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Universidade do Estado do Rio de Janeiro Centro de Tecnologia e Ciências Instituto de Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Análise Matemática Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Prof(a): Paula Clemente 1 4 Lista - Derivada 1) Determinar a função derivada das seguintes funções: (a) f (x) = x √ x7 (m) f (x) = √ sen(x) 1−sen(x) (b) f (x) = 3 √ x √ x (n) f (x) = x √ x + 1x√x (c) f (x) = √ x + 3 √ x − x−2 (o) f (x) = xx+ cx (d) f (x) = √ ax2+bx+c cx2+bx+a , (a, b, c ∈ R) (p) f (x) = (3x − 2)10(5x2 − x + 1)12 (e) f (x) = 3 √( ax+b ax−b )2 , (a, b, ∈ R) (q) f (x) = √ a + b √ x , (a, b ∈ R) (f) f (x) = 3 √ (1 + x + x2)4 (r) f (x) = xsen(x)+cos(x) (g) f (x) = x 3√ x2 + 1 (s) f (x) = (x2 + 1) √ 3x + 2 (h) f (x) = ln √ 1+x 1−x (t) f (x) = sen(3x) + cos(x/5) + tg( √ x) (i) f (x) = x 2+4x+3√ x (u) f (x) = sen 3(5x)cos2(x/3) (j) f (x) = cossec(x) + ex cotg(x) (v) f (x) = ln( √ 1 + ex − 1) − ln(√1 + ex + 1) (k) f (x) = cos(a3 + x3) (w) f (x) = ln(ln(3 − 2x3)) (l) f (x) = tg(cos(x)) (x) f (x) = sec 2(x) 1+x2 2) Calcular as derivadas sucessivas para cada uma das seguintes funções: (a) f (x) = sen(x) (c) f (x) = cos(2x) (b) f (x) = e−3x (d) f (x) = 1x 3) Um ponto percorre uma curva obedecendo à equação horária s = t2 + t − 2. Calcular a sua velocidade no instante t0 = 2. (Unidades S.I.). 4) Calcular a aceleração de uma partícula no instante t = 5sabendo que sua velocidade obe- dece à equação v = 2 + 3t + 5t2. (Unidades S.I.). Respostas: 1) (a) f ′(x) = 92 √ x7 (m) f ′(x) = (b) f ′(x) = 12√x (n) f ′(x) = 32 √ x − 32x2 √x (c) f ′(x) = 12√x + 1 3 3√ x2 + 2x3 (o) f ′(x) = 2cx(x2+c)2 (d) f ′(x) = (a−c)|bx 2+2(a+c)x+b| 2 √ (ax2+bx+c)(cx2+bx+a) (p) f ′(x) = 30(3x − 2)9(5x2 − x + 1)12 + 12(3x − 2)10(10x − 1)(5x2 − x + 1)11 (e) f ′(x) = − 4ab 3 3 √ (ax+b)(ax−b)5 (q) f ′(x) = a 2 √ ax+b (f) f ′(x) = 8x+4 3 3√ 1+x+x2 (r) f ′(x) = sen(x)+cos(x)+xsen(x)−xcos(x)1+sen(2x) (g) f ′(x) = 5x 2+3 3 3 √ (x2+1)2 (s) f ′(x) = 15x 2+8x+3 2 √ 3x+2 (h) f ′(x) = 11−x2 (t) f ′(x) = 3cos(3x) − 15 sen(x/5) + 12√x sec2( √ x) (i) f ′(x) = 32 √ x + 2√x − 32x√x (u) f ′(x) = 15sen2(5x)cos(5x)cos2(x/3) − 23 sen3(5x)cos(x/3sen(x/3) (j) f ′(x) = −cossec(x)cotg(x) + ex(cotg(x) − cossec2(x)) (v) f ′(x) = 1√ ex+1 (k) f ′(x) = −3x2 sen(a3 + x3) (w) f ′(x) = − 6x2(3−2x3) ln(3−2x3) (l) f ′(x) = −sen(x)sec2(cos(x)) (x) f ′(x) = 2) (a) f n(x) = sen ( x + npi2 ) (c) f n(x) = 2ncos ( 2x + npi2 ) (b) f n(x) = (−3)ne−3x (d) f (x) = (−1)nn!x−(n+1) 3) 5m/s ; 4) 53m/s2 2
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