Principios de Controle P1 2015 2

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1ª Prova de Sistemas de Controle – Turma A – 2º semestre de 2015 
Nome:_________________________________________Matrícula:_______________ 
Questão 1 (2,0 pontos) – Encontre a solução 𝑥(𝑡) da equação diferencial abaixo, 
utilizando transformada de Laplace. Obs: 𝑢(𝑡) é uma entrada degrau unitário. 
�̈�(𝑡) + 7�̇�(𝑡) + 12𝑥(𝑡) = 12 ⋅ 𝑢(𝑡), 𝑡 ≥ 0, 𝑥(0) = 0, �̇�(0) = 0 
Questão 2 (2,0 pontos) – Obtenha a função de transferência X1(s)/F(s) do sistema 
mecânico mostrado abaixo. X1(s) e F(s) são, respectivamente, a transformada de 
Laplace da posição x1 (posição da primeira massa em relação ao solo) e da força f, 
que é aplicada na massa 2. 
 
 
Questão 3 (2,0 pontos) – Obtenha C(s)/R(s), reduzindo o diagrama de blocos abaixo. 
 
 
Questão 4 (2,0 pontos) – Utilize a fórmula de ganho de Mason para obter a função de 
transferência C(s)/R(s) do sistema abaixo. 
 
Questão 5 (2,0 pontos) – Seja o sistema com perturbação abaixo: 
 
a) (0,75 ponto) Encontre 𝐶(𝑠)/𝑅(𝑠). Assuma D(s) nulo. 
b) (0,75 ponto) Encontre 𝐶(𝑠)/𝐷(𝑠). Assuma R(s) nulo. 
c) (0,50 ponto) Encontre 𝐶(𝑠) considerando, ao mesmo tempo, os efeitos das 
entradas 𝑅(𝑠) e 𝐷(𝑠). 
R(s) C(s) 
D(s) 
𝑠
𝑠 + 1
 
3
𝑠 + 5
 
1
𝑠 + 2
 
Pares de transformada de Laplace 
f(t) F(s) 
Impulso unitário 𝛿(𝑡) 1 
Degrau unitário 𝑢(𝑡) 
1
𝑠
 
𝑡𝑛 (𝑛 = 1,2,3, … ) 
𝑛!
𝑠𝑛+1
 
𝑒−𝑎𝑡 
1
𝑠 + 𝑎
 
𝑒−𝑎𝑡𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 
𝜔
(𝑠 + 𝑎)2 + 𝜔2
 
𝑒−𝑎𝑡𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) 
𝑠 + 𝑎
(𝑠 + 𝑎)2 + 𝜔2
 
𝑡𝑛𝑒−𝑎𝑡 (𝑛 = 1,2,3, … ) 
𝑛!
(𝑠 + 𝑎)𝑛+1
 
 
 
Propriedades da transformada de Laplace: 
𝐿 [
𝑑𝑛
𝑑𝑡𝑛
𝑓(𝑡)] = 𝑠𝑛𝐹(𝑠) − 𝑠𝑛−1𝑓(0) − 𝑠𝑛−2𝑓̇(0) − ⋯ − 𝑠 ⋅
𝑑𝑛−2
𝑑𝑡𝑛−2
𝑓(𝑡)|
𝑡=0
−
𝑑𝑛−1
𝑑𝑡𝑛−1
𝑓(𝑡)|
𝑡=0
 
 
lim
𝑡→0
𝑓(𝑡) = lim
𝑠→∞
𝑠𝐹(𝑠) 
 
lim
𝑡→∞
𝑓(𝑡) = lim
𝑠→0
𝑠𝐹(𝑠) 
 
Fórmula do ganho de Mason: 
𝑃 =
1
Δ
∑ 𝑃𝑘Δ𝑘
𝑘
 
 
Δ = 1 − ∑ 𝐿𝑎
𝑎
+ ∑ 𝐿𝑏𝐿𝑐
𝑏,𝑐
− ∑ 𝐿𝑑𝐿𝑒𝐿𝑓
𝑑,𝑒,𝑓
+ ⋯ 
 
Analogia mecânica/elétrica: 
Sistema elétrico Sistema mecânico 
C m 
L 1/k 
R 1/b 
V v 
I F