Lista 5

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FSMA - Faculdade Salesiana Maria Auxiliadora
Engenharia de Produção e Engenharia da Computação
Disciplina: Cálculo III
Professor: Marques Fredman Mescolin
http://sites.google.com/site/mescolinmarques
mescolinmarques@gmail.com
Lista 5 - Coordenadas Cilíndricas e Esféricas
1. Use uma integral tripla em coordenadas cilíndricas para calcular o volume do sólido
G que é limitado acima pelo hemisfério z =
√
25− x2 − y2, abaixo pelo plano xy e
lateralmente pelo cilindro x2 + y = 9.
2. Use coordenadas cilíndricas para calcular∫ 3
−3
∫ √9−x2
−√9−x2
∫ 9−x2−y2
0
x2dzdydx.
Resposta:
3. Calcule ∫∫
D
cos(x− y)
sen (x+ y)
dx dy,
onde B é o trapézio delimitado pelas equações 1 ≤ x + y ≤ 2, x ≥ 0 e y ≥ 0. Dica:
Use a substituição u = x− y e v = x+ y.
4. Use coordenadas esféricas para calcular o volume e o centro de massa do sólido S
limitado acima pela esfera x2 + y2 + z2 = 16 e abaixo pelo cone z =
√
x2 + y2.
5. Calcule
∫∫∫
B
e(x
2+y2+z2)3/2 dx dy dz, ondeB é a bola de raio unitárioB = {(x, y, z)|x2+
y2 + z2 ≤ 1}.
6. Utilize um integral tripla para determinar o volume do sólido V dado por x2+y2−2x ≤
0, 0 ≤ z ≤ x + y x ≥ 0 e y ≥ 0. Dica: Use a substituição por coordenadas
cilíndricas.
7. Use coordenadas esféricas para calcular∫ 2
−2
∫ √4−x2
−√4−x2
∫ √4−x2−y2
0
z2
√
x2 + y2 + z2dzdydx.
Respostas
1) 122pi/3. 2) 243pi/4 3) 1. 4) O volume é 64pi
3
(2 − √2) e seu centro de massa é
(0, 0, 3/(4− 2√2)). 5) 4
3
pi(e− 1). 6) pi
2
+ 2
3
. 7)
64
9
pi.
1