Principios de Controle P3 2014 2

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3ª Prova de Sistemas de Controle – Turma A – 02/12/2014 
Nome:_____________________________________Matrícula:_____________ 
 
Questão 1 (2,0 ponto) – Utilizando um gerador de sinais e um osciloscópio, obteve-se o diagrama 
de Bode (magnitude) de um sistema dinâmico em malha aberta, conforme mostrado na figura 
abaixo: 
 
Figura 1.0 
a) (1,0 ponto) – Assumindo que é um sistema de fase mínima, obtenha G(jω) a partir do gráfico. 
Assuma também, se necessário, que o fator de amortecimento 𝜁 de um pólo ou zero 
complexo conjugado é unitário. Atenção: veja que o único ponto do gráfico em que a 
magnitude e fase são dados ao mesmo tempo é no prolongamento da primeira reta, que 
atinge o ponto (0dB, 4rad). Não assuma valores para outras partes do gráfico que não 
contenham linhas pontilhadas. 
b) (0,5 ponto) – O que é um sistema de fase mínima? Por que, para responder o item a), foi 
necessária essa hipótese? 
c) (0,5 ponto) – As figuras 1.1 e 1.2 representam diagramas de fase. Uma dessas figuras (não 
necessariamente a 1.1) é o diagrama de fase de G(jω) (sistema obtido no item a), enquanto 
que a outra figura é o diagrama de fase obtido quando se move um dos pólos de G(jω) do 
semi-plano esquerdo ao semi-plano direito (mantendo a magnitude do valor do pólo). Qual 
das figuras é o diagrama de fase de G(jω)? Justifique. 
 
 Figura 1.1 Figura 1.2 
 
Questão 2 (2,0 ponto) – Seja um sistema de malha fechada, com realimentação unitária. A função 
de transferência senoidal G(jω) de malha aberta é mostrada abaixo, em que a variável 𝑎 é um 
parâmetro a ser ajustado. 
𝐺(𝑗𝜔) =
6
𝑗𝜔(𝑗𝜔 + 𝑎)
 
a) (1,5 ponto) Determine o valor de 𝑎 para que a margem de fase do sistema seja de 60°. Obs: 
caso haja mais de um valor para 𝑎, escolha o valor em que 𝐺(𝑗𝜔) é um sistema de fase 
mínima. 
b) (0,5 ponto) Avaliando-se a resposta ao degrau do sistema realimentado, verificou-se que o 
sobressinal obtido foi um pouco mais elevado do que o desejado. Para se obter um 
sobressinal adequado, seria então recomendável aumentar ou diminuir a margem de fase? 
Justifique 
 
Questão 3 (2,0 pontos) – Obtenha a representação no espaço de estados do sistema mecânico 
indicado na figura abaixo, em que 𝑢1 e 𝑢2 são entradas (forças) e 𝑦1 e 𝑦2 são saídas (posições). 
 
 
Questão 4 (1,5 ponto) – Verifique se o sistema abaixo é: 
a) De estado completamente controlável 
b) Completamente observável. 
[
�̇�1
�̇�2
�̇�3
] = [
0 1 0
0 0 1
0 2 −1
] [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] + [
1
0
1
] 𝑢 
𝑦 = [0 0 1] [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] 
Questão 5 (2,5 pontos) – Considere o sistema abaixo: 
[
�̇�1
�̇�2
] = [
0 1
−6 −5
] [
𝑥1
𝑥2
] + [
1
0
] 𝑢 
𝑦 = [6 1] [
𝑥1
𝑥2
] 
a) (0,75 ponto) Obtenha a matriz de transição de estados ϕ(t). 
b) (0,5 ponto) Considerando as condições iniciais abaixo, e considerando entrada nula, 
obtenha x(t). 
[
𝑥1(0)
𝑥2(0)
] = [
0
1
] 
c) (0,75 ponto) Considerando que u(t) é uma entrada degrau, ou seja, u(t) = 1 para t ≥ 0, e 
considerando condições iniciais nulas, obtenha x(t). 
d) (0,5 ponto) Considerando as condições iniciais do item b e a entrada do item c, obtenha y(t). 
Equações 
Bode e análise em frequência: 
𝜔𝑟 = 𝜔𝑛√1 − 2𝜁2 
𝑀𝑟 = |𝐺(𝑗𝜔)|𝑚á𝑥 = |𝐺(𝑗𝜔𝑟)| =
1
2𝜁√1 − 𝜁2
 
𝛾 = 180° + 𝜙 
𝐾𝑔 =
1
|𝐺(𝑗𝜔1)|
 
|𝐾𝑔|𝑑𝐵 = 20 𝑙𝑜𝑔 𝐾𝑔 = −20 𝑙𝑜𝑔
|𝐺(𝑗𝜔1)| 
𝜁 ≈
𝛾
100
 
Função de transferência a partir da representação em espaço de estados: 
Y(𝑠)
𝑈(𝑠) 
= 𝐺(𝑠) = 𝐂(𝑠𝑰 − 𝐀)−1𝐁 + 𝐷 
Diagonalização: 
𝐀 =
[
 
 
 
 
0 1 0 … 0
0 0 1 … 0
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0 0 … 1
−𝑎𝑛 −𝑎𝑛−1 −𝑎𝑛−2 … −𝑎1]
 
 
 
 
, 𝐏 =
[
 
 
 
 
1 1 … 1
𝜆1 𝜆2 … 𝜆𝑛
𝜆1
2 𝜆2
2 … 𝜆𝑛
2
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝜆1
𝑛−1 𝜆2
𝑛−1 … 𝜆𝑛
𝑛−1]
 
 
 
 
, 𝐱 = 𝐏𝐳 
Método da transformada inversa: 
𝑒𝐀𝑡 = 𝐿−1[(𝑠𝐈 − 𝐀)−1] 
Método da diagonalização: 
𝛟(𝑡) = 𝐏𝛟𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑡)𝐏
−1 
Solução da equação diferencial matricial: 
𝐱(𝑡) = 𝛟(𝑡)𝐱(0) + ∫ 𝛟(𝑡 − 𝜏)𝐁𝐮(𝜏)𝑑𝜏 
𝑡
0
 
Matriz para avaliar controlabilidade completa de estado: 
[𝐁 | 𝐀𝐁 | … | 𝐀𝑛−1𝐁] 
Matriz para avaliar observabilidade completa: 
[
𝐂
𝐂𝐀
⋮
𝐂𝐀𝑛−1
] 
Matriz inversa: 
𝐀−1 =
1
det(𝐀)
⋅ adj(𝐀), 𝑎𝑑𝑗(𝑨) = 𝑪𝑇 , 𝐶𝑖𝑗 = (−1)
𝑖+𝑗𝑀𝑖𝑗 
Polinômio característico: 
det(𝐀 − 𝜆𝐈) = 0 
Pares de transformada de Laplace: 
f(t) F(s) 
Impulso unitário 𝛿(𝑡) 1 
Degrau unitário 1(𝑡) 1/𝑠 
𝑡𝑛 (𝑛 = 1,2,3, … ) (𝑛!)/𝑠𝑛+1 
𝑒−𝑎𝑡 1/(𝑠 + 𝑎) 
𝑒−𝑎𝑡𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 𝜔/[(𝑠 + 𝑎)2 + 𝜔2] 
𝑒−𝑎𝑡𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) (𝑠 + 𝑎)/[(𝑠 + 𝑎)2 + 𝜔2]