LISTA4CALCULO1

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Universidade Federal de Uberlaˆndia.
Disciplina: Ca´lculo 1 (GGI002)-2015-1.
Curso: Graduac¸a˜o em Gesta˜o da Informac¸a˜o.
Lista 4.
1. Determine L para que a func¸a˜o dada seja cont´ınua no ponto dado. Justifique.
(a) f(x) =


x2 − 4
x− 2 se x 6= 2
L se x = 2
em p = 2.
(b) f(x) =


x2 − x
x
se x 6= 0
L se x = 0
em p = 0.
2. Deˆ o valor (caso exista) que a func¸a˜o dada deveria ter no ponto dado para ser cont´ınua
neste ponto. Justifique.
(a) f(x) =


x2 − 9
x− 3 se x 6= 3
L se x = 3
em p = 3.
(b) f(x) =
|x− 2|
x− 2 em p = 2.
3. O potencial φ de uma distribuic¸a˜o de carga num ponto do eixo dos x e´ dado por:
φ(x) =
{
2 pi σ(
√
x2 + a2 − x) se x ≥ 0
2 pi σ(
√
x2 + a2 + x) se x < 0
a, σ > 0; φ e´ cont´ınua em 0?
4. Seja
f(x) =


2x− 2 se x < −1
Ax+B se − 1 ≤ x ≤ 1
5x+ 7 se x > 1
(a) Determinar A e B tal que f seja uma func¸a˜o cont´ınua para todo x ∈ R.
(b) Esboce o gra´fico de f .
5. A func¸a˜o f(x) =
ln(x) + arctan(x)
x2 − 1 e´ cont´ınua em (0, 1) ∪ (1,+∞)?
6. Calcule:
a) lim
x→1
ln
(
x5 + x3 + 1
x2 + 1
)x
b) lim
x→
pi
2
ln(senx) c) lim
x→1
e
x
2
−1
x+1 d) lim
x→0
cos(x2 + senx+ pi)
7. A func¸a˜o h(x) = ex
2+5x+2 e´ cont´ınua?
8. A func¸a˜o g(x) = sen
(
x6 − x2
x2 + 4
)
e´ cont´ınua?
9. Suponha que |f(x)− f(1)| ≤ (x− 1)2 para todo x. Prove que f e´ cont´ınua em 1.
1
Ca´lculo 1.
10. Suponha que |f(x)| ≤ x2 para todo x. Prove que f e´ cont´ınua em 0.
11. Calcule:
a) lim
x→+∞
(
1 +
1
2x
)x
b) lim
x→+∞
(
x+ 2
x+ 1
)x
c) lim
x→0
(1 + 2x)x d) lim
x→0
(1 + 2x)
1
x
12. Seja a > 0, a 6= 1. Mostre que lim
h→0
ah − 1
h
= ln a.
13. Calcule:
a) lim
x→0
e2x − 1
x
b) lim
x→0
ex
2 − 1
x
c) lim
x→0
5x − 1
x
d) lim
x→0+
3x − 1
x2
14. Seja f(x) = x5 + x + 1. Justifique a afirmac¸a˜o: f tem pelo menos uma raiz no intervalo
[−1, 0].
15. Seja f : [0, 1] → R cont´ınua e tal que, para todo x em [0, 1], 0 ≤ f(x) ≤ 1. Prove que
existe c em [0, 1] tal que f(c) = c.
16. Seja f : [−1, 1]→ R tal que f(x) = x3 − cos(pix) + 1. Prove que f assume o valor 3
2
.
Eduard Rojas C. UFU-FAMAT. 2 Gesta˜o da Informac¸a˜o.