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Séries de Fourier (Apostila) - UERJ

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Capítulo 4
SÉRIES DE FOURIER
4.1 Funções Periódicas
Definição 4.1. Uma função f : R −→ R é periódica de período T ∈ R se para todo x ∈ R temos
que:
f(x) = f(x+ T ).
Toda função é periódica de período zero; logo, nestas notas, somente consideraremos
T 6= 0. As funções constantes são periódicas de qualquer período; logo, somente consi-
deraremos funções não constantes. Se T é o período de f , então nT para todo n ∈ Z−{0}
é período de f . De fato, se n > 0 para n = 2 temos:
f(x+ 2T ) = f((x+ T ) + T ) = f(x+ T ) = f(x).
Suponha que a propiedade é válida para n− 1, então:
f(x+ nT ) = f((x+ T ) + (n− 1)T ) = f(x+ T ) = f(x).
Analogamente para n < 0. Logo, nestas notas, somente consideraremos T > 0.
Definição 4.2. O menor T 6= 0, se existir, tal que f(x + T ) = f(x), para todo x ∈ R é dito
período fundamental de f .
As funções constantes não pussuem período fundamental. É possível provar que as fun-
ções periódicas e contínuas não constantes possuem período fundamental.
Nestas notas consideraremos somente funções com períodos fundamentais.
Denotaremos por f(x) = f(x + T ) toda função periódica de período fundamental T . O
gráfico de uma função periódica de período fundamental T pode ser obtido a partir do
gráfico de y = f(x) no intervalo [a, a+ T ], seguido de translações.
103
104 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER
Figura 4.1: Gráfico de uma função periódica.
Exemplo 4.1.
[1] As funções f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x) são periódicas de período fundamental 2pi.
[2] As funções f(x) = tg(x) e g(x) = cotg(x) são periódicas de período fundamental pi.
[3] f(x) = x, x ∈ [−1, 1) tal que f(x) = f(x+ 2).
-4 -2 2 4
-1
1
Figura 4.2: Gráfico de f(x) = x, periódica.
[4] Seja:
f(x) =
{
1 se 0 ≤ x ≤ 1
−1 se − 1 ≤ x < 0.
tal que f(x) = f(x+ 2).
4.1. FUNÇÕES PERIÓDICAS 105
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
Figura 4.3: Gráfico do exemplo [4]..
[5] Seja f(x) = |sen(x)|, x ∈ [0, pi] tal que f(x) = f(x+ pi).
-6 -4 -2 0 2 4 6
1
Figura 4.4: Gráfico de f(x) = |sen(x)|, periódica.
Proposição 4.1. Se f e g são periódicas de período T , então:
1. αf + β g é periódica de período T .
2. f g é periódica de período T .
3. Se f é integrável em qualquer intervalo [a, a+ T ]:
∫ a+T
a
f(x) dx =
∫ T
a
f(x) dx.
A prova das propriedades seguem diretamente das definições. Veja [VC1].
A soma de funções periódicas de diferentes períodos pode ser ou não periódica de algum
período.
Exemplo 4.2.
[1] Observe que a função f(x) = sen(x) + cos(
√
3x) não é períodica, por outro lado, a
função g(x) = cos(x)+cos(x/2) é períodica de período 4pi. Verifique! Gráficos de f (azul)
e g (verde)
106 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER
Figura 4.5: Gráficos de f e g, respectivamente.
O seguinte exemplo é fundamental nos próximos paragrafos
Denotemos por: 

λn =
npi
l
,
Φn(x) = sen(λn x) e
Ψn(x) = cos(λn x); n ∈ N, l ∈ R
(4.1)
Determinemos o período fundamental de Φn e Ψn.
1. Devemos terΨn(x+ T ) = Ψn(x) para todo x ∈ R, isto é:
cos(λn x) = cos(λn (x+ T )) = cos(λn x) cos(λn T )− sen(λn x)) sen(λn T ).
Logo: {
cos(λn T ) = 1
sen(λn T ) = 0,
donde T =
2 l
n
.
2. Suponha que T1 é outro período de Ψn, teremos:
npi T1
l
= 2 k pi, então T1 = k T,
logo, T = 2 l é o período fundamental.
3. Analogamente para Φn.
4.2 Álgebra Linear
Seja A ⊂ R e denotemos por C(A) o conjunto das funções f : A −→ R integráveis sobre
A. O conjunto C(A) possui uma estrutura natural de R-espaço vetorial com as seguintes
operações: dada f, g ∈ C(A) e λ ∈ R, então:(
f + g
)
(x) = f(x) + g(x)(
λ f
)
(x) = λ f(x),
4.2. ÁLGEBRA LINEAR 107
para todo x ∈ A.
Lembramos que um produto interno definido num R-espaço vetorial V é uma função:
<,>: V× V −→ R,
que satisfaz às seguintes propriedades:
i) < u, u >≥ 0 e < u, u >= 0 se, e somente se u = 0, para todo u ∈ V.
ii) < u, v >=< v, u >, para todo u, v ∈ V.
iii) < αu+ λ v,w >= α < u,w > +λ < v,w >, para todo u, v ∈ V e λ, α ∈ R.
Os vetores u, v ∈ V são ditos ortogonais se < u, v >= 0. Seja W ⊂ V, W é dito ortogonal
se < u, v >= 0, para todo u, v ∈ W.
Dado
(
V, <,>
)
um R-espaço vetorial com produto interno, definimos a norma do vetor
u ∈ V como:
‖u‖ = √< u, u >.
Seja [a, b] ⊂ R, então em C([a, b]) definimos o seguinte produto interno:
< f, g >=
∫ b
a
f(x) g(x) dx, para todo f, g ∈ C([a, b]).
A notação: < f, g >= f · g.
A prova de que é um produto interno segue diretamente das definições. Se as funções
não forem contínuas, < , > não é um produto interno. De fato, se f não é contínua,
< f, f >= ‖f‖2 = 0 não implica em f = 0.
Proposição 4.2. O conjunto:
W = {1, Φn, Ψn /n ∈ N}
é ortogonal em C
(
[−l, l]), onde Φn e Ψn são dados por (4.1).
De fato:
‖1‖2 = 1 · 1 =
∫ l
−l
dx = 2 l,
e:
1 ·Ψn =
∫ l
−l
cos(λn x) dx = 0, n 6= 0.
Analogamente 1 · Φn = 0, para todo n ∈ N. Por outro lado:
Ψn · Φm =
∫ l
−l
cos(λn x) sen(λn x) dx;
108 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER
fazendo u =
pi x
l
, então du =
pi
l
dx; logo:
Ψn · Φm = l
pi
∫ pi
−pi
cos(nu) sen(mu) du
=
l
2pi
∫ pi
−pi
[
sen((n+m)u) + sen((n−m)u)] du
= 0,
se n 6= m, para todo n ∈ N.
Ψn ·Ψm =
∫ l
−l
cos(λn x) cos(λn x) dx;
fazendo u =
pi x
l
, então du =
pi
l
dx; logo:
Ψn ·Ψm = l
pi
∫ pi
−pi
cos(nu) cos(mu) du
=
l
2pi
∫ pi
−pi
[
cos((n+m)u) + cos((n−m)u)] du
= 0,
se n 6= m. Se n = m:
Ψn ·Ψn = l
pi
∫ pi
−pi
cos2(nu) du =
l
2pi
∫ pi
−pi
[
1− cos(nu)] du = l.
Analogamente Φn · Φn = l, para todo n ∈ N.
Corolário 4.1.
Φn · Φm =
{
0 se n 6= m
l se n = m.
Ψn ·Ψm =


0 se n 6= m
l se n = m ∈ N
2 l se n = m = 0.
Ψn · Φm = 0, ∀n, m ∈ N
Exemplo 4.3.
[1] Os polinômios de Legendre são ortogonais, isto é:
∫
1
−1
Pn(x)Pm(x) dx =


0 se n 6= m
2
2n + 1
se n = m.
[2] Analogamente, os polinômios de Hermite são ortogonais.
4.3. SÉRIES DE FOURIER 109
Corolário 4.2. Os conjuntos:
W1 = {1, Ψn /n ∈ N} e W2 = {Φn /n ∈ N}
s´ão ortogonais em C
(
[0, l]
)
, onde Φn e Ψn são dados por (4.1).
4.3 Séries de Fourier
Suponha que, inicialmente, temos a seguinte expressão formal:
f(x) =
a0
2
+
∞∑
n=1
[
an cos(λn x) + bn sen(λn x)
]
, (4.2)
onde an, bn ∈ R e λn = npi
l
.
Gostaríamos de poder responder às seguintes questões relativas à (4.2).
1. Dada a função f , quando é possível escrevê-la como (4.2)?
2. Que relação existe entre an, bn e f?
3. Em que sentido a série de funções dada em (4.2) converge?
Supondo que (4.2) é valida, responderemos à segunda questão. Para isto, utilizaremos
formalmente o produto interno definido na seção anterior.
Denotemos (4.2) por:
f =
a0
2
Ψ0 +
∞∑
n=1
[
anΨn + bnΦn
]
.
onde Φn e Ψn são dados por (4.1). Utilizando a ortogonalidade:
f ·Ψ0 = a0
2
Ψ0 ·Ψ0 +
∞∑
n=1
[
anΨn ·Ψ0 + bnΦn ·Ψ0
]
=
a0
2
Ψ0 ·Ψ0 = a0 l.
Logo, a0 =
1
l
[
f ·Ψ0
]
=
1
l
[
f · 1], então:
a0 =
1
l
∫ l
−l
f(x) dx.
Fixemosm ∈ N; então:
f ·Ψm = a0
2
1 ·Ψm +
∞∑
n=1
[
anΨn ·Ψm + bnΦn ·Ψm
]
.
Pela ortogonalidade, temos:
f ·Ψm = amΨm ·Ψm = am l
110 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER
para todom ∈ N; então:
an =
1
l
∫ l
−l
f(x)Ψn(x) dx =
1
l
∫ l
−l
f(x) cos(λn x), dx n = 1, 2, . . .
Analogamente, pela ortogonalidade, temos:
f · Φm = bmΦm · Φm = bm l
para todom ∈ N; então:
bn =
1
l
∫ l
−l
f(x)Φn(x) dx =
1
l
∫ l
−l
f(x) sen(λn x) dx, n = 1, 2, . . .
Se f pode ser escrita como em (4.2), então:
1. f deve ser periódica de período 2 l.
2. As constantes an e bn tem a propriedade:
|an| =
∣∣∣∣1l
∫ l
−l
f(x)Ψn(x) dx
∣∣∣∣ ≤ 1l
∫ l
−l
|f(x)| |Ψn(x)| dx ≤ 1
l
∫ l
−l
|f(x)| dx
|bn| =
∣∣∣∣1l∫ l
−l
f(x)Φn(x) dx
∣∣∣∣ ≤ 1l
∫ l
−l
|f(x)| |Φn(x)| dx ≤ 1
l
∫ l
−l
|f(x)| dx.
Logo:
|an| ≤ 1
l
∫ l
−l
|f(x)| dx e |bn| ≤ 1
l
∫ l
−l
|f(x)| dx.
Isto é, se f é absolutamente integrável em [−l, l], então garantiremos a existência de an
e bn.
Algumas observações básicas sobre integrabilidade de funções reais
1. Se f for integrável e limitada, então f é absolutamente integrável. A recíproca é falsa,
por exemplo, seja:
f(x) =
{
1 se x ∈ Q
−1 se x /∈ Q.
f não é integrável em [0, 1], mas |f(x)| = 1, para todo x ∈ [0, 1] e é integrável em [0, 1].
2. Se f não é limitada, a integrabilidade de f não implica em que f seja absolutamente
integrável.
3. Logo, existem funções integráveis que não são absolutamente integráveis e funções
não integráveis que são absolutamente integráveis.
4. Se f e |f | são integráveis, diremos que f está nas condições de Fourier.
5. A maioria das funções utilizadas nas aplicações satisfazem à condição de Fourier.
Denotemos por Cper o conjunto das funções periódicas de período fundamental 2 l.
4.3. SÉRIES DE FOURIER 111
Definição 4.3. Seja f ∈ Cper satisfazendo às condições de Fourier. A série de Fourier de f é
denotada e definida por:
S[f ] =
a0
2
+
∞∑
n=1
[
an cos(
npi x
l
) + bn sen(
npi x
l
)
]
,
onde:
a0 =
1
l
∫ l
−l
f(x) dx,
an =
1
l
∫ l
−l
f(x) cos(
npi x
l
) dx, n = 1, 2, . . .
bn =
1
l
∫ l
−l
f(x) sen(
npi x
l
) dx, n = 1, 2, . . .
Os coeficientes an e bn são ditos de Fourier da série.
A seguinte propriedade simplifica o cálculo de S[f ] quando f possui alguns tipos de
simetria. Para a prova veja [VC1].
Seja f integrável em [−l, l], se f é par, então:
∫ l
−l
f(x) dx = 2
∫ l
0
f(x) dx.
Se f é ímpar, então: ∫ l
−l
f(x) dx = 0.
Corolário 4.3. Seja f ∈ Cper, nas condições de Fourier e λn = npi
l
.:
1. Se f é par, isto é, simétrica em relação ao eixo dos y, então bn = 0 para todo n ∈ N, logo:
S[f ] =
a0
2
+
∞∑
n=1
an cos(λn x), onde
an =
2
l
∫ l
0
f(x) cos(λn x) dx, n = 0, 1, 2, . . . .
2. Se f é ímpar, isto é, simétrica em relação à origem, então an = 0 para todo n ≥ 0, logo:
S[f ] =
∞∑
n=1
bn sen(λn x), onde
bn =
2
l
∫ l
0
f(x) sen (λn x) dx, n = 1, 2, . . .
112 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER
Exemplo 4.4.
[1] Ache S[f ] se f(x) = |x| x ∈ [−l, l], e é tal que f(x) = f(x+ 2 l).
Figura 4.6: Gráfico de f(x) = |x|, periódica.
f está nas condições de Fourier e é par; logo bn = 0, para todo n = 1, 2, . . . e:
a0 =
2
l
∫ l
0
x dx = l e
an =
2
l
∫ l
0
x cos(λn x) dx =
2 l
n2 pi2
[
(1)n − 1].
Logo a2n = 0 e a2n−1 = − 4 l
pi2 (2n − 1)2 ; então:
S[f ] =
l
2
−
∞∑
n=1
4 l
pi2 (2n − 1)2 cos(
(2n − 1)pi x
l
).
[2] Ache S[f ] se f(x) = x, x ∈ [−1, 1], e é tal que f(x) = f(x+ 2).
-4 -2 2 4
-1
1
Figura 4.7: Gráfico de f(x) = x, periódica.
f está nas condições de Fourier; 2 l = 2, então l = 1 e f é ímpar; logo an = 0, para
todo n = 0, 1, 2, . . . e:
bn = 2
∫
1
0
x sen
(
npi x
)
dx =
2 (−1)n+1
npi
.
4.3. SÉRIES DE FOURIER 113
Logo:
S[f ] =
∞∑
n=1
2 (−1)n+1
npi
sen(npi x).
Sejam as seguintes somas parciais de S[f ]
S1(x) =
2
pi
sen
(
pi x
)
S4(x) =
2
pi
sen
(
pi x
)− 1
pi
sen
(
2pi x
)
+
2
3pi
sen
(
3pi x
)− 1
2pi
sen
(
4pi x
)
.
Observe o comportamento de f , S1 e S4 nos respectivos gráficos:
-1 1
-1
1
Figura 4.8: Gráficos de f(x) = x (azul), S2 (verde) e S4 (vermelho).
[3] Ache S[f ] se:
f(x) =
{
1 se 0 ≤ x ≤ pi
0 se − pi ≤ x < 0,
e é tal que f(x) = f(x+ 2pi).
-3 -2 -1 1 2 3
1
Figura 4.9: Gráfico de f do exemplo [3].
114 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER
Se 2 l = 2pi, então l = pi; logo:
a0 =
1
pi
∫ pi
−pi
f(x) dx =
1
pi
∫ pi
0
dx = 1 e
an =
1
pi
∫ pi
−pi
f(x) cos(nx) dx =
1
pi
∫ pi
0
cos(nx) dx = 0
bn =
1
pi
∫ pi
−pi
f(x) sen(nx) dx =
1
pi
∫ pi
0
sen(nx) dx =
1
npi
[
1− (1)n].
Logo b2n = 0 e b2n−1 =
2
pi (2n − 1) ; então:
S[f ] =
1
2
+
∞∑
n=1
2
pi (2n − 1) sen((2n − 1)x).
-1 1
1
Figura 4.10: Gráficos de S5 e S50.
[4] Ache S[f ] se
f(x) =
{
0 se − pi ≤ x < 0
x se 0 ≤ x ≤ pi,
e é tal que f(x) = f(x+ 2pi).
-5 5
1
2
3
4
5
Figura 4.11: Gráfico de f do exemplo [4].
4.3. SÉRIES DE FOURIER 115
2 l = 2pi, então l = pi; f não é par nem ímpar:
a0 =
1
pi
∫ pi
−pi
f(x) dx =
1
pi
∫ pi
0
x dx =
pi
2
an =
1
pi
∫ pi
−pi
f(x) cos(nx) dx =
1
pi
∫ pi
0
x cos(nx) dx =
(−1)n − 1
n2 pi
bn =
1
pi
∫ pi
−pi
f(x) sen(nx) dx =
1
pi
∫ pi
0
x sen(nx) dx =
(−1)n+1
n
.
Logo, a2n = 0 e a2n−1 = − 2
pi (2n− 1)2 :
S[f ] =
pi
4
−
∞∑
n=1
[
2
pi (2n − 1)2 cos
(
(2n − 1)x) − (−1)n+1
n
sen
(
nx
)]
.
Observe o comportamento de f e S4(x):
-p p
p
Figura 4.12: Gráfico de f (vermelho) e S4 (azul).
[5] Ache S[f ] se f(x) = |sen(pi x)|, x ∈ [−1, 1] e é tal que f(x) = f(x+ 2).
-2 -1 0 1 2
1
Figura 4.13: Gráfico de f do exemplo [5].
2 l = 2, então l = 1; f é par, logo, bn = 0 para todo n = 1, 2 . . ., l = 1:
a0 = 2
∫
1
0
sen
(
pi x
)
dx =
4
pi
116 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER
an = 2
∫
1
0
sen
(
pi x
)
cos(npi x) dx
=
∫
1
0
[
sen
(
(n+ 1)pi x
)
+ sen
(
(n− 1)pi x)] dx
= −2 ((−1)
n + 1)
(n2 − 1)pi ,
se n 6= 1, calculando diretamente, temos:
a1 = 2
∫
1
0
sen
(
pi x
)
cos(pi x) dx = 0.
Por outro lado a2n+1 = 0 e a2n = − 4
pi (1− 4n2) . Logo:
S[f ] =
2
pi
−
∞∑
n=1
4
pi (1− 4n2)cos
(
2npi x
)
.
Observe o comportamento de f e S2(x). Compare como o comportamento nos outros
exemplos:
1
Figura 4.14: Gráfico de f (verde) e S2 (azul).
[6] Ache S[f ] se f(x) = x2 + 2x, x ∈ [−1, 1] e é tal que f(x) = f(x+ 2).
-4 -2 2 4
3
Figura 4.15: Gráfico de f do exemplo [5].
4.4. LINEARIDADE DOS COEFICIENTES DE FOURIER 117
2 l = 2, então l = 1; f não é par ou ímpar, logo:
a0 =
∫
1
−1
sen
(
pi x
)
dx =
2
3
.
an =
∫
1
−1
[
(x2 + 2x) cos(npi x)
]
dx =
4 (−1)n
pi2 n2
bn =
∫
1
−1
[
(x2 + 2x) sen(npi x)
]
dx =
4 (−1)n+1
npi
.
Logo:
S[f ] =
1
3
+
4 (−1)n
pi n
∞∑
n=1
[cos(npi x)
pi n
− sen(npi x)].
4.4 Linearidade dos Coeficientes de Fourier
Sabemos que os coeficientes de Fourier de S[f ] dependem somente de f . Sendo calcu-
lados através de uma integral, resulta que estes coeficientes dependem linearmente da
função; se denotamos por an(f) e bn(f) os coeficientes de S[f ], então:
an
(
α f + β g
)
= αan(f) + β an(g), n = 0, 1, . . .
bn
(
α f + β g
)
= α bn(f) + β bn(g), n = 1, 2, . . .
para toda f e g nas condições de Fourier e todo α, β ∈ R.
Exemplo 4.5.
[1] Calcule S[h], onde h(x) =
l
2
− |x|, x ∈ [−l, l] é tal que h(x+ 2 l) = h(x).
Seja f(x) = |x|, x ∈ [−l, l] é tal que f(x+ 2 l) = f(x); sabemos que sua série de Fourier é:
S[f ] =
l
2
−
∞∑
n=1
4 l
pi2 (2n − 1)2 cos(λ2n−1 x).
Utilizando a linearidade dos coeficientes de Fourier:
a0(f) = l, an(f) = − 4 l
(2n− 1)2 pi2 e bn(f) = 0
para todo n ∈ N; então:
a0(h) = a0
[
l
2
− |x|
]
=
l
2
a0(1)− a0(f) = l − l = 0
an(h) = an
[
l
2
− |x|
]
=
l
2
an(1) − an(f) = − an(f), n = 0, 1, . . .
bn(h) = bn(1) − bn(f) = 0, n = 1, 2, . . .
118 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER
Note que h é par; logo:
S[h] =
∞∑
n=1
4 l
pi2 (2n − 1)2 cos(λ2n−1 x).
-1 1 2-2
Figura 4.16: Gráfico de h para l = 1.
[2] Calcule S[h], onde h(x) = 2x2 − x, x ∈ [−l,l] e tal que h(x+ 2) = h(x).
Pela linearidade dos coeficientes de Fourier, devemos somente calcular a série de Fourier
de f(x) = x2, x ∈ [−l, l] e tal que f(x+ 2) = f(x); l = 1 e f é par:
a0 = 2
∫
1
0
x2 dx =
2
3
bn = 0, n = 1, 2, . . .
an = 2
∫
1
0
x2 cos(npi x) dx =
4 (−1)n
n2 pi2
n = 1, 2, . . .
Por outro lado, seja g(x) = x, x ∈ [−l, l] e tal que g(x + 2) = g(x); sabemos que g é ímpar
e sua série de Fourier é:
S[g] =
∞∑
n=1
2 (−1)n+1
npi
sen
(
npi x
)
.
Então:
a0(h) = 2 a0(f)− a0(g) = 2 a0(f) = 4
3
an(h) = 2 an(f)− an(g) = 2 an(f) = 8 (−1)
n
n2 pi2
, n = 1, 2, . . .
bn(h) = 2 bn(f)− bn(g) = −bn(g) = −2 (−1)
n+1
npi
=
2 (−1)n
npi
, n = 1, 2, . . .
Logo:
S[h] =
2
3
+
∞∑
n=1
2 (−1)n+1
npi
[
4
npi
cos(npi x) + sen(npi x)
]
.
4.5. EXTENSÃO PAR E ÍMPAR 119
-1 1 3-3
1
2
Figura 4.17: Gráfico de h.
4.5 Extensão Par e Ímpar
Considere o seguinte problema: Dada uma função:
f : [0, l] −→ R,
é possível definir S[f ]?
Para responder a esta questão, lembramos primeiramente que os conjuntos
W1 = {1, Ψn /n ∈ N} e W2 = {Φn /n ∈ N}
são ortogonais em C
(
[0, l]
)
, onde Φn e Ψn são dados por (4.1).
Definição 4.4. Seja f : [0, l] −→ R:
1. A extensão par de f é denotada e definida por:
fp(x) =
{
f(x) se 0 ≤ x ≤ l
f(−x) se − l ≤ x < 0.
fp(−x) = fp(x), isto é, fp é par.
Figura 4.18: Gráficos de f (azul) e fp.
120 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER
2. A extensão ímpar de f é denotada e definida por:
fo(x) =
{
f(x) se 0 ≤ x ≤ l
−f(−x) se − l ≤ x < 0.
fo(−x) = −fo(x), isto é, fo é ímpar.
Figura 4.19: Gráficos de f (azul) e fo.
Exemplo 4.6.
Considere a função: f(x) =


x se 0 ≤ x < pi
2
pi − x se pi
2
≤ x < pi.
Então:
fp(x) =


−x se − pi
2
≤ x < 0
pi + x se − pi ≤ x < −pi
2
x se 0 ≤ x < pi
2
pi − x se pi
2
≤ x < pi.
pp
2
p
2
Figura 4.20: Gráficos de f (azul) e fp.
4.5. EXTENSÃO PAR E ÍMPAR 121
fo(x) =


x se − pi
2
≤ x < pi
2
−pi − x se − pi ≤ x < −pi
2
pi − x se pi
2
≤ x < pi.
pp
2
p
2
Figura 4.21: Gráficos de f (azul) e fo.
As funções fp, fo : [−l, l] −→ R são tais que fp(x) = fo(x) = f(x) se x ∈ [0, l]. Se f está
nas condições de Fourier, então fp e f0 satisfazem às condições de Fourier.
Se f é definida num intervalo I do tipo [a, b) ou (a, b], então podemos estender f para
todo R de forma periódica de período T = b − a, fazendo f(x + k T ) = f(x) para todo
x ∈ I e k ∈ Z. Por exemplo:
Exemplo 4.7.
A função f(x) = sen(x), −pi
2
≤ x ≤ pi
2
pode ser estendida de forma periódica de período
pi para todo x ∈ R e seu gráfico é:
2 pp-p-2 p
-1
1
Figura 4.22: Gráficos de f (vermelho) e sua extensão.
Considerando fp e fo periódicas de período 2 l e satisfazendo às condições de Fourier,
podemos definir as respectivas séries de Fourier.
122 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER
4.6 Séries dos Co-senos e dos Senos
4.6.1 Séries dos Co-senos
Seja f : [0, l] −→ R e fp sua extensão par, periódica de período 2 l e nas condições de
Fourier; então:
S[fp] =
a0
2
+
∞∑
n=1
an cos(λn x),
onde:
an =
1
l
∫ l
−l
fp(x) cos(λn x) dx =
2
l
∫ l
0
f(x) cos(λn x) dx, n = 1, 2, . . .
tal que λn =
npi
l
. Na última integral utilizamos o fato de que fp = f em [0, l].
4.6.2 Séries dos Senos
Seja f : [0, l] −→ R e fo sua extensão ímpar, periódica de período 2 l e nas condições de
Fourier; então:
S[fo] =
∞∑
n=1
an sen(λn x),
onde:
bn =
1
l
∫ l
−l
f0(x) sen(λn x) dx =
2
l
∫ l
0
f(x) sen(λn x)) dx, n = 1, 2, . . .
tal que λn =
npi
l
. Na última integral utilizamos o fato de que f0 = f em [0, l].
Definição 4.5. S[fp] é dita a série dos co-senos de f ; analogamente, S[fo] é dita a série dos senos
de f .
Como, f = fp = fo em [0, l], definimos a série de Fourier de f como:
S[f ] = S[fp], ou S[f ] = S[fo].
Exemplo 4.8.
[1] Seja f(x) = x tal que x ∈ [0, 1]. Ache S[f ].
Determinemos fp:
fp(x) =
{
x se 0 ≤ x ≤ 1
−x se − 1 ≤ x < 0,
isto é, fp(x) = |x| onde x ∈ [−1, 1]; fazendo fp periódica de período 2:
4.6. SÉRIES DOS CO-SENOS E DOS SENOS 123
Figura 4.23: Gráfico de fp.
l = 1, então a0 = 1 e:
an = 2
∫
1
0
x cos
(
npi x) dx =
2
(
(−1)n − 1)
n2 pi2
.
Logo a2n = 0 e a2n−1 = − 4
pi2 (2n − 1)2 e a série dos co-senos de f é:
S[fp] =
1
2
−
∞∑
n=1
4
pi2 (2n − 1)2 cos
(
(2n− 1)pi x).
Determinemos f0:
f0(x) =
{
x se 0 ≤ x ≤ 1
x se − 1 ≤ x < 0,
isto é, f0(x) = x onde x ∈ [−1, 1]; fazendo fo periódica de período 2:
-4 -2 2 4
-1
1
Figura 4.24: Gráfico de fo.
l = 1, então:
bn = 2
∫
1
0
x sen
(
npi x) dx =
2 (−1)n+1
npi
.
124 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER
Logo, a série dos senos de f é:
S[fo] =
∞∑
n=1
2 (−1)n+1
npi
sen
(
npi x).
Observe que S[f0] não é igual a f no ponto x = 1.
[2] Seja f(x) = x2 tal que x ∈ [0, pi]. Ache S[f ].
Determinemos fp:
fp(x) =
{
x2 se 0 ≤ x ≤ pi
(−x)2 se − pi ≤ x < 0,
isto é, fp(x) = x2 onde x ∈ [−pi, pi]; fazendo fp periódica de período 2 pi:
Figura 4.25: Gráfico de fp.
l = pi, então a0 =
2pi2
3
e:
an
2
pi
∫ pi
0
x2 cos
(
nx) dx =
4 (−1)n+1
n2
.
Logo, a série dos co-senos de f é:
S[fp] =
pi2
3
−
∞∑
n=1
4 (−1)n+1
n2
cos(nx).
Determinemos f0:
f0(x) =
{
x2 se 0 ≤ x ≤ pi
−x2 se − pi ≤ x < 0,
onde x ∈ [−pi, pi]; fazendo fo periódica de período 2 pi:
4.7. CONTINUIDADE E DIFERENCIABILIDADE POR PARTES 125
Figura 4.26: Gráfico de fo.
l = pi, então:
bn =
2
pi
∫ pi
0
x2 sen
(
x) dx =
2 [−2 + (−1)n+1 (2− n2 pi2)]
n3 pi
.
Logo, a série dos senos de f é:
S[fo] =
∞∑
n=1
2 [−2 + (−1)n+1 (2− n2 pi2)]
n3 pi
sen(nx).
4.7 Continuidade e Diferenciabilidade por Partes
4.7.1 Continuidade por Partes
Definição 4.6. O salto de uma função f no ponto x0 é denotado e definido por:
sal(f)(x0) = f(x
+
0
)− f(x−
0
),
onde f(x+
0
) = lim
x−→x+
0
f(x) e f(x−
0
) = lim
x−→x−
0
f(x).
sal(f)(x ) 
x0
0
Figura 4.27: Salto de uma função.
Se f é contínua em x0, então sal(f)(x0) = 0.
126 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER
Definição 4.7. Uma função f é contínua por partes se:
1. f tem um número finito de descontinuidades em qualque intervalo limitado e
2. sal(f)(x) é finito para todo x ∈ R.
Se f é contínua, então f é contínua por partes. Se f e g são contínuas por partes, então
f + g e f g são contínuas por partes. Se f é contínua por partes em [−l, l] e é tal que
f(x+ 2 l) = f(x), então f é contínua por partes em R.
As funções contínuas por partes em [a, b] são limitadas e integráveis em [a, b]. Logo,
satisfazem à condição de Fourier.
Exemplo 4.9.
[1] Considere a função f(x) = sign(x), o sinal de x:
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
Figura 4.28: Gráfico de f(x) = sign(x)
f(x) = sign(x) é contínua por partes, pois só tem uma descontinuidade em x0 = 0 e
sal(f)(0) = 2.
[2] A função f(x) =
1
x
, x ∈ R− {0} não é contínua por partes, pois sal(f)(0) não existe.
Figura 4.29: Gráfico de f(x) =
1
x
4.8. CONVERGÊNCIAS 127
4.7.2 Diferenciabilidade por Partes
Definição 4.8. Uma função f é diferenciável por partes se:
1. f é contínua por partes e
2. f ′ é contínua por partes.
Exemplo 4.10.
[1] A função f(x) = |x| é diferenciável por partes em x0 = 0. Pois:
f ′(x) =
{
1 se 0 < x
−1 se 0 > x,
é contínua por partes.
[2] A função f(x) = 3
√
x2 , |x| ≤ 1 é contínua e não é diferenciável por partes em x0 = 0.
De fato:
f ′(x) =
2
3 3
√
x
,
se x 6= 0. Logo, f ′(0+) e f ′(0−) não existem.
Figura 4.30: Gráfico de f(x) = x2/3
f ′ não está necessariamente definida em todos os pontos;por exemplo, f ′ não pode existir
onde f seja descontínua, mas f ′ também pode não existir ainda nos pontos onde f é
contínua. Veja o exemplo anterior.
4.8 Convergências
4.8.1 Convergência Pontual
Teorema 4.4. (Dirichlet) Seja f ∈ Cper diferenciável por partes; então, para cada x:
S[f ](x) =
f(x+) + f(x−)
2
.
128 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER
Corolário 4.5. Seja f ∈ Cper diferenciável por partes; então, para cada x onde f for contínua:
S[f ](x) = f(x).
Exemplo 4.11.
[1] Seja:
f(x) =
{
1 se 0 ≤ x ≤ pi
0 se −pi ≤ x < 0,
tal que f(x) = f(x+ 2):
(a) Esboce o gráfico da série de Fourier de f .
(b) Utilize S[f ] para determina a soma:
∞∑
n=1
(−1)n+1
2n − 1
1
Figura 4.31: Gráfico de f(x)
(a) Como f é diferenciável por partes, pelo teorema de Dirichlet S[f ](x) = f(x) se x 6= npi
e n ∈ Z. Por outro lado, para todo x0 = npi tal que n ∈ Z, sal(f)(x0) = 1
2
. Logo, o gráfico
de S[f ] é:
1
Figura 4.32: Gráfico de S[f ]
4.8. CONVERGÊNCIAS 129
(b) Determinemos S[f ]:
a0 = 1
an =
1
pi
∫ pi
0
cos(nx) dx = 0
bn =
1
pi
∫ pi
0
sen(nx) dx =
(
1− (−1)n)
npi
.
Logo, b2n = 0 e b2n−1 =
2
(2n− 1)pi e:
S[f ] =
1
2
+
∞∑
n=1
2
(2n− 1)pi sen
(
(2n − 1)pi x).
f é diferenciável por partes e contínua em x0 =
pi
2
; então, aplicando o teorema, temos:
S[f ](x0) = f(x0) = 1. Utilizando que sen
(
(2n − 1)pi x) = −cos(npi) = (−1)n+1, temos:
1 =
1
2
+
∞∑
n=1
2 (−1)n+1
(2n − 1)pi .
Isto é:
∞∑
n=1
(−1)n+1
2n − 1 =
pi
4
.
[2] Utilize a série de Fourier de f(x) = x2, x ∈ [−l, l] e f(x) = f(x + 2 l) para calcular a
soma da série
∞∑
n=1
1
n2
.
1
Figura 4.33: Gráfico de f
Como f é par bn = 0 para todo n ∈ N. Por outro lado:
a0 =
2
l
∫ l
0
x2 dx =
2 l2
3
an =
2
l
∫ l
0
x2 cos
(npi x
l
)
dx =
4 l2 (−1)n
n2 pi2
, n ∈ N.
130 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER
Logo, S[f ] =
l2
3
+
∞∑
n=1
4 l2 (−1)n
n2 pi2
cos
(npi x
l
)
. Aplicando o teorema para x0 = l :
l2 =
l2
3
+
4 l2
pi2
∞∑
n=1
1
n2
.
Isto é:
∞∑
n=1
1
n2
=
pi2
6
.
[3] Utilize a série de Fourier de f(x) = ex, x ∈ [−pi, pi] e f(x) = f(x+ 2pi) para calcular a
soma da série
∞∑
n=1
1
n2 + 1
.
-4 -2 2 4
1
Figura 4.34: Gráfico do exemplo [3]
Como f não é par ou ímpar:
a0 =
1
pi
∫ pi
−pi
ex dx =
1
pi
(epi − e−pi) = 2 senh(pi)
pi
an =
1
pi
∫ pi
−pi
ex cos(nx) dx =
(−1)n
pi (n2 + 1)
(epi − e−pi) = 2 (−1)
n senh(pi)
pi (n2 + 1)
, n = 1, 2, . . .
bn =
1
pi
∫ pi
−pi
ex sen(nx) dx = −2 (−1)
n n senh(pi)
pi (n2 + 1)
, n = 1, 2, . . .
Logo:
S[f ] =
senh(pi)
pi
[
1 + 2
∞∑
n=1
(−1)n
n2 + 1
[
cos(nx)− n sen(nx)]].
Aplicando o teorema para x0 = pi, temos que
f(pi+) + (pi−)
2
= cosh(pi) ; logo:
cosh(pi) =
2 senh(pi)
pi
[
1
2
+
∞∑
n=1
(−1)n
n2 + 1
cos(npi)
]
=
2 senh(pi)
pi
[
1
2
+
∞∑
n=1
1
n2 + 1
]
.
4.8. CONVERGÊNCIAS 131
Isto é:
∞∑
n=1
1
n2 + 1
=
1
2
[
pi
tgh(pi)
− 1
]
.
4.8.2 Convergência Uniforme
O seguinte teorema segue diretamente do teste M de Weierstrass, temos:
∞∑
n=1
[
an cos(λn x) + bn sen(λn x)
] ≤ ∞∑
n=1
∣∣an cos(λn x)∣∣+ ∣∣bn sen(λn x)∣∣ ≤ ∞∑
n=1
∣∣an∣∣+ ∣∣bn∣∣,
onde λn =
npi
l
. Então:
Teorema 4.6. A série de Fourier S[f ] tal que f ∈ Cper está nas condições de Fourier, converge
absolutamente e uniformenente a f no intervalo [−l, l] se:
∞∑
n=1
(|an|+ bn|)
converge e, neste caso f = S[f ] .
Exemplo 4.12.
Seja f(x) = |x|, x ∈ [−1, 1] tal que f(x) = f(x+ 2); então, para todo n = 1, 2, . . . bn = 0,
a1 = 1 e a2n = − 4
pi2 (2n − 1)2 .
S[f ] =
1
2
−
∞∑
n=1
4
pi2 (2n − 1)2 cos((2n − 1)pi x).
Por outro lado:
∞∑
n=1
(|an|+ bn|) = ∞∑
n=1
1
(2n − 1)2 .
Como a última série é convergente, temos que S[f ] converge uniformemente a |x| em
[−1, 1], na verdade em R, logo:
|x| = 1
2
−
∞∑
n=1
4
pi2 (2n − 1)2 cos
(
(2n − 1)pi x).
Observações sobres os coeficientes de S[f ]
Com a hipótese de f ∈ Cper e estar nas condições de Fourier, nos parágrafos anteriores,
obtivemos:
132 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER
|an| ≤ 1
l
∫ l
−l
|f(x)| dx
|bn| ≤ 1
l
∫ l
−l
|f(x)| dx.
Suponhamos que f ∈ Cper e que f ′ está nas condições de Fourier, então, integramos por
partes:
(1) an =
1
l
∫ l
−l
f(x)Ψn(x) dx
(2) bn =
1
l
∫ l
−l
f(x)Φn(x) dx.
Logo, (1):
an =
1
npi
f(x)Φ(x)
∣∣l
−l
− 1
npi
∫ l
−l
f ′(x)Φ(x) dx = − 1
npi
∫ l
−l
f ′(x)Φ(x) dx,
tomando valor absoluto:
|an| ≤ 1
npi
∫ l
−l
|f ′(x)| dx.
Analogamente:
|bn| ≤ 1
npi
∫ l
−l
|f ′(x)| dx.
Suponhamos que f ∈ Cper, que f ′ é contínua e que f ′′ está nas condições de Fourier.
Voltando a integrar por partes, obtemos:
|an| ≤ l
n2 pi2
∫ l
−l
|f ′′(x)| dx e |bn| ≤ l
n2 pi2
∫ l
−l
|f ′′(x)| dx.
Como f ′′ está nas condições de Fourier, denotamos a constante
l
pi2
∫ l
−l
|f ′′(x)| dx porM ,
logo:
|an| ≤ M
n2
e |bn| ≤ M
n2
.
Então: ∣∣an cos(λn x) + bn sen(λn x)∣∣ ≤ |an|+ |bn| ≤ 2M
n2
;
como
∞∑
n=1
1
n2
converge, pelo teorema, a série S[f ] converge uniformemente a f .
As condições impostas anteriormente a f são muito restritivas e deixam de fora uma
grande quantidade de exemplos interessantes. O seguinte teorema nos diz com que classe
de funções ainda é possível obter convergência uniforme.
4.8. CONVERGÊNCIAS 133
Teorema 4.7. Se f ∈ Cper é contínua por partes e f ′ está nas condições de Fourier, então S[f ]
converge uniformemente para f em todo intervalo fechado que não contenha pontos de desconti-
nuidade de f .
Em particular, se f(−l) 6= f(l), então S[f ] não pode convergir para f . Se f ∈ Cper é
contínua e diferenciável por partes, então S[f ] converge uniformemente para f em todo
R.
Se f é definida em (−l, l) e a extensão periódica de f satisfaz às condições do teorema,
então S[f ] converge uniformemente para f em [−l, l].
Exemplo 4.13.
[1] A função f(x) = |sen(x)|, x ∈ [−pi, pi] tal que f(x) = f(x + 2pi) é contínua e diferen-
ciável por partes; logo S[f ] converge uniformemente a f .
[2] Considere a função f(x) = x, x ∈ [−1, 1] tal que f(x) = f(x + 2); logo S[f ] não
converge uniformemente para f , pois f(−1) 6= f(1).
Teorema 4.8. Se f é definida em (−l, l) é é contínua por partes, f ′ está nas condições de Fourier
e f(l−) = f(l+), então S[f ] converge uniformemente para f em [−l, l].
Uma função periódica ímpar é contínua se f(0) = f(−l) = f(l) = 0, então a extensão
ímpar de uma função definida em (0, l) pode ter descontinuidades. As extensões pares
não apresentam esta dificuldade.
Corolário 4.9.
1. Se f é definida em (0, l) e é contínua por partes, f ′ está nas condições de Fourier e f(l−) =
f(l+) = 0, então a série dos senos de f converge uniformemente para f em [−0, l].
2. Se f é definida em (0, l) e é é contínua por partes e f ′ está nas condições de Fourier, então a
série dos co-senos de f converge uniformemente para f em [−0, l].
Note a diferença do comportamento das somas parciais das séries de Fourier em relação
à função quando S[f ] converge uniformemente ou não para f :
1. Seja f(x) = |x|, x ∈ [−1, 1]. A série S[f ] converge uniformemente em [−1, 1]; dese-
nhos de f (azul) S1 e S2 (vermelho), respectivamente:
-1 1
1
-1 1
1
134 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER
2. Seja f(x) = x, x ∈ [−1, 1]. S[f ] não converge uniformemente em [−1, 1]; desenhos
de f (azul) S1 e S3 (vermelho), respectivamente:
-1 1
-1
1
-1 1
-1
1
Teorema 4.10. Se f ∈ Cper é contínua por partes e diferenciável por partes, então a série de
Fourier de f é única.
4.8.3 Fenômenode Gibbs
Nos parágrafos anteriores observamos que se existir um ponto de descontinuidade de f
num intervalo, a série de Fourier S[f ] não converge uniformemente a f nesse intervalo.
Na vizinhança de um ponto de descontinuidade de f , as somas parciais de S[f ] não
ficam próximas de f ; pelo contrário, tem um comportamento oscilatório. Na verdade,
na vizinhança de um ponto de descontinuidade, o valor de f e das somas parciais de
S[f ] diferem num valor aproximado de 9% do valor do salto na descontinuidade. Este
comportamento é conhecido com o nome de fenômeno de Gibbs.
Definindo ωn(x0), a oscilação da soma parcial de ordem n de S[f ], no ponto de descon-
tinuidade x0, como a diferença entre o máximo e o mínimo da soma parcial de ordem n
no ponto x0, Gibbs observou que o valor desta oscilação não se aproxima do sal(f)(x) se
x ∈ (x0 − ε, x0 + ε), não importando se ε é arbitrariamente pequeno. Vejamos o seguinte
exemplo.
Exemplo 4.14.
Seja
f(x) =
{
1 se 0 ≤ x ≤ pi
−1 se −pi ≤ x < 0.
tal que f(x) = f(x+ 2pi):
Consideremos a seguinte soma parcial de S[f ]:
Sn =
n∑
k=1
4
(2 k − 1)pi sen
(
(2 k − 1)x).
Observemos os gráficos de f e da somas:
4.8. CONVERGÊNCIAS 135
S1 =
4
pi
[
sen(x)
]
S2 =
4
pi
[
sen(x) +
sen(3x)
3
]
S3 =
4
pi
[
sen(x) +
sen(3x)
3
+
sen(5x)
5
]
S4 =
4
pi
[
sen(x) +
sen(3x)
3
+
sen(5x)
5
+
sen(7x)
7
]
A seguir os gráficos de f (vermelho) e Sn (azul) para n = 1, 2, 3, 4, no intervalo [−pi, pi]:
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
Note que nos desenhos verifica-se o teorema de Dirichlet. Nos seguintes desenhos o
gráfico de f e S100:
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
136 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER
Nos seguintes desenhos um zoom dos desenhos anteriores
0.2 0.4 0.6 0.8
0.97
0.98
0.99
1.01
1.02
1.03
0.2 0.4 0.6 0.8
1
Note que sal(0) = 2 e
1
2
[
f(0+) + f(0−)
]
= 0. É possível provar que o ponto de máximo
mais próximo pela direita de 0 é x =
pi
2n
e que:
lim
n→+∞
S2n−1
( pi
2n
)
=
2
pi
Si(pi) ≃ 1.1789 . . .
onde Si(x) =
∫ x
0
sen(t)
t
dt. Por outro lado f(0) = 1, ou seja excede em, aproximada-
mente, 0.18, isto é 9% do sal(0) = 2.
4.9 Integração e Derivação das Séries de Fourier
Sabemos que se uma série de funções converge uniformemente para uma função, então, a
função preserva as mesmas propriedades das funções que formam a série. Mas, as séries
de Fourier pussuem a seguinte propriedade notável:
Proposição 4.3. Se f ∈ Cper é contínua por partes, então:
1. S[f ] pode ser integrada termo a termo:
∫ x
a
f(t) dt =
a0
2
(x− a) +
∞∑
n=1
[
an
∫ x
a
cos(λn t) dt+ bn
∫ x
a
sen(λn t) dt
]
,
onde a, x ∈ [−l, l] e λn = npi
l
.
2. A função F (x) =
∫ x
0
[
f(t) − a0
2
]
dt é periódica de período 2 l, contínua e F ′ é contínua
por partes, e:
∫ x
0
[
f(t)− a0
2
]
dt =
l
pi
∞∑
n=1
bn
n
+
l
pi
∞∑
n=1
1
n
[− bn cos(λn x) + an sen(λn x)].
Este resultado é notável pois vale mesmo que S[f ] não convirga para f .
4.9. INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃODAS SÉRIES DE FOURIER 137
De fato, F é contínua, pelo teorema fundamental do cálculo e F ′(x) = f(x) se f for
contínua. F é periódica de período 2 l, logo:
F (x) =
c0
2
+
∞∑
n=1
[
cnΨn + dnΦn
]
.
Integrado por partes, relacionaremos os coeficientes de Fourier de F com os de f :
cn =
1
l
[
l
n pi
F (x)Φn
∣∣∣∣
l
−l
− l
n pi
∫ l
−l
F ′(x)Φn dx
]
= − l
n pi
bn,
se n > 1. Analogamente:
dn =
l
n pi
an,
se n > 1. Como F (0) = 0, da série de Fourier de F , temos:
0 =
c0
2
+
∞∑
n=1
cn,
ou seja, c0 =
2 l
pi
∞∑
n=1
bn
n
, isto é:
l
pi
∞∑
n=1
bn
n
=
1
2 l
∫ l
−l
F (x) dx.
A série
∞∑
n=1
bn
n
é, necessariamente, convergente.
O teorema se aplica da seguinte forma. Se:
S[f ] =
a0
2
+
∞∑
n=1
[
an cos(λn x) + bn sen(λn x)
]
,
entâo:
F (x) =
∫ x
0
[
f(t)− a0
2
]
=
1
2 l
∫
2l
0
F (x) dx+
l
pi
∞∑
n=1
[− bn
n
cos(λn x) +
an
n
sen(λn x)
]
,
Exemplo 4.15.
[1] A série
∞∑
n=2
sen(nx)
ln(n)
é uma série de Fourier?
A resposta é não, pois a série:
∞∑
n=1
bn
n
=
∞∑
n=1
1
n ln(n)
138 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER
é divergente.
-2 -1 1 2
-6
-4
-2
2
4
6
Figura 4.35: Gráfico de S20, do exmplo [1].
[2] Sabemos que
x =
∞∑
n=1
2 (−1)n+1
n
sen(nx),
se x ∈ (−pi, pi). Como an = 0 e bn = 2 (−1)
n+1
n
, então:
1
2pi
∫ pi
−pi
F (x) dx =
1
2pi
∫ pi
−pi
[ ∫ x
0
t dt
]
dx =
pi2
6
.
Logo:
x2
2
=
pi2
6
+
∞∑
n=1
2 (−1)n
n2
cos(nx).
Integrando novamente:
x3
6
− pi
2 x
6
=
∞∑
n=1
2 (−1)n
n3
sen(nx).
Proposição 4.4. Se f ∈ Cper é contínua por partes e diferenciável por partes, então:
S[f ′] =
(
S[f ]
)
′
.
Isto é, S[f ] pode ser derivada termo a termo.
Exemplo 4.16.
Sabemos que f(x) = |x|, x ∈ [−1, 1] tal que f(x) = f(x + 2), é contínua por partes,
diferenciável por partes e:
|x| = 1
2
+
∞∑
n=1
4
pi2 (2n − 1)2 cos
(
(2n− 1)pi x).
4.10. CONVERGÊNCIA EMMÉDIA 139
Então a série de Fourier de f ′(x) =
{
1 se 0 < x < 1
−1 se −1 < x < 0 é:
S[f ′] = −
∞∑
n=1
4
(1− 2n)pi sen
(
(2n − 1)pi x).
Note que a série não converge nos pontos onde f ′′ não existe.
4.10 Convergência emMédia
Uma função f : [a, b] −→ R é dita de quadrado integrável se:
∫ b
a
|f(x)|2 dx < +∞.
Observações 4.1.
1. Se f for limitada e integrável sobre [a, b], então é de quadrado integravél sobre [a, b].
De fato, se f é limitada, existe k > 0 tal que |f(x)| ≤ k para todo x ∈ [a, b] e:
∫ b
a
|f(x)|2 dx ≤ k2
∫ b
a
dx = k2 (b− a).
2. Se f não for limitada, ainda assim pode ser integrável e |f |2 não integrável. Como
no caso de f(x) =
1√
x
em (0, 1).
Definição 4.9. Seja a sequência
(
fn
)
n∈N
tal que cada fn é de quadrado integrável em [a, b].
Dizemos que
(
fn
)
n∈N
converge em média quadrática para uma função f de quadrado integrável,
se:
lim
n→+∞
∫ b
a
∣∣f(x)− fn(x)∣∣2 dx = 0.
Observações 4.2.
1.
∫ b
a
∣∣f(x)− fn(x)∣∣2 dx é dito erro médio quadrático de aproximação.
2. A seguir, verificaremos se as somas parciais de S[f ], onde f é de quadrado integrá-
vel, convergem emmédia quadrática a f .
Primeiramente, consideremos a função:
gN (x) = c0 +
N∑
n=1
cnΨn + dnΦn,
140 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER
onde Φn e Ψn são dados por (4.1). Denotemos por:
EN =
∫ l
−l
∣∣f(x)− gN (x)∣∣2 dx =
∫ l
−l
f2(x) dx− 2
∫ l
−l
f(x) gN (x) dx+
∫ l
−l
g2N (x) dx.
Por outro lado:
∫ l
−l
f(x) gN (x) dx = c0
∫ l
−l
f(x) dx+
N∑
n=1
cn
∫ l
−l
f(x)Ψn dx+ dn
∫ l
−l
f(x)Φn dx
= l c0 a0 + l
N∑
n=1
[
cn an + dn bn
]
.
Análogamente, utilizando a ortogonalidade de Ψn e Φn, temos:
∫ l
−l
(
gN (x)
)2
dx = 2 l c20 + l
N∑
n=1
[
c2n + d
2
n
]
.
Logo, podemos reescrever:
EN =
∫ l
−l
(
f(x)
)2
dx− 2 l
[
c0 a0 +
N∑
n=1
[
cn an + dn bn
]]
+ l
[
2 c20 +
N∑
n=1
[
c2n + d
2
n
]]
.
Derivando para achar os pontos críticos, temos:
∂EN
∂c0
= −2 l a0 + 4 l c0 = 0
∂EN
∂c1
= −2 l a1 + 2 l c1 = 0
∂EN
∂d1
= −2 l b1 + 2 l d1 = 0
...
∂EN
∂cn
= −2 l an + 2 l cn = 0
∂EN
∂dn
= −2 l bn + 2 l dn = 0
Não é difícil ver que os valores c0 =
a0
2
, cn = an e dn = bn minimizam EN ; então:
gN (x) = SN ,
onde, SN é a N -ésima soma parcial de S[f ]. Denotemos por EN o menor dos EN , utili-
zando os mesmos argumentosanteriores:
EN =
∫ l
−l
(
f(x)
)2
dx− l
[
a20
2
+
N∑
n=1
[
a2n + b
2
n
]]
;
4.10. CONVERGÊNCIA EMMÉDIA 141
como EN ≥ 0, temos:
1
l
∫ l
−l
(
f(x)
)2
dx ≥ a
2
0
2
+
N∑
n=1
[
a2n + b
2
n
]
;
esta desigualdade é válida para todo N ; então, fazendo N −→ +∞, obtemos:
1
l
∫ l
−l
(
f(x)
)2
dx ≥ a
2
0
2
+
∞∑
n=1
[
a2n + b
2
n
]
;
esta desigualdade é chamada de Bessel.
A desiguladade de Bessel implica que:
∞∑
n=1
[
a2n + b
2
n
]
converge e o seguinte resultado, que foi fundamental no desenvolvimento da teoria das
séries de Fourier:
Lema (Riemann-Lebesgue) Se f ∈ Cper e é contínua por partes, então:
lim
n−→+∞
an = lim
n−→+∞
bn = 0,
onde an e bn são os coeficientes de S[f ].
Teorema 4.11. Se f ∈ Cper e é de quadrado integrável, então S[f ] converge em média para f .
Logo, se f ∈ Cper e é de quadrado integrável, então obtemos:
1
l
∫ l
−l
(
f(x)
)2
dx =
a20
2
+
∞∑
n=1
[
a2n + b
2
n
]
,
esta igualdade é chamada identidade de Parseval.
4.10.1 Aplicações
Normalizemos o erro médio quadrático, da seguinte forma, seja:
E2N =
1
2 l
EN ,
então:
E2N =
1
2 l
[ ∫ l
−l
(
f(x)
)2
dx
]
− 1
2
[
a20
2
+
N∑
n=1
[
a2n + b
2
n
]]
.
Utilizando a identidade de Parseval:
E2N =
1
2
[
a20
2
+
∞∑
n=1
[
a2n + b
2
n
]]− 1
2
[
a20
2
+
N∑
n=1
[
a2n + b
2
n
]]
;
142 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER
logo:
E2N =
1
2
∞∑
n=N+1
[
a2n + b
2
n
]
.
Exemplo 4.17.
[1] Sabemos que se f(x) = |x|, x ∈ [−1, 1] é tal que f(x) = f(x+ 2), então:
|x| = 1
2
− 4
pi2
∞∑
n=1
cos
(
(2n − 1)pi x)
(2n− 1)2 .
f é de quadrado integrável e
∫
1
−1
|x|2 dx = 2
3
. Aplicando a identidade de Parseval, temos:
1
2
+
∞∑
n=1
16
(2n − 1)4 pi4 =
2
3
,
logo:
∞∑
n=1
1
(2n − 1)4 =
pi4
96
.
[2] Seja f(x) = x, x ∈ [−1, 1] tal que f(x) = f(x + 2). Quantos termos deve ter Sn para
que S[f ] convirga em média para f com um erro menor que 1%?
Sabemos que: S[f ] =
∞∑
n=1
2 (−1)n+1
npi
sen
(
npi x
)
, logo:
E2N =
1
2
∞∑
n=N+1
4
n2 pi2
=
2
pi2
∞∑
n=N+1
1
n2
.
Por outro lado:
∞∑
n=N+1
1
n2
≤
∫
+∞
N
dx
x2
= lim
b−→+∞
∫ b
N
dx
x2
= lim
b−→+∞
[
1
N
− 1
b
]
=
1
N
.
Então, E2N ≤
2
pi2 N
< 0.01; dondeN > 20.26. Logo são necessários 21 termos.
-1 1
-1
1
Figura 4.36: Gráfico de S21.
4.10. CONVERGÊNCIA EMMÉDIA 143
[3] Seja f(x) = |x|, x ∈ [−1, 1] tal que f(x) = f(x+ 2). Quantos termos deve ter Sn para
que S[f ] convirga em média para f com um erro menor que 1%?
Sabemos que: S[f ] =
1
2
− 4
pi2
∞∑
n=1
cos
(
(2n− 1)pi x)
(2n− 1)2 , logo:
E2N =
1
2
∞∑
n=N+1
16
(2n − 1)4 pi4 =
8
pi4
∞∑
n=N+1
1
(2n − 1)4 .
Por outro lado:
∞∑
n=N+1
1
(2n − 1)4 ≤
∫
+∞
N
dx
(2x− 1)4 =
1
6 (2N − 1)3 .
Então, E2N ≤
8
6pi4 (2N − 1)3 < 0.01; dondeN > 1.05. Logo são necessários 2 termos.
-1 1
Figura 4.37: Gráfico de S2.
144 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER
4.11 Exercícios
1. Verifique que se f e g são períodicas de periódo T , então f + g e f g são períodicas de
periódo T .
2. Seja F (x) =
∫ x
0
f(t) dt. Verifique que:
a) F é par se f é ímpar
b) F é ímpar se f é par
3. Seja f(x) = cos(αx) + cos(β x). Verifique que f é periódica se
α
β
∈ Q.
4. Se f é periódica de período 2 l, verifique que:
F (x) =
∫ x
0
[
f(t)− a0
2
]
dt,
onde a0 ∈ R, é periódica de período 2 l.
5. Sejam P = Pn(x) os polinômios de Legendre. Verifique que são ortogonais emC([−1, 1]):
Pn · Pm =
∫
1
−1
Pn(x)Pm(x) dx = 0,
se n 6= m e Pn · Pn = 2
2n+ 1
. Utilize a fórmula de Rodrigues.
6. Determine S[f ], se:
a) f(x) = 2x; x ∈ [−1, 1] tal que f(x) = f(x+ 2)
b) f(x) = 2x− 1; x ∈ [−1, 1] tal que f(x) = f(x+ 2)
c) f(x) = x2 + x; x ∈ [−pi, pi] tal que f(x) = f(x+ 2pi)
d) f(x) = ex, x ∈ [−1, 1] tal que f(x) = f(x+ 2)
e) f(x) = senh(x), x ∈ [−1, 1] tal que f(x) = f(x+ 2)
f) f(x) = cosh(x), x ∈ [−1, 1] tal que f(x) = f(x+ 2)
g) f(x) = 2 cos2(x), x ∈ [−pi, pi] tal que f(x) = f(x+ 2pi)
h) f(x) = cos(3x) + cos2(x), x ∈ [−pi, pi] tal que f(x) = f(x+ 2pi)
4.11. EXERCÍCIOS 145
i) f(x) =


1
2
+ x se − 1 ≤ x < 0
1
2
− x se 0 ≤ x < 1
, tal que f(x) = f(x+ 2)
j) f(x) =
{
−x+ pi se − pi ≤ x ≤ 0
x se 0 < x < pi
, tal que f(x) = f(x+ 2pi)
k) f(x) =


0 se − 3pi ≤ x < pi
1 se pi ≤ x < 2pi
2 se 2pi ≤ x < 3pi
, tal que f(x) = f(x+ 6pi)
l) f(x) =
{
0 se − pi ≤ x < 0
x2 se 0 ≤ x < pi , tal que f(x) = f(x+ 2pi)
m) f(x) =
{
0 se − pi ≤ x < 0
x3 se 0 ≤ x < pi , tal que f(x) = f(x+ 2pi)
n) A função que tem como gráfico:
pi
−pi pi 2pi
o) A função que tem como gráfico:
63-3-6
-3
146 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER
p) A função que tem como gráfico:
−pi[
pi
pi
−pi
7. Determine S[f ], onde:
a) f(x) = ax+ b, x ∈ [−l, l], tal que f(x) = f(x+ 2 l)
b) f(x) = ax2 + b x+ c, x ∈ [−l, l], tal que f(x) = f(x+ 2 l)
8. Determine a expressãomatemática de fp, fo e esboce os gráficos de fp e fo das funções:
a) f(x) = 2x, x ∈ [0, 1]
b) f(x) = x2 + 1, x ∈ [0, 1]
c) f(x) = x2 − x+ 1, x ∈ [0, 1]
d) f(x) = ex, x ∈ [0, 1]
e) f(x) = cos(pi x), x ∈ [0, 1]
f) f(x) = x3, x ∈ [0, 1]
g) f(x) = cosh(x), x ∈ [0, 1]
h) f(x) = senh(x), x ∈ [0, 1]
i) A função que tem como gráfico:
pi
pi2pi/3
4.11. EXERCÍCIOS 147
j) A função que tem como gráfico:
1
2
−2
2
k) A função que tem como gráfico:
4
2
9. Determine a série dos cosenos S[fp] e dos senosS[fo], onde f é dada pelo ítem anterior.
10. Esboce os gráficos das somas parciais até de ordem 4, do ítem anterior.
11. Seja f(x) =
{
0 se − 5 < x < 0
3 se 0 < x < 5,
tal que f(x+ 10) = f(x).
Como se deve redefinir f para que S[f ] convirja em [−5, 5].
12. Utilize a série de Fourier de f(x) = ex, x ∈ [−pi, pi] tal que f(x) = f(x + 2pi) para
achar o valor da série:
∞∑
n=1
(−1)n
n2 + 1
.
148 CAPÍTULO 4. SÉRIES DE FOURIER
13. Utilize a série de Fourier de f(x) = x2, x ∈ [−pi, pi] tal que f(x) = f(x + 2pi) para
verificar que:
a)
∞∑
n=1
1
n2
=
pi2
6
b)
∞∑
n=1
(−1)n+1
n2
=
pi2
12
c)
∞∑
n=1
1
(2n − 1)2 =
pi2
8
14. Esboce o gráfico das séries de Fourier do ítem 1.
15. Utilize a série de Fourier de:
f(x) =
{
−1 se − pi ≤ x < 0
1 se 0 ≤ x < pi,
f(x) = f(x+ 2pi), para determinar por integração a série de Fourier de f(x) = |x|,
x ∈ [−pi, pi] tal que f(x) = f(x+ 2pi).
16. Determine se a série de Fourier das seguintes funções convergem uniformemente:
a) f(x) = ex, x ∈ (−1, 1)
b) f(x) = senh(x), x ∈ (−pi, pi)
c) f(x) = sen(x) + |sen(x)|, x ∈ (−pi, pi)
d) f(x) = x+ |x|, x ∈ (−1, 1)
17. Seja f(x) = x + 1|, x ∈ [−1, 1] tal que f(x) = f(x + 2). Quantos termos deve ter Sn
para que S[f ] convirga em média para f com um erro menor que 1%?
18. Seja f(x) = x2 + x, x ∈ [−1, 1] tal que f(x) = f(x+ 2). Quantos termos deve ter Sn
para que S[f ] convirga em média para f com um erro menor que 1%?

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