05 01 2016 problemas

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Resoluc¸a˜o de Problemas
Vera˜o - IMPA - 5/1/2016
1) a) Prove que existem infinitos nu´meros primos.
b) Prove que existem infinitos nu´meros primos da forma 4k + 3.
c) Prove que existem infinitos nu´meros primos da forma 6k + 5.
2) a) Prove que
√
2 e´ irracional.
b) Prove que
√
2+
√
3 e´ irracional.
c) Prove que, para todo x ∈ R, pelo menos um dos nu´meros x+ 3√2, x 3√2 e´ irracional.
3) Seja X um conjunto e P(X) o conjunto de suas partes, i.e., o conjunto de todos os
subconjuntos de X. Prove que na˜o existe nenhuma func¸a˜o sobrejetiva f : X → P(X).
4) Prove que na˜o existem inteiros x, y, z na˜o todos nulos tais que
x2 + y2 = 3z2.
5 [Gre´cia, 1995; Zeits] Sejam a, b, c, d, e nu´meros reais tais que a equac¸a˜o
ax2 + (b+ c)x+ (d+ e) = 0
tem alguma raiz real maior que 1. Prove que a equac¸a˜o
ax4 + bx3 + cx2 + dx+ e = 0
tem alguma raiz real.
Dicas:
1) a) Suponha por absurdo que p1, p2, . . . , pn sejam todos os primos. Considere p1p2 . . . pn+1.
b) Suponha por absurdo que p1, p2, . . . , pn sejam todos os primos da forma 4k + 3. Con-
sidere 4p1p2 . . . pn − 1.
c) Suponha por absurdo que p1, p2, . . . , pn sejam todos os primos da forma 6k+5. Considere
6p1p2 . . . pn − 1.
2) a) Suponhs por absurdo que
√
2 seja racional. Consedere a representac¸a˜o irredut´ıvel p/q
de
√
2, com p, q inteiros positivos e mdc(p, q) = 1.
b) Eleve
√
2 +
√
3 ao quadrado.
c) Mostre que se x+ 3
√
2 e x 3
√
2 forem racionais enta˜o 3
√
2 e´ raiz de uma equac¸a˜o do segundo
grau com coeficientes racionais.
3) Suponha por absurdo que existe uma tal func¸a˜o f . Considere o conjunto
Y = {x ∈ X|x /∈ f(x)} ∈ P(X).
4) Suponha por absurdo que existe uma soluc¸a˜o, reduza ao caso em que mdc(x, y) = 1 e
considere os restos na divisa˜o por 4.
5) Sejam P (x) = ax2 + (b + c)x + (d + e) e Q(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Suponha por
absurdo que Q(x) > 0,∀x ∈ R, observe que Q(x) = P (x2) + (x− 1)(bx2 + d) e substitua
x = ±√β, onde β > 1 e´ raiz de P (x).
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