ESTRUTURAS CRISTALINAS

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Capítulo 3
3. Materiais cristalinos 
-Estrutura cristalina: Conceitos Fundamentais, 
célula unitária, 
- Sistemas cristalinos, 
- Polimorfismo e alotropia 
- Direções e planos cristalográficos, anisotropia, 
- Determinação das estruturas cristalinas por 
difração de raios-x.
2
 Por que estudar a estrutura de sólidos cristalinos? 
Capítulo 3
A estrutura de sólidos cristalinos
 As propriedades de alguns materiais estão diretamente relacionadas às suas 
estruturas cristalinas. 
ex: Magnésio e Berílio que têm a mesma estrutura se deformam muito 
menos que ouro e prata que têm outra estrutura cristalina.
 Explica as diferenças significativas nas propriedades apresentadas por materiais 
cristalinos e não-cristalinos que possuem a mesma composição. 
Exemplo: cerâmicas e polímeros não cristalinos são normalmente 
opticamente transparentes; os mesmos materiais em forma cristalina 
tendem a ser opaco ou, na melhor das hipóteses, translúcidos. 
3
• Os materiais sólidos podem ser 
classificados em cristalinos  ou  não-
cristalinos de acordo com a regularidade 
na qual os átomos ou íons se dispõem em 
relação à seus vizinhos.
• Material cristalinoMaterial cristalino é aquele no qual os 
átomos encontram-se ordenados sobre 
longas distâncias atômicas formando uma 
estrutura tridimensional que se chama de 
rede cristalina
• Todos os metais, muitas cerâmicas e alguns 
polímeros formam estruturas cristalinas sob 
condições normais de solidificação 
ESTRUTURAS CRISTALINAS(CONT.)
4
O Cristal Perfeito - Estrutura Cristalina
 Muitos materiais - metais, algumas cerâmicas, alguns 
polímeros - ao se solidificarem, se organizam numa rede 
geométrica 3D - a rede cristalina. 
Fronteira entre dois cristais de TiO2. 
Note a organização geométrica dos átomos.
Carbono amorfo. 
Note a desorganização na posição dos átomos.
Imagens obtidas com Microscópio Eletrônico de Transmissão (MET).
Cristal 1
Cristal 2
Fronteira
Estes materiais cristalinos, têm uma estrutura altamente 
organizada, em contraposição aos materiais amorfos, nos quais 
não há ordem de longo alcance.
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Nos Materiais Não-Cristalinos ou AmorfosMateriais Não-Cristalinos ou Amorfos não existe ordem de longo 
alcance na disposição dos átomos
As propriedades dos materiais sólidos cristalinos depende da estrutura 
cristalina, ou seja, da maneira na qual os átomos, moléculas ou íons estão 
espacialmente dispostos.
Há um número grande de diferentes estruturas cristalinas, desde 
estruturas simples exibidas pelos metais até estruturas mais complexas 
exibidas pelos cerâmicos e polímeros
Ordenamento regular dos átomos Ordenamento somente a curtas distâncias
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Célula Unitária
Como a rede cristalina tem uma estrutura repetitiva, é 
possível descrevê-la a partir de uma estrutura básica, 
como um “tijolo”, que é repetida por todo o espaço.
Célula Unitária
Menor “tijolo” que repetido 
reproduz a rede cristalina
Células Não-Unitárias
(unidade básica repetitiva da estrutura tridimensional)
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CÉLULA UNITÁRIA(CONT.)
(unidade básica repetitiva da estrutura tridimensional)
Consiste num pequeno grupos de átomos que formam um modelo 
repetitivo ao longo da estrutura tridimensional (analogia com elos da 
corrente)
A célula unitária é escolhida para representar a simetria da estrutura 
cristalina
Os átomos são representados como esferas rígidas
 Estes sistemas incluem tôdas as possíveis geometrias de 
divisão do espaço por superfícies planas contínuas
Sistemas CristalinosSistemas Cristalinos
x, y, z = eixos
a, b, c = comprimentos das 
arestas
α, β, γ = ângulos interaxiais
Célula Unitária
Reticulado
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Os 7 Sistemas Cristalinos
Só existem 7 tipos de células unitárias que preenchem 
totalmente o espaço
Cúbica 
a=b=c, α=β=γ=90°
Ortorrômbica 
a≠b≠c, α=β=γ=90°
Tetragonal 
a=b≠c, α=β=γ=90°
Romboédrica 
a=b=c, α=β=γ≠90°
Monoclínica 
a≠b≠c, α=γ=90°≠ βHexagonal* a=b≠c, α=β=90°,γ=120°
Triclínica 
a≠b≠c, α≠β≠γ≠90°
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Sistemas Cristalinos e Redes de Bravais
 Os sistemas cristalinos são apenas entidades geométricas. 
Quando posicionamos átomos dentro destes sistemas formamos 
redes (ou estruturas) cristalinas. 
 Existem apenas 14 redes que permitem preencher o espaço 3D. 
 Nós vamos estudar apenas as redes mais simples: 
                  a cúbica simples - cs (sc - simple cubic) 
a cúbica de corpo centrado - ccc (bcc - body centered cubic) 
a cúbica de face centrada - cfc (fcc - face centered cubic) 
a hexagonal compacta - hc (hcp - hexagonal close packed)
Dos 7 sistemas cristalinos podemos identificar 14 tipos 
diferentes de células unitárias, conhecidas com redes de 
Bravais. Cada uma destas células unitárias tem certas 
características que ajudam a diferenciá-las das outras 
células unitárias. Além do mais, estas características 
também auxiliam na definição das propriedades de um 
material particular.
AS 14 REDES DE BRAVAIS
12
As 14 Redes de Bravais
Cúbica Simples Cúbica de Corpo 
Centrado
Cúbica de Face 
Centrada
Tetragonal 
Simples
Tetragonal de 
Corpo Centrado
Ortorrrômbica 
Simples
Ortorrrômbica de 
Corpo Centrado
Ortorrrômbica de 
Base Centrada
Ortorrrômbica de 
Face Centrada
Romboédrica 
Simples
Hexagonal Monoclínica 
Simples
Monoclínica de 
Base Centrada
Triclínica
POLIMORFISMO OU ALOTROPIA
• Geralmente as transformações polimorficas são 
acompanhadas de mudanças na densidade e 
mudanças de outras propriedades físicas.
•Alguns metais e não-metais podem ter mais de uma 
estrutura cristalina dependendo da temperatura e 
pressão. Esse fenômeno é conhecido como 
polimorfismo.
EXEMPLO DE MATERIAIS QUE 
EXIBEM POLIMORFISMO
• Ferro
• Titânio
• Carbono (grafite e diamente)
• SiC (chega ter 20 modificações cristalinas)
• Etc.
ALOTROPIA DO FERRO
ccc
cfc
ccc
Até 910°C
De 910-1394°C
De 1394°C-PF
• Na temperatura ambiente, o 
Ferro têm estrutura ccc, 
número de coordenação 8, fator 
de empacotamento de 0,68 e 
um raio atômico de 1,241Å.
• A 910°C, o Ferro passa para 
estrutura cfc, número de 
coordenação 12, fator de 
empacotamento de 0,74 e um 
raio atômico de 1,292Å.
• A 1394°C o ferro passa 
novamente para ccc.
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Estruturas Cristalinas dos Metais
 Como a ligação metálica é não direcional não há grandes 
restrições quanto ao número e posição de átomos vizinhos. 
Assim, os metais terão NC alto e empilhamento compacto. 
 A maior parte dos metais se estrutura nas redes cfc, ccc e hc 
 Daqui prá frente representaremos os átomos como esferas 
rígidas que se tocam. As esferas estarão centradas nos pontos 
da rede cristalina.
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A rede ccc
 A rede cúbica de corpo centrado é uma rede cúbica na qual 
existe um átomo em cada vértice e um átomo no centro do cubo. 
Os átomos se tocam ao longo da diagonal.
Número de átomos na célula unitária 
 Na= 1 + 8x(1/8) = 2 
Relação entre a e r 
4R = a√3 => a = 4R/√3 NC = 8
1/8 de átomo1 átomo inteiro
R
a
Fator de empacotamento atômico 
(APF - atomic packing factor) 
3
3
3
3
4)(
)1()(
)(
)(
a
RátomosN
a
átomoVátomosN
célulaVolume
átomosVolumeFEA
pi
=
==
==
68,0
8
3
33
64
3
8
3
4
3
42
3
3
3
3
≈==



×
= pi
pipi
R
R
R
R
FEAccc
O Fe, Cr, W cristalizam em ccc
18
Estrutura Cristalina Cúbica de Corpo Centrado (CCC)Estrutura Cristalina Cúbica de Corpo Centrado (CCC)
 2 átomos/c.u.
 N.C. = 8
 F.E.A. = 0.68
 Cr, Fe(a), W
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A rede cfc
 A rede cúbica de face centrada é uma rede cúbica na qual existe 
um átomo em cada vértice e um átomo no centro de cada face 
do cubo. Os átomos se tocam ao longo das diagonais das faces 
do cubo.
1/8 de átomo1/2 átomo
Número de átomos na célula unitária 
 Na= 6x1/2 + 8x(1/8) = 4 
Relação entre a e r 
4R = a√2 => a = 2R√2 NC = 12
Fator de empacotamento atômico 
FEAcfc = Volume dos átomos = 0.74
Volume da célula 
A rede cfc é a mais compacta
R
a
Al, Ag, Cu, Au
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Estrutura Cristalina Cúbica de Face Centrada (CFC)Estrutura Cristalina Cúbica de Face Centrada (CFC)
 4 átomos/c.u.
 N. C. = 12
 F.E. A. = 0.74
 Al, Cu, Au, Pb, Ni, Pt, Ag
a = parâmetro de rede
R = raio atômico
EST. HEXAGONAL COMPACTA
• Cada átomo tangencia 3 
átomos da camada de cima, 
6 átomos no seu próprio 
plano e 3 na camada de 
baixo do seu plano
• O número de coordenação 
para a estrutura HC é 12 e, 
portanto, o fator de 
empacotamento é o mesmo 
da cfc, ou seja, 0,74.
Relação entre R e a:
a= 2R 
a = parâmetro de rede
R = raio atômico
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A rede hc 
 A rede hexagonal compacta pode ser representada por um 
prisma com base hexagonal, com átomos na base e topo e um 
plano de átomos no meio da altura.
a
c
c/2
Número de átomos na célula 
unitária 
 Na= 12x1/6 + 2x(1/2) + 3 = 6 
Relação entre a e r 
2R = a 
FEA = 0.74 NC =12
A rede hc é tão compacta quanto 
a cfc
Lem
bre
-se 
que
 as 
esfe
ras 
se t
oca
m
Cd, Mg, Ti, Zn 
23
A rede hc (cont.)
Cálculo da razão c/a
a2 = a2/3 +c 2/4 ⇒ c2 = 8a2/3 
Razão c/a ideal
c/a= √8/√3 = 1.633
no entanto este valor varia em metais reais
a2 = d2 +(c/2)2
c/2
a
aa
a d
a/2
d
30º
dcos30° = a/2 
d√3/2 = a/2 
d = a/√3
Vista de topo
24
A rede hc (cont.)
 Cálculo do fator de empacotamento atômico
a
60º
h
FEA = Vatomos
Vcelula
Vatomos = 6 ⋅
4
3
pir3 = 8pir3
Vcelula = Abase ⋅ Altura = Ahexagono ⋅c = 6 ⋅ Atriang. ⋅ c
Atriang. =
b ⋅ h
2
=
a ⋅
3
2
a
2
= a
2 3
4
Vcelula = 6 ⋅a
2 3
4
⋅ c = 6 ⋅ a2 3
4
⋅
8
3
a = 3 2a3 = 3 2 ⋅8r3
FEA = 8pir
3
3 2 ⋅8r3
=
pi
3 2
= 0.74
Vista de topo
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Empacotamento ótimo
 O fator de empacotamento de 0.74, obtido nas redes cfc e hc, é 
o maior possível para empilhar esferas em 3D.
cfc
hc
A A A
A
A A A A
A A A A
AAA
A A A
A
B B
B
B B B
B B B
B B
B
C C C
C
C C
C C
C C C
C
A A A
A
A A A A
A A A A
AAA
A A A
A
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Empilhamento de planos compactos das estruturas CFC e HC
27
Cristalografia
• Para poder descrever a estrutura cristalina é necessário 
escolher uma notação para posições, direções e planos. 
• Posições 
São definidas dentro de um cubo com lado unitário.
Direções Cristalográficas e Pontos do RetículoDireções Cristalográficas e Pontos do Retículo
• Vetores
vetor decomposição
•Direção Cristalográfica 
 Um vetor se posiciona de tal modo que ele passe pela origem do sistemas de 
coordenadas;
 O comprimento da projeção do vetor em cada um dos 3 eixos é determinado;
 Estes 3 números são reduzidos ao menor número inteiro; 
 Eles são representados dentro de colchetes, [uvw]
Índices de uma direção [120]
x y z
Projeções a/2 b 0c
Projeções 1/2 1 0
Reduções 1 2 0
Representação [120]
29
[0 1 1/2]=[0 2 1]
Direções cristalográficas 
 As direções são definidas a partir da origem. 
 Suas coordenadas são dadas pelos pontos que cruzam o cubo 
unitário. Se estes pontos forem fraccionais multiplica-se para 
obter números inteiros.
[1 0 0]
[0 1 0]
[0 0 1]
[1 1 0]
[1 1 1][1 -1 1]
11 1[ ]
[1/2 1 0]=[1 2 0]
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• Famílias de direções 
Formadas por posições semelhantes dentro da estrutura 
cristalina. 
<111> = [111],[111],[111],[111],[111],[111],[111],[111] 
• Ângulo entre direções no sistema cúbico 
Dado pelo produto escalar entre as direções, tratadas como 
vetores.
Direções cristalográficas (cont.)
Ex: [100] e [010] 
cosθ = 1.0 + 0.1 + 0.0 = 0
1 
θ = 90° 
Ex: [111] e [210] 
cosθ = 1.2 + 1.1 + 1.0 = √3 
√3.√5 √5 
θ = 39.2°
D=ua +vb + wc
D’=u’a +v’b + w’c
D.D’ = /D/ /D’/ cos δ
cos δ = D.D’/ /D/ /D’/ = uu’+vv’+ww’/ √u2+v2+w2 √u’2+v’2+w’2
DIREÇÕES NOS CRISTAIS
• São representadas
 entre 
colchetes=[uvw]
• Família de direções: 
<uvw>
Algumas direções da 
família de direções <100>
DIREÇÕES NOS CRISTAIS
• São representadas entre 
colchetes= [hkl]
• Se a subtração der 
negativa, coloca-se uma 
barra sobre o número
As duas direções 
pertencem a mesma
 família?
[101]
DIREÇÕES NOS CRISTAIS
• São representadas entre 
colchetes= [hkl]
• Quando passa pela 
origem
DIREÇÕES NOS CRISTAIS
• São representadas entre 
colchetes= [hkl]
Os números devem ser divididos
 ou multiplicados por um
fator comum para dar números 
inteiros
DIREÇÕES PARA O 
SISTEMA CÚBICO
A simetria desta estrutura permite que as direções equivalentes sejam 
agrupadas para formar uma família de direções:
• <100> para as faces
• <110> para as diagonais das faces
• <111> para a diagonal do cubo
<110>
<111
> <100>
DIREÇÕES PARA O 
SISTEMA CCC
• No sistema ccc os átomos se 
tocam ao longo da diagonal 
do cubo, que corresponde a 
família de direções <111>
• Então, a direção <111> é a 
de maior empacotamento 
atômico para o sistema ccc
DIREÇÕES PARA O 
SISTEMA CFC
• No sistema cfc os átomos 
se tocam ao longo da 
diagonal da face, que 
corresponde a família de 
direções <110>
• Então, a direção <110> é a 
de maior empacotamento 
atômico para o sistema cfc
PLANOS CRISTALINOS
 Por quê são importantes?
· Para a determinação da estrutura cristalina Os métodos de 
difração medem diretamente a distância entre planos paralelos de 
pontos do reticulado cristalino. Esta informação é usada para 
determinar os parâmetros do reticulado de um cristal. 
· Para a deformação plástica 
 A deformação plástica (permanente) dos metais ocorre pelo 
deslizamento dos átomos, escorregando uns sobre os outros no cristal. 
Este deslizamento tende a acontecer preferencialmente ao longo de 
planos direções específicos do cristal. 
Os métodos de difração também medem os ângulos entre os planos 
do reticulado. Estes são usados para determinar os ângulos 
interaxiais de um cristal. 
41
41
Planos cristalográficos
• A notação para os planos utiliza os índices de Miller, 
que são obtidos da seguinte maneira: 
Obtém-se as intersecções do plano com os eixos. 
Obtém-se o inverso das intersecções. 
Multiplica-se para obter os menores números inteiros.
Intersecções: 1/2, ∞, 1
Inversos: 2, 0 ,1 
Índices de Miller: (201) 
Em sistemas cúbicos o plano (hkl)
é normal a direção [hkl]
1/2
1
42
Planos cristalográficos (cont.)
• 1, 1, ∞
• 1, 1, 0 
• (110)
• ∞, 1/2, ∞
• 0, 2, 0 
• (020)
• 1, -1, 1 
• 1, -1, 1 
• (111)
• 1, 1, 1
• 1, 1, 1 
• (111)
• 1, -1, ∞
• 1, -1, 0 
• (110)
Quando as 
intersecções com os 
eixos não são óbvias, 
deve-se deslocar o 
plano ou a origem até 
obter as intersecções 
corretas.
• ∞, 1, ∞
• 0, 1, 0 
• (010)
43
Planos da Rede Hexagonal
a1
a2
a3
c
1
-1
• ∞, 1, -1, ∞
• 0, 1, -1, 0 
• (0 1 1 0)
Face do prisma
Índices de Miller-Bravais 
• 4 coordenadas 
• redundância
 Os 3 eixos, a1, a2 e a3 axes 
estão contidos dentro da base 
planar; 
 O ângulo entre eles é de 120o
 O eixo Z é perpendicular à base 
planar.
][]'''[ hkillkh →
)( khi +−=
44
Resumo
• Direções 
 [uvw] 
• Famílias de direções 
<uvw> 
• Planos 
 (hkl) (índices de Miller) 
Na hexagonal (hkil) (índices de Miller-Bravais) 
i = - (h + k) 
• Famílias de planos 
{hkl} 
FAMÍLIA DE PLANOS {110}
É paralelo à um eixo
FAMÍLIA DE PLANOS {111}
Intercepta os 3 eixos
PLANOS NO SISTEMA 
CÚBICO
A simetria dosistema cúbico faz com que a família de planos tenham o 
mesmo arranjamento e densidade
Deformação em metais envolve deslizamento de planos atômicos. O 
deslizamento ocorre mais facilmente nos planos e direções de maior 
densidade atômica
PLANOS DE MAIOR DENSIDADE 
ATÔMICA NO SISTEMA CCC
• A família de planos 
{110} no sistema ccc é 
o de maior densidade 
atômica
PLANOS DE MAIOR DENSIDADE 
ATÔMICA NO SISTEMA CFC
• A família de planos 
{111} no sistema cfc é 
o de maior densidade 
atômica
Fonte: Eleani Maria da Costa
DEM/PUCRS
50
50
Densidade Atômica Planar
• Análogo ao fator de empacotamento atômico, que corresponde à 
densidade volumétrica de átomos, podemos definir a densidade 
atômica planar 
DAP = Área Total de Átomos/Área do Plano 
• Exemplo 
Calcule a DAP dos planos {100} na rede CFC
1/4 de átomo
1 átomo
Número total de átomos = 1 + 4*1/4 = 2
Área total de átomo = 2 x Área de 1 átomo = 2piR2
Área do Plano = a2 e 4R = a√2 => a = 2R√2 
DAP = 2piR2/a2 = 2piR2/8R2 = pi/4 = 0,785
51
Densidade Atômica Linear
• Análogo à DAP podemos definir a densidade atômica linear 
DAL = Comprimento Total de Átomos/Comprimento de uma direção 
(igual ao fator de empacotamento em uma dimensão)
 Fração de átomos interceptados por uma linha
• Exemplo 
Calcule a DAL das direções <100> na rede CFC
1/2 átomo
Número total de átomos = 1 + 1 = 2
Comprimento total de átomo = 2 x Raio de 1 átomo = 2R 
Comprimento da Direção = a e 4R = a√2 => a = 2R√2 
DAL = 2R/a = 2R/ 2R√2 = 1/√2 = 0.707
52
Planos e Direções Compactas
• Como já vimos, as redes CFC e HC são as mais densas do ponto 
de vista volumétrico. 
• Por outro lado, em cada rede, existem planos e direções com 
valores diferentes de DAP e DAL. 
• Em cada rede, existe um certo número de planos e direções 
compactos (maior valor de DAP e DAL) 
As direções compactas estão contidas em planos compactos 
Estes planos e direções serão fundamentais na deformação 
mecânica de materiais. 
A deformação mecânica normalmente se dá através do 
deslizamento de planos.
53
Sistemas de deslizamento
•O deslizamento ocorrerá mais facilmente em certos planos e 
direções do que em outros. 
•Em geral, o deslizamento ocorrerá paralelo a planos compactos, 
que preservam sua integridade.
•Dentro de um plano de deslizamento existirão direções 
preferenciais para o deslizamento.
•A combinação entre os planos e as direções forma os sistemas de 
deslizamento (slip systems), característicos das diferentes estruturas 
cristalinas.
54
Sistemas de deslizamento (cont.)
Distância
Plano não 
denso
Plano denso
Distância
 O deslizamento é mais 
provável em planos e 
direções compactas 
porque nestes casos a 
distância que a rede 
precisa se deslocar é 
mínima. 
 Dependendo da simetria 
da estrutura, outros 
sistemas de 
deslizamento podem 
estar presentes.
55
Deslizamento de um plano compacto 
Pequeno deslizamento ⇒ Pequena energia 
⇒ Mais provável
Deslizamento de um plano não compacto 
Grande deslizamento ⇒ Grande energia 
⇒ Menos provável
Sistemas de deslizamento (cont.)
56
Sistemas de deslizamento (cont.)
Estrutura 
Cristalina
Planos de 
Deslizamento
Direções de 
Deslizamento
Número de 
Sistemas de 
Deslizamento
Geometria da 
Célula Unitária Exemplos
CCC
{110} 
{211} 
{321}
<111>
6x2 = 12 
12 
24
α-Fe, Mo, W
CFC {111} <110> 4x3 = 12
Al, Cu, 
γ-Fe, Ni
HC
{0001} 
{1010} 
{1011} <1120>
3 
3 
6
Cd, Mg, α-
Ti, Zn
A tabela mostra os sistemas de deslizamento das 3 redes básicas. Em vermelho aparecem os sistemas 
principais. Em cinza aparecem os secundários. Por exemplo: Como a rede CFC tem 4 vezes mais sistemas 
primários que a HC, ela será muito mais dúctil.
57
58
58
Determinação da estrutura
• Pergunta básica 
 Como se pode determinar experimentalmente a estrutura 
cristalina de um material ? 
• Uma boa resposta 
 Estudar os efeitos causados pelo material sobre um feixe de 
radiação. 
• Qual radiação seria mais sensível à estrutura ? 
 Radiação cujo comprimento de onda seja semelhante ao 
espaçamento interplanar (da ordem de 0.1 nm). 
 Difração de raios-x.
59
O espectro eletromagnético
raios gama
raios-x
luz visível
microondas
ondas de rádioUV infravermelho
Comprimento de onda (nm)
Como os raios-x têm comprimento de onda da ordem da 
distância entre os planos atômicos, eles sofrem difração 
quando são transmitidos ou refletidos por um cristal.
60
DETERMINAÇÃO DA ESTRUTURA 
CRISTALINA POR DIFRAÇÃO DE RAIO X
• O FENÔMENO DA DIFRAÇÃO:
• Quando um feixe de raios x é 
dirigido à um material cristalino, 
esses raios são difratados pelos 
planos dos átomos ou íons dentro do 
cristal
61
 
 
+
=
+
Interferência Destrutiva
Difração (revisão ?)
• Difração é um fenômeno de interferência 
Interferência Construtiva
-Considere as ondas 1 e 2 com o 
mesmo comprimento de onda (λ), em 
fase no ponto o-o’.
- Quando dispersas (1’ e 2’) se a 
diferença no comprimento da trajetória 
 corresponde a um número inteiro de 
comprimento de onda, encontram-se, 
ainda em fase, diz-se que elas se 
reforçam mutuamente ( interferem 
constritivamente uma na outra.
62
A lei de Bragg
Raios-X 
incidentes
Raios-X 
difratados
Diferença de caminho dos dois raios: 
AB + BC = 2AB = 2d senθ
Condição para interferência construtiva 
2d senθ = n λ
onde n é um número inteiro e 
λ é o comprimento de onda do raio-x
A C
B
θ θ d
θ θ
= distância 
 interplanar
Planos 
atômicos
dhkl= a
(h2+k2+l2)1/2
Válido para 
sistema cúbico
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Métodos de difração de raios-X
 Laue 
 Uma amostra mono-cristalina é exposta a raios-X com vários comprimentos 
de onda (poli-cromático). 
 A lei de Bragg é satisfeita por diferentes conjuntos de planos, para 
diferentes comprimentos de onda. 
 Para cada condição satisfeita, haverá uma forte intensidade difratada em um 
dado ângulo.
Fonte de 
raios-X 
policromático
Colimador
Mono-cristal
Filme ou detetor
180°-2θ
TÉCNICAS DE DIFRAÇÃO
• Técnica do pó:
É bastante comum, o material a ser analisado 
encontra-se na forma de pó (partículas finas 
orientadas ao acaso) que são expostas à radiação 
x monocromática. O grande número de partículas 
com orientação diferente assegura que a lei de 
Bragg seja satisfeita para alguns planos 
cristalográficos
O DIFRATOMÊTRO DE 
RAIOS X
 
Fonte
• T= fonte de raio X
• S= amostra
• C= detector
• O= eixo no qual a amostra e o 
detector giram
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Métodos de difração de raios-X
 Difratômetro (ou método do pó) 
 Uma amostra poli-cristalina é exposta a raios-X monocromático. 
O ângulo de incidência varia continuamente. 
 Para certos ângulos, a Lei de Bragg é satisfeita para algum plano 
de algum dos mono-cristais, em orientação aleatória.
Amostra 
policristalina 
(pó)
Fonte de 
raios-X 
monocromático
Colimador Colimador
Detetor
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• Ex: Espectro de difração para Al (Difratograma)
λ = 0.1542 nm (CuKα)
In ten sid a de (u .a)
Ângulo (2θ)
Uma amostra desconhecida é analisada e seus picos comparados com os de 
materiais conhecidos e tabelados, permitindo assim a identificação do 
material.
68
A lei de Bragg (cont.)
• A lei de Bragg relaciona quatro variáveis: 
 2d senθ = n λ 
 λ - o comprimento de onda dos raios-X 
– pode assumir apenas um valor (monocromático) 
– pode assumir muitos valores - raios-X “brancos” 
(policromáticos) 
 d - o espaçamento entre os planos 
– pode assumir diferentes valores, em função do conjunto de planos que 
difrata o feixe de raios-X 
 θ - o ângulo de incidênciados raios-X 
– pode variar continuamente dentro de uma faixa 
– pode variar aleatoriamente em função da posição relativa dos diversos 
mono-cristais que formam uma amostra poli-cristalina 
 n - a ordem da difração
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Para o ferro com estrutura cristalina CCC, compute (a) o espaçamento Interplanar,e (b) 
o ângulo de difração para o conjunto de planos (220). O parâmetro de rede para o ferro 
equivale a 0,2866 nm (2,866 A ). Ainda, admita que uma radiação monocromática como 
comprimento de onda de 0,1790 nm (1,790 A ) seja usada, e que ordem de reflexão seja 
de 1.
O valor do espaçamento interplanar d é determinado através da equação:
2l2k2h
ad
++
=
)A013,1(nm1013,0
2)0(2)2(2)2(
nm2866,0d =
++
=
Aplicando a lei de Bragg;
nλ = 2 d senθ
884,0
)nm1013,0)(2(
nm1790,0)(1(
d2
nsen === λθ
a= 0,2866 nm, e 
h = 2, k = 2 e l = 0, uma vez que estamos
Considerando os planos (2 2 0) 
°=
−
= 13,62)884,0(1senθ
O ângulo de difração equivale a 2θ 2θ = (2) (62,13º) = 124,26º
70
Raios X de um comprimento de onda desconhecido são difratados 43,4º por cobre CFC, o 
qual
Possui um parâmetro celular a de 0,3615 nm. Determinações em separados indicam que 
esta
Linha de difração para o cobre é de 1° ordem (n =1) para d111.
a) Qual o comprimento de onda dos raios X ?
b) Os mesmos raios X são usados para analisar tungstênio (CCC). Qual o ângulo, 2θ , 
para as linhas de difração de 2° ordem (n =2) de espaçãmento d010 ?
Sendo: 2θ = 43,4°, e usando as equações :
2l2k2h
ad
++
= nλ = 2 d senθ
nλ =2 [ 2l2k2h
a
++
]senθ
(1)λ=2[ 212121
nm3615,0
++
nm1543,07,21sen] =°
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b) Os mesmos raios X são usados para analisar tungstênio (CCC). Qual o ângulo, 2θ , para 
as linhas de difração de 2° ordem (n =2) de espaçãmento d010 ?
Do apendice B ( Van vlack)
RW= 0,1376 nm
(accc)=4R/√3 
aw= 4( 0,1367nm/ √3 = 0,3157 nm
nλ =2 [ ]senθ2l2k2h
a
++
senθ = 2(0,154)nm√0+1+0/(2)(0,3157nm)
2θ = 58,4°