Exercícios de Cálculo 1

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Universidade Federal de Uberlaˆndia.
Disciplina: Ca´lculo 1 (GGI002)-2015-1.
Curso: Graduac¸a˜o em Gesta˜o da Informac¸a˜o.
Lista 5.
1. Calcule f ′(p), pela definic¸a˜o, sendo dados
(a) f(x) = x2 + x e p = 1
(b) f(x) = 2x3 − x2 e p = 1
(c) f(x) = 3
√
x e p = 2
(d) f(x) =
1
x2
e p = 2.
2. Determine a equac¸a˜o da reta tangente em (p, f(p)) sendo dados
(a) f(x) = x2 e p = 2
(b) f(x) = x2 − x e p = 1
(c) f(x) =
1
x
e p = 2
(d) f(x) =
√
x e p = 9
3. Mostre que a func¸a˜o g(x) =
{
2x+ 1 se x < 1
−x+ 4 se x ≥ 1
(a) Na˜o e´ deriva´vel em p = 1.
(b) Esboce o gra´fico de g.
4. Seja g(x) =
{
x2 + 2 se x < 1
2x+ 1 se x ≥ 1
(a) Mostre que a func¸a˜o g e´ deriva´vel em p = 1 e calcule g′(1).
(b) Esboce o gra´fico de g.
5. Seja r a reta tangente ao gra´fico de f(x) = 1
x
no ponto de abscissa p. Verifique que r
intercepta o eixo x no ponto de abscissa 2p.
6. Determine a reta tangente ao gra´fico de f(x) = x2 e e´ paralela a` reta y = 4x+ 2.
7. Seja f(x) = ax, onde a > 0 e a 6= 1 e´ um real dado. Mostre que f ′(x) = ax ln a.
8. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) = senx no ponto de abscissa 0.
9. Seja g(x) = cosecx. Calcule g′(x) e g′(pi
4
).
10. Seja g(x) =
{
x2 se x ≤ 0
−x2 se x > 0
(a) g e´ deriva´vel em 0? Justifique.
(b) g e´ cont´ınua em 0? Justifique.
1
Ca´lculo 1.
11. Calcule F ′(x) onde F (x) e´ igual a
a)
x
x2 + 1
b)
x2 − 1
x+ 1
c)
3x2 + 3
5x− 3 d)
cosx
x2 + 1
e)
3x2 + 3
5x− 3 f)
x+ senx
x− cosx
g)
x+ 1
xsenx
h)
x2 + 1
secx
i)
√
x secx j) cosx+ (x2 + 1)senx k) x2senx+ cosx
l)
lnx
x
m) x2ex n) x2lnx+ 2ex o)
ex
x+ 1
p) x2lnx+ 2ex q) exsenxcosx
12. Determine a derivada de ordem n, onde f(x) e´:
a) ex b) senx c) cosx d) lnx
13. Suponha que y = y(r) seja deriva´vel ate´ a 2.a ordem. Verifique que
d
dr
[
(r2 + r)
dy
dr
]
= (2r + 1)
dy
dr
+ (r2 + r)
d2y
dr2
14. Seja y = ex cosx. Verifique que
d2y
dx2
− 2dy
dx
+ 2y = 0.
15. Determine a derivada.
a) y = sen4x b) x = esent c) y = (senx+ cosx)3 d) y = sen(cosx)
e) f(x) = cos(x2 + 3) f) g(t) = ln(2t + 1) g) y = sec3x h) g(t) = (t2 + 3)4
16. Calcule a derivada segunda.
a) y = sen5t b) y = e−x
2
c) y = e−x − e−2x d) y = e−x cos2x
e) y = sen(cosx) f) y =
x
x2 + 1
g) y = ln(x2 + 1) h) y = x 3
√
x+ 2
17. Seja g : R → R uma func¸a˜o diferencia´vel e seja f dada por f(x) = xg(x2). Calcule f ′(1)
supondo g(1) = 4 e g′(1) = 2.
18. Calcule a derivada.
a) f(x) = 5x + log3x b) f(x) = x
sen3x c) y = (2x+ 1)x d) y = xx
x
19. Determine uma func¸a˜o y = f(x) que seja dada implicitamente pela equac¸a˜o xy2+y+x = 1.
20. A func¸a˜o y = f(x), y > 0, e´ dada implicitamente por x2 + 4y2 = 2. Determine a equac¸a˜o
da reta tangente ao gra´fico de f , no ponto de abscissa 1.
21. Suponha que y = f(x) seja uma func¸a˜o deriva´vel e dada implicitamente pela equac¸a˜o
xy2 + y + x = 1. Mostre que f ′(x) =
−1− [f(x)]2
2xf(x) + 1
em todo x ∈ Df com 2xf(x) + 1 6= 0.
22. Determine as equac¸o˜es das retas tangentes e normal ao gra´fico da func¸a˜o dada, no ponto
dado.
(a) f(x) = x2 − 3x, no ponto de abscissa 0.
(b) g(x) = x+
1
x
, no ponto de abscissa 1.
Eduard Rojas C. UFU-FAMAT. 2 Gesta˜o da Informac¸a˜o.
Ca´lculo 1.
23. r e´ uma reta que passa por (1,−1) e e´ tangente ao gra´fico de f(x) = x3 − x. Determinar
r.
24. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) = x2 + 3x e paralela a` reta
y = 2x+ 3.
25. Um bala˜o de ar quente, subindo na vertical a partir do solo, e´ rastreado por um teleˆmetro
colocado a 500 pe´s de distaˆncia do ponto de decolagem. No momento em que o aˆngulo
de elevac¸a˜o do teleˆmetro e´ pi
4
, o aˆngulo aumenta a uma taxa de 0, 14 rad/min. A que
velocidade o bala˜o sobe nesse momento?
26. A a´gua entra em um tanque coˆnico a uma taxa de 9 pe´s 3/min. O tanque tem o ve´rtice
voltado para baixo, e altura de 10 pe´s e o raio da base e´ de 5 pe´s. A que taxa o n´ıvel de
agua estara´ subindo quando a profundidade for de 6 pe´s?
27. O raio de uma esfera esta´ variando, com o tempo, a uma taxa constante de 5m/s. Com
que taxa esta´ variando o volume da esfera no instante em que r = 2m?
28. Um ponto move-se ao longo do gra´fico de y =
1
x2 + 1
de tal modo que a sua abscissa x
varia a uma velocidade constante de 5m/s. Qual a velocidade de y no instante em que
x = 10m.
Eduard Rojas C. UFU-FAMAT. 3 Gesta˜o da Informac¸a˜o.