Projeto de Lajes Maciças

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PROJETO DE LAJES MACIÇAS – CAPÍTULO 12 
Libânio M. Pinheiro, Cassiane D. Muzardo, Sandro P. Santos. 
17 maio 2003 
 PROJETO DE LAJES MACIÇAS 
 
12.1 DADOS INICIAIS 
A planta do tabuleiro, com as dimensões das lajes e das vigas, encontra-se 
no Desenho 1, no final do capítulo. A partir dessa planta, obtém-se os vãos teóricos 
das lajes, considerados até os eixos dos apoios e indicados na Figura 1. 
Outros dados: concreto C25, aços CA-50 mm) 6,3( ≥φ e CA-60 mm) 5( =φ e 
cobrimento cm 2c = . 
 
Figura 1 – Vãos teóricos 
12.2 VINCULAÇÃO 
No vínculo L1-L2, há continuidade entre as lajes e elas são de portes 
semelhantes: ambas serão consideradas engastadas. 
Já no vínculo L1-L3, a laje L1 é bem maior que L3. Esta deve ser 
considerada engastada, mas aquela não deveria ser. Resultaria para a L1 a 
vinculação indicada na Figura 2. 
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12.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 – Vínculos L1-L2 e L1-L3 (dimensões em centímetros) 
Porém, como se verifica a condição yx2 3
2 ll ≥ , a laje L1 será considerada 
engastada ao longo de toda essa borda. 
No vínculo L2-L3, a laje L2 é bem maior que a L3. Esta será considerada 
engastada e aquela apoiada. 
A laje L4 encontra-se em balanço e não há equilíbrio se ela não for 
engastada. Porém, ela não tem condições de receber momentos adicionais, 
provenientes das lajes vizinhas. Portanto, as lajes L2 e L3 devem ser admitidas 
simplesmente apoiadas nos seus vínculos com a L4. 
Em conseqüência do que foi exposto, resultam os vínculos indicados na 
Figura 3 e os tipos das lajes L1, L2 e L3 são, respectivamente: 2A, 2B e 3. 
 
Figura 3 – Vínculos das lajes 
 
1y2x 3
2 ll = 
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12.3 
12.3 PRÉ-DIMENSIONAMENTO 
Para as lajes L1, L2 e L3, a altura útil d será estimada por meio da 
expressão: 
*
est 100/0,1n)-(2,5d l= 
n é o número de bordas engastadas 
l* é o menor valor entre lx (menor vão) e 0,7ly 
A altura h será adotada considerando o valor aproximado: 
cm2,5)(dh
cm2,0ccm0,5)cd(h
+=
=++=
 
 
O pré-dimensionamento das lajes L1, L2 e L3 está indicado na Tabela 1. 
 
Tabela 1 – Pré-dimensionamento das lajes L1, L2 e L3. 
L1 L2 L3
lx (cm) 380 460 230
ly (cm) 690 500 500
0,7ly (cm) 483 350 350
l* 380 350 230
n 1 1 2
dest (cm) 9,1 8,4 5,3
hest (cm) 11,6 10,9 7,8
h (cm) 11 11 11 
 
Para a Laje L4 em balanço, pode ser adotado o critério da NBR 6118 (1978), 
com 5,02 =Ψ e 253 =Ψ , resultando: 
cm8,8
255,0
110d
32
x
est ==ψψ=
l 
 
Será adotada a espessura cm 11h = para todas as lajes. 
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12.4 
12.4 AÇÕES, REAÇÕES E MOMENTOS 
O cálculo de L1, L2 e L3 está indicado na Tabela 2. No cálculo das reações 
de apoio e dos momentos fletores, foram utilizadas as tabelas de PINHEIRO (1993). 
Importante: 
Neste projeto, foi considerada uma carga de paredes divisórias de 
1,0 kN/m2, atuando em todas as lajes L1, L2 e L3. Quando a posição das paredes 
for conhecida, e principalmente quando elas forem de alvenaria, seus efeitos devem 
ser cuidadosamente considerados, nos elementos que as suportam. 
O cálculo da laje L4 é feito conforme o esquema indicado na Figura 4. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 – Esquema da laje L4 
As cargas uniformemente distribuídas são: 
2
22
rppp
kN/m6,753,003,75qgp
kN/m3,00qkN/m75,300,175,2ggg
=+=+=
==+=+= + 
Na extremidade, será considerada uma mureta de ½ tijolo cerâmico 
(1,9 kN/m2), com 1,10 m de altura, e uma carga variável de 2,0 kN/m. 
kN/m09,400,209,2qgp
kN/m00,2qkN/m09,210,19,1g
111
11
=+=+=
==⋅=
 
Reações de apoio: 
kN/m52,1109,410,175,6ppr 1 =+⋅=+= l 
Momento fletor: 
kNm/m58,810,109,4
2
10,175,6p
2
pm
2
1
2
=⋅+⋅=⋅+= ll 
g + q
g1 + q1 
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12.5 
 
 
 
L1 L2 L3
Tipo 2B 2A 3
lx (cm) 380 460 230
ly (cm) 690 500 500
ly/lx 1,82 1,09 2,17
Peso Próprio 2,75 2,75 2,75
Piso + Revestimento 1,00 1,00 1,00
Paredes 1,00 1,00 1,00
Carga de uso 3,00 3,00 3,00
g 4,75 4,75 4,75
q 3,00 3,00 3,00
p 7,75 7,75 7,75
νx 3,46 2,01 4,38
ν'x 5,07 - 6,25
νy 1,83 2,85 2,17
ν'y - 4,17 3,17
rx 10,19 7,17 7,81
r'x 14,93 - 11,14
ry 5,39 10,16 3,87
r'y - 14,87 5,65
µx 5,78 3,61 7,03
µ'x 11,89 - 12,50
µy 1,66 3,74 1,60
µ'y - 9,18 8,20
mx 6,47 5,92 2,88
m'x 13,31 - 5,12
my 1,86 6,13 0,66
m'y - 15,05 3,36
Reações de 
Apoio (kN/m)
Momentos 
Fletores (kNm/m)
Lajes
Tabela 2 - Esforços nas lajes L1, L2 e L3
Características
Ações (kN/m2)
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12.6 
As reações de apoio das lajes (dentro dos semicírculos) e os momentos 
fletores estão indicados na Figura 5, na qual encontram-se, também, os momentos 
fletores compatibilizados (dentro dos retângulos). 
 
 
5,39 7,17
10
,1
9
14
,8
7
14
,9
3
10
,1
6
11,14
7,17
5,
65 3,
87
11
,5
2
7,815,39
6,47
1,
86
14,18
13,31 15,05
3,36
 3,36
0 0,66
2,
88
 5
,1
2 0
5,
12
8,58
 8,58
0
6,57
5,
92
8,580
 8,58
6,13
 
 
Figura 5 – Reações (semicírculos, kN/m) e momentos (retângulos, kNm/m) 
 
12.5 DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS 
O dimensionamento das armaduras está indicado na Tabela 3. Inicia-se 
pelos momentos nos apoios, em geral os de maior valor, em ordem decrescente. 
Em função dos diâmetros e dos espaçamentos obtidos para essas 
armaduras, pode ser conveniente modificar a espessura das lajes, situação em que 
os cálculos precisam ser alterados. 
Em seguida, são calculadas as armaduras de vão. Foi admitido d = 8,5 cm. 
 
 
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12.7 
 
 
(a) Armadura mínima para (C25) %15,0smin =ρ 
(b) Armadura mínima para smin 0,67 ρ 
(c) Armadura de distribuição: 0,2 as,princ; 0,5 asmin ou 0,90 cm2/m 
12.5.1 Armadura mínima 
Para concreto C25, %15,0smin =ρ 
a) Armadura negativa e armadura principal para λ > 2 
/mcm28,15,8100
100
0,15bda 2minmins1, ==⋅ρ= 
Vínculo 
ou laje Momento mk md kc ks
as,nec 
(cm2/m)
φ e 
espaçamento
as,e 
(cm2/m)
8 c/ 8 6,25
10 c/ 13 6,15
8 c/ 14 3,57
6,3 c/ 8,5 3,71
6,3 c/ 12 2,62
8 c/ 19 2,63
6,3 c/ 13 2,42
8 c/ 20 2,50
6,3 c/ 12 2,62
8 c/ 19 2,63
0,024
1418
Tabela 3 - Dimensionamento das armaduras (momentos em kNcm/m)
L1/L2 
L1/L3
L2/L4 
L3/L4
L2/L3
m'
m'
m'
858
512
1985
1201
717
3,6
6,0
10,1
0,026
0,025
0,024
6,07
3,53
2,02
2,34
2,56
2,106,3 c/ 15
L2 
l = 1,09
mx
my
592 829 8,7 0,024
657 920 7,9 0,024 2,60
L1 
l = 1,82
mx
my
647
186
906
260
8,0
27,8 0,950,023 0,85 (b) 6,3 c/ 33
L3 
l = 2,17
mx 288 403
my 66 92 0,95
17,9
78,5 0,023 0,90 (c) 6,3 c/ 33
0,024 1,28 (a) 6,3 c/ 20 1,58
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12.8 
b) Laje com λ U 2 
direções)duas(nas/mcm85,028,167,0bd67,0a 2minmins2, ==⋅ρ= 
 
c) Armadura de distribuição e armadura secundária para λ > 2 



==ρ≥
/mcm 0,90
/mcm 0,64 1,280,5db,50
a2,0
a
2
2
min
princs,
mins3, 
Nos vínculos L1-L2 e L1-L3, tem-se: 
/mcm21,16,07 2,0a 2mins3, == (φ6,3 c/ 26 cm; ase = 1,21 cm2/m) 
Nos demais vínculos e na direção x da L3: 
/mcm90,0a 2mins3, = (φ6,3 c/ 33 cm; ase = 0,95 cm2/m) 
12.5.2 Diâmetromáximo 
mm 12,5 mm 12,5 mm 8,13
8
110
8
h
maxmax =φ⇒≤===φ 
12.5.3 Espaçamento máximo 
a) Armadura principal para λ > 2 e nas duas direções para λ U 2 
cm20s 
cm 02
cm 22112h2
s maxmax =⇒
 ==≤ 
b) Armadura de distribuição e armadura secundária para λ > 2 
cm33smax = 
 
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12.9 
12.6 FLECHA NA LAJE L2 
Será verificada a flecha na laje L2, na qual deverá ocorrer a maior flecha. 
12.6.1 Verificação se há fissuras 
A verificação da existência de fissuras será feita comparando o maior 
momento positivo, em serviço, para combinação rara ( cm/m kN 657mm ky,rarad, == ), 
com o momento de fissuração mr, dado por: 
t
0ct
r y
I f m α= 
α =1,5 para seção retangular 
23232
ckct kN/cm 0,2565MPa 565,225 3,0 3,0f f ==⋅== 
4
33
0 cm 1109212
11 100
12
h bI =⋅== 
cm 5,5
2
11 
2
h yt === 
 
Resulta: 
cm/m kN 776
5,5
11092 0,2565 ,51
y
I f 
m
t
0ct
r =⋅⋅=α= 
Como md,rara < mr, não há fissuras. 
12.6.2 Flecha imediata 
A flecha imediata pode ser obtida por meio da Tabela 2.2a de PINHEIRO 
(1993), com a expressão adaptada: 
0c
4
x
i I E
p
12
b 
100
 a l⋅⋅α= 
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12.10 
 
444
0
2
ckc
2
x
24-2
2
cm 10 1092,1cm 11092I
kN/cm 2380 MPa 2380025 5600 85,0f5600 85,0E
cm 10 4,6 cm 460
kN/cm 10 65,5kN/m 5,65 3,00 0,34,75 q gp
cm 100b
1,09) 2A, tipo Laje024
⋅==
==⋅=⋅=
⋅==
⋅==⋅+=ψ+=
=
=λ( ,=α
l 
Resulta: 
cm 32,0a
cm 32,0
101092,12380
106,4
10
65,5
12
100
100
02,4
I E
p
12
b 
100
 a
i
4
84
4
0c
4
x
i
=
=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅
α= l
 
12.6.3 Flecha total 
A flecha total é dada pela flecha inicial mais a flecha diferida. Pode ser 
obtida multiplicando-se a inicial pelo coeficiente f1 α+ , com: 
'501f ρ+
ξ∆=α 
Para um tempo infinito (t ≥ 70 meses) e carregamento aplicado em 
t0 = 1 mês, obtém-se: 
1,320,682)t()t( 0 =−=ξ−ξ=ξ∆ (tabela 5 do capítulo anterior) 
0' =ρ (taxa de armadura de compressão) 
Resulta a flecha total: 
cm 74,0a
1,32)(1 32,0)(1 a a
t
fit
=
+=α+=
 
 
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12.11 
12.6.4 Flecha limite 
Flecha limite admitida pela NBR 6118 (2001): 
cm 1,84
250
460
250
x ==l 
Como 
250
a xt
l< , a flecha atende as especificações da citada Norma. 
Fazendo um cálculo análogo para a laje L1, ter-se-ia: tipo 2B, λ =1,82, 
mxk = 6,47 kN.m/m, α = 5,49, lx = 380 cm, ai = 0,204 cm e 
cm 1,52
250
l cm 0,47a xt =<= 
Portanto, com relação às flechas, poderia ser adotada uma espessura menor 
para as lajes. 
12.7 CISALHAMENTO 
Será verificada a resistência sem armadura transversal (estribos), para o 
maior valor da força cortante, indicado na Figura 5. Esse valor refere-se à laje L1, 
kN/m 14,93 ' v x = . 
Deverá ser verificada a condição: 
1)d1,6(com)d1,6()501(f
 d
b
V
v
v ' v
q
3
ckRd1
Rd1
w
Rd1
Rd1
Rd1xd
≥−α−ρ+=τ
τ==
≤
l
 
Para cargas distribuídas e m 19,0
20
80,3
20
 m 0,085d ==<= l , 
tem-se 0,17 q =α . 
 
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12.12 
Considerando-se 19)c/ 8( m/cm 2,63a 2sx φ= : 
%3094,0
100
3094,0
8,5 100
2,63
d b
As
=ρ
=⋅==ρ 
2
Rd1
3
Rd1
kN/cm 0,120
MPa 1,2017,0)085,01,6(),803 
100
0,3094 501(25
=τ
=−+=τ
 
kN/m 102,0 100 ,1200 5,8vRd1 =⋅⋅= 
Portanto: 
kN/m 102,0 v kN/m 20,9 14,93 1,4 ' v Rd1xd =<<=⋅= 
Não há necessidade de estribos. 
12.8 COMPRIMENTO DAS BARRAS SOBRE OS APOIOS 
A armação das lajes encontra-se no Desenho 2A, no final deste capítulo. O 
cálculo dos comprimentos das barras sobre os apoios internos é diferente do relativo 
à laje L4 em balanço. 
12.8.1 Apoios internos 
Podem ser adotadas barras alternadas com comprimentos horizontais dados 
pela expressão: 
d 0,75 20
8
3 a xmax +φ+= l 
Nos vínculos L1-L2 e L1-L3 serão adotadas barras de mesmo comprimento, 
calculado com cm 460xmax =l (laje L2). 
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12.13 
No vínculo L2-L3 considera-se cm 230xmax =l , da laje L3, pois a L2 foi 
admitida simplesmente apoiada nesse vínculo. 
O cálculo dos comprimentos das barras para os apoios internos está 
indicado na Tabela 4 (ver também Desenho 2A). 
(a) valor inteiro mais próximo, múltiplo de 5 cm. 
12.8.2 Laje L4 em balanço 
Sendo l o comprimento da barra no balanço, adota-se o comprimento total 
do trecho horizontal igual a l 2,5 (ver Figura 6 e Desenho 2A). 
cm 270 2)-(110 2,5 2,5a === l 
14,18
6,57
7,09
8,58
8,58
13,66
14,18
1,5
 
Figura 6 – Comprimento total do trecho horizontal 
Vínculo lx max φ d 3/8lx max 20φ 0,75 d a a/3 (a) 2a/3 (a) aadot
L1-L2 
L1-L3 460 1,0 8,5 172,5 20 6,4 199 65 135 200
L2-L3 230 0,63 8,5 86,3 12,6 6,4 105 35 70 105
Tabela 4 - Comprimentos dos trechos horizontais das barras (em centímetros)
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12.14 
12.9 COMPRIMENTO DAS BARRAS POSITIVAS 
O comprimento das barras positivas pode ser calculado conforme indicado 
na Figura 7 e no Desenho 1. 
 
Figura 7 – Comprimento das barras positivas 
 
Nos apoios de extremidade, serão adotadas barras com ganchos de 90º, 
prolongados até a face externa, respeitando-se o cobrimento. 
Nos apoios internos com lajes adjacentes, serão adotadas barras sem 
ganchos, prolongadas de pelo menos 10φ a partir da face do apoio. 
O cálculo dos comprimentos das barras positivas está indicado na Tabela 5, 
na qual: 
x é a direção do menor vão 
y é a direção do maior vão 
φ é o diâmetro da barra 
l0 é o vão livre 
d e e ll ∆∆ são os acréscimos de comprimento à esquerda e à direita, de 
valor c)(t − ou 10φ; para m 10≤φ , pode-se adotar 10 cm no lugar de 10φ 
t é a largura do apoio 
c é o cobrimento da armadura 
de0nech, llll ∆+∆+= 
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12.15 
adoth,l é o valor adotado do trecho horizontal da barra 
gadoth,tot lll ∆+= 
totl é o comprimento total da barra 
gl∆ é o acréscimo de comprimento de um ou de dois ganchos, se houver 
(Tabela 1.7a, PINHEIRO, 1993) 
 
Para a laje L1, na direção y, o comprimento cm 706nech, =l é o valor 
máximo para que seja respeitado o cobrimento, nas duas extremidades da barra. 
Em geral, os valores adotados adoth,l são múltiplos de cm 5 ou de cm 10 .0 
Os comprimentos adotados estão indicados no Desenho 2A. 
12.10 ARMADURAS DE CANTO 
Na laje L1, nos dois cantos esquerdos, e na laje L2, canto superior direito, 
não há armadura negativa. Nessas posições serão colocadas armaduras superiores 
de canto, conforme o detalhe 2 indicado no Desenho 2A, válido para os três cantos. 
Para as lajes L1 e L2, os maiores valores de xl e da armadura positiva são: 
m/cm 60,2a
cm 460
2
s
x
=
=l
 
Laje Direção φ l0 ∆ le ∆ ld lh,nec lh,adot ∆ lg l tot
x 0,8 360 18 8 386 390 8,0 398
y 0,63 670 18 18 706 705 6+6 717
x 0,63 440 6,3 18 464 470 6,0 476
y 0,8 480 8 18 506 510 8,0 518
x 0,63 210 18 6,3 234 240 6,0 246
y 0,63 480 6,3 6,3 493 500 - 500
Tabela 5 - Comprimento das barras positivas (em centímetros)
L1
L2
L3
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12.16 
Então, o comprimento do trecho horizontal das barras de canto, sua área por 
unidade de largura e as quantidades serão: 
/m)cm 1,31a 24;c/ 6,3 (Adotado /mcm 301
2
602
2
a
a
cm 1101892220
5
4602-t
5
2
se
2s
sc
x
h
====
=+=−+=+=
φ,,
l
l
 
O detalhe das armaduras de canto encontra-se no Desenho 2B. 
12.11 NÚMERO DAS BARRAS 
Há várias maneiras de numerar as barras. Como as primeiras a serem 
posicionadas nas formas são as barras positivas, recomenda-se começar por elas e, 
em seguida, numerar as negativas. 
12.11.1 Numeração das barras positivas 
O procedimento ora sugerido consiste em numerar primeiro as barras 
positivas da laje L1, considerando N1 a de maior área por unidade de largura, N2 a 
da outra direção, N3 a de maior área por unidade de largura da L2, e assim 
sucessivamente. 
Com essa numeração, as barras relativas aos maiores momentos positivos 
têm número ímpar e devem ser colocadas por baixo das de números pares. Dessa 
maneira, as barras que resistem aos maiores esforços terão o maior braço de 
alavanca, sendo portanto mais eficientes. 
Para garantir o correto posicionamento das barras, deve ser colocado de 
forma clara, nos desenhos de armação das lajes: 
BARRAS POSITIVAS DE NÚMERO ÍMPAR (N1, N3 ETC.) DEVEM SER 
COLOCADAS POR BAIXO DAS DE NÚMERO PAR (N2, N4 ETC.). 
A numeração das barras inferiores está indicada no Desenho 2A. Essas 
barras são as seguintes: N1, N2, ...N6. 
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12.17 
12.11.2 Numeração das barras negativas 
Terminada a numeração das barras positivas, inicia-se a numeração das 
barras negativas, com os números subseqüentes (N7, N8 etc.). Elas podem ser 
numeradas da esquerda para a direita, de cima para baixo, com o desenho na 
posição normal, e em seguida, procedendo da mesma forma, com o desenho 
sofrendo uma rotação de 90º no sentido horário, o que equivale ao observador 
posicionado à direita do desenho. Obtém-se dessa maneira as barras N7, N8, N9 e 
N10, indicadas no Desenho 2A já citado. 
Na seqüência, são numeradas as barras de distribuição da armadura 
negativa e outras barras eventualmente necessárias. 
12.11.3 Barras de distribuição 
As barras N10 já citadas são de distribuição, nos vínculos L2-L4 e L3-L4. 
Outras barras de distribuição relativas às armaduras negativas são: N11, nos 
vínculos L1-L2 e L1-L3, e N12, no vínculo L2-L3 (ver Desenho 2A). 
12.11.4 Barras de canto 
As barras de canto serão as N13 (Desenho 2B). 
12.12 QUANTIDADE DE BARRAS 
A quantidade in de barras iN pode ser obtida pela equação: 
i
j
i s
b
n = 
bj é a largura livre, na direção perpendicular à das barras 
si é o espaçamento das barras Ni 
Poucas vezes ni vai resultar um número inteiro. Mesmo nesses casos, e nos 
demais, deve-se arredondar ni para o número inteiro imediatamente inferior ao valor 
obtido, conforme está indicado na Tabela 6. Somente para as barras de canto, 
recomenda-se adotar o número inteiro mais próximo (barra N13 na Tabela 6). 
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12.18 
 
12.13 DESENHO DE ARMAÇÃO 
A armação das lajes encontra-se nos desenhos 2A e 2B, nos quais estão 
também a lista das barras, com diâmetros, quantidades e comprimentos, e o resumo 
do consumo de aço, com comprimento total e massa total por bitola e a soma 
dessas massas. 
Barra bj si ni,calc ni,adot
N1 670 19 35,3 35
N2 360 33 10,9 10
N3 440 19 23,2 23
N4 480 13 36,9 36
N5 480 20 24,0 23
N6 210 33 6,4 6
N7 670 13 51,5 51
N8 470 14 33,6 33
N9 480 15 32,0 31
N10 (e) 150 33 4,5 4
N10 (d) 100 33 3,0 2
N11 130 26 5,0 4
N12 70 33 2,1 2
N13 92 24 3,8 4
Tabela 6 - Quantidade das barras (bj e si em cm)