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Resoluc¸a˜o de Problemas Vera˜o - IMPA - 7/1/2016 1) Escolhem-se 9 pontos ao acaso em um cubo de lado 1. Mostre que pelo menos um dos segmentos que eles determinam tem comprimento menor ou igual a √ 3/2. 2) Seja (xn)n≥1 uma sequeˆncia de pontos no intervalo [0, 1). Prove que para todo inteiro positivo N existem infinitos pares i, j com 0 < j − i ≤ N e |xi − xj| < 1/N . 3) Dadas 6 pessoas numa festa, demonstre que necessariamente existem 3 pessoas que se conhecem mutuamente ou 3 pessoas que na˜o se conhecem mutuamente. Suponha que a relac¸a˜o de conhecer e´ sime´trica. 4) Dois discos A e B sa˜o divididos em 2n setores iguais. No disco A, n setores sa˜o pintados de azul e n de vermelho. No disco B os setores sa˜o pintados de azul ou de vermelho de forma arbitra´ria. Mostre que A e B podem ser superpostos de modo que pelo menos n setores tenham cores coincidentes. 5) Sejam m e n inteiros positivos dados. Mostre que toda sequeˆncia com mn+1 nu´meros reais conte´m uma subsequeˆncia crescente com m + 1 termos ou uma subsequeˆncia decrescente com n + 1 termos. 6 [IMO1985] Dado um conjunto M com 1985 inteiros positivos distintos, nenhum dos quais tem divisores primos maiores do que 23, mostre que ha´ 4 elementos em M cujo produto e´ uma quarta poteˆncia.
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