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CILINDROS Geometria Espacial Classificação do Cilindro Um cilindro pode ser: circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às bases; circular reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases. Veja: O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução, por ser gerado pela rotação completa de um retângulo por um de seus lados. Assim, a rotação do retângulo ABCD pelo lado gera o cilindro a seguir: A reta contém os centros das bases e é o eixo do cilindro. Secção Secção transversal é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano paralelo às bases. Todas as secções transversais são congruentes. Secção meridiana é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano que contém o eixo. Geometria Espacial Áreas Num cilindro, consideramos as seguintes áreas: a) área lateral (AL) Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação: Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujos raios dos círculos das bases são r é um retângulo de dimensões : b) área da base ( AB):área do círculo de raio r c) área total ( AT): soma da área lateral com as áreas das bases Volume Para obter o volume do cilindro, vamos usar novamente o princípio de Cavalieri. Dados dois sólidos com mesma altura e um plano , se todo plano , paralelo ao plano , intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais: Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V2 = ABh. Assim, o volume de todo paralelepípedo retângulo e de todo cilindro é o produto da área da base pela medida de sua altura: Vcilindro = ABh No caso do cilindro circular reto, a área da base é a área do círculo de raio r ; portanto seu volume é: Geometria Espacial Cilindro eqüilátero Todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado ( altura igual ao diâmetro da base) é chamado cilindro eqüilátero. : Cone circular Dado um círculo C, contido num plano , e um ponto V ( vértice) fora de , chamamos de cone circular o conjunto de todos os segmentos . Elementos do cone circular Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos: altura: distância h do vértice V ao plano geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V e outra num ponto da circunferência raio da base: raio R do círculo eixo de rotação:reta determinada pelo centro do círculo e pelo vértice do cone Cone reto Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone reto, também denominado cone de revolução. Ele pode ser gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação: g2 = h2 + R2 Secção meridiana A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que contém o eixo de rotação é chamada secção meridiana. Se o triângulo AVB for eqüilátero, o cone também será eqüilátero: Geometria Espacial Áreas Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular reto, obtemos um setor circular de raio g e comprimento : Assim, temos de considerar as seguintes áreas: a) área lateral (AL): área do setor circular b) área da base (AB):área do circulo do raio R c) área total (AT):soma da área lateral com a área da base Volume Para determinar o volume do cone, vamos ver como calcular volumes de sólidos de revolução. Observe a figura: d = distância do centro de gravidade (CG) da sua superfície ao eixo e S=área da superfície Sabemos, pelo Teorema de Pappus - Guldin, que, quando uma superfície gira em torno de um eixo e, gera um volume tal que: Vamos, então, determinar o volume do cone de revolução gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno do cateto h: O CG do triângulo está a uma distância do eixo de rotação. Logo: Exercícios 01 Um tanque na forma de um cilindro circular reto, tem altura igual a 3m e área (área da superfície lateral mais área da base e da tampa) igual a 20 . Calcule em metros, o raio da base deste tanque. h = 3m Dados: h = 3m e = 20 Fórmula: = 2.r( h + r ) 20 = 2.r ( 3 + r ) 20 = 2 .r (3 + r ) 20: 2 = r (3 + r ) 10 = r (3 + r ) 10 = 3r + = 10 - 10 = 0 a=1 b = 3 c = - 10 = = = 9 + 40 = 49 = = 2 = - = - 5 Obs: - 5 não convém, logo o raio da base é 2m 02 Um cilindro reto tem altura igual a 5cm e raio da base medindo 6cm. Calcule a área: área da base h = 5cm r = 6 cm = = = 36 área lateral h = 5cm r = 6 cm = 2 = 2.. 6. 5 = 60 área total h = 5cm r = 6 cm = 2.r( h + r ) = 2.6.( 5 + 6 ) = 132 03 A área lateral de um cilindro é 20. Se o raio da base mede 5cm, calcule a medida da h altura desse cilindro. Solução: = 2 20 = 2 20 = 2.5. h 20 =10h 20:10 = h h = 2cm 04 Determine a área lateral de um cilindro cuja base tem perímetro 62,8cm e cuja altura é a metade do raio da base. Adote = 3,14cm Solução: C = 2r 62,8 = 2r 62,8 = 6,28 . r 62,8: 6,28 = r r = 10cm h = h = h = 5cm = 2 = 2 = 100 = 314 05 Quantos centímetros quadrados de folha de flandres são necessário para construir uma lata de óleo, com tampa, na forma de um cilindro reto, tendo 8cm de diâmetro de base e 18cm de altura? Solução: r = r = r = 4cm = 2.r( h + r ) = 2.4.( 18 + 4 ) = 8.( 22 ) = 176 06 Uma bobina de papel para a fabricação de jornal tem a forma cilíndrica. Sabendo que essa bobina tem 102 cm de diâmetro por 137cm de comprimento, qual a quantidade mínima (área ) de papel utilizado para embalar cada um desses rolos cilíndricos? Use = 3,14cm Solução: 102 h = 137 D = 2.r 102 = 2.r 102: 2 = r r = 51cm = 2.r( h + r ) = 2.51( 137 + 51 ) = 102( 188 ) = 19.176 . 3,14 = 60 212,64 ou = 6,0 2 07 Considerando um cilindro equilátero cujo raio da base mede 4cm. Calcule: Área da base = = = 16 A altura h = 2R h = 2.4 h = 8cm Área lateral = 2 = 2 = 2.32 = 64 Área total = 2.r( h + r ) = 2.4.( 8 + 4 ) = 2.4.( 12) = 2. 48 = 96 08 Calcule a medida da área lateral de um cilindro circular reto, sabendo que o raio da base mede 6cm e a geratriz 10 cm. Solução: g = h Obs: Nesse caso a geratriz é igual a altura = 2 = 2 = 2 = 120 Obs: O volume de um cilindro é igual a área da base vezes altura = .h 09 Uma comunidade consome 30.000 litros de água por dia. Para isso, conta com um reservatório de forma cilíndrica cujo raio é 10m e altura 10m. por quanto tempo, aproximadamente, o reservatório poderá abastecer essa comunidade? Solução: V = .h V = .10 V = 1000 V = 1000 V = 3140 Como 1 = 1000 litro V = 3140 . 1000 litros V = 3.140.000 litros A comunidade consome 30 000 litros de água por dia Para consumir 3.140.000 litros levará: 314 3 014 104,66.... 105 dias 20 20 10 Calcule a área e o volume do cilindro equilátero de altura 10cm. Solução: Obs: Num cilindro equilátero a altura é igual ao diâmetro da base. Dados: h = 10cm D = 10 cm D = 2.r10 = 2.r 10: 2 = r r = 5cm h D D = h = 2 = 2 = 2.50 = 100 = 100. 3,14 = 314 = = =25 = 2.r( h + r ) = 2.5( 10 + 5 ) = 2.5.15 = 2.75 = 150 V = .h V = .10 V = 250 11 Qual o volume do cilindro circunscrito a um prisma quadrangular regular em que a área da base mede 12cm e a aresta lateral mede 20cm. Solulção: 20cm 12 cm 12 cm base 12 cm 12 cm x 12 cm 12 cm = + = 144 + 144 = 288 x = x = x = 2.2.3 x = 12 2r = 12 r = r = 6cm V = .h V = .20 V = 36 . 2 . 20 V = 72 . 20 V = 1.440 12 Calcule o volume do cilindro no prisma 20cm 12 cm Solução: V = .h V = .20 V = 36 . 20 . V = 720 13 Uma vela tem a forma de um cilindro reto, com área total de 108 e raio da base igual a da altura. Determine sua área lateral e seu volume. r = de h h Solução: = 108 e r = de h 108 = 2.r( h + r ) = r( h + r ) 54 = r( h + r ) 54 = h.r + 54 = h. + ( 54 = + m.m.c(5,25) = 25 = + 54 . 25 = 5 + 1350 = 6 1350 : 6 = 225 = = 225 h = h = 15 Como r = de h r = de 15 r = 3 = 2 = 2 = 2 = 90 V = .h V = .15 V = .9.15 V = 135 14 Um combustível líquido ocupa uma altura de 8m em um reservatório cilíndrico. Por motivos técnicos, deseja-se transferir o combustível para outro reservatório, também cilíndrico, com o dobro do raio do primeiro. Determine a altura ocupada pelo combustível nesse segundo reservatório. Solução: = 8m r 2 r obs: Como o volume é o mesmo, então = = .h e = .h .h = .h .8 = .h . 8 = .h 8 = 4.h 8: 4 = h 2 = h Logo h = 2m 15 Qual o valor aproximado da massa de mercúrio em quilogramas, necessária para encher completamente um vaso cilíndrico de raio interno cm e altura 18cm, se a densidade do mercúrio é 13,6 g/? Solução: V = .h V = .18 V = 648 d = 13,6 = m = 13,6 . m = 8.812,8 . 3,14 m = 27672,2 16 Considere que os copos ao lado sejam cilíndricos e tenham as seguintes dimensões Copo 1 : 3cm de raio interno e 10cm de altura Copo 2 : 2cm de raio interno e 15cm de altura Qual dos dois copos tem maior capacidade? Solução: = .h = .10 = 9.10 = 90 = .h = .15 = 4 . 15 = 60 Logo o copo 2 tem capacidade maior 17 Duzentos litros de um líquidos serão armazenados em latas cilíndricas de raio 5cm e altura 13cm. Cada lata deverá ser preenchida em até 80% do seu volume. Quantas latas, no mínimo, serão necessárias? Solução: Obs: 1 litro = 1 d = .h = .13 = 25 . 13 = 325 1 021 80% de 1 021 = . 1 021 817 ou 0,817 d Então: 1 lata 0,817 d x lata 200 d 0,817 x = 200 x = x = 200 . x 244,8 Arredondando, 245 latas serão necessária 18 ( UFSC ) Um cilindro reto tem 63 de volume. Sabendo que o raio da base mede 3cm, determine, em centímetros, a sua altura Solução: V = .h 63 = .h 63 = 9.h 63 = 9h 63:9 = h 7 = h h = 7cm 19 Atira-se uma pedra em um vaso cilíndrico de 1,2m de diâmetro da base, parcialmente cheio de água. Determine o volume da pedra se, em consequência da imersão, a água elevou-se de 0,54m. Solução: Diâmetro = 1,2m D = 2r 1,2 = 2r 1,2: 2 = r 0,6 = r Obs: O volume da pedra é igual ao volume de água deslocado. Logo: V = .h V = .0,54 V = . 0,36 . 0,54 V = 0,1944 . 3,14 V 0,61 20 Um reservatório em formato cilíndrico possui 6 metros de altura e raio da base igual a 2 metros. Determine o volume e a capacidade desse reservatório. Solução: V = .h V = .6 V = 3,14 . 4 .6 V =75,36 m³ Temos que 1m³ corresponde a 1 000 litros, então 75,36 m³ é equivalente a 75 360 litros. Volume do cilindro = 75,36 m³ (metros cúbicos) 21 Cefet – SP) A figura indica o tambor cilíndrico de um aquecedor solar com capacidade de 1 570 litros. Sabendo que 1 000 litros de água ocupam um volume de 1 m³ e adotado π = 3,14, determine a medida do raio r do cilindro. Solução: 1570 litros → 1,57 m³ V = .h 1,57 = .2 1,57 = 6,28 . 1,57 : 6,28 = = 0,25 r = r = 0,5m A medida do raio do cilindro é de 0,5 metros ou 50 centímetros. 22 (Vunesp – SP) Um tanque subterrâneo, que tem o formato de um cilindro circular reto na posição vertical, está completamente cheio com 30 m³ de água e 42 m³ de petróleo. Considerando que a altura do tanque é de 12 metros, calcule a altura da camada de petróleo. Calculado o raio do cilindro V = .h 72 = .12 72: 12 = . 6 = = r = Calculando a altura da camada de petróleo V = .h 42 = . . H 42 = . . h 42 = 6.h 42:6 = h h = 7 A camada de petróleo tem uma altura de 7 metros. 23 Uma vinícola armazena o vinho produzido em um tanque cilíndrico (reto) com sua capacidade máxima ocupada. Esse vinho será distribuído igualmente em barris idênticos também cilíndricos (retos ) e vendidos para vários mercados de uma cidade. Sabe-se que cada mercado receberá 2 barris de vinho, com altura igual a da altura do tanque e com diâmetro da base igual a do diâmetro da base do tanque . Nessas condições, a quantidade x de mercados que receberão os barris (com capacidade máxima ocupada é tal que x pertence ao intervalo. 0 < x < 20 b) 20 ≤ x 40 c) 60 x < 80 d) 40 x < 60 Solução: h tanque Barril ( volume do tanque ) V = .h Volume de cada barril de vinho é dado por = . =
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