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07 01 2016 Problemas Corrigido

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Resoluc¸a˜o de Problemas
Vera˜o - IMPA - 7/1/2016
1) Escolhem-se 9 pontos ao acaso em um cubo de lado 1. Mostre que pelo menos um dos
segmentos que eles determinam tem comprimento menor ou igual a
√
3/2.
2) Seja (xn)n≥1 uma sequeˆncia de pontos no intervalo [0, 1). Prove que para todo inteiro
positivo N existem infinitos pares i, j com 0 < j − i ≤ N e |xi − xj| < 1/N .
3) Dadas 6 pessoas numa festa, demonstre que necessariamente existem 3 pessoas que se
conhecem mutuamente ou 3 pessoas que na˜o se conhecem mutuamente. Suponha que a
relac¸a˜o de conhecer e´ sime´trica.
4) Dois discos A e B sa˜o divididos em 2n setores iguais. No disco A, n setores sa˜o pintados
de azul e n de vermelho. No disco B os setores sa˜o pintados de azul ou de vermelho de
forma arbitra´ria. Mostre que A e B podem ser superpostos de modo que pelo menos n
setores tenham cores coincidentes.
5) Sejam m e n inteiros positivos dados. Mostre que toda sequeˆncia com mn+1 nu´meros reais
conte´m uma subsequeˆncia crescente com m + 1 termos ou uma subsequeˆncia decrescente
com n + 1 termos.
6 [IMO1985] Dado um conjunto M com 1985 inteiros positivos distintos, nenhum dos quais
tem divisores primos maiores do que 23, mostre que ha´ 4 elementos em M cujo produto
e´ uma quarta poteˆncia.

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