06 01 2016 Problemas

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Resoluc¸a˜o de Problemas
Vera˜o - IMPA - 6/1/2016
1) Seja α um nu´mero real e seja (xn)n≥0 a sequeˆncia dada por x0 = α e xk+1 = x2k−2, ∀k ≥ 0.
a) Prove que, se |α| ≥ 2,
xn =
(
α +
√
α2 − 4
2
)2n
+
(
α +
√
α2 − 4
2
)2n
,∀n ≥ 0.
b) Prove que, se |α| ≤ 2,
xn = 2 cos(2
n cos−1(α/2)),∀n ≥ 0.
2) Determine o nu´mero ma´ximo de regio˜es em que n retas podem dividir o plano.
3) Prove que, para todo inteiro positivo n e todo nu´mero real a > 0,√
a+
√
a+
√
· · ·+√a < 1 +
√
4a+ 1
2
(onde aparecem n ra´ızes quadradas no lado esquerdo da desigualdade).
4) Sejam (xn)n≥1 a sequeˆncia definida por x1 = 2, xn+1 = 2xn ,∀n ≥ 1, e (yn)n≥1 a sequeˆncia
definida por y1 = 2016, yn+1 = 2016
yn ,∀n ≥ 1. Determine o menor inteiro positivo n tal
que xn > y2016.
5 Dado um inteiro positivo n, uma partic¸a˜o pi de n e´ uma lista ordenada pi = (a1, a2, . . . , ar),
onde r e os aj, j ≤ r sa˜o inteiros positivos tais que a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ ar e
∑r
j=1 aj =
a1 + a2 + · · ·+ ar = n. Seja Pn o conjunto das partic¸o˜es pi de n.
Dada pi = (a1, a2, . . . , ar) ∈ Pn, definimos A(pi) = |{j ≤ r|aj = 1}|, o nu´mero de uns na
partic¸a˜o pi, e B(pi) = |{a1, a2, . . . , ar}|, o nu´mero de termos distintos na partic¸a˜o pi.
Prove que, para todo inteiro positivo n,
∑
pi∈Pn A(pi) =
∑
pi∈Pn B(pi).