Principios de Controle P2 2014 2

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2ª Prova de Sistemas de Controle – Turma A 
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Questão 1 (5 pontos) – Considere o sistema da figura abaixo, e considere a análise de sistemas de 
controle com realimentação unitária através do lugar geométrico das raízes (LGR). Atenção: pode 
ser que um ou mais itens abaixo não se aplique ao esboço do LGR do sistema abaixo. 
 
 
a) Determine os intervalos em que o LGR toca o eixo real. 
b) Determine todas as informações sobre as assíntotas: quantidade, ângulos, pontos em que cruza o 
eixo real e imaginário. 
c) Determinar os pontos de partida/chegada do LGR em relação ao eixo real. Calcule o valor de K nesses 
pontos. 
d) Determinar o ângulo de partida/chegada dos polos/zeros complexos conjugados de malha aberta. 
e) Determinar os pontos onde o LGR cruza o eixo imaginário. 
f) Esboce o LGR, incluindo as assíntotas. Identifique, no gráfico, os ganhos K dos pontos de 
partida/chegada do eixo real e os ganhos K dos pontos em que o LGR toca o eixo imaginário. 
g) Descreva a estabilidade do sistema em malha fechada para toda a faixa de valores positivos de K. 
h) Descreva o amortecimento do sistema em malha fechada para toda a faixa de valores positivos de K. 
i) Obtenha graficamente a posição do par de polos complexos conjugados dominantes que fornecem 
um amortecimento 𝜁 = √3/2. Obs: não é necessário obter o valor exato dos pólos, nem o ganho que 
fornece esse pólo. 
R(s) C(s) 𝐾(𝑠2 + 4𝑠 + 5)
𝑠(𝑠 − 1)
 
Questão 2 (2,5 pontos) – Considere o sistema realimentado abaixo, que possui entrada R(s) e sofre uma 
perturbação D(s). A diferença entre R(s) e a saída C(s) é o erro do sistema E(s). O erro em regime permanente 
é o valor de lim
𝑡→∞
𝑒(𝑡), em que e(t) é a transformada inversa de Laplace de E(s). 
 
a) (0,75 ponto) Considerando D(s) nulo, quais são os erros em regime permanente a uma entrada 
degrau, rampa e parábola unitários (respectivamente 1/s, 1/s2 e 1/s3). Perceba que não é necessário 
calcular E(s)/R(s) para responder essa questão. 
b) (1,00 ponto) Obtenha E(s)/D(s). 
c) (0,75 ponto) Considerando R(s) nulo, quais são os erros, em regime permanente, a uma perturbação 
degrau, rampa e parábola unitários (respectivamente 1/s, 1/s2 e 1/s3). 
 
Questão 3 (2,5 pontos) – A figura 4.1 ilustra um servossistema com realimentação tacométrica, em que J = 
1 Kg⋅m2. A figura 4.2 ilustra a resposta ao degrau do sistema, para determinado valor de K1 e K2. 
a) (0,75 ponto) Qual a função de transferência de malha fechada do sistema? 
b) (1,25 ponto) Considerando a resposta obtida na figura 4.2, quais são os valores de: frequência natural, 
amortecimento, tempo de subida, tempo de pico, máximo sobressinal e tempo de acomodação 
(critério de 2%)? Veja que algumas informações devem ser obtidas do gráfico, outras devem ser 
calculadas. 
c) (0,5 ponto) Quais os valores de K1 e K2 que fornecem a resposta ao degrau mostrada na figura 4.2? 
 
Figura 4.1 – Servomecanismo com realimentação tacométrica. 
 
 
Figura 4.2 – Resposta ao degrau 
𝐾1
𝐽𝑠
 
1
𝑠
 
𝐾2 
5
𝑠
 
𝑠 + 1
𝑠(𝑠 + 2)
 
𝐶(𝑠) 
𝑅(𝑠) 
𝐷(𝑠) 
𝐸(𝑠) 
𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) 
Equações 
 
Desempenho em regime transitório: 
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝜔𝑛
2
𝑠2+2ζ𝜔𝑛𝑠+𝜔𝑛
2 (sistema de segunda ordem – forma padrão) 
𝜔𝑑 = 𝜔𝑛√1 − 𝜁2 
𝑀𝑝 = 𝑒
−
𝜎
𝜔𝑑
𝜋
= 𝑒
−
ζ
√1−ζ2
𝜋
 
𝑡𝑟 =
𝜋 − 𝛽
𝜔𝑑
 
𝑡𝑝 =
𝜋
𝜔𝑑
, 
𝑡𝑠 = 4𝑇 =
4
𝜎
=
4
ζ𝜔𝑛
 (critério de 2%) 
𝑡𝑠 = 3𝑇 =
3
𝜎
=
3
ζ𝜔𝑛
 (critério de 5%) 
 
 
LGR: 
ângulo das assíntotas =
±180°(2𝑘 + 1)
𝑛 − 𝑚
 
intersecção das assíntotas = −
(𝑝1 + 𝑝2 + ⋯ + 𝑝𝑛) − (𝑧1 + 𝑧2 + ⋯ + 𝑧𝑚)
𝑛 − 𝑚
 
𝑑𝐾
𝑑𝑠
= 0 (ponto de partida/chegada do LGR em relação ao eixo real) 
∠(𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠) − ∠(𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠) = ±180° ⋅ (2𝐾 + 1) 
 
 
Transformada de Laplace: 
 
lim
𝑡→0
𝑓(𝑡) = lim
𝑠→∞
𝑠𝐹(𝑠) 
 
lim
𝑡→∞
𝑓(𝑡) = lim
𝑠→0
𝑠𝐹(𝑠)