Cap. 2 - Sistema de Numeração e Lógica Combinacional

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Automação Industrial
Sistemas de Numeração e Lógica Combinacional
Prof° Lucas Silvestre Chaves
lucas.chaves@prof.una.br
Representação Numérica
• Há dois modos de se representar valores:
– Analógico: neste modo de representação, os
valores podem variar ao longo de um faixa
contínua (infinita) de valores. Como exemplos de
representação analógica temos a balança de
ponteiro e o termômetro de mercúrio;
– Digital: neste modo de representação, os valores
são representados por combinações de um
número finito de símbolos chamados dígitos.
Nesse caso, os valores variam ao longo de uma
faixa discreta (finita) de valores. Como exemplos
de representação digital temos a balança digital e
o termômetro digital. 2
Vantagens dos Sistemas Digitais 
• Maior armazenamento de dados: armazena uma maior
quantidade de dados em um menor espaço físico quando
comparado aos sistemas analógicos.
• Maior estabilidade: é mais fácil manter a precisão e
exatidão no sistema digital uma vez que o sinal
digitalizado contém informações que não se deterioram
ao ser processadas.
• Possibilidade de programação do sistema: a operação
de um sistema digital pode ser controlada por um
programa que contém um conjunto de instruções.
• Maior imunidade aos ruídos: os sistemas digitais são
mais imunes a ruídos.
• Circuitos mais compactos: os CI’s (Circuitos Integrados)
digitais nos circuitos digitais são menores, de
complexidade inferior e bem mais eficientes.
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Limitações dos Sistemas Digitais 
• Uma vez que o mundo real é quase que totalmente analógico
os sistemas digitais necessitam de dispositivos de conversão
A/D (Analógico para Digital) para que os sinais analógicos
possam ser representados em sinais digitais e assim
processados. Esta conversão não é perfeita e portanto o sinal
digital sempre será uma aproximação do sinal analógico real.
• Os processos de conversão A/D ou D/A (Digital para
Analógico) existentes nos sistemas digitais e o processamento
dos sinais digitais levam tempo para acontecer
• As duas limitações citadas acima podem inviabilizar ou
encarecer o desenvolvimento de alguma aplicação. Porém,
elas podem ser contornadas escolhendo-se dispositivos de
conversão e técnicas de processamento adequadas para a
aplicação desejada.
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Sistemas de Numeração
• Decimal – É o sistema mais conhecido:
10 símbolos => (0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9)
• Binário – Utilizado nos sistemas digitais:
2 símbolos => (0 e 1)
• Octal – Já foi muito utilizado para representar números
binários mas encontra-se em desuso:
8 símbolos => (0,1,2,3,4,5,6 e 7)
• Hexadecimal – Muito utilizado para representar números
binários de uma forma mais compacta:
16 símbolos => (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F) 5
Sistemas de Numeração
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Sistemas Decimal
• Sistema de base 10, pois possui 10 numerais, símbolos
ou dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
• Valor posicional: o valor de cada digito depende da
posição dele no número, exemplo:
32110 = 3.10
2 + 2.101 + 1.100
• Com N dígitos contamos 10N números diferentes. O
maior número é dado por 10N - 1. Exemplos:
– com 2 números podemos representar até 102 = 100
números diferentes sendo o maior deles dado por
102 - 1 = 99;
– com 3 números podemos representar até 103 = 1000
números diferentes sendo o maior deles dado por
103 - 1 = 999.
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Sistema Binário
• Sistema de base 2 pois possui 2 dígitos: 0 e 1.
• Valor posicional: o valor de cada digito depende da
posição dele no número, exemplo:
1012 = 1.2
2 + 0.21 + 1.20 = 510
• Chamamos de LSB o bit menos significativo próximo ao
(subscrito 2) e MSB o bit mais significativo ou de maior
peso;
• Com N bits contamos 2N números diferentes. O maior
número equivalente no sistema decimal é dado por
2N – 1, exemplo:
– com 3 bits podemos representar até 23 = 8 números
diferentes. O maior deles no sistema binário é o
número 1112 que representa o número decimal
23 - 1 = 710 .
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Sistema Hexadecimal
• Sistema de base 16 pois possui 16 símbolos:
(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F) 
• Cada símbolo representa um número de 4 bits, exemplo:
A2D716 = 1001|0010|1101|01112
• Valor posicional: o valor de cada digito depende da
posição dele no número, exemplo:
18E16 = 1.16
2 + 8.161 + ’15’.160 = 39810
• Com N símbolos contamos 16N números diferentes. O
maior número equivalente no sistema decimal é dado
por 16N - 1. Por exemplo, com 3 símbolos podemos
representar até 163 = 4096 números diferentes. O maior
deles é o número:
FFF16 = 1111|1111|11112 = (16
3 - 1)10 = 409510 9
Byte, Nibble e Palavra
• A maioria dos microcomputadores opera dados binários em
grupos de 8 bits. Desta forma a sequência de 8 bits recebe
um nome especial => Byte;
• Byte – grupo de 8 bits igual a 1 B (Bytes), exemplo: 
101010102;
• Nibble – metade de 1 B (1 Byte), ou seja, 4 bits.
• Palavra (word) – grupo de bits que representa uma certa
unidade de informação. O tamanho da palavra pode ser
definido como o número de bits da palavra binária sobre o
qual o sistema opera, exemplo:
“O sistema tem um tamanho de palavra de 64 bits.”
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RESOLUÇÃO DE EXEMPLOS EM 
SALA DE AULA!
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Representação de Quantidades Binárias
A figura (a) mostra faixas de valores da tensão analógica e seus
respectivos valores em binário. Observa-se que não importa o
valor exato da tensão, mas sim a faixa de valores na qual ela esta
inserida. A figura (b) traça graficamente o comportamento de um
sinal digital ao longo do tempo. Este gráfico é conhecido como
diagrama temporal de um sinal.
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Circuitos Digitais e Circuitos Lógicos
• Circuitos digitais: são circuitos projetados para interpretar
tensões de entrada e produzir tensões de saída que se
encontre dentro das faixas de tensões determinadas para os
níveis lógicos 0 e 1.
• Circuitos lógicos: corresponde ao conjunto de regras lógicas
obedecidas pelo circuito digital.
• A lógica do circuito está relacionada com a maneira como a
saída varia em relação as mudanças dos valores de entrada.
• A e B são as entradas e X a saída do circuito lógico.
• A relação entre as entradas e a saída pode ser descrita pela
álgebra de Boole através de expressões lógicas também
conhecidas come expressões booleanas: X = f(A,B).
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Álgebra de Boole
• A álgebra de Boole foi desenvolvida pelo matemático George Boole
quando em 1854 escreveu o livro cujo título era: “Uma investigação das
leis do pensamento”. Nesta obra ele destacou a importância das tomada
de decisões e concluiu que o modo na qual tomamos decisões se baseia
em circunstancias verdadeira ou falsas. Exemplos:
– A luz pode estar acesa ou apagada.
– A porta pode estar aberta ou fechada.
– Pode estar chovendo ou não.
– O piso pode estar seco ou molhado.
• A álgebra de Boole usa símbolos para representar uma expressão lógica
que possui um de dois valores possíveis (0 ou 1). A expressão lógica pode
representar por exemplo a seguinte situação: “Se o alarme estiver ligado
e a porta ou a janela estiverem abertas o alarme dispara!”.
• Resumidamente a álgebra de Boole é uma ferramenta matemática de
análise e projeto de circuitos digitais. 14
Tabela Verdade
• A tabela verdade descreve como a saída depende da entrada do
circuito lógico. A tabela verdade relaciona todas as combinações
possíveis de entradas e os correspondentes resultados na saída.
• O número de combinações de entrada é igual a 2N para uma tabela
verdade de N entradas.
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Diagrama Temporal
• Descreve como a saída do circuito lógico depende da(s) entrada(s)
no tempo.
• Os diagramas temporais não tem o compromisso de representar
todas as combinações das entradas de um circuito lógico, exemplo:
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Portas lógicas elementares
OR – (OU):
A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
S = A + B
Símbolo Expressão Booleana Tabela de verdade• O circuito abaixo funciona de acordo com a lógica OU:
A
B
S
+
_
A
B
S
• A lâmpada acende quando pelo menos uma das chaves estiver
acionada.
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Portas lógicas elementares
AND – (E):
S = A x B
Símbolo Expressão Booleana Tabela de verdade
• O circuito abaixo funciona de acordo com a lógica E:
• A lâmpada acende somente se as duas chaves estiverem
fechadas.
A
B
S
A B S
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
+
_
A B
S
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Portas lógicas elementares
NOT – (Inversora):
Símbolo Expressão Booleana Tabela de verdade
• O nível lógico da saída S é a negação do nível lógico da entrada A.
S = A = A’
A S
0 1
1 0
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Obtendo a expressão Booleana e a tabela 
verdade a partir de um circuito lógico
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Obtendo o circuito lógico e a tabela verdade a 
partir de uma expressão Booleana
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Método 1 – Soma dos produtos (mintermos):
Mintermos => Termo-produto no qual cada variável de entrada aparece
exatamente uma vez invertida (se a variável de saída = 0) ou não (se a
variável de saída = 1).
A expressão Booleana é obtida através do somatório dos mintermos
para os quais a saída for igual a 1, exemplo:
Obtendo a expressão Booleana e o circuito 
lógico a partir da tabela verdade
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Método 2 – Produto das somas (maxtermos):
Maxtermos => Termo-soma no qual cada variável de entrada aparece
exatamente 1 vez invertida (se a variável de saída for = 1) ou não (se a
variável de saída for = 1).
A expressão Booleana é obtida através do produto dos maxtermos para
os quais a variável de saída é 0:
Obtendo a expressão Booleana e o circuito 
lógico a partir da tabela verdade
23
RESOLUÇÃO DE EXEMPLOS EM 
SALA DE AULA!
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Portas lógicas compostas
NOR – (Não - OU) :
Símbolo Expressão Booleana Tabela de verdade
• Note que os níveis lógicos da saída da tabela verdade NOR é a
negação dos níveis lógicos da saída da tabela verdade OR.
A
B
S
Negação
S = A + B
A B S
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
• A porta lógica NOR é uma porta lógica OR com a saída negada:
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Portas lógicas compostas
NAND – (Não - E) :
Símbolo Expressão Booleana Tabela de verdade
• A porta lógica NAND é uma porta lógica AND com a saída negada:
• Note que os níveis lógicos da saída da tabela verdade NAND é a
negação dos níveis lógicos da saída da tabela verdade AND.
S = A x B
A
B
S
Negação
A B S
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
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Portas lógicas compostas
XOR – (Ou - Exclusivo) :
Símbolo Expressão Booleana Tabela de verdade
• A saída é 1 quando as entradas apresentam valores diferentes e 0 quando as
entradas apresentam valores iguais. Segue um exemplo desta lógica:
S = A  B = A’B+ AB’
A
B
S
A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A lâmpada só acende quando as
chaves A e B estiverem em posições
diferentes, caso contrário a lâmpada
permanece apagada!
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Portas lógicas compostas
XNOR – (Não Ou - Exclusivo) :
Símbolo Expressão Booleana Tabela de verdade
• A porta lógica XNOR é uma porta lógica XOR com a saída negada.
S = A  B = A’B’+ AB
A
B
S
A B S
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
• Nota-se que os níveis lógicos da saída da tabela verdade XNOR
é a negação dos níveis lógicos da saída da tabela verdade XOR.
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• Na sequência, estão apresentados os símbolos tradicionais das
portas lógicas na figura (a) e os correpondentes símbolos
utilizados pelas normas IEEE/ANSI na figura (b).
Outros símbolos das portas lógicas
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AND
0·0 = 0
0·1 = 0
1·1 = 1
OR
0+0 = 0
0+1 = 1
1+1 = 1
NOT
0’ = 1
1’ = 0
II) Teoremas para uma variável:
I) Axiomas e Postulados:
Propriedades e Teoremas da álgebra de Boole
1. A’’ = A
2. A·0 = 0
3. A·1 = A
4. A·A = A
5. A·A’ = 0
6. A+0 = A
7. A+1 = 1
8. A+A = A
9. A+A’ = 1
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III) Teoremas para várias variáveis:
Propriedades e Teoremas da álgebra de Boole
Equivalentes aos da álgebra convencional:
Leis Comutativas: 
-A+B = B+A;
-A·B = B·A.
Leis Associativas:
-A+B+C = (A+B)+C = A+(B+C);
-A·B·C = (A·B) ·C = A·(B·C).
Lei Distributiva: 
-A·(B+C) = A·B + A·C;
-(A+B) ·(C+D) = A·C + A·D + B·C + B·D.
Não equivalentes aos da álgebra convencional:
-A+A’B = A+B;
-A’ +AB = A’+B.
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IV) Teoremas de ‘De Morgan’:
Propriedades e Teoremas da álgebra de Boole
IV.I) O inverso da soma é igual ao produto dos inversos: 
IV.II) O inverso do produto é igual a soma dos inversos: 
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RESOLUÇÃO DE EXEMPLOS EM 
SALA DE AULA!
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