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Universidade do Estado do Rio de Janeiro Centro de Tecnologia e Ciências Instituto de Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Análise Matemática Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Prof(a): Paula Clemente 1 7 Lista - Máximos e Mínimos 1) Determine para cada função: (i) Os extremos relativos de f . (ii) Os intervalos nos quais f é crescente. (iii) Os intervalos nos quais f é decrescente. (a) f (x) = x3 − x2 − x (e) f (x) = { 2x + 9 , x ≤ −2 x2 + 1 , x > 2 (b) f (x) = x 4 4 − x3 + x2 (f) f (x) = (x + 9)2 − 8 , x < −7 −√25 − (x + 4)2 , −7 ≤ x ≤ 0 (x − 2)2 − 7 , x > 0 (c) f (x) = √ x − 1√x (g) f (x) = 4 sin ( x 2 ) (d) f (x) = (1 − x)2(1 + x)3 2) Encontre os pontos de inflexão da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. (a) f (x) = x3 + 9x (g) f (x) = 2 sin(3x); x ∈ −pi, pi] (b) g(x) = 2x3 + 3x2 − 12x + 1 (h) g(x) = tg(x/2); x ∈ (−pi, pi) (c) h(x) = x4 − 8x3 (i) h(x) = { x2 − 1 , x < 2 7 − x2 , x ≥ 2 (d) f (x) = (x − 1)3 (j) f (x) = { x2 , x ≤ 0 −x2 , x > 0 (e) g(x) = (x + 2)1/3 (k) g(x) = { x3 , x < 0 x4 , x ≥ 0 (f) h(x) = 2x2+3 (l) h(x) = (x − 2)1/5 + 3 3) Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais e inclinadas, os pontos extremos e de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das seguintes funções: (a) f (x) = 3x2 − 2x + 1 (i) f (x) = 6x1/3 − x2/3 (b) g(x) = −4x3 + 3x2 + 18x (j) g(x) = tg2(x); x ∈ (−pi/2, pi/2) (c) h(x) = x 3 3 − x2 + 3 (k) h(x) = x + cos(x); ∈ [−2pi, 2pi] (d) f (x) = (4 − x)4 (l) f (x) = x2/3 − 2x1/3 (e) g(x) = x4 − x33 − 32 x2 (m) g(x) = x 2−4 x2−9 (f) h(x) = cos(3x); x ∈ [−pi/6, pi/6] (n) h(x) = x e1−x2 (g) g(x) = x(x + 2)3 (o) g(x) = ln ( 2 1+x2 ) (h) h(x) = x √ x + 3 (p) h(x) = x 2 x4+16 Respostas: 1) (a) (i) x = −1/3 máximo relativo, x = 1 mínimo relativo. (ii) x < −1/3; x > 1 (iii) −1/3 < x < 1 (b) (i) x = 1 máximo relativo, x = 0 mínimo relativo. (ii) 0 < x < 1; x > 2 (iii) x < 0; 1 < x < 2 (c) (i) Não tem extremos. (ii) x > 0 (iii) Em nenhum intervalo. (d) (i) x = 1/5 máximo relativo, x = 1 mínimo relativo. (ii) x < 1/5; x > 1 (iii) 1/5 < x < 1. (e) (i) x = −2 máximo relativo, x = 0 mínimo relativo. (ii) x < −2; x > 0 (iii) −2 < x < 0. (f) (i) x = 0 e x = −7 máximo relativo, x = −9 ; x = −4 e x = 2 mínimo relativo. (ii) −9 < x < −7; −4 < x < 0; x > 2 (iii) x < −9; −7 < x < −4; 0 < x < 2. (g) (i) x = (4k + 1)pi; K ∈ Z máximo relativo, x = (4k + 3)pi; K ∈ Z mínimo relativo. (ii) −9 < x < −7; −4 < x < 0; x > 2 (iii) x < −9; −7 < x < −4; 0 < x < 2. 2) (a) x = 0; côncava para baixo: x < 0 côncava para cima: x > 0 (b) x = −1/2; côncava para baixo: x < −1/2 côncava para cima: x > −1/2 (c) x = 0 e x = 4; côncava para baixo: 0 < x < 4 côncava para cima: x < 0 e x > 4 (d) x = 1; côncava para baixo: x < 1 côncava para cima: x > 1 (e) x = −2; côncava para baixo: x > −2 côncava para cima: x < −2 (f) x = −1 e x = 1; côncava para baixo: −1 < x < 1 côncava para cima: x < −1 e x > 1 (g) x = −2pi/3; x = pi/3; x = 0; côncava para baixo: −2pi/3 < x < −pi/3; 0 < x < pi/3 e 2pi/3 < x < pi côncava para cima: −pi < x < −2pi/3; −pi/3 < x < 0 e pi/3 < x < 2pi/3 (h) x = 0 côncava para baixo: −pi < x < 0 côncava para cima: 0 < x < pi (i) Não tem ponto de inflexão. côncava para baixo: x > 2 côncava para cima: x < 2 (j) x = 0; côncava para baixo: x > 0 côncava para cima: x < 0 (k) x = 0; côncava para baixo: x < 0 côncava para cima: x > 0 (l) x = 2; côncava para baixo: x > 2 côncava para cima: x < 2 4
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