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1
 
Introdução ao estudo de vetores+ 
1.1 - Introdução 
Uma grandeza que fica plenamente caracterizada por um número seguido de uma unidade 
apropriada é denominada grandeza escalar. Temperatura e massa constituem exemplos de 
grandezas escalares. Quando se diz que a temperatura média do corpo humano é de 36,50C ou que a 
massa de um corpo é de 3 kg, estas quantidades ficam bem determinadas. Comprimento, área, 
volume e tempo são outros exemplos de grandezas escalares. 
Na física, contudo, há muitas grandezas para as quais a simples quantificação não é suficiente 
para sua completa especificação. Além do valor numérico devem, necessariamente, se fazer 
presentes duas outras informações igualmente relevantes: direção e sentido. Grandezas físicas com 
esse perfil são chamadas grandezas vetoriais. Força é um exemplo. Ao dizer-se que um caixote foi 
empurrado com uma força de 50 newtons (admita que newton é uma unidade de força), não se 
estará sendo de todo claro. Afinal, para onde foi empurrado o caixote (isto é, em que direção?)? Se 
ao longo de um plano inclinado, para cima ou para baixo (em que sentido?)? Como se observa, 
juntamente com o número e a respectiva unidade é necessário explicitar a direção e o sentido da 
força aplicada para que esta fique bem definida. Deslocamento, velocidade, aceleração e quantidade 
de movimento são, também, grandezas vetoriais. 
Este capítulo apresenta conceitos básicos da álgebra vetorial, cuja compreensão, pelo aluno, é 
fundamental para o estudo da mecânica. 
1.2 - Representação e características de um vetor 
Para a representação gráfica de um vetor, considere, inicialmente, o segmento de reta AB
 
sobre a reta r
 
da Fig. 1. Orientando-se este segmento por meio de uma seta colocada no ponto B
 
(ou no ponto A), obtém-se a representação gráfica de um vetor (Fig. 2). Simboliza-se um vetor por 
uma letra maiúscula ou minúscula com uma pequena flecha sobre dela. 
Na Fig. 2, o ponto A
 
é a origem do vetor v
 
e o ponto B
 
a sua extremidade. A reta r
 
é a reta 
suporte do vetor v . Normalmente, quando se representa um vetor se omite a sua reta suporte. 
 
 Fig. 1 Fig. 2 
Um vetor fica especificado por suas três características: módulo, direção e sentido. 
O módulo de um vetor, dado por um número seguido de uma unidade, especifica a 
intensidade da grandeza por ele representada (50 newtons, 20 m/s etc.). Simbolicamente, o módulo 
de um vetor v é escrito como v ou, simplesmente, v . 
 
 
+ 
Texto elaborado pelos professores Luiz O. Q. Peduzzi e Sônia S. Peduzzi (Depto de Física UFSC). 
 
2
 
A direção de um vetor é a da sua reta suporte. Já o seu sentido coincide com o da orientação 
do segmento de reta orientado. 
Os vetores a , b
 
e c , da Fig. 3, têm como característica comum o mesmo módulo (admitindo 
como unidade de medida o comprimento ). 
Os vetores d
 
e f , da Fig. 4, têm as três características iguais: mesmo módulo, mesma 
direção (as retas suportes são paralelas) e mesmo sentido. Neste caso, diz-se que os vetores são 
iguais, isto é, d f . Já o vetor e
 
tem o mesmo módulo e a mesma direção que d
 
e f , porém 
sentido contrário a eles. Pode-se relacioná-los escrevendo que f d e
 
(onde o sinal negativo 
significa que o vetor e tem o sentido contrário ao dos outros dois. 
 
 
a b c
a b c
f d e
f d e 
= = = 3 unidades 
 
=
 
=
 
 = =
 
 Fig. 3 Fig. 4 
1.3 - Adição e subtração de vetores pelo método geométrico 
Considere os vetores v1
 
e v2
 
da Fig. 5. A soma de v1
 
com v2
 
pode ser efetuada da seguinte 
maneira: fixa-se v1
 
e desloca-se v2
 
(mantendo-se inalteradas as suas características, isto é, seu 
módulo, direção e sentido), de modo que a origem de v2
 
coincida com a extremidade de v1
 
(Fig. 6). 
O vetor que tem por origem a origem de v1
 
e por extremidade a extremidade de v2
 
é o vetor soma 
de v1
 
com v2, v v1 2+ , como é visto na Fig. 7. Pode-se observar, através de uma simples inspeção 
visual, que a soma dos comprimentos de v1 e v2 é diferente do comprimento do vetor v v1 2+ . 
 
 Fig. 5 Fig. 6 Fig. 7 
A soma de v1
 
com v2
 
pode também ser feita desenhando-se os vetores com a mesma origem. 
O vetor resultante, v v1 2+ , é o vetor correspondente à diagonal do paralelogramo que tem por lados 
os vetores v1 e v2 (Fig. 8). 
 
3
 
Fig. 8 
Os procedimentos acima descritos possibilitam a soma geométrica de um número qualquer de 
vetores. Considere, por exemplo, a soma dos vetores A, B , C , D
 
e E
 
da Fig. 9. O vetor 
A B C D E+ + + +
 
pode ser obtido da seguinte maneira: fixa-se o vetor A; desloca-se parale-
lamente o vetor B
 
de modo que a sua origem coincida com a extremidade de A; desloca-se, da 
mesma maneira, o vetor C
 
tal que a sua origem coincida com a extremidade de B
 
e assim su-
cessivamente. O vetor soma tem por origem a origem do primeiro ( A) e por extremidade a ex-
tremidade do último (E ) (Fig. 10). 
 
 Fig. 9 Fig. 10 
Considere, agora, os vetores A
 
e B
 
da Fig. 11. Para se obter geometricamente o vetor A B- , 
transforma-se a diferença em uma soma, já que A B A B- = + (- ). O vetor B
 
tem mesmo módulo, 
mesma direção, mas sentido oposto ao do vetor B
 
(Fig. 12). Desta forma, recai-se na soma dos 
vetores A e B , como pode ser visto na Fig. 13. 
 
 Fig. 11 Fig. 12 Fig. 13 
Para efetuar simultaneamente a adição e subtração de um número qualquer de vetores 
transformam-se as diferenças em somas e adota-se o procedimento já descrito para a soma de vários 
vetores. Por exemplo, 
L M N P L M N P - + - = + (- ) + + (- ) 
 
 
4
 
1.4 - Adição e subtração de vetores de mesma direção pelo método analítico 
É conveniente, antes de se efetuar a soma e subtração analítica de vetores de mesma direção, 
definir o que se entende por vetor unitário. 
Um vetor é dito unitário quando o seu módulo é igual à unidade. O vetor unitário que tem a 
direção do eixo x e o sentido de x' para x (Fig. 14) é o vetor i . 
 
Fig. 14 
Considere a soma geométrica de dois vetores unitários i (Fig. 15). Vê-se, por esta figura, que 
o vetor resultante i i+
 
tem mesma direção e sentido que o vetor i e módulo duas vezes maior. 
Este vetor é o vetor 2i . 
 
Fig. 15 
O resultado acima permite interpretar uma igualdade como, por exemplo, A i= 7
 
da seguinte 
maneira: A
 
é um vetor que tem mesma direção e sentido que o vetor i e módulo sete vezes maior. 
Já o vetor B i= -4 tem a mesma direção do vetor i , sentido oposto e módulo quatro vezes maior. 
Pode-se estender o procedimento utilizado na Fig. 15 para se somar e subtrair analiticamente 
vetores na direção x . 
a) Soma de vetores de mesma direção e sentido: 
Seja C i
 
=
 
2 , D i
 
=
 
6
 
 e R o vetor resultante da soma dos vetores C e D . 
Soma analítica: Soma geométrica: 
, + = DCR
 
, 6 + 2= iiR
 
, ) 6 + 2 ( = iR
 
.
 
8 = iR
 
b) Soma de vetores de mesma direção e sentidos opostos: 
Seja iE
 
3 = , iF
 
5- = e R o vetor resultante da soma dos vetores E e F . 
 
 
5
 
Soma analítica: Soma geométrica: 
, + = FER
 
, 5 - 3 = iiR
 
, ) 5 - 3 ( = iR
 
. 2 - = iR
 
A subtração de dois vetores quaisquer A
 
e B , A B- , é feita transformando-se a diferença em 
uma soma, isto é, A B A B- = + (- ). 
Para vetores na direção y, pode-se realizar operações de adição e subtração de vetores 
utilizando-se um procedimento inteiramente análogo ao que se adotou para a direção x . Para isto é 
necessário que se defina um vetor unitário na direção y . O vetor unitário que tem a direção do eixo 
y e o sentido de y' para y (Fig. 16) é o vetor j . 
 
Fig. 16 
Assim, o vetor resultante da subtração dos vetores A j = 12 e B j = 5 , R A B
 
=
 
-
 
, tem 
mesma direção e sentido que o vetor j e módulo sete vezes maior (R j = 7 ). 
1.5 - Componentes de um vetor 
Considere o sistema de eixos cartesianos xy . Seja ax
 
um vetor na direção x
 
e ay um vetor 
na direção y (Fig. 17). Da soma geométrica destes dois vetores resulta o vetor a (Fig. 18), 
 
 Fig. 17 Fig. 18 
. + = yaaa x ( 1 ) 
Os vetores ax
 
e ay são denominados, respectivamente, vetores componentes do vetor a
 
nas 
direções x e y . Estes vetores podem ser escritos em termos dos vetores unitários i e j . Assim, 
 
 
6
 
a a ix x
 
= ( 2 ) 
e 
. = jaa yy ( 3 ) 
Substituindo-se as relações (2) e (3) em (1), obtém-se 
. + = jaiaa yx ( 4 ) 
O escalar ax
 
é a componente de a
 
na direção x . Da mesma forma, ay é a componente de a
 
na direção y. 
As componentes ax
 
e ay podem ser escritas em termos do módulo do vetor a
 
e do ângulo 
que a
 
faz, por exemplo, como o semi-eixo positivo OX . Sendo 
 
este ângulo e representando-se 
por a
 
o módulo do vetor a , obtém-se, através do triângulo retângulo que tem por lados a , ax
 
e ay 
(Fig. 19), que: 
cos cos = = 
a
a
a ax x ( 5 ) 
e 
 
. = = sen aa
a
a
y
ysen ( 6 ) 
 
Fig. 19 
Substituindo-se na eq. (4) os valores encontrados para ax e a y, respectivamente, nas eq. (5) e 
(6), obtém-se: 
. + = sen cos jaiaa ( 7 ) 
Exemplo 1: O vetor a , mostrado na Fig. 20, tem módulo igual a 5 cm e faz um ângulo de 1200 com 
o semi-eixo positivo OX . Determine as suas componentes nas direções x e y . 
 
7
 
Fig. 20 
Solução: 
Projetando-se o vetor a
 
nos eixos x
 
e y, pode-se obervar (Fig. 21) que a ix
 
é um vetor com 
sentido oposto ao do vetor i ; portanto, a componente ax
 
é negativa. Já o vetor a jy 
 
tem sentido 
igual ao do vetor j e ay é positivo. Usando-se a eq. (7), tem-se que: 
cm 50,2 -= 012 cos 5= 0xa
 
e 
. = cm 4,33 = 120sen 5 0ya
 
A partir do triângulo retângulo com lados 5 cm, ax
 
e ay (Fig. 22) e observando o sentido dos 
vetores ax e ay , pode-se igualmente obter as componentes de a : 
cm 50,2 - = 60 cos 5 - = 0xa
 
e 
. = cm 4,33 = 60sen 5 0ya
 
 Fig. 21 Fig. 22 
1.6 - Adição e subtração analítica de vetores 
A adição/subtração de vetores no plano xy
 
é feita somando-se/subtraindo-se as componentes 
destes vetores em cada uma das duas direções. 
Sendo a a i a jx y = + e b b i b jx y = + , obtém-se o vetor c a b
 
=
 
+
 
da seguinte 
maneira: 
, + = bac
 
 
8
 
, + + + = jbibjaiac yxyx
 
. ) + ( + ) + ( = jbaibac yyxx
 
xbax + e ybay + são, respectivamente, as componentes de c nas direções x e y . 
Exemplo 2: Sendo A i
 
=
 
3 , B j = 5 e C i j = + 4 6 , obtenha, analítica e geometricamente, 
os vetores R A B
 
=
 
+
 
, S A B
 
=
 
-
 
 e
 
=
 
+
 
V A C . 
Solução: 
, + = BAR
 
. 5 + 3 = jiR
 
, - = BAS
 
. 5 - 3 = jiS
 
, + = CAV
 
, 6 + 4 + 3= jiiV
 
. 6 + 7 jiV
 
Exemplo 3: Os vetores d1
 
e d2 , mostrados na Fig. 23, têm módulos respectivamente iguais a 3 cm 
e 7 cm. Obtenha: a) o vetor d d d + 1 2 ; b) a direção do vetor d . 
 
Fig. 23 
 
 
9
 
Solução: 
a) O vetor d é o vetor soma dos vetores d1 e d2 , 
. + = 21 ddd
 
Escrevendo o vetor d1
 
em termos de suas componentes (expressas em cm) e dos vetores 
unitários i e j , obtém-se: 
, = 60sen 3 + 60 cos 3 - 0o1 jid
 
. = 2,6 + 1,5 -1 jd i
 
Analogamente para d2 : 
, + = 002 30sen 730 cos 7 jid
 
. + = 3,5 6,12 jid
 
Somando-se d1 e d2 , resulta: 
. + = 6,14,6 jid
 
b) A direção de d
 
é obtida calculando-se o ângulo que o vetor faz com o semi-eixo OX, por 
exemplo. 
tg = 6,1/4,6 1,33 
 = arc tg 1,33 530. 
O vetor d faz um ângulo de aproximadamente 530 o semi-eixo OX positivo. 
1.7 - Vetores em três dimensões 
Até agora, trabalhou-se com vetores em uma e em duas dimensões. A situação que envolve 
vetores no espaço tridimensional é, no entanto, mais geral. 
Considere o sistema de eixos cartesianos xyz . Para se obter a expressão analítica de um vetor 
neste sistema de eixos, é necessário introduzir um vetor unitário na direção z , que vai 
desempenhar, nesta direção, papel análogo ao dos vetores i e j nas direções e x
 
y. 
O vetor unitário que tem a direção do eixo z e o sentido de z' para z é o vetor k (Fig. 24). 
 
10
 
Fig. 24 
Seja ax
 
um vetor na direção x , ay um vetor na direção y
 
e az
 
um vetor na direção z . Da 
soma geométrica destes três vetores (Fig. 25), resulta o vetor: 
. + + = zyx aaaa ( 8 ) 
 
Fig. 25 
Os vetores ax , ay e az
 
são denominados, respectivamente, vetores componentes do vetor a
 
nas direções x , y e z . Estes vetores podem ser escritos como: 
, = iaa xx ( 9 ) 
a a jy y = ( 10 ) 
e 
. = kaa zz ( 11 ) 
Substituindo as relações (9), (10) e (11) na relação (8), obtém-se: 
. + + = kajaiaa zyx ( 12 ) 
O escalar ax
 
é a componente de a
 
na direção x ; ay é a componente de a
 
na direção y
 
e az
 
a componente de a na direção z . 
A relação (12) é a expressão geral de um vetor no espaço tridimensional,escrita em termos de 
suas componentes e dos respectivos vetores unitários. 
 
11
 
Exemplo 4: Represente, num diagrama xyz , os seguintes vetores: 
E i j k = + + 3 2 5 e F i j k = + - 2 4 5 . 
Solução: 
A Fig. 26 mostra o vetor E construído como a soma dos seus vetores componentes. Já o vetor 
F
 foi desenhado utilizando-se um paralelepípedo para melhor visualizá-lo no espaço. 
 
Fig. 26 
Exemplo 5: Sendo A i j k= + -2 5 e B i k= +4 2 , determine os vetores R A B= +2
 
e 
S A B= - . 
Solução: 
, + 2 = BAR
 
, 2 + 4 + ) 5 - + 2 ( 2 = kikjiR
 
, 2 + 4 + 10 - 2 + 4 = kikjiR
 
,) 2 + 10 - ( + 2 + ) 4 + 4 ( = kjiR
 
. 8 - 2 + 8 = kjiR 
- = BAS
 
,) 2 + 4 ( - 5 - + 2 = kikjiS
 
, 2 - 4 - 5 - + 2 = kikjiS
 
, ) 2 - 5- ( + + ) 4 - 2 ( = kjiS
 
.7 - + 2- = kjiS
 
 
12
 
1.8 - Produto de vetores 
Além de somar e subtrair vetores pode-se, também, multiplicá-los, efetuando o produto 
escalar e o produto vetorial entre dois vetores. Estas operações serão estudadas a seguir, já que 
muitas grandezas físicas são expressas em termos destes dois produtos. 
1.9 - Produto escalar 
O produto escalar de dois vetores a e b , representado por a b
 
.
 
 (lê-se a escalar b), é definido 
como o produto do módulo de a
 
pelo módulo de b
 
pelo cosseno do ângulo formado entre a
 
e b , 
ou seja, 
, cos = . baba ( 13 ) 
onde é o ângulo entre a e b (Fig. 27). 
 
Fig. 27 
Pode-se também dizer que o produto escalar de dois vetores a
 
e b
 
é igual ao produto do 
módulo do vetor a pela componente do vetor b na direção de a (Fig. 28). 
 ) ) ( = 
de direção 
na de 
componente 
( cos . 
a
b
baba
 
 
A eq. (13) indica que o produto escalar de dois vetores dá como resultado uma grandeza 
escalar. Para melhor compreensão desta equação, considere as seguintes situações: 
a) O produto escalar de dois vetores perpendiculares é zero, porque 900 e 090cos =0 . 
 
, = 
0 ++
09 cos 0 . baba
 
= .0
 
.
 
ba
 
Da mesma forma, 
 
Fig. 28 
 
13
 
 . , , , etc000 = . = . = . ikkjji ( 14 ) 
b) O produto escalar de dois vetores que formam entre si um ângulo 
 
tal que 0 900, é 
positivo. 
+ ++
 
cos
 
 
, = . baba
 
. 0 
 
.
 
ba
 
c) O produto escalar de dois vetores que formam entre si um ângulo 
 
tal que 
90 1800 0 , é negativo. 
 ++
 
cos 
 
 
, = . baba
 
.0 
 
.
 
ba
 
d) O produto escalar de um vetor por ele mesmo é igual ao módulo do vetor ao quadrado, pois 
o ângulo entre vetores de mesma direção e sentido é 00 e cos .0 10 
 
, 
00 cos = . aaaa
 
.
2
 
=
 
.
 
aaa ( 15 ) 
De forma análoga, 
 . , , 1 =1 =1 = . . . kkjjii ( 16 ) 
A definição do produto escalar de dois vetores envolve o módulo dos vetores e o ângulo entre 
eles. Uma outra maneira de expressar o produto escalar de dois vetores é através das componentes 
destes vetores. 
Seja kajaiaa zyx
 
+ + = e kbjbibb zyx
 
+ + = . Efetuando-se o produto ba
 
.
 
, tem-se: 
 ) + + ( . ) + + ( = . kbjbibkajaiaba zyxzyx
 
, . + . + . + 
+ . + . + . + 
+ . + . + . = . 
kbkajbkaibka
kbjajbjaibja
kbiajbiaibiaba
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
 
 
14
 
, . + . + . + 
+ . + . + . + 
+ . + . + . = . 
kkbajkbaikba
kjbajjbaijba
kibajibaiibaba
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
 
. + + = . zzyyxx babababa ( 17 ) 
Exemplo 6: Seja k - + 34 = 1 jixv e kjiv
 
- - = 632 . Determine o valor de x
 
para que os 
vetores v1 e v2 sejam perpendiculares. 
Solução: 
O produto escalar de dois vetores perpendiculares é nulo, logo, 0= . 21 vv . Assim, usando a 
eq. (17), resulta: 
,0 = ) 1- ( ) 3- ( +) 6- ( ) 4 ( + 3 x 
,21 =
 
3 x
 
7.
 
= x 
As relações (15) e (17) permitem calcular o módulo de um vetor. Fazendo o produto escalar 
de um vetor a , qualquer, por ele próprio, primeiro usando a relação (15) e depois a (17), obtém-se: 
 
2
 
=
 
.
 
aaa
 
e 
 , + + = . zzyyxx aaaaaaaa
 
 . + + = 222 . zyx aaaaa
 
Da igualdade destas duas equações, resulta: 
 , + + = 2222 zyx aaaa 
 . + + = 222 zyx aaaa ( 18 ) 
Exemplo 7: Sendo = + + 10 3 kjiA e kjiB
 
- + - = 27 , determine o módulo do vetor 
BAC
 
+ = . 
Solução: 
, + BAC
 
, 2 - + 7 - + 10 + 3 = kjikjiC
 
. - 11 + 4- kjiC
 
 
15
 
Utilizando-se a eq. (18), calcula-se o módulo do vetor C . 
unidades 75,11) 1- () 11 () 4- ( = + + = 222C 
Exemplo 8: Calcule o ângulo entre os vetores j - i = 43a e . 6 - 8 = jib
 
Solução: 
Da relação (13), obtém-se: 
 
, 
+ + 
+ 
= = 
2222 ) 6- () 8 () 4- () 3 (
) 6- ( ) 4- () 8 ( ) 3 ( 
cos 
. 
ba
ba
 
,0,96=
 
cos
 
.
016,26 = 
 
 
O produto escalar pode também ser utilizado para a obtenção do módulo do vetor resultante 
da soma de dois vetores. 
Sejam a
 
e b
 
dois vetores, de módulos respectivamente iguais a a
 
e b, que formam entre si 
um ângulo . Seja r o vetor resultante da soma destes dois vetores (Fig. 29). 
 
Fig. 29 
Fazendo-se o produto escalar de 
 
+
 
=
 
bar por ele próprio, obtém-se: 
), + ( . ) + ( = . babarr
 
, . + . + . + . = . bbabbaaarr
 
,
222 + cos + cos + = babbaar
 
. + + = cos2 22 babar ( 19 ) 
Casos particulares desta equação: 
 
16
 
a ) Quando os vetores são perpendiculares )( 090= , o módulo do vetor r
 
é igual à raiz 
quadrada da soma dos quadrados dos módulos dos vetores a e b , 
 
, + + = 022 09 cos2 babar 
 
. + = 22 bar 
b) Se os vetores tiverem a mesma direção e o mesmo sentido (( )
 
= 00 , o módulo do vetor 
soma é a soma dos módulos dos vetores, 
 
, + + = 02 0 cos2 2 babar 
 
, + + = 222 babar 
 
. = )( = + + 2 babar 
c) Para vetores de mesma direção e sentidos opostos )0180 = ( , o módulo do vetor r
 
é a 
diferença dos módulos dos vetores a e b , 
 
, + + = 022 801 cos2 babar 
 
, - + = 222 babar 
 , ) ( = 2 - bar 
 ,
 
-
 
=
 
babar
 
ou 
 , .
 
-
 
=
 
ababr
 
1.10 - Produto vetorial 
Sejam a
 
e b
 
dois vetores que formam entre si um ângulo . O produto vetorial de a
 
e b , 
representado po a x b
 
( lê-se a vetorial b), dá como resultado um vetor c
 
(a x b c = ) que tem 
asseguintes características: 
Módulo: O módulo do vetor c
 
é igual ao produto do módulo de a
 
pelo módulo de b
 
pelo 
seno do ângulo formado por a e b , 
 
.. . = = sen babxac ( 20 ) 
 
17
 
Direção: O vetor c
 
é perpendicular ao plano determinado pelos vetores a
 
e b , ou seja, c
 
é 
perpendicular, simultaneamente, a a e a b . 
Sentido: O sentido do vetor c é dado pela regra da mão direita. 
Para determinar o sentido do vetor c , considere os dedos polegar, indicador e médio da mão 
direita, como está indicado na Fig. 30. 
 
Fig. 30 
Se o polegar apontar no sentido do vetor a e o indicador no sentido do vetor b , o dedo médio 
indicará o sentido do vetor c (Fig. 31). 
 
Fig. 31 
Para exemplificar o uso da regra da mão direita, considere os vetores E , F
 
e G
 
da Fig. 32 e 
os seguintes produtos: 
 
Fig. 32 
a) E x F
 
: este produto dá como resultado um vetor de direção e sentido iguais ao do vetor G ; 
b) G x E
 
: deste produto resulta um vetor de direção e sentido iguais ao do vetor F ; 
c) G x F
 
: o vetor resultante deste produto tem a mesma direção que o vetor E
 
e sentido 
oposto ao mesmo. 
Usando a regra da mão direita e a eq. (21), pode-se mostrar que, para dois vetores quaisquer 
A
 
e B , vale a relação: 
 
18
 
. = AxBBxA ( 21 ) 
 
Considere, agora, os vetores unitários i , j e k . 
Do produto i x j resulta um vetor de: 
módulo: 
 
; 1 =90sen . 1 . 1 0 = jxi
 
direção: coincidente com a do eixo z
 
;
 
sentido: de z'
 
para z
 
.
 
O vetor com estas características é o vetor .k Portanto, 
. = kjxi ( 22 ) 
De acordo com a eq. (21), 
. -= kixj ( 23 ) 
Do mesmo modo, 
 , - = , = ijxkikxj ( 24 ) 
. - = , = jkxijixk ( 25 ) 
O produto i x i
 
dá como resultado um vetor de módulo nulo, isto é, 
 
. = 
00sen . 1 . 1 ixi
 
O vetor de módulo igual a zero é o vetor nulo. Deste modo, 
 
.
 
0 = ixi ( 26 ) 
Analogamente, 
; = 0 jxj ( 27 ) 
. = 0
 
kxk ( 28 ) 
Exemplo 9: Suponha que o módulo dos vetores da Fig. 32 sejam ,3
 
=
 
E
 
2=
 
F e .2
 
=
 
G Determine 
os produtos vetoriais E x F 
 
, E x G
 
e GxF
 
. 
Solução: 
; = = 62 3 kji xFxE
 
; 6 - = 2 3 = jxGxE ki
 
 
19
 
. 4= 2 2 = ikj xGxF
 
O produto vetorial de dois vetores pode ser expresso em função das componentes destes 
vetores. Assim, seja k + + = zyx ajaiaa e k + + = zyx bjbibb . Efetuando-se o produto 
vetorial entre a e b , a x b , segue que: 
), + + ( ) + + ( = kbjbibxkajaiabxa zyxzyx
 
, + + + 
+ + + + 
+ + + = 
kbxkajbxkaibxka
kbxjajbxjaibxja
kbxiajbxiaibxiabxa
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
 
,0 + )( + )( + 
+ )( + 0 + )( + 
+ )( + + 0 = 
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
baibajba
ibabakba
jbakbababxa
 
 . ) ( + 
+ ) ( + ) ( = 
kbaba
jbabaibababxa
xyyx
zxxzyzzy
 ( 29 ) 
A eq. (29) pode ser obtida de forma mais simples, utilizando-se um determinante. Esse 
determinante é construído da seguinte maneira: na sua primeira linha são colocados os vetores 
unitários i , j e k ; na segunda linha aparecem as componentes do primeiro vetor ( )a , nas direções 
x y z, e 
 
;
 
a última linha do determinante é formada pelas componentes do segundo vetor ( )b nas 
direções 
 
. e
 
, zyx
 
a x b
i j k
a a a
b b b
x y z
x y z 
= 
 
 
 
 ( 30 ) 
Exemplo 10: Encontre um vetor perpendicular aos vetores - = 3 kiA e .75 + -= kjB
 
Solução: 
Do produto A x B
 
resulta um vetor perpendicular aos vetores A
 
e B . Utilizando-se o 
determinante da eq. (30) para calcular este vetor, obtém-se: 
 
 
 = 
7 5 0 
1 0 3 
 kji
BxA
 
 
20
 
. = 15 - 21 - 5 - kjiBxA
 
Exemplo 11: Determine o módulo do vetor ,= pxrL se 3 + - 4 = kjir e . + = 26 jip
 
Solução: 
Calcula-se, primeiro, o determinante da eq. (30) para obter o vetor .= pxrL Depois disso, 
obtém-se o módulo do vetor L usando a eq. (19). 
 
 
 = = 
0 2 6 
3 1- 4
 kji
pxrL
 
, 6 - 6 + 18 + 8 = ikjkL
 
 , 14 + 18 + 6 - = kjiL
 
. = + + = unidades 23,58(14) (18)6) (- 222L