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Slide Incerteza - Livro Pindyck

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MICROECONOMIA IV 
Tópico 1: Decisão sob incerteza 
Incerteza 
•  Em muitas situações, há incerteza sobre o resultado de 
certas ações 
•  Uma ação pode ter diversos resultados 
•  Mas cada resultado irá ocorrer com uma certa 
probabilidade 
•  Comprar uma ação 
•  Fazer um investimento 
•  Dois conceitos básicos: 
•  Valor esperado (média) 
•  Desvio-padrão (variabilidade, volatilidade) 
Exemplo 1: valor esperado 
•  Uma plataforma de petróleo é recém-construída 
•  Se encontrarem petróleo, o valor da ação da empresa 
será de $40 
•  A probabilidade de encontrarem é de Pr(success) = ¼ 
•  Se não encontrarem, o valor da ação será $20. 
•  A probabilidade de não encontrarem é de Pr(failure) = ¾ 
•  Então, o valor esperado do preço da ação será: 
DEFINIÇÕES 
•  Payoff: ganho ou perda associado a certo resultado 
•  Medido em valor monetário ou em bens ou qualquer outro ganho 
•  No exemplo: $40 (se encontrarem) e $20 (se não encontrarem) 
•  Valor esperado: payoff médio 
•  O valor esperado é calculado como uma média dos payoffs 
ponderados pelas probabilidades 
•  Se Pri = P(Xi) e se forem n possíveis resultados X1, X2,…, Xn: 
Exemplo 2: variabilidade 
Exemplo 2 (cont. 1) 
•  Valor esperado é o mesmo em ambos os empregos: 
$1.500 
•  Mas os desvios-padrão são diferentes 
Desvio-padrão 
σ = Var(X )
σ 2 =Var(X ) =
Pr1[X1 − E(X )]
2 + Pr2[X 2 − E(X )]
2 + ...+ Prn[Xn − E(X )]
2
Exemplo 2: (cont. 2) 
•  O desvio-padrão do salário no emprego 1 é de $500 
•  No emprego 2, é de $99.50 
•  O desvio-padrão do salário do emprego 2 é menor 
•  O emprego 2 é menos arriscado que o emprego 1 
Exercício 1 
•  
Exercício 2 
•  
Exemplo 3: médias e riscos diferentes 
•  Emprego 1: média maior, mas risco também maior 
•  Escolha depende de quão tolerante ao risco você é 
Utilidade esperada 
•  Somas das utilidades associdas a cada resultado, 
ponderadas pelas probabilidades de cada resultado 
•  A utilidade esperada também chamada de utilidade de 
von-Neumann-Morgenstern (vNM) 
•  A utilidade u é chamada de utilidade de Bernoulli 
E[u(X )]= Pr1u(X1)+ Pr2 u(X 2 )+ ...+ Prn u(Xn )
Aversão ao risco 
•  Pessoa prefere ganhar o valor médio, E(X), com certeza 
e a entrar em uma loteria que ele irá ganhar, em média, 
E(X) 
•  Isso ocorrerá quando a função de utilidade u for côncava 
•  A utilidade marginal da riqueza é decrescente (u’’<0) 
u[E(X )]> E[u(X )]
Exemplo: aversão ao risco 
•  
Aversão ao risco: utilidade do ganho 
médio é maior que a utilidade média dos 
ganhos 
• Loteria: $0 com probabilidade ½, $10.000 com 
probabilidade ½ 
• Suponha que: 
 ( ) ( )0
2
1000.10
2
10
2
1000.10
2
1 uuu +>⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ×+×
Utilidade da média, ou utilidade 
esperada de uma loteria que paga 
5.000 com certeza 
Utilidade média (ou 
esperada) 
Aversão ao risco: 
Utilidade é função côncava da riqueza 
Utils 
$ 0 10.000 5.000 
u(·) 
½u(0) + 
½u(10.000) 
Utilidade 
média 
u(5.000) = 
utilidade da 
média Função de 
Bernoulli 
Propensão ao risco 
•  Pessoa prefere entrar em uma loteria que ele irá ganhar, 
em média, E(X), a ganhar E(X) com certeza: 
•  Isso ocorrerá quando a função de utilidade u for convexa 
•  A utilidade marginal da riqueza é crescente (u’’>0) 
u[E(X )]< E[u(X )]
Propensão ao risco: utilidade do ganho 
médio é menor que a utilidade média dos 
ganhos 
• Loteria: $0 com probabilidade ½, $10.000 com 
probabilidade ½ 
• Suponha que: 
 ( ) ( )0
2
1000.10
2
10
2
1000.10
2
1 uuu +<⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ×+×
Utilidade da média, ou utilidade 
esperada de uma loteria que paga 
5.000 com certeza 
Utilidade média (ou 
esperada) 
Exemplo: propensão ao risco 
•  
Propensão ao risco: 
Utilidade é função convexa da riqueza 
 Utils 
$ 0 10.00
0 
5.000 
u(·) 
½u(0) + 
½u(10.000) 
Utilidade 
média 
u(5.000) = 
utilidade da 
média 
Função de 
Bernoulli 
Neutro ao risco: 
•  Pessoa indiferente entre ganhar o valor médio, E(X), com 
certeza e a entrar em uma loteria que ele irá ganhar, em 
média, E(X) 
•  Isso ocorrerá quando a função de utilidade u for linear 
•  A utilidade marginal da riqueza é constant (u’’=0) 
u[E(X )]= E[u(X )]
Exemplo: neutralidade ao risco 
•  
Propensão ao risco: utilidade do ganho 
médio é igual à utilidade média dos 
ganhos 
• Loteria: $0 com probabilidade ½, $10.000 com 
probabilidade ½ 
• Suponha que: 
 ( ) ( )0
2
1000.10
2
10
2
1000.10
2
1 uuu +=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ×+×
Utilidade da média, ou utilidade 
esperada de uma loteria que paga 
5.000 com certeza 
Utilidade média (ou 
esperada) 
Neutralidade ao risco: 
Utilidade é função linear da riqueza 
Utils 
$ 0 10.00
0 
5.000 
u(·) 
½u(0) + 
½u(10.000) 
u(5.000) = 
Função de 
Bernoulli 
Resumo 
• Se a utilidade de Bernoulli u(·) é côncava (u’’ < 
0), então o agente é avesso ao risco 
•  Exemplos: u(c) = ln(c), u(c) = c½ 
• Se a utilidade de Bernoulli u(·) é convexa (u’’ > 
0), então o agente é propenso do risco 
•  Exemplos: u(c) = exp(c), u(c) = c2 
• Se a utilidade de Bernoulli u(·) é linear (u’’ = 0), 
então o agente é neutro ao risco 
•  Exemplos: u(c) = c, u(c) = 10+34c 
 
Exemplo: demanda por seguro 
• Pessoa tem $35 mil de patrimônio, sendo 
$10 mil em um carro, que é roubado com 
probabilidade p 
• Problema: quanto comprar de seguro? 
• Seja K = valor a ser segurado, e γ o prêmio 
(preço) de cada real segurado 
 
 
( ) ( ) ( )γγ Kup+Kpu
K
-35 -1K -25max +
Exemplo: demanda por seguro 
• CPO 
• Suponha que o seguro seja “atuarialmente” 
justo, ou seja, p = γ. Isto implica que a CPO se 
reduz a 
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )
( )
( )
( )γ
γ
γ
γ
γγγγ
-1
-1
-35'
-125'
↔0-35'-1--125'-1
p
p
Ku
Ku
KupKup
=
+
=+
( )( )
( )
( )( ) ( )KuKu
Ku
Ku
γγ
γ
γ -35'-125'→1
-35'
-125'
=+=
+
Exemplo: demanda por seguro 
•  Suponha que u’’ < 0 (agente avesso ao risco) 
→ Então u’ é decrescente 
•  Para que 
 
é preciso que 25 + (1 – γ)K = 35 – γK 
→ K = 10 mil (valor do carro) 
→ Se o prêmio é atuarialmente justo (p = γ), o consumidor 
irá comprar o seguro completo. 
( )( ) ( )KuKu γγ -35'-125' =+
Reduzindo risco: seguro 
•  Exemplo: valor do prêmio: $1.000 
•  Para a seguradora, vender seguro contra roubo para um 
grande número de pessoas traz pouco risco 
•  Se a seguradora vender 1.000 seguros, quanto ela irá 
receber de pagamentos? E quanto ela espera pagar? 
Problemas 
•  Os exemplos acima funcionam para mercados como o de 
seguro de automóvel ou contra roubo 
•  Mas certos mercados de seguro têm características que 
dificultam o seu funcionamento 
•  Seguro contra grandes catástrofes naturais 
•  Seguro saúde 
Prêmio de risco (PR) 
•  Montante monetário que uma pessoa avessa ao risco 
está disposta a pagar para evitar o risco 
Equivalente em certeza 
• Suponha que você tem uma loteria que paga: 
•  K1 com probabilidade p 
•  K2 com probabilidade 1 – p 
•  K1 > K2 > 0 
( ) ( ) ( ) ( )11 1 KupKpuECu −+=
Equivalente em certeza 
•  O equivalente em certeza (EC) é quanto você está 
disposto a abrir mão de média para evitar o risco 
 
 
 
 
•  Se EC < pK1 + (1 – p)K2, então o agente é avesso ao 
risco 
( ) ( ) ( ) ( )11 1 KupKpuECu −+=
Equivalente em certeza 
Utils 
$ 0 10.000 5.000 
u(·) 
½u(0) + 
½u(10.000) 
Função de 
Bernoulli 
Equivalente em certeza 
EC 
Equivalente em certeza 
•  Se dois agentes i e j têm equivalentes em certeza tais 
que ECi < ECj diz-se que i é mais avesso ao risco que j 
CurvaturaUtils 
$ 0 10.000 5.000 
u(·) 
½u(0) + 
½u(10.000) 
Equivalente em certeza 
EC EC 
Equivalente em certeza 
u(·) 
Equivalente em certeza (EC) e prêmio de 
risco (PR) 
•  O PR é a diferença entre o valor esperado da loteria e o 
equivalente em certeza: 
 
•  PR = E(X) – EC 
 
Exercício 3 
•  
Exercício 4 
•  
Exercício 5 
•  
Reduzindo risco: diversificação 
•  Diversificação: não coloque todos os ovos em uma única 
cesta! 
•  Exemplo: probabilidade de tempo quente de 50% 
•  Mercado de ações: aplicar fundos mútuos é uma forma 
de diversificar os riscos 
Exercício 
Demanda por ativos de risco 
•  Trade-off entre risco e retorno 
•  Ativos com maior retorno esperado têm maior risco 
Escolha da carteira 
•  Dois ativos, um com risco alto (m) e outro com risco baixo 
(f) 
•  O retorno esperado da carteira é: 
•  (5.1) 
•  O risco da carteira é: 
Prova 
•  Prova 
Reescrevendo o problema 
•  Podemos reescrever as equações 
Graficamente, investidor avesso ao risco 
•  Investidor gosta de retorno mas não gosta de risco 
Dois investidores 
•  A mais avesso ao risco que B

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