Principios de Controle P1 2013 2

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1ª Prova de Sistemas de Controle – Turma A – 2º semestre de 2013 
 
Questão 1 (1,5 ponto) – Um determinado termômetro de mercúrio possui a 
equação diferencial abaixo: 
�̇�(𝑡) = −
1
40
[𝑥(𝑡) − 𝑢(𝑡)] 
em que x representa a temperatura informada pelo termômetro (em °C) , t o 
tempo (em segundos) e u a temperatura do ambiente em contato com o 
termômetro (por exemplo: ar, água; medido em °C). 
O termômetro estava informando a temperatura 20°C em t = 0. O termômetro foi 
então colocado, instantaneamente, em uma panela de água cuja temperatura se 
mantém constante em 80°C. 
Encontre a equação no tempo que representa a temperatura informada pelo 
termômetro, utilizando transformada (e transformada inversa) de Laplace. 
ATENÇÃO: sistema com condições iniciais não-nulas. 
 
Questão 2 (2,0 pontos) – Obtenha a função de transferência X1(s)/F(s) do 
sistema mecânico mostrado abaixo. X1(s) e F(s) são, respectivamente, a 
transformada de Laplace da posição x1 e da força f. 
 
Questão 3 (1,5 ponto) – Obtenha C(s)/R(s), reduzindo o diagrama de blocos 
abaixo. 
 
Questão 4 (1,5 ponto) – Utilize a fórmula de ganho de Mason para obter a função 
de transferência C(s)/R(s) do sistema abaixo. 
 
Questão 5 (1,0 ponto) – Indique se os sistemas abaixo são estáveis, 
marginalmente estáveis ou instáveis, justificando cada resposta. 
𝑎) 
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝑠 − 1
𝑠2 + 𝑠 + 1
 𝑏)
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝑠
(𝑠 + 1 + 𝑗)(𝑠 + 1 − 𝑗)(𝑠 + 10)
 
𝑐) 
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)
(𝑠 + 3)(𝑠 + 4)(𝑠 + 5)
 𝑑) 
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
7
(𝑠 + 10𝑗)(𝑠 − 10𝑗)(𝑠 + 5)
 
𝑒) 
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
5
𝑠3 − 2𝑠2 − 10𝑠 + 10
 
 
Questão 6 (1,0 ponto) – Utilizando o critério de estabilidade de Routh, determine 
o intervalo de valores de K em que o sistema abaixo é estável. 
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐾
𝑠4 + 3𝑠3 + 5𝑠2 + 6𝑠 + 𝐾 − 2
 
Questão 7 (1,5 ponto) – Considere o sistema realimentado abaixo, que possui 
entrada R(s) e sofre uma perturbação D(s). 
 
a) (0,5 ponto) Obtenha C(s)/R(s) 
b) (0,5 ponto) Obtenha D(s)/R(s) 
c) (0,25 ponto) Considerando que D(s) é nulo e que R(s) é um degrau 
unitário, calcule c(t) quando 𝑡 → ∞. Utilize o teorema do valor final. 
d) (0,25 ponto) Considerando que R(s) é nulo e que D(s) é um degrau 
unitário, calcule c(t) quando 𝑡 → ∞. Utilize o teorema do valor final.