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Capítulo 4 SÉRIES DE FOURIER 4.1 Funções Periódicas Definição 4.1. Uma função f : R −→ R é periódica de período T ∈ R se para todo x ∈ R temos que: f(x) = f(x+ T ). Toda função é periódica de período zero; logo, nestas notas, somente consideraremos T 6= 0. As funções constantes são periódicas de qualquer período; logo, somente consi- deraremos funções não constantes. Se T é o período de f , então nT para todo n ∈ Z−{0} é período de f . De fato, se n > 0 para n = 2 temos: f(x+ 2T ) = f((x+ T ) + T ) = f(x+ T ) = f(x). Suponha que a propiedade é válida para n− 1, então: f(x+ nT ) = f((x+ T ) + (n− 1)T ) = f(x+ T ) = f(x). Analogamente para n < 0. Logo, nestas notas, somente consideraremos T > 0. Definição 4.2. O menor T 6= 0, se existir, tal que f(x + T ) = f(x), para todo x ∈ R é dito período fundamental de f . As funções constantes não pussuem período fundamental. É possível provar que as fun- ções periódicas e contínuas não constantes possuem período fundamental. Nestas notas consideraremos somente funções com períodos fundamentais. Denotaremos por f(x) = f(x + T ) toda função periódica de período fundamental T . O gráfico de uma função periódica de período fundamental T pode ser obtido a partir do gráfico de y = f(x) no intervalo [a, a+ T ], seguido de translações. 103 104 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER Figura 4.1: Gráfico de uma função periódica. Exemplo 4.1. [1] As funções f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x) são periódicas de período fundamental 2pi. [2] As funções f(x) = tg(x) e g(x) = cotg(x) são periódicas de período fundamental pi. [3] f(x) = x, x ∈ [−1, 1) tal que f(x) = f(x+ 2). -4 -2 2 4 -1 1 Figura 4.2: Gráfico de f(x) = x, periódica. [4] Seja: f(x) = { 1 se 0 ≤ x ≤ 1 −1 se − 1 ≤ x < 0. tal que f(x) = f(x+ 2). 4.1. FUNÇÕES PERIÓDICAS 105 -3 -2 -1 1 2 3 -1 1 Figura 4.3: Gráfico do exemplo [4].. [5] Seja f(x) = |sen(x)|, x ∈ [0, pi] tal que f(x) = f(x+ pi). -6 -4 -2 0 2 4 6 1 Figura 4.4: Gráfico de f(x) = |sen(x)|, periódica. Proposição 4.1. Se f e g são periódicas de período T , então: 1. αf + β g é periódica de período T . 2. f g é periódica de período T . 3. Se f é integrável em qualquer intervalo [a, a+ T ]: ∫ a+T a f(x) dx = ∫ T a f(x) dx. A prova das propriedades seguem diretamente das definições. Veja [VC1]. A soma de funções periódicas de diferentes períodos pode ser ou não periódica de algum período. Exemplo 4.2. [1] Observe que a função f(x) = sen(x) + cos( √ 3x) não é períodica, por outro lado, a função g(x) = cos(x)+cos(x/2) é períodica de período 4pi. Verifique! Gráficos de f (azul) e g (verde) 106 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER Figura 4.5: Gráficos de f e g, respectivamente. O seguinte exemplo é fundamental nos próximos paragrafos Denotemos por: λn = npi l , Φn(x) = sen(λn x) e Ψn(x) = cos(λn x); n ∈ N, l ∈ R (4.1) Determinemos o período fundamental de Φn e Ψn. 1. Devemos terΨn(x+ T ) = Ψn(x) para todo x ∈ R, isto é: cos(λn x) = cos(λn (x+ T )) = cos(λn x) cos(λn T )− sen(λn x)) sen(λn T ). Logo: { cos(λn T ) = 1 sen(λn T ) = 0, donde T = 2 l n . 2. Suponha que T1 é outro período de Ψn, teremos: npi T1 l = 2 k pi, então T1 = k T, logo, T = 2 l é o período fundamental. 3. Analogamente para Φn. 4.2 Álgebra Linear Seja A ⊂ R e denotemos por C(A) o conjunto das funções f : A −→ R integráveis sobre A. O conjunto C(A) possui uma estrutura natural de R-espaço vetorial com as seguintes operações: dada f, g ∈ C(A) e λ ∈ R, então:( f + g ) (x) = f(x) + g(x)( λ f ) (x) = λ f(x), 4.2. ÁLGEBRA LINEAR 107 para todo x ∈ A. Lembramos que um produto interno definido num R-espaço vetorial V é uma função: <,>: V× V −→ R, que satisfaz às seguintes propriedades: i) < u, u >≥ 0 e < u, u >= 0 se, e somente se u = 0, para todo u ∈ V. ii) < u, v >=< v, u >, para todo u, v ∈ V. iii) < αu+ λ v,w >= α < u,w > +λ < v,w >, para todo u, v ∈ V e λ, α ∈ R. Os vetores u, v ∈ V são ditos ortogonais se < u, v >= 0. Seja W ⊂ V, W é dito ortogonal se < u, v >= 0, para todo u, v ∈ W. Dado ( V, <,> ) um R-espaço vetorial com produto interno, definimos a norma do vetor u ∈ V como: ‖u‖ = √< u, u >. Seja [a, b] ⊂ R, então em C([a, b]) definimos o seguinte produto interno: < f, g >= ∫ b a f(x) g(x) dx, para todo f, g ∈ C([a, b]). A notação: < f, g >= f · g. A prova de que é um produto interno segue diretamente das definições. Se as funções não forem contínuas, < , > não é um produto interno. De fato, se f não é contínua, < f, f >= ‖f‖2 = 0 não implica em f = 0. Proposição 4.2. O conjunto: W = {1, Φn, Ψn /n ∈ N} é ortogonal em C ( [−l, l]), onde Φn e Ψn são dados por (4.1). De fato: ‖1‖2 = 1 · 1 = ∫ l −l dx = 2 l, e: 1 ·Ψn = ∫ l −l cos(λn x) dx = 0, n 6= 0. Analogamente 1 · Φn = 0, para todo n ∈ N. Por outro lado: Ψn · Φm = ∫ l −l cos(λn x) sen(λn x) dx; 108 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER fazendo u = pi x l , então du = pi l dx; logo: Ψn · Φm = l pi ∫ pi −pi cos(nu) sen(mu) du = l 2pi ∫ pi −pi [ sen((n+m)u) + sen((n−m)u)] du = 0, se n 6= m, para todo n ∈ N. Ψn ·Ψm = ∫ l −l cos(λn x) cos(λn x) dx; fazendo u = pi x l , então du = pi l dx; logo: Ψn ·Ψm = l pi ∫ pi −pi cos(nu) cos(mu) du = l 2pi ∫ pi −pi [ cos((n+m)u) + cos((n−m)u)] du = 0, se n 6= m. Se n = m: Ψn ·Ψn = l pi ∫ pi −pi cos2(nu) du = l 2pi ∫ pi −pi [ 1− cos(nu)] du = l. Analogamente Φn · Φn = l, para todo n ∈ N. Corolário 4.1. Φn · Φm = { 0 se n 6= m l se n = m. Ψn ·Ψm = 0 se n 6= m l se n = m ∈ N 2 l se n = m = 0. Ψn · Φm = 0, ∀n, m ∈ N Exemplo 4.3. [1] Os polinômios de Legendre são ortogonais, isto é: ∫ 1 −1 Pn(x)Pm(x) dx = 0 se n 6= m 2 2n + 1 se n = m. [2] Analogamente, os polinômios de Hermite são ortogonais. 4.3. SÉRIES DE FOURIER 109 Corolário 4.2. Os conjuntos: W1 = {1, Ψn /n ∈ N} e W2 = {Φn /n ∈ N} s´ão ortogonais em C ( [0, l] ) , onde Φn e Ψn são dados por (4.1). 4.3 Séries de Fourier Suponha que, inicialmente, temos a seguinte expressão formal: f(x) = a0 2 + ∞∑ n=1 [ an cos(λn x) + bn sen(λn x) ] , (4.2) onde an, bn ∈ R e λn = npi l . Gostaríamos de poder responder às seguintes questões relativas à (4.2). 1. Dada a função f , quando é possível escrevê-la como (4.2)? 2. Que relação existe entre an, bn e f? 3. Em que sentido a série de funções dada em (4.2) converge? Supondo que (4.2) é valida, responderemos à segunda questão. Para isto, utilizaremos formalmente o produto interno definido na seção anterior. Denotemos (4.2) por: f = a0 2 Ψ0 + ∞∑ n=1 [ anΨn + bnΦn ] . onde Φn e Ψn são dados por (4.1). Utilizando a ortogonalidade: f ·Ψ0 = a0 2 Ψ0 ·Ψ0 + ∞∑ n=1 [ anΨn ·Ψ0 + bnΦn ·Ψ0 ] = a0 2 Ψ0 ·Ψ0 = a0 l. Logo, a0 = 1 l [ f ·Ψ0 ] = 1 l [ f · 1], então: a0 = 1 l ∫ l −l f(x) dx. Fixemosm ∈ N; então: f ·Ψm = a0 2 1 ·Ψm + ∞∑ n=1 [ anΨn ·Ψm + bnΦn ·Ψm ] . Pela ortogonalidade, temos: f ·Ψm = amΨm ·Ψm = am l 110 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER para todom ∈ N; então: an = 1 l ∫ l −l f(x)Ψn(x) dx = 1 l ∫ l −l f(x) cos(λn x), dx n = 1, 2, . . . Analogamente, pela ortogonalidade, temos: f · Φm = bmΦm · Φm = bm l para todom ∈ N; então: bn = 1 l ∫ l −l f(x)Φn(x) dx = 1 l ∫ l −l f(x) sen(λn x) dx, n = 1, 2, . . . Se f pode ser escrita como em (4.2), então: 1. f deve ser periódica de período 2 l. 2. As constantes an e bn tem a propriedade: |an| = ∣∣∣∣1l ∫ l −l f(x)Ψn(x) dx ∣∣∣∣ ≤ 1l ∫ l −l |f(x)| |Ψn(x)| dx ≤ 1 l ∫ l −l |f(x)| dx |bn| = ∣∣∣∣1l∫ l −l f(x)Φn(x) dx ∣∣∣∣ ≤ 1l ∫ l −l |f(x)| |Φn(x)| dx ≤ 1 l ∫ l −l |f(x)| dx. Logo: |an| ≤ 1 l ∫ l −l |f(x)| dx e |bn| ≤ 1 l ∫ l −l |f(x)| dx. Isto é, se f é absolutamente integrável em [−l, l], então garantiremos a existência de an e bn. Algumas observações básicas sobre integrabilidade de funções reais 1. Se f for integrável e limitada, então f é absolutamente integrável. A recíproca é falsa, por exemplo, seja: f(x) = { 1 se x ∈ Q −1 se x /∈ Q. f não é integrável em [0, 1], mas |f(x)| = 1, para todo x ∈ [0, 1] e é integrável em [0, 1]. 2. Se f não é limitada, a integrabilidade de f não implica em que f seja absolutamente integrável. 3. Logo, existem funções integráveis que não são absolutamente integráveis e funções não integráveis que são absolutamente integráveis. 4. Se f e |f | são integráveis, diremos que f está nas condições de Fourier. 5. A maioria das funções utilizadas nas aplicações satisfazem à condição de Fourier. Denotemos por Cper o conjunto das funções periódicas de período fundamental 2 l. 4.3. SÉRIES DE FOURIER 111 Definição 4.3. Seja f ∈ Cper satisfazendo às condições de Fourier. A série de Fourier de f é denotada e definida por: S[f ] = a0 2 + ∞∑ n=1 [ an cos( npi x l ) + bn sen( npi x l ) ] , onde: a0 = 1 l ∫ l −l f(x) dx, an = 1 l ∫ l −l f(x) cos( npi x l ) dx, n = 1, 2, . . . bn = 1 l ∫ l −l f(x) sen( npi x l ) dx, n = 1, 2, . . . Os coeficientes an e bn são ditos de Fourier da série. A seguinte propriedade simplifica o cálculo de S[f ] quando f possui alguns tipos de simetria. Para a prova veja [VC1]. Seja f integrável em [−l, l], se f é par, então: ∫ l −l f(x) dx = 2 ∫ l 0 f(x) dx. Se f é ímpar, então: ∫ l −l f(x) dx = 0. Corolário 4.3. Seja f ∈ Cper, nas condições de Fourier e λn = npi l .: 1. Se f é par, isto é, simétrica em relação ao eixo dos y, então bn = 0 para todo n ∈ N, logo: S[f ] = a0 2 + ∞∑ n=1 an cos(λn x), onde an = 2 l ∫ l 0 f(x) cos(λn x) dx, n = 0, 1, 2, . . . . 2. Se f é ímpar, isto é, simétrica em relação à origem, então an = 0 para todo n ≥ 0, logo: S[f ] = ∞∑ n=1 bn sen(λn x), onde bn = 2 l ∫ l 0 f(x) sen (λn x) dx, n = 1, 2, . . . 112 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER Exemplo 4.4. [1] Ache S[f ] se f(x) = |x| x ∈ [−l, l], e é tal que f(x) = f(x+ 2 l). Figura 4.6: Gráfico de f(x) = |x|, periódica. f está nas condições de Fourier e é par; logo bn = 0, para todo n = 1, 2, . . . e: a0 = 2 l ∫ l 0 x dx = l e an = 2 l ∫ l 0 x cos(λn x) dx = 2 l n2 pi2 [ (1)n − 1]. Logo a2n = 0 e a2n−1 = − 4 l pi2 (2n − 1)2 ; então: S[f ] = l 2 − ∞∑ n=1 4 l pi2 (2n − 1)2 cos( (2n − 1)pi x l ). [2] Ache S[f ] se f(x) = x, x ∈ [−1, 1], e é tal que f(x) = f(x+ 2). -4 -2 2 4 -1 1 Figura 4.7: Gráfico de f(x) = x, periódica. f está nas condições de Fourier; 2 l = 2, então l = 1 e f é ímpar; logo an = 0, para todo n = 0, 1, 2, . . . e: bn = 2 ∫ 1 0 x sen ( npi x ) dx = 2 (−1)n+1 npi . 4.3. SÉRIES DE FOURIER 113 Logo: S[f ] = ∞∑ n=1 2 (−1)n+1 npi sen(npi x). Sejam as seguintes somas parciais de S[f ] S1(x) = 2 pi sen ( pi x ) S4(x) = 2 pi sen ( pi x )− 1 pi sen ( 2pi x ) + 2 3pi sen ( 3pi x )− 1 2pi sen ( 4pi x ) . Observe o comportamento de f , S1 e S4 nos respectivos gráficos: -1 1 -1 1 Figura 4.8: Gráficos de f(x) = x (azul), S2 (verde) e S4 (vermelho). [3] Ache S[f ] se: f(x) = { 1 se 0 ≤ x ≤ pi 0 se − pi ≤ x < 0, e é tal que f(x) = f(x+ 2pi). -3 -2 -1 1 2 3 1 Figura 4.9: Gráfico de f do exemplo [3]. 114 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER Se 2 l = 2pi, então l = pi; logo: a0 = 1 pi ∫ pi −pi f(x) dx = 1 pi ∫ pi 0 dx = 1 e an = 1 pi ∫ pi −pi f(x) cos(nx) dx = 1 pi ∫ pi 0 cos(nx) dx = 0 bn = 1 pi ∫ pi −pi f(x) sen(nx) dx = 1 pi ∫ pi 0 sen(nx) dx = 1 npi [ 1− (1)n]. Logo b2n = 0 e b2n−1 = 2 pi (2n − 1) ; então: S[f ] = 1 2 + ∞∑ n=1 2 pi (2n − 1) sen((2n − 1)x). -1 1 1 Figura 4.10: Gráficos de S5 e S50. [4] Ache S[f ] se f(x) = { 0 se − pi ≤ x < 0 x se 0 ≤ x ≤ pi, e é tal que f(x) = f(x+ 2pi). -5 5 1 2 3 4 5 Figura 4.11: Gráfico de f do exemplo [4]. 4.3. SÉRIES DE FOURIER 115 2 l = 2pi, então l = pi; f não é par nem ímpar: a0 = 1 pi ∫ pi −pi f(x) dx = 1 pi ∫ pi 0 x dx = pi 2 an = 1 pi ∫ pi −pi f(x) cos(nx) dx = 1 pi ∫ pi 0 x cos(nx) dx = (−1)n − 1 n2 pi bn = 1 pi ∫ pi −pi f(x) sen(nx) dx = 1 pi ∫ pi 0 x sen(nx) dx = (−1)n+1 n . Logo, a2n = 0 e a2n−1 = − 2 pi (2n− 1)2 : S[f ] = pi 4 − ∞∑ n=1 [ 2 pi (2n − 1)2 cos ( (2n − 1)x) − (−1)n+1 n sen ( nx )] . Observe o comportamento de f e S4(x): -p p p Figura 4.12: Gráfico de f (vermelho) e S4 (azul). [5] Ache S[f ] se f(x) = |sen(pi x)|, x ∈ [−1, 1] e é tal que f(x) = f(x+ 2). -2 -1 0 1 2 1 Figura 4.13: Gráfico de f do exemplo [5]. 2 l = 2, então l = 1; f é par, logo, bn = 0 para todo n = 1, 2 . . ., l = 1: a0 = 2 ∫ 1 0 sen ( pi x ) dx = 4 pi 116 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER an = 2 ∫ 1 0 sen ( pi x ) cos(npi x) dx = ∫ 1 0 [ sen ( (n+ 1)pi x ) + sen ( (n− 1)pi x)] dx = −2 ((−1) n + 1) (n2 − 1)pi , se n 6= 1, calculando diretamente, temos: a1 = 2 ∫ 1 0 sen ( pi x ) cos(pi x) dx = 0. Por outro lado a2n+1 = 0 e a2n = − 4 pi (1− 4n2) . Logo: S[f ] = 2 pi − ∞∑ n=1 4 pi (1− 4n2)cos ( 2npi x ) . Observe o comportamento de f e S2(x). Compare como o comportamento nos outros exemplos: 1 Figura 4.14: Gráfico de f (verde) e S2 (azul). [6] Ache S[f ] se f(x) = x2 + 2x, x ∈ [−1, 1] e é tal que f(x) = f(x+ 2). -4 -2 2 4 3 Figura 4.15: Gráfico de f do exemplo [5]. 4.4. LINEARIDADE DOS COEFICIENTES DE FOURIER 117 2 l = 2, então l = 1; f não é par ou ímpar, logo: a0 = ∫ 1 −1 sen ( pi x ) dx = 2 3 . an = ∫ 1 −1 [ (x2 + 2x) cos(npi x) ] dx = 4 (−1)n pi2 n2 bn = ∫ 1 −1 [ (x2 + 2x) sen(npi x) ] dx = 4 (−1)n+1 npi . Logo: S[f ] = 1 3 + 4 (−1)n pi n ∞∑ n=1 [cos(npi x) pi n − sen(npi x)]. 4.4 Linearidade dos Coeficientes de Fourier Sabemos que os coeficientes de Fourier de S[f ] dependem somente de f . Sendo calcu- lados através de uma integral, resulta que estes coeficientes dependem linearmente da função; se denotamos por an(f) e bn(f) os coeficientes de S[f ], então: an ( α f + β g ) = αan(f) + β an(g), n = 0, 1, . . . bn ( α f + β g ) = α bn(f) + β bn(g), n = 1, 2, . . . para toda f e g nas condições de Fourier e todo α, β ∈ R. Exemplo 4.5. [1] Calcule S[h], onde h(x) = l 2 − |x|, x ∈ [−l, l] é tal que h(x+ 2 l) = h(x). Seja f(x) = |x|, x ∈ [−l, l] é tal que f(x+ 2 l) = f(x); sabemos que sua série de Fourier é: S[f ] = l 2 − ∞∑ n=1 4 l pi2 (2n − 1)2 cos(λ2n−1 x). Utilizando a linearidade dos coeficientes de Fourier: a0(f) = l, an(f) = − 4 l (2n− 1)2 pi2 e bn(f) = 0 para todo n ∈ N; então: a0(h) = a0 [ l 2 − |x| ] = l 2 a0(1)− a0(f) = l − l = 0 an(h) = an [ l 2 − |x| ] = l 2 an(1) − an(f) = − an(f), n = 0, 1, . . . bn(h) = bn(1) − bn(f) = 0, n = 1, 2, . . . 118 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER Note que h é par; logo: S[h] = ∞∑ n=1 4 l pi2 (2n − 1)2 cos(λ2n−1 x). -1 1 2-2 Figura 4.16: Gráfico de h para l = 1. [2] Calcule S[h], onde h(x) = 2x2 − x, x ∈ [−l,l] e tal que h(x+ 2) = h(x). Pela linearidade dos coeficientes de Fourier, devemos somente calcular a série de Fourier de f(x) = x2, x ∈ [−l, l] e tal que f(x+ 2) = f(x); l = 1 e f é par: a0 = 2 ∫ 1 0 x2 dx = 2 3 bn = 0, n = 1, 2, . . . an = 2 ∫ 1 0 x2 cos(npi x) dx = 4 (−1)n n2 pi2 n = 1, 2, . . . Por outro lado, seja g(x) = x, x ∈ [−l, l] e tal que g(x + 2) = g(x); sabemos que g é ímpar e sua série de Fourier é: S[g] = ∞∑ n=1 2 (−1)n+1 npi sen ( npi x ) . Então: a0(h) = 2 a0(f)− a0(g) = 2 a0(f) = 4 3 an(h) = 2 an(f)− an(g) = 2 an(f) = 8 (−1) n n2 pi2 , n = 1, 2, . . . bn(h) = 2 bn(f)− bn(g) = −bn(g) = −2 (−1) n+1 npi = 2 (−1)n npi , n = 1, 2, . . . Logo: S[h] = 2 3 + ∞∑ n=1 2 (−1)n+1 npi [ 4 npi cos(npi x) + sen(npi x) ] . 4.5. EXTENSÃO PAR E ÍMPAR 119 -1 1 3-3 1 2 Figura 4.17: Gráfico de h. 4.5 Extensão Par e Ímpar Considere o seguinte problema: Dada uma função: f : [0, l] −→ R, é possível definir S[f ]? Para responder a esta questão, lembramos primeiramente que os conjuntos W1 = {1, Ψn /n ∈ N} e W2 = {Φn /n ∈ N} são ortogonais em C ( [0, l] ) , onde Φn e Ψn são dados por (4.1). Definição 4.4. Seja f : [0, l] −→ R: 1. A extensão par de f é denotada e definida por: fp(x) = { f(x) se 0 ≤ x ≤ l f(−x) se − l ≤ x < 0. fp(−x) = fp(x), isto é, fp é par. Figura 4.18: Gráficos de f (azul) e fp. 120 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER 2. A extensão ímpar de f é denotada e definida por: fo(x) = { f(x) se 0 ≤ x ≤ l −f(−x) se − l ≤ x < 0. fo(−x) = −fo(x), isto é, fo é ímpar. Figura 4.19: Gráficos de f (azul) e fo. Exemplo 4.6. Considere a função: f(x) = x se 0 ≤ x < pi 2 pi − x se pi 2 ≤ x < pi. Então: fp(x) = −x se − pi 2 ≤ x < 0 pi + x se − pi ≤ x < −pi 2 x se 0 ≤ x < pi 2 pi − x se pi 2 ≤ x < pi. pp 2 p 2 Figura 4.20: Gráficos de f (azul) e fp. 4.5. EXTENSÃO PAR E ÍMPAR 121 fo(x) = x se − pi 2 ≤ x < pi 2 −pi − x se − pi ≤ x < −pi 2 pi − x se pi 2 ≤ x < pi. pp 2 p 2 Figura 4.21: Gráficos de f (azul) e fo. As funções fp, fo : [−l, l] −→ R são tais que fp(x) = fo(x) = f(x) se x ∈ [0, l]. Se f está nas condições de Fourier, então fp e f0 satisfazem às condições de Fourier. Se f é definida num intervalo I do tipo [a, b) ou (a, b], então podemos estender f para todo R de forma periódica de período T = b − a, fazendo f(x + k T ) = f(x) para todo x ∈ I e k ∈ Z. Por exemplo: Exemplo 4.7. A função f(x) = sen(x), −pi 2 ≤ x ≤ pi 2 pode ser estendida de forma periódica de período pi para todo x ∈ R e seu gráfico é: 2 pp-p-2 p -1 1 Figura 4.22: Gráficos de f (vermelho) e sua extensão. Considerando fp e fo periódicas de período 2 l e satisfazendo às condições de Fourier, podemos definir as respectivas séries de Fourier. 122 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER 4.6 Séries dos Co-senos e dos Senos 4.6.1 Séries dos Co-senos Seja f : [0, l] −→ R e fp sua extensão par, periódica de período 2 l e nas condições de Fourier; então: S[fp] = a0 2 + ∞∑ n=1 an cos(λn x), onde: an = 1 l ∫ l −l fp(x) cos(λn x) dx = 2 l ∫ l 0 f(x) cos(λn x) dx, n = 1, 2, . . . tal que λn = npi l . Na última integral utilizamos o fato de que fp = f em [0, l]. 4.6.2 Séries dos Senos Seja f : [0, l] −→ R e fo sua extensão ímpar, periódica de período 2 l e nas condições de Fourier; então: S[fo] = ∞∑ n=1 an sen(λn x), onde: bn = 1 l ∫ l −l f0(x) sen(λn x) dx = 2 l ∫ l 0 f(x) sen(λn x)) dx, n = 1, 2, . . . tal que λn = npi l . Na última integral utilizamos o fato de que f0 = f em [0, l]. Definição 4.5. S[fp] é dita a série dos co-senos de f ; analogamente, S[fo] é dita a série dos senos de f . Como, f = fp = fo em [0, l], definimos a série de Fourier de f como: S[f ] = S[fp], ou S[f ] = S[fo]. Exemplo 4.8. [1] Seja f(x) = x tal que x ∈ [0, 1]. Ache S[f ]. Determinemos fp: fp(x) = { x se 0 ≤ x ≤ 1 −x se − 1 ≤ x < 0, isto é, fp(x) = |x| onde x ∈ [−1, 1]; fazendo fp periódica de período 2: 4.6. SÉRIES DOS CO-SENOS E DOS SENOS 123 Figura 4.23: Gráfico de fp. l = 1, então a0 = 1 e: an = 2 ∫ 1 0 x cos ( npi x) dx = 2 ( (−1)n − 1) n2 pi2 . Logo a2n = 0 e a2n−1 = − 4 pi2 (2n − 1)2 e a série dos co-senos de f é: S[fp] = 1 2 − ∞∑ n=1 4 pi2 (2n − 1)2 cos ( (2n− 1)pi x). Determinemos f0: f0(x) = { x se 0 ≤ x ≤ 1 x se − 1 ≤ x < 0, isto é, f0(x) = x onde x ∈ [−1, 1]; fazendo fo periódica de período 2: -4 -2 2 4 -1 1 Figura 4.24: Gráfico de fo. l = 1, então: bn = 2 ∫ 1 0 x sen ( npi x) dx = 2 (−1)n+1 npi . 124 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER Logo, a série dos senos de f é: S[fo] = ∞∑ n=1 2 (−1)n+1 npi sen ( npi x). Observe que S[f0] não é igual a f no ponto x = 1. [2] Seja f(x) = x2 tal que x ∈ [0, pi]. Ache S[f ]. Determinemos fp: fp(x) = { x2 se 0 ≤ x ≤ pi (−x)2 se − pi ≤ x < 0, isto é, fp(x) = x2 onde x ∈ [−pi, pi]; fazendo fp periódica de período 2 pi: Figura 4.25: Gráfico de fp. l = pi, então a0 = 2pi2 3 e: an 2 pi ∫ pi 0 x2 cos ( nx) dx = 4 (−1)n+1 n2 . Logo, a série dos co-senos de f é: S[fp] = pi2 3 − ∞∑ n=1 4 (−1)n+1 n2 cos(nx). Determinemos f0: f0(x) = { x2 se 0 ≤ x ≤ pi −x2 se − pi ≤ x < 0, onde x ∈ [−pi, pi]; fazendo fo periódica de período 2 pi: 4.7. CONTINUIDADE E DIFERENCIABILIDADE POR PARTES 125 Figura 4.26: Gráfico de fo. l = pi, então: bn = 2 pi ∫ pi 0 x2 sen ( x) dx = 2 [−2 + (−1)n+1 (2− n2 pi2)] n3 pi . Logo, a série dos senos de f é: S[fo] = ∞∑ n=1 2 [−2 + (−1)n+1 (2− n2 pi2)] n3 pi sen(nx). 4.7 Continuidade e Diferenciabilidade por Partes 4.7.1 Continuidade por Partes Definição 4.6. O salto de uma função f no ponto x0 é denotado e definido por: sal(f)(x0) = f(x + 0 )− f(x− 0 ), onde f(x+ 0 ) = lim x−→x+ 0 f(x) e f(x− 0 ) = lim x−→x− 0 f(x). sal(f)(x ) x0 0 Figura 4.27: Salto de uma função. Se f é contínua em x0, então sal(f)(x0) = 0. 126 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER Definição 4.7. Uma função f é contínua por partes se: 1. f tem um número finito de descontinuidades em qualque intervalo limitado e 2. sal(f)(x) é finito para todo x ∈ R. Se f é contínua, então f é contínua por partes. Se f e g são contínuas por partes, então f + g e f g são contínuas por partes. Se f é contínua por partes em [−l, l] e é tal que f(x+ 2 l) = f(x), então f é contínua por partes em R. As funções contínuas por partes em [a, b] são limitadas e integráveis em [a, b]. Logo, satisfazem à condição de Fourier. Exemplo 4.9. [1] Considere a função f(x) = sign(x), o sinal de x: -3 -2 -1 1 2 3 -1 1 Figura 4.28: Gráfico de f(x) = sign(x) f(x) = sign(x) é contínua por partes, pois só tem uma descontinuidade em x0 = 0 e sal(f)(0) = 2. [2] A função f(x) = 1 x , x ∈ R− {0} não é contínua por partes, pois sal(f)(0) não existe. Figura 4.29: Gráfico de f(x) = 1 x 4.8. CONVERGÊNCIAS 127 4.7.2 Diferenciabilidade por Partes Definição 4.8. Uma função f é diferenciável por partes se: 1. f é contínua por partes e 2. f ′ é contínua por partes. Exemplo 4.10. [1] A função f(x) = |x| é diferenciável por partes em x0 = 0. Pois: f ′(x) = { 1 se 0 < x −1 se 0 > x, é contínua por partes. [2] A função f(x) = 3 √ x2 , |x| ≤ 1 é contínua e não é diferenciável por partes em x0 = 0. De fato: f ′(x) = 2 3 3 √ x , se x 6= 0. Logo, f ′(0+) e f ′(0−) não existem. Figura 4.30: Gráfico de f(x) = x2/3 f ′ não está necessariamente definida em todos os pontos;por exemplo, f ′ não pode existir onde f seja descontínua, mas f ′ também pode não existir ainda nos pontos onde f é contínua. Veja o exemplo anterior. 4.8 Convergências 4.8.1 Convergência Pontual Teorema 4.4. (Dirichlet) Seja f ∈ Cper diferenciável por partes; então, para cada x: S[f ](x) = f(x+) + f(x−) 2 . 128 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER Corolário 4.5. Seja f ∈ Cper diferenciável por partes; então, para cada x onde f for contínua: S[f ](x) = f(x). Exemplo 4.11. [1] Seja: f(x) = { 1 se 0 ≤ x ≤ pi 0 se −pi ≤ x < 0, tal que f(x) = f(x+ 2): (a) Esboce o gráfico da série de Fourier de f . (b) Utilize S[f ] para determina a soma: ∞∑ n=1 (−1)n+1 2n − 1 1 Figura 4.31: Gráfico de f(x) (a) Como f é diferenciável por partes, pelo teorema de Dirichlet S[f ](x) = f(x) se x 6= npi e n ∈ Z. Por outro lado, para todo x0 = npi tal que n ∈ Z, sal(f)(x0) = 1 2 . Logo, o gráfico de S[f ] é: 1 Figura 4.32: Gráfico de S[f ] 4.8. CONVERGÊNCIAS 129 (b) Determinemos S[f ]: a0 = 1 an = 1 pi ∫ pi 0 cos(nx) dx = 0 bn = 1 pi ∫ pi 0 sen(nx) dx = ( 1− (−1)n) npi . Logo, b2n = 0 e b2n−1 = 2 (2n− 1)pi e: S[f ] = 1 2 + ∞∑ n=1 2 (2n− 1)pi sen ( (2n − 1)pi x). f é diferenciável por partes e contínua em x0 = pi 2 ; então, aplicando o teorema, temos: S[f ](x0) = f(x0) = 1. Utilizando que sen ( (2n − 1)pi x) = −cos(npi) = (−1)n+1, temos: 1 = 1 2 + ∞∑ n=1 2 (−1)n+1 (2n − 1)pi . Isto é: ∞∑ n=1 (−1)n+1 2n − 1 = pi 4 . [2] Utilize a série de Fourier de f(x) = x2, x ∈ [−l, l] e f(x) = f(x + 2 l) para calcular a soma da série ∞∑ n=1 1 n2 . 1 Figura 4.33: Gráfico de f Como f é par bn = 0 para todo n ∈ N. Por outro lado: a0 = 2 l ∫ l 0 x2 dx = 2 l2 3 an = 2 l ∫ l 0 x2 cos (npi x l ) dx = 4 l2 (−1)n n2 pi2 , n ∈ N. 130 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER Logo, S[f ] = l2 3 + ∞∑ n=1 4 l2 (−1)n n2 pi2 cos (npi x l ) . Aplicando o teorema para x0 = l : l2 = l2 3 + 4 l2 pi2 ∞∑ n=1 1 n2 . Isto é: ∞∑ n=1 1 n2 = pi2 6 . [3] Utilize a série de Fourier de f(x) = ex, x ∈ [−pi, pi] e f(x) = f(x+ 2pi) para calcular a soma da série ∞∑ n=1 1 n2 + 1 . -4 -2 2 4 1 Figura 4.34: Gráfico do exemplo [3] Como f não é par ou ímpar: a0 = 1 pi ∫ pi −pi ex dx = 1 pi (epi − e−pi) = 2 senh(pi) pi an = 1 pi ∫ pi −pi ex cos(nx) dx = (−1)n pi (n2 + 1) (epi − e−pi) = 2 (−1) n senh(pi) pi (n2 + 1) , n = 1, 2, . . . bn = 1 pi ∫ pi −pi ex sen(nx) dx = −2 (−1) n n senh(pi) pi (n2 + 1) , n = 1, 2, . . . Logo: S[f ] = senh(pi) pi [ 1 + 2 ∞∑ n=1 (−1)n n2 + 1 [ cos(nx)− n sen(nx)]]. Aplicando o teorema para x0 = pi, temos que f(pi+) + (pi−) 2 = cosh(pi) ; logo: cosh(pi) = 2 senh(pi) pi [ 1 2 + ∞∑ n=1 (−1)n n2 + 1 cos(npi) ] = 2 senh(pi) pi [ 1 2 + ∞∑ n=1 1 n2 + 1 ] . 4.8. CONVERGÊNCIAS 131 Isto é: ∞∑ n=1 1 n2 + 1 = 1 2 [ pi tgh(pi) − 1 ] . 4.8.2 Convergência Uniforme O seguinte teorema segue diretamente do teste M de Weierstrass, temos: ∞∑ n=1 [ an cos(λn x) + bn sen(λn x) ] ≤ ∞∑ n=1 ∣∣an cos(λn x)∣∣+ ∣∣bn sen(λn x)∣∣ ≤ ∞∑ n=1 ∣∣an∣∣+ ∣∣bn∣∣, onde λn = npi l . Então: Teorema 4.6. A série de Fourier S[f ] tal que f ∈ Cper está nas condições de Fourier, converge absolutamente e uniformenente a f no intervalo [−l, l] se: ∞∑ n=1 (|an|+ bn|) converge e, neste caso f = S[f ] . Exemplo 4.12. Seja f(x) = |x|, x ∈ [−1, 1] tal que f(x) = f(x+ 2); então, para todo n = 1, 2, . . . bn = 0, a1 = 1 e a2n = − 4 pi2 (2n − 1)2 . S[f ] = 1 2 − ∞∑ n=1 4 pi2 (2n − 1)2 cos((2n − 1)pi x). Por outro lado: ∞∑ n=1 (|an|+ bn|) = ∞∑ n=1 1 (2n − 1)2 . Como a última série é convergente, temos que S[f ] converge uniformemente a |x| em [−1, 1], na verdade em R, logo: |x| = 1 2 − ∞∑ n=1 4 pi2 (2n − 1)2 cos ( (2n − 1)pi x). Observações sobres os coeficientes de S[f ] Com a hipótese de f ∈ Cper e estar nas condições de Fourier, nos parágrafos anteriores, obtivemos: 132 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER |an| ≤ 1 l ∫ l −l |f(x)| dx |bn| ≤ 1 l ∫ l −l |f(x)| dx. Suponhamos que f ∈ Cper e que f ′ está nas condições de Fourier, então, integramos por partes: (1) an = 1 l ∫ l −l f(x)Ψn(x) dx (2) bn = 1 l ∫ l −l f(x)Φn(x) dx. Logo, (1): an = 1 npi f(x)Φ(x) ∣∣l −l − 1 npi ∫ l −l f ′(x)Φ(x) dx = − 1 npi ∫ l −l f ′(x)Φ(x) dx, tomando valor absoluto: |an| ≤ 1 npi ∫ l −l |f ′(x)| dx. Analogamente: |bn| ≤ 1 npi ∫ l −l |f ′(x)| dx. Suponhamos que f ∈ Cper, que f ′ é contínua e que f ′′ está nas condições de Fourier. Voltando a integrar por partes, obtemos: |an| ≤ l n2 pi2 ∫ l −l |f ′′(x)| dx e |bn| ≤ l n2 pi2 ∫ l −l |f ′′(x)| dx. Como f ′′ está nas condições de Fourier, denotamos a constante l pi2 ∫ l −l |f ′′(x)| dx porM , logo: |an| ≤ M n2 e |bn| ≤ M n2 . Então: ∣∣an cos(λn x) + bn sen(λn x)∣∣ ≤ |an|+ |bn| ≤ 2M n2 ; como ∞∑ n=1 1 n2 converge, pelo teorema, a série S[f ] converge uniformemente a f . As condições impostas anteriormente a f são muito restritivas e deixam de fora uma grande quantidade de exemplos interessantes. O seguinte teorema nos diz com que classe de funções ainda é possível obter convergência uniforme. 4.8. CONVERGÊNCIAS 133 Teorema 4.7. Se f ∈ Cper é contínua por partes e f ′ está nas condições de Fourier, então S[f ] converge uniformemente para f em todo intervalo fechado que não contenha pontos de desconti- nuidade de f . Em particular, se f(−l) 6= f(l), então S[f ] não pode convergir para f . Se f ∈ Cper é contínua e diferenciável por partes, então S[f ] converge uniformemente para f em todo R. Se f é definida em (−l, l) e a extensão periódica de f satisfaz às condições do teorema, então S[f ] converge uniformemente para f em [−l, l]. Exemplo 4.13. [1] A função f(x) = |sen(x)|, x ∈ [−pi, pi] tal que f(x) = f(x + 2pi) é contínua e diferen- ciável por partes; logo S[f ] converge uniformemente a f . [2] Considere a função f(x) = x, x ∈ [−1, 1] tal que f(x) = f(x + 2); logo S[f ] não converge uniformemente para f , pois f(−1) 6= f(1). Teorema 4.8. Se f é definida em (−l, l) é é contínua por partes, f ′ está nas condições de Fourier e f(l−) = f(l+), então S[f ] converge uniformemente para f em [−l, l]. Uma função periódica ímpar é contínua se f(0) = f(−l) = f(l) = 0, então a extensão ímpar de uma função definida em (0, l) pode ter descontinuidades. As extensões pares não apresentam esta dificuldade. Corolário 4.9. 1. Se f é definida em (0, l) e é contínua por partes, f ′ está nas condições de Fourier e f(l−) = f(l+) = 0, então a série dos senos de f converge uniformemente para f em [−0, l]. 2. Se f é definida em (0, l) e é é contínua por partes e f ′ está nas condições de Fourier, então a série dos co-senos de f converge uniformemente para f em [−0, l]. Note a diferença do comportamento das somas parciais das séries de Fourier em relação à função quando S[f ] converge uniformemente ou não para f : 1. Seja f(x) = |x|, x ∈ [−1, 1]. A série S[f ] converge uniformemente em [−1, 1]; dese- nhos de f (azul) S1 e S2 (vermelho), respectivamente: -1 1 1 -1 1 1 134 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER 2. Seja f(x) = x, x ∈ [−1, 1]. S[f ] não converge uniformemente em [−1, 1]; desenhos de f (azul) S1 e S3 (vermelho), respectivamente: -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 Teorema 4.10. Se f ∈ Cper é contínua por partes e diferenciável por partes, então a série de Fourier de f é única. 4.8.3 Fenômenode Gibbs Nos parágrafos anteriores observamos que se existir um ponto de descontinuidade de f num intervalo, a série de Fourier S[f ] não converge uniformemente a f nesse intervalo. Na vizinhança de um ponto de descontinuidade de f , as somas parciais de S[f ] não ficam próximas de f ; pelo contrário, tem um comportamento oscilatório. Na verdade, na vizinhança de um ponto de descontinuidade, o valor de f e das somas parciais de S[f ] diferem num valor aproximado de 9% do valor do salto na descontinuidade. Este comportamento é conhecido com o nome de fenômeno de Gibbs. Definindo ωn(x0), a oscilação da soma parcial de ordem n de S[f ], no ponto de descon- tinuidade x0, como a diferença entre o máximo e o mínimo da soma parcial de ordem n no ponto x0, Gibbs observou que o valor desta oscilação não se aproxima do sal(f)(x) se x ∈ (x0 − ε, x0 + ε), não importando se ε é arbitrariamente pequeno. Vejamos o seguinte exemplo. Exemplo 4.14. Seja f(x) = { 1 se 0 ≤ x ≤ pi −1 se −pi ≤ x < 0. tal que f(x) = f(x+ 2pi): Consideremos a seguinte soma parcial de S[f ]: Sn = n∑ k=1 4 (2 k − 1)pi sen ( (2 k − 1)x). Observemos os gráficos de f e da somas: 4.8. CONVERGÊNCIAS 135 S1 = 4 pi [ sen(x) ] S2 = 4 pi [ sen(x) + sen(3x) 3 ] S3 = 4 pi [ sen(x) + sen(3x) 3 + sen(5x) 5 ] S4 = 4 pi [ sen(x) + sen(3x) 3 + sen(5x) 5 + sen(7x) 7 ] A seguir os gráficos de f (vermelho) e Sn (azul) para n = 1, 2, 3, 4, no intervalo [−pi, pi]: -3 -2 -1 1 2 3 -1 1 -3 -2 -1 1 2 3 -1 1 -3 -2 -1 1 2 3 -1 1 -3 -2 -1 1 2 3 -1 1 Note que nos desenhos verifica-se o teorema de Dirichlet. Nos seguintes desenhos o gráfico de f e S100: -3 -2 -1 1 2 3 -1 1 136 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER Nos seguintes desenhos um zoom dos desenhos anteriores 0.2 0.4 0.6 0.8 0.97 0.98 0.99 1.01 1.02 1.03 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Note que sal(0) = 2 e 1 2 [ f(0+) + f(0−) ] = 0. É possível provar que o ponto de máximo mais próximo pela direita de 0 é x = pi 2n e que: lim n→+∞ S2n−1 ( pi 2n ) = 2 pi Si(pi) ≃ 1.1789 . . . onde Si(x) = ∫ x 0 sen(t) t dt. Por outro lado f(0) = 1, ou seja excede em, aproximada- mente, 0.18, isto é 9% do sal(0) = 2. 4.9 Integração e Derivação das Séries de Fourier Sabemos que se uma série de funções converge uniformemente para uma função, então, a função preserva as mesmas propriedades das funções que formam a série. Mas, as séries de Fourier pussuem a seguinte propriedade notável: Proposição 4.3. Se f ∈ Cper é contínua por partes, então: 1. S[f ] pode ser integrada termo a termo: ∫ x a f(t) dt = a0 2 (x− a) + ∞∑ n=1 [ an ∫ x a cos(λn t) dt+ bn ∫ x a sen(λn t) dt ] , onde a, x ∈ [−l, l] e λn = npi l . 2. A função F (x) = ∫ x 0 [ f(t) − a0 2 ] dt é periódica de período 2 l, contínua e F ′ é contínua por partes, e: ∫ x 0 [ f(t)− a0 2 ] dt = l pi ∞∑ n=1 bn n + l pi ∞∑ n=1 1 n [− bn cos(λn x) + an sen(λn x)]. Este resultado é notável pois vale mesmo que S[f ] não convirga para f . 4.9. INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃODAS SÉRIES DE FOURIER 137 De fato, F é contínua, pelo teorema fundamental do cálculo e F ′(x) = f(x) se f for contínua. F é periódica de período 2 l, logo: F (x) = c0 2 + ∞∑ n=1 [ cnΨn + dnΦn ] . Integrado por partes, relacionaremos os coeficientes de Fourier de F com os de f : cn = 1 l [ l n pi F (x)Φn ∣∣∣∣ l −l − l n pi ∫ l −l F ′(x)Φn dx ] = − l n pi bn, se n > 1. Analogamente: dn = l n pi an, se n > 1. Como F (0) = 0, da série de Fourier de F , temos: 0 = c0 2 + ∞∑ n=1 cn, ou seja, c0 = 2 l pi ∞∑ n=1 bn n , isto é: l pi ∞∑ n=1 bn n = 1 2 l ∫ l −l F (x) dx. A série ∞∑ n=1 bn n é, necessariamente, convergente. O teorema se aplica da seguinte forma. Se: S[f ] = a0 2 + ∞∑ n=1 [ an cos(λn x) + bn sen(λn x) ] , entâo: F (x) = ∫ x 0 [ f(t)− a0 2 ] = 1 2 l ∫ 2l 0 F (x) dx+ l pi ∞∑ n=1 [− bn n cos(λn x) + an n sen(λn x) ] , Exemplo 4.15. [1] A série ∞∑ n=2 sen(nx) ln(n) é uma série de Fourier? A resposta é não, pois a série: ∞∑ n=1 bn n = ∞∑ n=1 1 n ln(n) 138 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER é divergente. -2 -1 1 2 -6 -4 -2 2 4 6 Figura 4.35: Gráfico de S20, do exmplo [1]. [2] Sabemos que x = ∞∑ n=1 2 (−1)n+1 n sen(nx), se x ∈ (−pi, pi). Como an = 0 e bn = 2 (−1) n+1 n , então: 1 2pi ∫ pi −pi F (x) dx = 1 2pi ∫ pi −pi [ ∫ x 0 t dt ] dx = pi2 6 . Logo: x2 2 = pi2 6 + ∞∑ n=1 2 (−1)n n2 cos(nx). Integrando novamente: x3 6 − pi 2 x 6 = ∞∑ n=1 2 (−1)n n3 sen(nx). Proposição 4.4. Se f ∈ Cper é contínua por partes e diferenciável por partes, então: S[f ′] = ( S[f ] ) ′ . Isto é, S[f ] pode ser derivada termo a termo. Exemplo 4.16. Sabemos que f(x) = |x|, x ∈ [−1, 1] tal que f(x) = f(x + 2), é contínua por partes, diferenciável por partes e: |x| = 1 2 + ∞∑ n=1 4 pi2 (2n − 1)2 cos ( (2n− 1)pi x). 4.10. CONVERGÊNCIA EMMÉDIA 139 Então a série de Fourier de f ′(x) = { 1 se 0 < x < 1 −1 se −1 < x < 0 é: S[f ′] = − ∞∑ n=1 4 (1− 2n)pi sen ( (2n − 1)pi x). Note que a série não converge nos pontos onde f ′′ não existe. 4.10 Convergência emMédia Uma função f : [a, b] −→ R é dita de quadrado integrável se: ∫ b a |f(x)|2 dx < +∞. Observações 4.1. 1. Se f for limitada e integrável sobre [a, b], então é de quadrado integravél sobre [a, b]. De fato, se f é limitada, existe k > 0 tal que |f(x)| ≤ k para todo x ∈ [a, b] e: ∫ b a |f(x)|2 dx ≤ k2 ∫ b a dx = k2 (b− a). 2. Se f não for limitada, ainda assim pode ser integrável e |f |2 não integrável. Como no caso de f(x) = 1√ x em (0, 1). Definição 4.9. Seja a sequência ( fn ) n∈N tal que cada fn é de quadrado integrável em [a, b]. Dizemos que ( fn ) n∈N converge em média quadrática para uma função f de quadrado integrável, se: lim n→+∞ ∫ b a ∣∣f(x)− fn(x)∣∣2 dx = 0. Observações 4.2. 1. ∫ b a ∣∣f(x)− fn(x)∣∣2 dx é dito erro médio quadrático de aproximação. 2. A seguir, verificaremos se as somas parciais de S[f ], onde f é de quadrado integrá- vel, convergem emmédia quadrática a f . Primeiramente, consideremos a função: gN (x) = c0 + N∑ n=1 cnΨn + dnΦn, 140 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER onde Φn e Ψn são dados por (4.1). Denotemos por: EN = ∫ l −l ∣∣f(x)− gN (x)∣∣2 dx = ∫ l −l f2(x) dx− 2 ∫ l −l f(x) gN (x) dx+ ∫ l −l g2N (x) dx. Por outro lado: ∫ l −l f(x) gN (x) dx = c0 ∫ l −l f(x) dx+ N∑ n=1 cn ∫ l −l f(x)Ψn dx+ dn ∫ l −l f(x)Φn dx = l c0 a0 + l N∑ n=1 [ cn an + dn bn ] . Análogamente, utilizando a ortogonalidade de Ψn e Φn, temos: ∫ l −l ( gN (x) )2 dx = 2 l c20 + l N∑ n=1 [ c2n + d 2 n ] . Logo, podemos reescrever: EN = ∫ l −l ( f(x) )2 dx− 2 l [ c0 a0 + N∑ n=1 [ cn an + dn bn ]] + l [ 2 c20 + N∑ n=1 [ c2n + d 2 n ]] . Derivando para achar os pontos críticos, temos: ∂EN ∂c0 = −2 l a0 + 4 l c0 = 0 ∂EN ∂c1 = −2 l a1 + 2 l c1 = 0 ∂EN ∂d1 = −2 l b1 + 2 l d1 = 0 ... ∂EN ∂cn = −2 l an + 2 l cn = 0 ∂EN ∂dn = −2 l bn + 2 l dn = 0 Não é difícil ver que os valores c0 = a0 2 , cn = an e dn = bn minimizam EN ; então: gN (x) = SN , onde, SN é a N -ésima soma parcial de S[f ]. Denotemos por EN o menor dos EN , utili- zando os mesmos argumentosanteriores: EN = ∫ l −l ( f(x) )2 dx− l [ a20 2 + N∑ n=1 [ a2n + b 2 n ]] ; 4.10. CONVERGÊNCIA EMMÉDIA 141 como EN ≥ 0, temos: 1 l ∫ l −l ( f(x) )2 dx ≥ a 2 0 2 + N∑ n=1 [ a2n + b 2 n ] ; esta desigualdade é válida para todo N ; então, fazendo N −→ +∞, obtemos: 1 l ∫ l −l ( f(x) )2 dx ≥ a 2 0 2 + ∞∑ n=1 [ a2n + b 2 n ] ; esta desigualdade é chamada de Bessel. A desiguladade de Bessel implica que: ∞∑ n=1 [ a2n + b 2 n ] converge e o seguinte resultado, que foi fundamental no desenvolvimento da teoria das séries de Fourier: Lema (Riemann-Lebesgue) Se f ∈ Cper e é contínua por partes, então: lim n−→+∞ an = lim n−→+∞ bn = 0, onde an e bn são os coeficientes de S[f ]. Teorema 4.11. Se f ∈ Cper e é de quadrado integrável, então S[f ] converge em média para f . Logo, se f ∈ Cper e é de quadrado integrável, então obtemos: 1 l ∫ l −l ( f(x) )2 dx = a20 2 + ∞∑ n=1 [ a2n + b 2 n ] , esta igualdade é chamada identidade de Parseval. 4.10.1 Aplicações Normalizemos o erro médio quadrático, da seguinte forma, seja: E2N = 1 2 l EN , então: E2N = 1 2 l [ ∫ l −l ( f(x) )2 dx ] − 1 2 [ a20 2 + N∑ n=1 [ a2n + b 2 n ]] . Utilizando a identidade de Parseval: E2N = 1 2 [ a20 2 + ∞∑ n=1 [ a2n + b 2 n ]]− 1 2 [ a20 2 + N∑ n=1 [ a2n + b 2 n ]] ; 142 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER logo: E2N = 1 2 ∞∑ n=N+1 [ a2n + b 2 n ] . Exemplo 4.17. [1] Sabemos que se f(x) = |x|, x ∈ [−1, 1] é tal que f(x) = f(x+ 2), então: |x| = 1 2 − 4 pi2 ∞∑ n=1 cos ( (2n − 1)pi x) (2n− 1)2 . f é de quadrado integrável e ∫ 1 −1 |x|2 dx = 2 3 . Aplicando a identidade de Parseval, temos: 1 2 + ∞∑ n=1 16 (2n − 1)4 pi4 = 2 3 , logo: ∞∑ n=1 1 (2n − 1)4 = pi4 96 . [2] Seja f(x) = x, x ∈ [−1, 1] tal que f(x) = f(x + 2). Quantos termos deve ter Sn para que S[f ] convirga em média para f com um erro menor que 1%? Sabemos que: S[f ] = ∞∑ n=1 2 (−1)n+1 npi sen ( npi x ) , logo: E2N = 1 2 ∞∑ n=N+1 4 n2 pi2 = 2 pi2 ∞∑ n=N+1 1 n2 . Por outro lado: ∞∑ n=N+1 1 n2 ≤ ∫ +∞ N dx x2 = lim b−→+∞ ∫ b N dx x2 = lim b−→+∞ [ 1 N − 1 b ] = 1 N . Então, E2N ≤ 2 pi2 N < 0.01; dondeN > 20.26. Logo são necessários 21 termos. -1 1 -1 1 Figura 4.36: Gráfico de S21. 4.10. CONVERGÊNCIA EMMÉDIA 143 [3] Seja f(x) = |x|, x ∈ [−1, 1] tal que f(x) = f(x+ 2). Quantos termos deve ter Sn para que S[f ] convirga em média para f com um erro menor que 1%? Sabemos que: S[f ] = 1 2 − 4 pi2 ∞∑ n=1 cos ( (2n− 1)pi x) (2n− 1)2 , logo: E2N = 1 2 ∞∑ n=N+1 16 (2n − 1)4 pi4 = 8 pi4 ∞∑ n=N+1 1 (2n − 1)4 . Por outro lado: ∞∑ n=N+1 1 (2n − 1)4 ≤ ∫ +∞ N dx (2x− 1)4 = 1 6 (2N − 1)3 . Então, E2N ≤ 8 6pi4 (2N − 1)3 < 0.01; dondeN > 1.05. Logo são necessários 2 termos. -1 1 Figura 4.37: Gráfico de S2. 144 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER 4.11 Exercícios 1. Verifique que se f e g são períodicas de periódo T , então f + g e f g são períodicas de periódo T . 2. Seja F (x) = ∫ x 0 f(t) dt. Verifique que: a) F é par se f é ímpar b) F é ímpar se f é par 3. Seja f(x) = cos(αx) + cos(β x). Verifique que f é periódica se α β ∈ Q. 4. Se f é periódica de período 2 l, verifique que: F (x) = ∫ x 0 [ f(t)− a0 2 ] dt, onde a0 ∈ R, é periódica de período 2 l. 5. Sejam P = Pn(x) os polinômios de Legendre. Verifique que são ortogonais emC([−1, 1]): Pn · Pm = ∫ 1 −1 Pn(x)Pm(x) dx = 0, se n 6= m e Pn · Pn = 2 2n+ 1 . Utilize a fórmula de Rodrigues. 6. Determine S[f ], se: a) f(x) = 2x; x ∈ [−1, 1] tal que f(x) = f(x+ 2) b) f(x) = 2x− 1; x ∈ [−1, 1] tal que f(x) = f(x+ 2) c) f(x) = x2 + x; x ∈ [−pi, pi] tal que f(x) = f(x+ 2pi) d) f(x) = ex, x ∈ [−1, 1] tal que f(x) = f(x+ 2) e) f(x) = senh(x), x ∈ [−1, 1] tal que f(x) = f(x+ 2) f) f(x) = cosh(x), x ∈ [−1, 1] tal que f(x) = f(x+ 2) g) f(x) = 2 cos2(x), x ∈ [−pi, pi] tal que f(x) = f(x+ 2pi) h) f(x) = cos(3x) + cos2(x), x ∈ [−pi, pi] tal que f(x) = f(x+ 2pi) 4.11. EXERCÍCIOS 145 i) f(x) = 1 2 + x se − 1 ≤ x < 0 1 2 − x se 0 ≤ x < 1 , tal que f(x) = f(x+ 2) j) f(x) = { −x+ pi se − pi ≤ x ≤ 0 x se 0 < x < pi , tal que f(x) = f(x+ 2pi) k) f(x) = 0 se − 3pi ≤ x < pi 1 se pi ≤ x < 2pi 2 se 2pi ≤ x < 3pi , tal que f(x) = f(x+ 6pi) l) f(x) = { 0 se − pi ≤ x < 0 x2 se 0 ≤ x < pi , tal que f(x) = f(x+ 2pi) m) f(x) = { 0 se − pi ≤ x < 0 x3 se 0 ≤ x < pi , tal que f(x) = f(x+ 2pi) n) A função que tem como gráfico: pi −pi pi 2pi o) A função que tem como gráfico: 63-3-6 -3 146 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER p) A função que tem como gráfico: −pi[ pi pi −pi 7. Determine S[f ], onde: a) f(x) = ax+ b, x ∈ [−l, l], tal que f(x) = f(x+ 2 l) b) f(x) = ax2 + b x+ c, x ∈ [−l, l], tal que f(x) = f(x+ 2 l) 8. Determine a expressãomatemática de fp, fo e esboce os gráficos de fp e fo das funções: a) f(x) = 2x, x ∈ [0, 1] b) f(x) = x2 + 1, x ∈ [0, 1] c) f(x) = x2 − x+ 1, x ∈ [0, 1] d) f(x) = ex, x ∈ [0, 1] e) f(x) = cos(pi x), x ∈ [0, 1] f) f(x) = x3, x ∈ [0, 1] g) f(x) = cosh(x), x ∈ [0, 1] h) f(x) = senh(x), x ∈ [0, 1] i) A função que tem como gráfico: pi pi2pi/3 4.11. EXERCÍCIOS 147 j) A função que tem como gráfico: 1 2 −2 2 k) A função que tem como gráfico: 4 2 9. Determine a série dos cosenos S[fp] e dos senosS[fo], onde f é dada pelo ítem anterior. 10. Esboce os gráficos das somas parciais até de ordem 4, do ítem anterior. 11. Seja f(x) = { 0 se − 5 < x < 0 3 se 0 < x < 5, tal que f(x+ 10) = f(x). Como se deve redefinir f para que S[f ] convirja em [−5, 5]. 12. Utilize a série de Fourier de f(x) = ex, x ∈ [−pi, pi] tal que f(x) = f(x + 2pi) para achar o valor da série: ∞∑ n=1 (−1)n n2 + 1 . 148 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER 13. Utilize a série de Fourier de f(x) = x2, x ∈ [−pi, pi] tal que f(x) = f(x + 2pi) para verificar que: a) ∞∑ n=1 1 n2 = pi2 6 b) ∞∑ n=1 (−1)n+1 n2 = pi2 12 c) ∞∑ n=1 1 (2n − 1)2 = pi2 8 14. Esboce o gráfico das séries de Fourier do ítem 1. 15. Utilize a série de Fourier de: f(x) = { −1 se − pi ≤ x < 0 1 se 0 ≤ x < pi, f(x) = f(x+ 2pi), para determinar por integração a série de Fourier de f(x) = |x|, x ∈ [−pi, pi] tal que f(x) = f(x+ 2pi). 16. Determine se a série de Fourier das seguintes funções convergem uniformemente: a) f(x) = ex, x ∈ (−1, 1) b) f(x) = senh(x), x ∈ (−pi, pi) c) f(x) = sen(x) + |sen(x)|, x ∈ (−pi, pi) d) f(x) = x+ |x|, x ∈ (−1, 1) 17. Seja f(x) = x + 1|, x ∈ [−1, 1] tal que f(x) = f(x + 2). Quantos termos deve ter Sn para que S[f ] convirga em média para f com um erro menor que 1%? 18. Seja f(x) = x2 + x, x ∈ [−1, 1] tal que f(x) = f(x+ 2). Quantos termos deve ter Sn para que S[f ] convirga em média para f com um erro menor que 1%?
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