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MICROECONOMIA IV Tópico 1: Decisão sob incerteza Incerteza • Em muitas situações, há incerteza sobre o resultado de certas ações • Uma ação pode ter diversos resultados • Mas cada resultado irá ocorrer com uma certa probabilidade • Comprar uma ação • Fazer um investimento • Dois conceitos básicos: • Valor esperado (média) • Desvio-padrão (variabilidade, volatilidade) Exemplo 1: valor esperado • Uma plataforma de petróleo é recém-construída • Se encontrarem petróleo, o valor da ação da empresa será de $40 • A probabilidade de encontrarem é de Pr(success) = ¼ • Se não encontrarem, o valor da ação será $20. • A probabilidade de não encontrarem é de Pr(failure) = ¾ • Então, o valor esperado do preço da ação será: DEFINIÇÕES • Payoff: ganho ou perda associado a certo resultado • Medido em valor monetário ou em bens ou qualquer outro ganho • No exemplo: $40 (se encontrarem) e $20 (se não encontrarem) • Valor esperado: payoff médio • O valor esperado é calculado como uma média dos payoffs ponderados pelas probabilidades • Se Pri = P(Xi) e se forem n possíveis resultados X1, X2,…, Xn: Exemplo 2: variabilidade Exemplo 2 (cont. 1) • Valor esperado é o mesmo em ambos os empregos: $1.500 • Mas os desvios-padrão são diferentes Desvio-padrão σ = Var(X ) σ 2 =Var(X ) = Pr1[X1 − E(X )] 2 + Pr2[X 2 − E(X )] 2 + ...+ Prn[Xn − E(X )] 2 Exemplo 2: (cont. 2) • O desvio-padrão do salário no emprego 1 é de $500 • No emprego 2, é de $99.50 • O desvio-padrão do salário do emprego 2 é menor • O emprego 2 é menos arriscado que o emprego 1 Exercício 1 • Exercício 2 • Exemplo 3: médias e riscos diferentes • Emprego 1: média maior, mas risco também maior • Escolha depende de quão tolerante ao risco você é Utilidade esperada • Somas das utilidades associdas a cada resultado, ponderadas pelas probabilidades de cada resultado • A utilidade esperada também chamada de utilidade de von-Neumann-Morgenstern (vNM) • A utilidade u é chamada de utilidade de Bernoulli E[u(X )]= Pr1u(X1)+ Pr2 u(X 2 )+ ...+ Prn u(Xn ) Aversão ao risco • Pessoa prefere ganhar o valor médio, E(X), com certeza e a entrar em uma loteria que ele irá ganhar, em média, E(X) • Isso ocorrerá quando a função de utilidade u for côncava • A utilidade marginal da riqueza é decrescente (u’’<0) u[E(X )]> E[u(X )] Exemplo: aversão ao risco • Aversão ao risco: utilidade do ganho médio é maior que a utilidade média dos ganhos • Loteria: $0 com probabilidade ½, $10.000 com probabilidade ½ • Suponha que: ( ) ( )0 2 1000.10 2 10 2 1000.10 2 1 uuu +>⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ×+× Utilidade da média, ou utilidade esperada de uma loteria que paga 5.000 com certeza Utilidade média (ou esperada) Aversão ao risco: Utilidade é função côncava da riqueza Utils $ 0 10.000 5.000 u(·) ½u(0) + ½u(10.000) Utilidade média u(5.000) = utilidade da média Função de Bernoulli Propensão ao risco • Pessoa prefere entrar em uma loteria que ele irá ganhar, em média, E(X), a ganhar E(X) com certeza: • Isso ocorrerá quando a função de utilidade u for convexa • A utilidade marginal da riqueza é crescente (u’’>0) u[E(X )]< E[u(X )] Propensão ao risco: utilidade do ganho médio é menor que a utilidade média dos ganhos • Loteria: $0 com probabilidade ½, $10.000 com probabilidade ½ • Suponha que: ( ) ( )0 2 1000.10 2 10 2 1000.10 2 1 uuu +<⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ×+× Utilidade da média, ou utilidade esperada de uma loteria que paga 5.000 com certeza Utilidade média (ou esperada) Exemplo: propensão ao risco • Propensão ao risco: Utilidade é função convexa da riqueza Utils $ 0 10.00 0 5.000 u(·) ½u(0) + ½u(10.000) Utilidade média u(5.000) = utilidade da média Função de Bernoulli Neutro ao risco: • Pessoa indiferente entre ganhar o valor médio, E(X), com certeza e a entrar em uma loteria que ele irá ganhar, em média, E(X) • Isso ocorrerá quando a função de utilidade u for linear • A utilidade marginal da riqueza é constant (u’’=0) u[E(X )]= E[u(X )] Exemplo: neutralidade ao risco • Propensão ao risco: utilidade do ganho médio é igual à utilidade média dos ganhos • Loteria: $0 com probabilidade ½, $10.000 com probabilidade ½ • Suponha que: ( ) ( )0 2 1000.10 2 10 2 1000.10 2 1 uuu +=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ×+× Utilidade da média, ou utilidade esperada de uma loteria que paga 5.000 com certeza Utilidade média (ou esperada) Neutralidade ao risco: Utilidade é função linear da riqueza Utils $ 0 10.00 0 5.000 u(·) ½u(0) + ½u(10.000) u(5.000) = Função de Bernoulli Resumo • Se a utilidade de Bernoulli u(·) é côncava (u’’ < 0), então o agente é avesso ao risco • Exemplos: u(c) = ln(c), u(c) = c½ • Se a utilidade de Bernoulli u(·) é convexa (u’’ > 0), então o agente é propenso do risco • Exemplos: u(c) = exp(c), u(c) = c2 • Se a utilidade de Bernoulli u(·) é linear (u’’ = 0), então o agente é neutro ao risco • Exemplos: u(c) = c, u(c) = 10+34c Exemplo: demanda por seguro • Pessoa tem $35 mil de patrimônio, sendo $10 mil em um carro, que é roubado com probabilidade p • Problema: quanto comprar de seguro? • Seja K = valor a ser segurado, e γ o prêmio (preço) de cada real segurado ( ) ( ) ( )γγ Kup+Kpu K -35 -1K -25max + Exemplo: demanda por seguro • CPO • Suponha que o seguro seja “atuarialmente” justo, ou seja, p = γ. Isto implica que a CPO se reduz a ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )γ γ γ γ γγγγ -1 -1 -35' -125' ↔0-35'-1--125'-1 p p Ku Ku KupKup = + =+ ( )( ) ( ) ( )( ) ( )KuKu Ku Ku γγ γ γ -35'-125'→1 -35' -125' =+= + Exemplo: demanda por seguro • Suponha que u’’ < 0 (agente avesso ao risco) → Então u’ é decrescente • Para que é preciso que 25 + (1 – γ)K = 35 – γK → K = 10 mil (valor do carro) → Se o prêmio é atuarialmente justo (p = γ), o consumidor irá comprar o seguro completo. ( )( ) ( )KuKu γγ -35'-125' =+ Reduzindo risco: seguro • Exemplo: valor do prêmio: $1.000 • Para a seguradora, vender seguro contra roubo para um grande número de pessoas traz pouco risco • Se a seguradora vender 1.000 seguros, quanto ela irá receber de pagamentos? E quanto ela espera pagar? Problemas • Os exemplos acima funcionam para mercados como o de seguro de automóvel ou contra roubo • Mas certos mercados de seguro têm características que dificultam o seu funcionamento • Seguro contra grandes catástrofes naturais • Seguro saúde Prêmio de risco (PR) • Montante monetário que uma pessoa avessa ao risco está disposta a pagar para evitar o risco Equivalente em certeza • Suponha que você tem uma loteria que paga: • K1 com probabilidade p • K2 com probabilidade 1 – p • K1 > K2 > 0 ( ) ( ) ( ) ( )11 1 KupKpuECu −+= Equivalente em certeza • O equivalente em certeza (EC) é quanto você está disposto a abrir mão de média para evitar o risco • Se EC < pK1 + (1 – p)K2, então o agente é avesso ao risco ( ) ( ) ( ) ( )11 1 KupKpuECu −+= Equivalente em certeza Utils $ 0 10.000 5.000 u(·) ½u(0) + ½u(10.000) Função de Bernoulli Equivalente em certeza EC Equivalente em certeza • Se dois agentes i e j têm equivalentes em certeza tais que ECi < ECj diz-se que i é mais avesso ao risco que j CurvaturaUtils $ 0 10.000 5.000 u(·) ½u(0) + ½u(10.000) Equivalente em certeza EC EC Equivalente em certeza u(·) Equivalente em certeza (EC) e prêmio de risco (PR) • O PR é a diferença entre o valor esperado da loteria e o equivalente em certeza: • PR = E(X) – EC Exercício 3 • Exercício 4 • Exercício 5 • Reduzindo risco: diversificação • Diversificação: não coloque todos os ovos em uma única cesta! • Exemplo: probabilidade de tempo quente de 50% • Mercado de ações: aplicar fundos mútuos é uma forma de diversificar os riscos Exercício Demanda por ativos de risco • Trade-off entre risco e retorno • Ativos com maior retorno esperado têm maior risco Escolha da carteira • Dois ativos, um com risco alto (m) e outro com risco baixo (f) • O retorno esperado da carteira é: • (5.1) • O risco da carteira é: Prova • Prova Reescrevendo o problema • Podemos reescrever as equações Graficamente, investidor avesso ao risco • Investidor gosta de retorno mas não gosta de risco Dois investidores • A mais avesso ao risco que B
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