Lista_7 Gráficos

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Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Tecnologia e Ciências
Instituto de Instituto de Matemática e Estatística
Departamento de Análise Matemática
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Prof(a): Paula Clemente 1
7 Lista - Máximos e Mínimos
1) Determine para cada função:
(i) Os extremos relativos de f .
(ii) Os intervalos nos quais f é crescente.
(iii) Os intervalos nos quais f é decrescente.
(a) f (x) = x3 − x2 − x (e) f (x) =
{
2x + 9 , x ≤ −2
x2 + 1 , x > 2
(b) f (x) = x
4
4 − x3 + x2 (f) f (x) =

(x + 9)2 − 8 , x < −7
−√25 − (x + 4)2 , −7 ≤ x ≤ 0
(x − 2)2 − 7 , x > 0
(c) f (x) =
√
x − 1√x (g) f (x) = 4 sin
(
x
2
)
(d) f (x) = (1 − x)2(1 + x)3
2) Encontre os pontos de inflexão da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e
onde ele é côncavo para baixo.
(a) f (x) = x3 + 9x (g) f (x) = 2 sin(3x); x ∈ −pi, pi]
(b) g(x) = 2x3 + 3x2 − 12x + 1 (h) g(x) = tg(x/2); x ∈ (−pi, pi)
(c) h(x) = x4 − 8x3 (i) h(x) =
{
x2 − 1 , x < 2
7 − x2 , x ≥ 2
(d) f (x) = (x − 1)3 (j) f (x) =
{
x2 , x ≤ 0
−x2 , x > 0
(e) g(x) = (x + 2)1/3 (k) g(x) =
{
x3 , x < 0
x4 , x ≥ 0
(f) h(x) = 2x2+3 (l) h(x) = (x − 2)1/5 + 3
3) Determine o domínio, as assíntotas horizontais, verticais e inclinadas, os pontos extremos e
de inflexão, as regiões de crescimento e decrescimento, as concavidades e faça o gráfico das
seguintes funções:
(a) f (x) = 3x2 − 2x + 1 (i) f (x) = 6x1/3 − x2/3
(b) g(x) = −4x3 + 3x2 + 18x (j) g(x) = tg2(x); x ∈ (−pi/2, pi/2)
(c) h(x) = x
3
3 − x2 + 3 (k) h(x) = x + cos(x); ∈ [−2pi, 2pi]
(d) f (x) = (4 − x)4 (l) f (x) = x2/3 − 2x1/3
(e) g(x) = x4 − x33 − 32 x2 (m) g(x) = x
2−4
x2−9
(f) h(x) = cos(3x); x ∈ [−pi/6, pi/6] (n) h(x) = x e1−x2
(g) g(x) = x(x + 2)3 (o) g(x) = ln
(
2
1+x2
)
(h) h(x) = x
√
x + 3 (p) h(x) = x
2
x4+16
Respostas:
1)
(a) (i) x = −1/3 máximo relativo, x = 1 mínimo relativo.
(ii) x < −1/3; x > 1
(iii) −1/3 < x < 1
(b) (i) x = 1 máximo relativo, x = 0 mínimo relativo.
(ii) 0 < x < 1; x > 2
(iii) x < 0; 1 < x < 2
(c) (i) Não tem extremos.
(ii) x > 0
(iii) Em nenhum intervalo.
(d) (i) x = 1/5 máximo relativo, x = 1 mínimo relativo.
(ii) x < 1/5; x > 1
(iii) 1/5 < x < 1.
(e) (i) x = −2 máximo relativo, x = 0 mínimo relativo.
(ii) x < −2; x > 0
(iii) −2 < x < 0.
(f) (i) x = 0 e x = −7 máximo relativo, x = −9 ; x = −4 e x = 2 mínimo relativo.
(ii) −9 < x < −7; −4 < x < 0; x > 2
(iii) x < −9; −7 < x < −4; 0 < x < 2.
(g) (i) x = (4k + 1)pi; K ∈ Z máximo relativo, x = (4k + 3)pi; K ∈ Z mínimo relativo.
(ii) −9 < x < −7; −4 < x < 0; x > 2
(iii) x < −9; −7 < x < −4; 0 < x < 2.
2)
(a) x = 0; côncava para baixo: x < 0
côncava para cima: x > 0
(b) x = −1/2; côncava para baixo: x < −1/2
côncava para cima: x > −1/2
(c) x = 0 e x = 4; côncava para baixo: 0 < x < 4
côncava para cima: x < 0 e x > 4
(d) x = 1; côncava para baixo: x < 1
côncava para cima: x > 1
(e) x = −2; côncava para baixo: x > −2
côncava para cima: x < −2
(f) x = −1 e x = 1; côncava para baixo: −1 < x < 1
côncava para cima: x < −1 e x > 1
(g) x = −2pi/3; x = pi/3; x = 0; côncava para baixo: −2pi/3 < x < −pi/3; 0 < x < pi/3 e
2pi/3 < x < pi
côncava para cima: −pi < x < −2pi/3; −pi/3 < x < 0 e pi/3 < x < 2pi/3
(h) x = 0 côncava para baixo: −pi < x < 0
côncava para cima: 0 < x < pi
(i) Não tem ponto de inflexão. côncava para baixo: x > 2
côncava para cima: x < 2
(j) x = 0; côncava para baixo: x > 0
côncava para cima: x < 0
(k) x = 0; côncava para baixo: x < 0
côncava para cima: x > 0
(l) x = 2; côncava para baixo: x > 2
côncava para cima: x < 2
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