Momento de Inércia e Raio de Giração

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25/07/2017
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Professor: Fernando Braga
AULA 3
� O momento de inércia de uma área tem origem
sempre que é feita a relação entre a tensão
normal, � (sigma), ou força por unidade de área
que atua na seção transversal de uma viga
elástica, e o momento externo M aplicado, que
causa a curvatura da viga.
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� Da teoria de resistência dos materiais, pode-se
mostrar que a tensão na viga varia linearmente
com sua distância de um eixo que passa pelo
centróide C da área da seção transversal da viga
isto é,
� A intensidade da força atuando no elemento é
igual:
�� � ��� � ����
� � ��
� Como essa força está localizada à distancia z do
eixo y, o momento de dF em relação ao eixo y é:
�� � ��� � ��	��
� O momento resultante de toda a distribuição da
tensão é igual ao momento M aplicado, como
consequência,
� Esta integral representa o momento de inércia da
área em relação ao eixo y.
� � �
�	��
�
�
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� Esquema da explicação
� Considere a área, mostrada na figura abaixo:
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� Por definição, os momentos de inércia de uma
área plana infinitesimal dA em relação aos eixos
x e y são:
	
� � 
�	��
�
�
� O momento de inércia tem unidades de
comprimento elevado a à quarta potência, como
por exemplo mm4.
� � 
�	��
�
�
� Para o calculo dos momentos de inércia as
integrais podem ser facilmente calculadas se
escolhermos para dA uma faixa estreita, paralela
a um dos eixos coordenados.
� Para calcular 	
� é escolhida uma faixa paralela ao
eixo x, de tal forma que todos os pontos fiquem
a uma mesma distância y do eixo x.
	
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� Para calcular 	
� é escolhida uma faixa paralela ao
eixo y, de tal forma que todos os pontos fiquem
a uma mesma distância x do eixo y.
	
� Exercício 1 – Calcular o momento de inércia em
relação ao eixo x e eixo y.
	
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� O momento de inércia das superfícies mais
comuns estão tabelados:
� Continuação da Tabela:
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� Podemos também formular o segundo momento
de dA em relação ao polo O ou eixo z. Esse
momento é denominado momento polar de
inércia.
� Para a área total, o momento polar de inércia é:
	
	��� � �	��
�� � 
�	��
�
�
� 
� � 
�
Exercício 2 – Determinar o momento polar de
inércia em relação ao centroide de uma superfície
circular por integração direta.
X
Y
R
o
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� Para apresentarmos este teorema vamos
determinar o momento de inércia da área
mostrada na figura abaixo, em relação ao eixo x.
	
� Neste caso o elemento infinitesimal Da está
localizado a uma distância arbitrária y’ do eixo x’,
que passa pelo centroide, enquanto a distância fixa
entre os eixos paralelos x e x’ é definida por ��. O
momento de inércia é dado por:
� Reescrevendo:
� � 
��	��	
�
�
� 	2��
����	
�
�
�	��	
��
�
�
	
� � 
 �� � �� 	��
�
�
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� A primeira integral corresponde ao momento de
inércia representa o momento de inércia da área
em relação ao eixo que passa pelo centroide, 
�� .
� A segunda integral é zero, uma vez que x’ passa
pelo centroide C da área.
� A terceira integral corresponde a área total A.
� O teorema dos eixos paralelos passa a ser
reescrito da seguinte forma:
� �	 
�� � ��	
� �	 
�� � ��	
�� �	��� � ��	
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� Podemos então definir que o momento de inércia
de uma área em torno de um eixo é igual ao
momento de inércia da área em torno de um eixo
que passa pelo centroide da área mais o produto
da área pelo quadrado da distância entre os dois
eixos.
� Da mesma forma o conceito de superfícies
compostas pode ser utilizado no caso de
momento de inércia.
� Consideremos uma superfície de área A, que tem
um momento de inércia Ix em relação ao eixo x.
� Imaginamos que concentrarmos está área numa
faixa estreita, paralela ao eixo x. Se a área A deve
ter o mesmo momento de inércia em relação ao
eixo X a faixa deve estar colocada a uma
distância kx desse eixo definida pela relação,
mostrada no slide a seguir.
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� Esquema do Raio de Giração
� O raio de giração de uma área plana tem
unidades de comprimento e é uma quantidade
frequentemente utilizada em projetos de colunas
em mecânica estrutural. São calculados a partir
das seguintes fórmulas:
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� Exercício 3:
Determine o momento de inércia de um perfil T e o
raio de giração da seção em relação a um eixo
passando por seu centroide C.
� Exercício 4:
Determine o momento de inércia e o raio de
giração da seção em relação a um eixo passando
por seu centroide C.