−
=ϕ 
Z
R
=ϕcos 
R
XX CL −
=ϕtan ( )222 CL XXRZ −+= 
 
 
Exemplo: calcular a corrente, todas as quedas de tensão e montar o 
diagrama fasorial para o circuito abaixo: 
 
 51
 
 
 
 
Ω=∴⋅⋅⋅=∴⋅⋅⋅= 4,752,06022 LLL XXLfX pipi 
Ω=∴
⋅⋅⋅⋅
=∴
⋅⋅⋅
=
−
7,132
1020602
1
2
1
6 CCC XXCfX pipi 
( ) ( ) Ω=∴−+=∴−+= 3,1157,1324,75100 2222 ZZXXRZ CL 
AII
Z
EI 3,1
3,115
150
=∴=∴= 
VVVIRV RRR 1303,1100 =∴⋅=∴⋅= 
VVVIXV LLLL 1,983,14,75 =∴⋅=∴⋅= 
VVVIXV CCCC 5,1723,17,132 =∴⋅=∴⋅= 
°==∴=∴= 9,29865,0cos
3,115
100
coscos ϕϕϕϕ
Z
R
 
 
 
 
 
 
5.4. EXERCÍCIOS DE CIRCUITOS RLC SÉRIE 
 
1 – No circuito, determine o valor: 
 
 52
 
 
 
 
a) ângulo de fase; 
b) resistência; 
c) corrente; 
d) queda de tensão no capacitor; 
e) queda de tensão no indutor; 
f) tensão entre os pontos A e B; 
g) impedância; 
h) potência aparente; 
i) potência reativa indutiva; 
j) potência reativa capacitiva; 
k) potência reativa total; 
l) potência ativa; 
m) montar o diagrama fasorial; 
n) montar o triângulo de potências. 
 
 
 
6. FATOR DE POTÊNCIA 
 
 O fator de potência é uma relação entre potência ativa e potência reativa, 
conseqüentemente energia ativa e reativa. Ele indica a eficiência com a qual a 
energia está sendo usada. Um alto fator de potência indica uma eficiência alta e 
inversamente um fator de potência baixo indica baixa eficiência. Um baixo fator de 
potência indica que você não está aproveitando plenamente a energia, e a solução 
para corrigir, é a instalação de Banco de Capacitores, sendo que estes podem criar 
condições de ressonância. Nessas condições, as harmônicas geradas por 
equipamentos não lineares podem ser amplificadas para valores absurdos e a opção 
passa a ser a utilização de Filtro de dissintonia para correção destas harmônicas. 
 53
 Um exemplo consagrado é o que associa a energia reativa à espuma de um 
copo de chopp e a energia ativa ao líquido do chopp. 
 
 
 
 
 
 Fig. 46 – Copo de Chopp 
 
 Pela representação podemos observar que: 
 
 - Para se aumentar a quantidade de líquido (W), para o mesmo copo de 
chopp, deve-se reduzir a quantidade de espuma (VAr). Desta forma, melhora-se a 
utilização desse copo (VA). 
 - Nessa analogia, o aumento da quantidade de líquido, para o mesmo copo de 
chopp (transformador, condutores, etc), está associado a entrada de novas cargas 
elétricas, sem necessidade de alteração da capacidade desse copo. 
Diversas são as causas que resultam num baixo fator de potência em uma 
instalação industrial, relacionamos algumas delas: 
 
 - Motores de indução trabalhando em vazio durante um longo período de 
operação; 
 - Motores superdimensionados para as máquinas a eles acopladas; 
 54
 - Transformadores em operação em vazio ou em carga leve; 
 - Fornos a arco; 
 - Fornos de indução eletromagnética; 
 - Máquinas de solda a transformador; 
 - Grande número de motores de pequena potência em operação durante um 
longo período. 
 
Porém algumas causas que resultam num baixo fator de potência tanto em 
instalações comerciais como industriais, eis algumas delas: 
 
 - Grande número de reatores de baixo fator de potência suprindo lâmpadas 
de descarga (lâmpadas fluorescentes, vapor de mercúrio, vapor de sódio, etc); 
 - Equipamentos eletrônicos (os transformadores das fontes de alimentação 
interna geram energia reativa). 
 
 
6.1 LEGISLAÇÃO E TARIFAS 
 
 O Decreto nº 479, de 20 de março de 1992, reiterou a obrigatoriedade de se 
manter o fator de potência o mais próximo possível da unidade (1,00), tanto 
pelas concessionárias quanto pelos consumidores, recomendando, ainda, ao 
Departamento Nacional de Águas e Energia Elétrica - DNAEE - o estabelecimento 
de um novo limite de referência para o fator de potência indutivo e capacitivo, bem 
como a forma de avaliação e de critério de faturamento da energia reativa excedente 
a esse novo limite. A nova legislação pertinente, estabelecida pelo DNAEE, 
introduziu uma nova forma de abordagem do ajuste pelo baixo fator de potência, 
com os seguintes aspectos relevantes: 
- Aumento do limite mínimo do fator de potência de 0,85 para 0,92; 
- Faturamento de energia reativa excedente; 
- Redução do período de avaliação do fator de potência de mensal para horário, a 
partir de 1996 para consumidores com medição horosazonal. Com isso muda-se o 
objetivo do faturamento, em vez de ser cobrado um ajuste por baixo fator de 
potência, como faziam até então, as concessionárias passam a faturar a 
 55
quantidade de energia ativa que poderia ser transportada no espaço ocupado 
por esse consumo de reativo. Este é o motivo de as tarifas aplicadas serem de 
demanda e consumo de ativos, inclusive ponta e fora de ponta para os 
consumidores enquadrados na tarifação horosazonal. Além do novo limite e da nova 
forma de medição, outro ponto importante ficou definido: das 6h da manhã às 24h o 
fator de potência deve ser no mínimo 0,92 para a energia e demanda de potência 
reativa indutivafornecida, e das 24h até as 6h no mínimo 0,92 para energia e 
demanda de potência reativa capacitiva. 
 
6.2 - EXCEDENTE DE REATIVO 
 
 A ocorrência de excedente de reativo é verificada pela concessionária através 
do fator de potência mensal ou do fator de potência horário. O fator de potência 
mensal é calculado com base nos valores mensais de energia ativa (“kWh”) e 
energia reativa (“kvarh”). O fator de potência horário é calculado com base nos 
valores de energia ativa (“kWh”) e de energia reativa (“kvarh”) medidos de hora em 
hora. 
 
6.3 CAPACIDADE DE TRANSMISSÃO 
 
 Um baixo FP significa que grande parte da capacidade de condução de 
corrente dos condutores utilizados na instalação está sendo usada para transmitir 
uma corrente que não produzirá trabalho na carga alimentada. Mantida a potência 
aparente (para a qual é dimensionada a instalação), um aumento do FP significa 
uma maior disponibilidade de potência ativa, como indicam os diagramas da figura 2 
 
 
Fig. 47 - Efeito do aumento do FP na ampliação da disponibilidade de potência ativa. 
 
 
 
 56
6.4 CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA 
 
 Em uma instalação elétrica a adição de cargas indutiva diminui o fator de 
potência (cosseno fi) o que implica na diminuição da potência real aumentando 
a potência aparente ou, se a potência real (Watts) se mantiver no mesmo valor a 
potencia aparente aumenta o que implica em um aumento na corrente da linha 
sem um aumento de potência real. Para compensar (aumentar o FP) deveremos 
colocar capacitores em paralelo com a carga indutiva que originou a diminuição 
no FP. Seja uma carga Z, indutiva, com fator de potencia cosφ e desejamos 
aumentar o FP para cosφ2 
 
Fig. 48 – FP Tensão Corrente 
 
O objetivo é aumentar o FP de cosφ1 para cosφ2. Para isso deveremos colocar 
um capacitor em paralelo com a carga. 
 
 
Fig. 49 – novo FP Tensão Corrente 
 57
 
Fig. 50 – Capacitores e Banco de capacitores 
 
Fig. 51 – quadro de capacitores 
 58
 
 
Fig. 52 – Capacitores de Média Tensão 
 
6.5 DIMENSIONAMENTO DO BANCO DE CAPACITORES 
 
 O dimensionamento dos capacitores a serem instalados para melhorar o fator 
de potência é um processo simples, onde somente o conhecimento de diagrama 
fasorial e do triângulo de potência são os itens necessários. 
 
 
Fig. 53 – FP e Triângulo de Potência 
 
 
A partir do triângulo de potências, podemos obter as seguintes relações: 
 
 59
ϕϕ coscos ⋅=∴= SP
S
P
 
ϕϕ senSQ
S
Q
sen ⋅=∴=
 
ϕϕ tantan ⋅=∴= PQ
P
Q
 
222 QPS +=
 
 
Exemplo: para o circuito abaixo, calcular o valor das potências ativa, 
reativa e aparente e calcular o banco de capacitor necessário para um F.P.=0.92 
 
 
 
Fig. 54 – Circuito RL 
 
VVV
V
V
RR
R
L 100
45tan
100
tan =∴
°
=∴=ϕ 
AII
R
VI R 2
50
100
=∴=∴= 
WPPRIP 20050222 =∴⋅=∴⋅=
 
VArQQIVQ L 2002100 =∴⋅=∴⋅= 
ASSQPS 8,282200200 2222 =∴+=∴+=
 
 
Fig. 55 – triângulo de potência 
 60
 Observa-se que a potência reativa Q é de 200VAr, e esta junto com a 
potência ativa P, formam um ângulo de 45°, e cos φ = 0.707. Porém o novo F.P deve 
ser de 0.92, logo cosφ2 = 0.92, φ2 = 23°. 
 De posse do novo ângulo, calcula-se a nova potência reativa, Qn. 
 
Qn = tgφ2 . P Qn = tg23° . 200 Qn ≈ 85kVAr 
 
 Agora é calculado a potência do banco de capacitor a ser acoplado em 
paralelo com o circuito 
 
Qc = Q – Qn = 200kVAr – 85kVAr = 115kVAr 
 
 Agora, com o banco de capacitor acoplado ao circuito, F.P. está corrigido, 
conforme figura abaixo: 
 
Fig. 56 – Novo FP do Circuito RL 
 
 
7. FORMAS DE INSTALAÇÃO DA CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA 
 
 Em redes com cargas indutivas (por ex., motores), o fator de potência cosφ 
altera-se com manobras e flutuações da carga, desta forma existe a escolha da 
forma mais econômica e ou efetiva da correção do fator de potência, basicamente as 
 61
opções se resumem em três métodos de correção, a Individual, a de Grupo e a 
correção Centralizada. 
 
 
7.1 CORREÇÃO INDIVIDUAL 
 
 Na correção individual os capacitores são conectados diretamente aos 
terminais das cargas individuais, sendo ligados simultaneamente. Recomenda-se 
uma compensação individual para os casos onde haja grandes cargas de utilização 
constante e longos períodos de operação. Desta forma pode-se reduzir a bitola dos 
cabos de alimentação da carga. 
 Os capacitores geralmente podem ser conectados diretamente aos terminais 
das cargas, sendo manobrado por meio de um único contator. 
 
 
Fig. 57 – Capacitores individuais 
 
 
7.2 CORREÇÃO PARA GRUPO DE CARGAS 
 
 
 Na compensação de um grupo de cargas, o sistema de compensação de 
reativos estará relacionado a um grupo de cargas, que poderá ser composto, por ex., 
de lâmpadas fluorescentes, que serão manobradas por meio de um contator ou de 
disjuntor. 
 
 
 62
 
Fig. 58 – Capacitores para grupo de carga 
 
 
7.3 CORREÇÃO CENTRALIZADA DAS CARGAS 
 
 Para a compensação centralizada são normalmente utilizados bancos de 
capacitores ligado diretamente a um 
alimentador principal (figura 6). Isto é particularmente vantajoso quando a planta 
elétrica for constituída de 
diversas cargas com diferentes potências e períodos de operação. 
 Uma compensação centralizada possui ainda as seguintes vantagens: 
 • os bancos de capacitores, por estarem centralizados, podem ser supervisionados 
mais facilmente ; 
• ampliações futuras tornam-se mais simples ; 
• a potência dos capacitores pode ser adaptada constantemente por aumento de 
potência da planta elétrica ; 
• considerando-se o fator de simultaneidade, geralmente a potência reativa 
necessária é inferior à potência necessária para a compensação das cargas 
individualmente 
 
 63
 
Fig. 59 – Capacitores para instalação geral 
 
 
8. EXERCÍCIOS 
 
8.1 – Um motor com tensão nominal de 240V e 8A consume 1.536W com carga 
máxima. Qual o seu F.P.? 
 
8.2 – Em um circuito RLC série, a corrente é de 2A atrasada de 61,9° e a tensão 
aplicada é 17V. Calcule o F.P., P, Q e S e desenhe o triângulo de Potência. 
 
8.3 – Um motor de indução consome 1,5kW e 7,5A de uma linha de 220V com 60Hz. 
Qual deverá ser a capacitância de um capacitor em paralelo a fim de se aumentar o 
F.P. total para 1. 
 
8.4 – Uma carga indutiva que consome 5kW com 60% de F.P. indutivo com tensão 
de linha de 220V. Calcule a potência do banco de capacitor necessário para deixar o 
F.P.=0,92. 
 
8.5 – Um motor de indução de 10kVA, funcionando com um F.P. de 80%, indutivo e 
um motor síncrono de 5kVA, com F.P. 70%, estão ligados em paralelo através de 
uma rede com 220V e 60Hz. Calcule as potências totais equivalentes P, Q e S e o 
F.P. final.