Concreto2 7 B

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Prof. M.Sc. Antonio de Faria
Outubro-2015
Estruturas em Concreto Armado
Pilares – Dimensionamento
Dimensionamento de pilares
• Situações de dimensionamento:
– Estruturas de nós móveis:
• Em cada extremidade do pilar será necessário considerar os 
esforços nodais oriundos da análise global;
– Estruturas de nós fixos:
• pilares isoladamente • pilares isoladamente 
• Nas extremidades apenas os efeitos de primeira ordem.
• Teoria de 1a ordem:
– no estudo, admite-se que as deformações na estrutura não causam efeitos 
nos esforços internos; As relações entre tensões e deformações são lineares, 
geométrica e fisicamente;
• Teoria de 2a ordem:
– o estudo leva em conta que as relações entre tensões e deformações não 
são lineares, ou seja, as tensões são influenciadas pelas deformações; no 
estágio atual, será estudada apenas a não linearidade geométrica;
Dimensionamento de pilares
estágio atual, será estudada apenas a não linearidade geométrica;
• Não linearidade física:
– as tensões (σ) não são proporcionais às deformações (ε) devido às
características físicas do material;
– o concreto, por exemplo, não é um material homogêneo e sofre o fenômeno
da fissuração.
• Não linearidade geométrica:
– mais simples e consequentemente as tensões, são afetadas pelo estado de
deformação da estrutura; não há uma relação linear entre essas duas
Dimensionamento de pilares
deformação da estrutura; não há uma relação linear entre essas duas
grandezas (é o que ocorre em barras sujeitas à flambagem).
– que resolvem os casos usuais com precisão razoável;
segunda ordem P x e no meio do vão
Seção transversalMomento fletor de
e
M = P x e2 2
M 2
P P
Dimensionamento de pilares
22
(b)(a)
e e
2M 
P P
deformação de 
segunda ordem
• As variáveis em questão estão ligadas a:
– esbeltez do pilar;
– tipo de solicitação;
– características geométricas do pilar estudado (seção transversal e condições de 
contorno apoios);
Dimensionamento de pilares
Dimensionamento de pilares
Índice de esbeltez, raio de giração e comprimento de flambagem;
A
I
 i 
i
 
A
I
 i 
i
 
x
x
x
ye,
y
y
y
y
xe,
x
==
==
l
l
λ
λ
onde:
λ- índice de esbeltez;
le – comprimento de flambagem nas direções x ou y
depende das codições de apoio;
i – raio de giração em em torno de x ou y;
I – momento de inércia em torno de x ou y;
A – área da seção transversal do pilar;
b
12
 
12
b i
 
12
h
 
b.h
1
12
hb
 i 
12
hb
 I
12
b
 
hb
1
12
bh
 i 
12
bh
 I
xe,xe,
y
xe,
y
3
x
3
x
3
y
3
y
⋅
===
=⋅
⋅
=
⋅
=
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
lllλ
• Estado limite último:
– o estado limite último de instabilidade é atingido sempre que, ao crescer a
intensidade do carregamento e, portanto, das deformações;
– há elementos submetidos à flexo-compressão em que o aumento da capacidade
resistente passa a ser inferior ao aumento da solicitação;
Dimensionamento de pilares
LLL
L
figura 5.6 Determinação do comprimento de flambagem dependendo da vinculação da esquerda 
para a direita (apoios rotulados) Le =l , (apoio rotulado e engastado) Le ×= 699,0l , (apoios 
engastados – sem rotação) Le ×= 5,0l , (apoio livre e engatado) Le ×= 2l , 
Dimensionamento de pilares

 +
≤
l
l
h 
 
0


 +
≤
l
l
l
h 
 
0
e
Dimensionamento de pilares


 +
≤
l
l
l
h 
 
0
e

≤
l
l e
Imperfeições globais
• Na análise global das estruturas, contraventadas ou não,
deve ser considerado um desaprumo dos elementos
verticais conforme a figura abaixo;
θ1min = 1/300, estruturas reticuladas e imperfeições locais;
θ1máx= 1/200
H é a altura total da edificação, expressa em metros (m);
n é o número de prumadas de pilares no pórtico plano.
Imperfeições globais
• Para edifícios com predominância de lajes lisas ou cogumelo,
considerar θa = θ1;
• Em pilares isolados em balanço, adotar θ1 = 1/200.
• A sobreposição de vento e desaprumo não é necessária
quando o menor valor entre eles não ultrapassar 30% do
maior valor;maior valor;
• Essa comparação pode ser feita com os momentos totais na
base da construção e em cada direção e sentido da aplicação
da ação do vento;
• Nesta comparação, deve-se considerar o desaprumo
correspondente a θ1, não se considerando θ1mín.
Imperfeições globais
• Quando a superposição for necessária, deve-se combinar
com o vento o desaprumo correspondente a θ1, não se
considerando θ1mín;
• Se o efeito de desaprumo for predominante, o valor do ângulo
deve atender θ1mín;
• Nessa combinação, admite-se considerar ambas as ações• Nessa combinação, admite-se considerar ambas as ações
atuando na mesma direção e sentido como equivalentes a
uma ação de vento, portanto como carga variável,
artificialmente amplificada para cobrir a superposição.
Imperfeições locais
• No caso de elementos que ligam pilares contraventados a pilares de
contraventamento, usualmente vigas e lajes, deve ser considerada a
tração decorrente do desaprumo do pilar contraventado, conforme
figura abaixo;
• No caso do dimensionamento ou verificação de um lance de pilar,
deve ser considerado o efeito do desaprumo ou da falta de
retilineidade do eixo do pilar;
• Admite-se que, nos casos usuais de estruturas reticuladas, a
consideração apenas da falta de retilineidade ao longo lance de pilarconsideração apenas da falta de retilineidade ao longo lance de pilar
é suficiente;
Momento mínimo
• O efeito das imperfeições locais nos pilares e pilares-parede pode ser
substituído, em estruturas reticuladas, pela consideração do
momento mínimo de 1ª ordem, dado a seguir:
h)0,03(0,015N M dmin1d, ⋅+⋅=
onde:
h – é a altura total da seção transversal na direção considerada, em metros;
• Nas estruturas reticuladas usuais admite-se que o efeito das imperfeições• Nas estruturas reticuladas usuais admite-se que o efeito das imperfeições
locais esteja atendido se for respeitado esse valor de momento mínimo;
• A este momento devem ser acrescidos os momentos de 2ª ordem;
• Para pilares de seção retangular, pode-se definir uma envoltória mínima
de 1ª ordem, tomada a favor da segurança, de acordo com a figura a
seguir:
• Neste caso, a verificação do momento mínimo pode ser considerada
atendida quando, no dimensionamento adotado, obtém-se uma envoltória
resistente que englobe a envoltória mínima de 1ª ordem;
Momento mínimo
• Quando houver a necessidade de calcular os efeitos de 2ª ordem em 
alguma das direções do pilar, a verificação do momento mínimo deve 
considerar ainda a envoltória mínima com 2ª ordem, conforme item 15.3.2;
Pilares e pilares parede – dimensões mínimas
• A seção transversal de pilares e pilares-parede maciços, qualquer
que seja sua forma, não deve apresentar dimensão menor que 19
cm;
• Em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões entre
19 cm e 14 cm, desde que se multipliquem os esforços solicitantes
de cálculo a serem considerados no dimensionamento por um
coeficiente adicional γn, de acordo com o indicado na tabela abaixo;
• Em qualquer caso, não se permite pilar com seção transversal de
área inferior a 360 cm2;área inferior a 360 cm2;
Resumo dos processos de dimensionamento para os pilares conforme
sua esbeltez
Esbeltez Classificação Procedimento de Cálculo
λ ≤ λ1 Curto
Não precisa ser considerada a segunda
ordem e2=0;
λ1 < λ≤ 90
Medianamen
te
Esbelto
Método do pilar padrão com curvatura
aproximada;
Método do pilar padrão com rigidez κ
(kapa) aproximada;
Dimensionamento de pilares
Esbelto
Método do pilar padrão com rigidez(kapa) aproximada;
90 < λ ≤ 
140
Pilares
Esbeltos
A consideração da fluência é obrigatória
Método do pilar padrão com curvatura real 
acoplado a diagramas M, N, 1/r;
140 < λ ≤ 
200
Muito
Esbeltos
A consideração da fluência é obrigatória;
Método geral é obrigatório
Coeficiente adicional γn1 = 1+[0,01.(λ-
140)/1,4]
Os processos simplificados se aplicam para pilares de seção transversal constante e sem
cargas transversais ao longo deles
Resumo das fórmulas para determinação de λλλλ1
Situação Valor de αb
Para pilares biapoiados sem cargas
transversais
para pilares biapoiados com cargas
90 /h)e12,5(25 35
b
1
1 ≤⋅+=≤
α
λ
0,40 
M
M0,400,60 
A
B
b ≥⋅+=α
Dimensionamento de pilares
0,4 1,0 :sendo b ≥≥α
para pilares biapoiados com cargas
transversais significativas, ao longo da
altura
Para pilares em balanço
Para pilares biapoiados ou em balanço
com momentos menores que o 
momento mínimo
1,0 b =α
0,85 
M
M0,200,80 
A
C
b ≥⋅+=α
1,0 b =α
h)0,03(0,015N M dmin1d, ⋅+⋅=
0,85 1,0 :sendo b ≥≥α
• a) λλλλ < λλλλ1 PILARES CURTOS:
– A análise dos efeitos locais de 2ª ordem pode ser dispensada, lembrando
que por sua vez λλλλ1 deve ser maior ou igual a 30 e menor ou igual a 90.
• b) λλλλ1< λλλλ ≤≤≤≤ 90 PILARES MEDIANAMENTE ESBELTOS:
– Método do pilar padrão com curvatura aproximada.
– Método do pilar padrão com rigidez κ (kapa) aproximada, inclusive para
pilares retangulares submetidos à flexão composta oblíqua.
• c) 90 < λλλλ ≤ 140 PILARES ESBELTOS:
Dimensionamento de pilares
• c) 90 < λλλλ ≤ 140 PILARES ESBELTOS:
– A consideração da fluência é obrigatória.Método do pilar padrão com
curvatura real acoplado a diagramas M, N, 1/r.
• d) 140 < λλλλ ≤ 200 PILARES MUITO ESBELTOS:
– A consideração da fluência é obrigatória.Método geral é obrigatório;
• e) λλλλ > 200:
– Não pode haver pilar com índice de esbeltez superior a 200
excentricidade inicial;
excentricidade de forma;
excentricidade acidental;
Dimensionamento de pilares
excentricidade de segunda ordem;
excentricidade suplementar.
Forma:
NÃO É NECESSÁRIO
CONSIDERAR
Dimensionamento de pilares
NECESSÁRIO CONSIDERAR
PLANTA
P4P3P2P1
CORTE 11
 1 1
Excentricidade inicial
Dimensionamento de pilares
P5 P6 P7 P8
P9 P10 P11 P12
LINHA ELÁSTICA
 1 1
Pilares LateraisPilares centrais Pilares de canto
O método geral 
análise não-linear de 2ª ordem efetuada
com discretização adequada da barra, 
consideração da relação momento-curvatura real 
Dimensionamento de pilares
consideração da relação momento-curvatura real 
consideração da não-linearidade geométrica 
x
y
x
y
z
u
l
e1
F
Dimensionamento de pilares
F= Fref
Wx
Fcrit
Fn
crit,F
F2
F1
Wy
Wx1 Wx2 WxnWy1Wy2Wyn
 
Figura 5.9. Cálculo exato da carga crítica para o caso da flexão oblíqua. 
Excentricidade Símbolo Aplicação
Inicial ei
Pilar central
ei =0
Pilar Lateral
eix ou eiy ≠ 0
Pilar de Canto
eix e eiy ≠ 0
De forma ef
ef = 0 quando há viga capaz
de absorver momento
ef ≠ 0 quando não há viga
capaz de absorver
momento
Dimensionamento de pilares
Tipos de excentricidades e aplicação
Acidental ea Considerar sempre ou então utilizar e1d,mín
Mínima e1d,mín
Quando maior, considerar no lugar de ea ou de e1
(primeira ordem)
Segunda Ordem e2
e2 = 0 para λ ≤ λ1 e2 ≠ 0 para λ > λ1
Suplementar
(fluência)
ec
ec = 0 para λ ≤ 90 ec ≠ 0 para λ > 90
pilar padrão 
Dimensionamento de pilares
Pilar engastado na base e livre na extremidade superior, solicitado por carga vertical
excêntrica, equivalente a um pilar bi-rotulado com o dobro do comprimento;
• Para a determinação da excentricidade de segunda ordem são
admitidas as seguintes hipóteses:
– a flecha máxima (a) é função linear da curvatura da barra;
– a linha elástica da barra deformada é dada por uma função senoidal;
– a curvatura é dada pela derivada segunda da equação da linha elástica;
– será desconsiderada a não linearidade física do material.
– Considera-se que a linha elástica (deformada) y(x)do eixo da barra seja expressa
pela função contínua abaixo;
Dimensionamento de pilares
– em que le, é o comprimento equivalente ou de flambagem do pilar que,
conforme visto na figura anterior, é igual a 2⋅l, assim, tem-se:






⋅⋅= x
pi
senay 
e
(x)
l






⋅
⋅
⋅= x
2
pi
senay (x)
l
• Considerando que os deslocamentos y sejam pequenos, a curvatura (1/r) pode 
ser expressa por:
2
(x)2
dx
yd
r
1
≅






⋅⋅⋅= x
2
pi
cosa
2
pi
dx
dy
 
(x)
ll






⋅
⋅
⋅⋅





⋅
−= x
2
pi
sena
2
pi
 
dx
yd
 
2
2
(x)2
ll
1api
r
1
2
e
2
x
⋅⋅−=





=
l
l
2
2
e
lx pir
1
a
l
⋅





=
=
a
e
2
engastada e livre
P
1e
Dimensionamento de pilares
• Derivando a expressão anterior duas vezes, tem-se:
• Para le = 2⋅l tem-se para x = l o valor da curvatura:
ex =l lx =
10r
1
e
2
e
x
2
l
l
⋅





=
=
Mt=P ( )12 ee +× P
y
x






×= xsenaxy
el
pi)( 
Dimensionamento de pilares
M
• Assim o valor da excentricidade de segunda ordem é diretamente
proporcional à curvatura na base do pilar (seção mais solicitada) que com as
características descritas passa a ser chamado de pilar padrão. Desta forma,
ao se fazer um gráfico do momento fletor total Mt, em função da curvatura,
para um valor constante de P, obtêm-se o gráfico mostrado na figura abaixo,
destacando que M2 é o momento de segunda ordem e M1 o de primeira
ordem.
Representação do momento externo total composto pela soma de M1 e M2
M1 1/r
2
- 10 e1
e
1M
2M =
e
2
P 10 r
1
x x
( ) 1212t MMeePM +=+⋅=
M s
P=constante 
A =constante 
M último
Dimensionamento de pilares
1/r
interno ou resistenteM 
Momento interno resistente, obtido para valores de As e P fixos com variação da curvatura (1/r)
M
M 
A =constante 
interno ou resistente
P=constante 
sM externo, 3
M 
externo, 2
Dimensionamento de pilares
1/r
1
1r r2
1
externo, 1M 
e1,1
1,2e
1,3e
Situações possíveis de equilíbrio
M
M 
externo, 1interno ou resistente
M s
P=constante 
A =constante 
Dimensionamento de pilares
1/r
e
r
1
máxima
1
r
1
Pilar medianamente esbelto em que a solução tem valor próximo ao da curvatura máxima
Método aproximado do pilar padrão
• Para o cálculo do momento de segunda ordem a partir da expressão anterior
é preciso determinar a curvatura (1/r) de uma barra de concreto armado,
analisando-a na situação deformada, conforme a abaixo:
r=As
Vista Lateral antes de 
deformar 
Seção Transversal
r
d
 dsc
Vista Lateral após
deformar 
M
d
d
 dsc
d
Construção 
auxiliar 
sA M M d s
d
 
 dss
M M
( + )ds
M
s
 
 dsc ds c s
d
Relação entre deformações e curvatura em uma barra de concreto armado
• Partindo do princípio que os ângulos são pequenos, e sabendo que a variação
de comprimento entre a fibra mais comprimida de concreto e a fibra
tracionada de aço é dada por [εc + εs].ds , por semelhança de triângulos
(observar construção auxiliar na acima) resulta:
( ) dsεε
d
ds
r
sc ⋅+
=
1
r
=
+ε εc s
d
Método aproximado do pilar padrão
• A expressão de 1/r obtida é devida apenas à flexão;
• Para levar em conta o efeito da compressão (curvaturade uma seção submetida à
flexão composta), e retirando-se a partir de agora o módulo nos valores das
deformações, ela passa a ser:
• Neste método aproximado considera-se, a favor da segurança, que a curvatura deve
( )
( ) h0,5 υ
εε
r
1 sc
⋅+
+
=
cd
d
cdc
d
fhb
F
fA
F
 υ
⋅⋅
=
⋅
=
( ) h0,5υ
0,005
10
e
2
e
2
⋅+
⋅=
l
• Neste método aproximado considera-se, a favor da segurança, que a curvatura deve
ter o maior valor possível e, portanto, as deformações do concreto e do aço
deverão ser iguais àquelas correspondentes ao estado limite último, ou seja:
onde:
Excentricidade Situações para uso Expressões
Acidental ea todas
Seção Extrema
θ1. le
Seção Intermediária
θ1.(le/2)
Mínima e1,mín
Todas, se maior
que imperfeições
geométricas ou de 
primeira ordem
200
L
 
100
1
 1 ≤
⋅
=
l
θ
m) em(h h 0,03 0,015 e míni, ⋅+=
90 1 << λλ 140 90 <≤ λ
<≤ λ
Resumo do emprego das excentricidades
Segunda ordem e2 Sempre que λ ≥ λ1
Gráficos N,1/r,M
Processo Geral
Forma
ef
Carga excêntrica
sem vigas
ef = e
Inicial
ei
Pilares laterais e 
de canto
Pilar lateral Pilar de canto Seções Intermediárias
Suplementar
Ecc
Sempre que
λ > 90
h0,5)(
005,0
10
e
 e
2
2
⋅+
⋅=
ν
l
r
1
10
e
 e
2
2 ⋅=
l 200 140 <≤ λ
N
M
 e ii = N
M
 e N
M
 e iyiyixix ==
ibi
* e e ⋅=α
2
sge
sg
e
cc
e
N-N
N
a
sg
sg
c
IE10
 N 12,718e
N
M
 e
l
⋅
⋅
⋅
=








−⋅





+=
ϕ
Relações momento-curvatura
• O principal efeito da não linearidade pode, em geral ser considerado
através da construção da relação momento curvatura para cada
seção, com armadura suposta conhecida, e para o valor da força
normal atuante;
• Pode ser considerada também a formulação de segurança em que
se calculam os efeitos de 2ª ordem das cargas majoradas de γf/γf3,
que posteriormente são majorados de γf3, com γf3 = 1,1, com a
seguinte equação:
 ( )FS γ S f3totd, ⋅= 











⋅+⋅+⋅= ∑ FψF
γ
γ
 F
γ
γ
 F
n
2
qjk0jq1k 
f3
f
gk
f3
f
• Para a escolha da combinação de ações e dos coeficientes γf e ψ0, ver a 
seção 11;
• Assim, a relação momento-curvatura apresenta o aspecto da figura a 
seguir:
Relações momento-curvatura
• A curva cheia AB, obtida considerando o valor de força normal igual a NRd/γf3, que
a favor da segurança pode ser linearizada pela reta AB, é utilizada no cálculo das
deformações;
• A curva tracejada, obtida com os valores de cálculo das resistências do concreto e
do aço, é utilizada somente para definir o esforço resistente MRd correspondente a
NRd (ponto de máximo);
• A reta AB é caracterizada pela rigidez secante (E.I)sec, que pode ser utilizada em
processos aproximados para flexão composta normal ou obliqua;
Relações momento-curvatura
• Define-se como rigidez secante adimensional κ o valor dado por:
( )
cd
2
c
sec
sec
fhA
IE
κ
⋅⋅
⋅
=
• onde:
• h é a altura da seção considerada;
• esse valor da rigidez secante adimensional pode ser colocado, em conjunto com 
os valores últimos de NRd e MRd, em ábacos de interação força normal-momento 
fletor;fletor;
Imperfeições geométricas
• As imperfeições geométricas (global e local) devem ser consideradas de acordo
com o prescrito no item 11.3.3.4 da NBR 6118:2014;
• Para pilares de seção retangular, quando houver a necessidade de calcular os
efeitos locais de 2ª ordem, a verificação do momento mínimo pode ser
considerada atendida quando, no dimensionamento adotado, obtém-se uma
envoltória resistente que englobe a envoltória mínima com 2ª ordem, cujos
momentos totais são calculados a partir dos momentos mínimos de 1ª ordem e de
acordo com o item 15.8.3 da NBR 6118:2014;acordo com o item 15.8.3 da NBR 6118:2014;
• A consideração desta envoltória mínima pode ser realizada através de duas
análises à flexão composta normal, calculadas de forma isolada e com momentos
fletores mínimos de 1a ordem atuantes nos extremos do pilar, nas suas direções
principais;
Imperfeições geométricas
• sendo:
• Md,tot,min,xx e Md,tot,min,yy � as componentes em flexão composta normal;
• Md,tot,min,x e Md,tot,min,y � as componentes em flexão composta obliqua;
Método do pilar-padrão com curvatura
aproximada
• Pode ser empregado apenas no cálculo de pilares com λ ≤ 90, seção
constante e armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo;
• A não-linearidade geométrica é considerada de forma aproximada,
supondo-se que a deformação da barra seja senoidal;
• A não-linearidade física é considerada através de uma expressão
aproximada da curvatura na seção crítica;
• O momento total máximo no pilar deve ser calculado pela expressão:
A1d,
2
e
dA1d,btotd, M 
r
1
10
N Mα M ≥⋅⋅+⋅= l
r10
sendo 1/r a curvatura da seção crítica, que pode ser avaliada pela expressão aproximada:
( ) h
0,005
 
0,5 h
0,005
 
r
1 ≤
+⋅
=
ν
onde:
cdc
d
fA
N
 
⋅
=ν min1d,A1d, M M ≥
h – é a altura da seção na direção considerada;
ν- é a força normal adimensional;
M1d,min – tem o significado estabelecido em 11.3.3.4.3
O momento M1d,A e o coeficiente αb têm as mesmas definições de 15.8.2, sendo M1d,A o 
valor de cálculo de 1ª ordem do momento MA;
Método do pilar-padrão com rigidez κ
aproximada
• Pode ser empregado apenas no cálculo de pilares com λ ≤ 90, seção
retangular constante e armadura simétrica e constante ao longo de seu
eixo;
• A não-linearidade geométrica deve ser considerada de forma aproximada,
supondo-se que a deformação na barra seja senoidal;
• A não-linearidade física deve ser considerada através de uma expressão
aproximada da rigidez;
• O momento total máximo no pilar deve ser calculado a partir da majoração
do momento de 1ª ordem pela expressão:do momento de 1 ordem pela expressão:
A1d,2
A1d,b
totSd, M 
120
-1
Mα
 M ≥
⋅
⋅
=
ν
κ
λ onde: min1d,A1d, M M ≥
Para o valor da rigidez adimensional κ pode ser utilizada a expressão aproximada;
νκ ⋅





⋅
⋅+⋅=
dNh
M5 132 totRd,
Método do pilar-padrão com rigidez κ
aproximada
• Num processo de dimensionamento, toma-se MRd,tot = MSd,tot;
• Num processo de verificação, onde a armadura é conhecida, MRd,tot é o
momento resistente calculado com essa armadura e com Nd = NSd = NRd;
• As variáveis h, ν, M1d,A e αb são as mesmas definidas anteriormente;
• Usualmente duas ou três iterações são suficientes quando se optar por um
cálculo iterativo;
• O processo aproximado acima, num caso de dimensionamento, recai na
formulação direta dada abaixo;
A1d,b
A1d,b
2
d
2
ed
d
2
totSd,
2
Mh5 - 
MαhN- C
320
N
 - Nh B
h5 A 
:onde 0, C MA
⋅⋅⋅





⋅⋅⋅=
⋅
⋅=
⋅=
=+⋅
α
l
A2
CA4B B-
 M
2
totSd,
⋅
⋅⋅−+
=
Método do pilar-padrão acoplado a 
diagramas M, N, 1/r
• A determinação dos esforços locais de 2ª ordem em ou pilares com λ ≤ 140 pode
ser feita pelo método do pilar-padrão ou pilar-padrão melhorado, utilizando-se
para a curvatura da seção crítica valores obtidos de diagramas M, N, 1/r
específicos para o caso;
• Se λ > 90, é obrigatória a consideração dos efeitos da fluência, de acordo com o
item 15.8.4;
Método do pilar-padrão para pilares de seção
retangular submetidos à flexão composta
obliqua
• Quando a esbeltez de um pilar de seção retangular submetido à flexão composta
obliqua for menor ou igual que 90 (λ ≤ 90) nas duas direções principais, podem
ser aplicados os processos aproximados descritos anteriormente,
simultaneamenteem cada uma das duas direções;
• A obtenção dos momentos de 2ª ordem em cada direção é diferente, pois depende
de valores distintos de rigidez e esbeltez;
• Uma vez obtida a distribuição de momentos totais (1ª e 2ª ordens), em cada
direção, deve ser verificada, para cada seção ao longo do eixo, se a composiçãodireção, deve ser verificada, para cada seção ao longo do eixo, se a composição
desses momentos solicitantes fica dentro da envoltória de momentos resistentes
para a armadura escolhida;
• Essa verificação pode ser realizada em apenas três seções: nas extremidades A e
B e num ponto intermediário onde se admite atuar concomitantemente os
momentos Md,tot nas duas direções (x e y);
Método do pilar-padrão para pilares de seção
retangular submetidos à flexão composta
obliqua
• Quando a esbeltez de um pilar de seção retangular submetido à flexão composta
obliqua for menor ou igual que 90 (λ ≤ 90) nas duas direções principais, podem
ser aplicados os processos aproximados descritos anteriormente,
simultaneamente em cada uma das duas direções;
• A obtenção dos momentos de 2ª ordem em cada direção é diferente, pois depende
de valores distintos de rigidez e esbeltez;
• Uma vez obtida a distribuição de momentos totais (1ª e 2ª ordens), em cada
direção, deve ser verificada, para cada seção ao longo do eixo, se a composiçãodireção, deve ser verificada, para cada seção ao longo do eixo, se a composição
desses momentos solicitantes fica dentro da envoltória de momentos resistentes
para a armadura escolhida;
• Essa verificação pode ser realizada em apenas três seções: nas extremidades A e
B e num ponto intermediário onde se admite atuar concomitantemente os
momentos Md,tot nas duas direções (x e y);
Consideração da fluência
• A consideração da fluência deve obrigatoriamente ser realizada em pilares
com índice de esbeltez λ > 90 e pode ser efetuada de maneira
aproximada, considerando a excentricidade adicional ecc dada a seguir;








−⋅





+=
⋅
12,718e 
N
M
 e Nsg-Ne
Nsg
a
sg
sg
c
φ
onde:
2
e
cci
e
IE10
 N
l
⋅⋅
=
ea é a excentricidade devida a imperfeições locais, conforme figura abaixo:
Consideração da fluência
Msg é Nsg são os esforços solicitantes devido a combinação quase permanente;
ϕé o coeficiente de fluência;
Eci é definido conforme item 8.1 da NBR 6118:2014;
Ic é definido de acordo com o item 4.2.3 da NBR 6118:2014;
le é definido em conforme item 15.6 da NBR 6118:2014; 
• A consideração do efeito de 2ª ordem deve ser feita conforme item 15.8.3, como 
se fosse um efeito imediato, que se soma a excentricidade e1;