Taxa de variação - explicação

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Cálculo II
TAXA DE 
VARIAÇÃO
A RELAÇÃO EXISTENTE ENTRE 
VELOCIDADE, ACELERAÇÃO E DERIVADA
DIFERENÇA ENTRE TAXA DE 
VARIAÇÃO MÉDIA E 
TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA
RESOLVENDO PROBLEMAS UTILIZANDO A 
DERIVADA COMO UMA TAXA DE VARIAÇÃO
APRESENTAÇÃO
Olá aluno(a) bem-vindo(a)! Neste módulo vamos fazer uso de mais uma aplicação da derivada, resolvendo problemas que nos mostram a taxa segundo a qual certa 
quantidade varia.
Vamos começar distinguindo taxas de variação média de taxa instantânea e continuare-
mos nosso estudo conhecendo outras aplicações em que as derivadas modelam as taxas 
de variação.
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Ao final deste módulo você será capaz de:
• Entender a relação existente entre velocidade, aceleração e derivada;
• Diferenciar uma taxa de variação média de uma taxa de variação instantânea;
• Resolver problemas utilizando a derivada como uma taxa de variação.
FI
CH
A
 T
ÉC
N
IC
A FUMEC VIRTUAL - SETOR DE 
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Gestão Pedagógica
Coordenação
Gabrielle Nunes P. Araújo
Transposição Pedagógica
Flávia Juliana da Silva
Produção de 
Design Multimídia
Coordenação
Rodrigo Tito M. Valadares
Design Multimídia
Nathan Ackerman Chagas de Souza
Raphael Gonçalves Porto Nascimento
Infra-Estrututura e Suporte
Coordenação
Anderson Peixoto da Silva
AUTORIA 
Profa. Dayse Magda Fialho Sodré
Prof. Renaldo Sodré
BELO HORIZONTE - 2013
TAXA DE VARIAÇÃO
O Conceito de taxa de variação
E qual a finalidade de estudarmos taxa de variação?
O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação de uma função. 
No nosso dia a dia convivemos com alguns problemas que apresentam funções que 
evidenciam essas variações.
Podemos citar, por exemplo, questões envolvendo a velocidade, aceleração, a determina-
ção da taxa de crescimento populacional, a taxa da redução da mortalidade infantil, as 
taxas de desemprego e inúmeras outras.
Vamos falar primeiramente de duas grandezas que você conhece bem: 
VELOCIDADE MÉDIA E VELOCIDADE INSTANTÂNEA
Velocidade média de um corpo em movimento durante um intervalo de tempo (t) é deter-
minada pela divisão da distância percorrida (∆s) pelo tempo transcorrido (∆t)
s vm
t
∆
=
∆
∆s = distância final – distância inicial
∆t = tempo final – tempo inicial
Observe o gráfico da curva da Figura 1 que mostra uma curva que representa a distância 
percorrida por um objeto pelo tempo gasto em percorrê-la.
O tempo t é o tempo inicial do deslocamento e ∆t, o tempo transcorrido.
Taxa de Variação 57
s
t
t
t t+ ∆
( )s t t+ ∆
t∆
s∆
2P
1P
( )s t
reta secante
reta tangente
Figura 01: gráfico de uma distância percorrida por um objeto
A taxa de variação média (vm) do objeto é a inclinação da reta secante que passa pelos 
pontos P1 e P2, então:
( ) ( ) – s t t s tsvm
t t
+∆∆
= =
∆ ∆
 → Inclinação da reta secante P1 P2
Porém a velocidade média não nos dá uma informação precisa sobre a velocidade em 
cada instante do movimento no intervalo de tempo t e t + ∆t. Para obtermos a velocidade 
instantânea (vi) no instante t, precisamos calcular a velocidade média em intervalos de 
tempo cada vez menores, ou seja, fazendo ∆t → 0.
Para isso, devemos calcular o limite da velocidade média:
( ) ( ) ( )
lim – lim ’ 
0 0 
s t t s tsvi s t
t t t t
+∆∆
= = =
∆ → ∆ ∆ → ∆
 → Inclinação da reta tangente
Este limite, você já conhece: é a derivada da função distância.
Assim, ( ) dsvi s t
dt
′= = , a velocidade instantânea vi, é a primeira derivada da função distância.
IMPORTANTE
Você pode perceber então que uma taxa de variação média é a inclinação da reta secante (corta 
dois pontos de uma curva) e a taxa de variação instantânea, é a inclinação da reta tangente 
(toca em um ponto da curva), e esta é a definição geométrica da derivada, você se lembra? 
Observe novamente a figura 1, para você entender bem esses dois conceitos:
As unidades de medida para a velocidade média e para a velocidade instantânea podem 
ser: km/h; m/s ou outra que seja apropriada para o problema em questão.
Vamos agora tratar de um assunto semelhante, que tem muito a 
ver com a velocidade que é a aceleração.
Taxa de Variação58
ACELERAÇÃO MÉDIA E ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA 
Sempre que a velocidade de um corpo varia, dizemos que esse corpo está acelerando. 
Portanto, a aceleração é a taxa de variação da velocidade por intervalo de tempo, ou seja, 
é a rapidez com que a velocidade muda.
Velocidade diminui 
em Módulo
Movimento Retrógrado
V < 0
-10 km/h
V (km/h)
V 
-20 km/h
-30 km/h
0
km
2
km
4
km
6
km
De forma análoga à velocidade, podemos escrever a aceleração média da seguinte maneira:
m
va
t
∆
=
∆
∆v = velocidade final – velocidade inicial
∆t = tempo final – tempo inicial
Taxa de Variação 59
E o gráfico da Figura 02, mostra a variação da velocidade ∆v no intervalo de tempo t e t + ∆t.
v
t
t
t t+ ∆
( )v t t+ ∆
t∆
s∆
2P
1P
( )v t
reta secante
reta tangente
Figura 02
A taxa de aceleração média (am ) é a inclinação da reta secante que passa pelos pontos 
P1 e P2:
( ) ( ) – 
m
v t t v tva
t t
+∆∆
= =
∆ ∆
 → Inclinação da reta secante P1 e P2.
E agora, como já sabemos, para obtermos a aceleração instantânea (ai), devemos fazer 
∆t → 0 e, portanto, calcular o limite:
( ) ( ) ( )
lim – lim ’
0 0 i
v t t v tva v t
t t t t
+∆∆
= = =
∆ → ∆ ∆ → ∆
 → Inclinação da reta tangente
Portanto, a aceleração instantânea (ai), é a inclinação da reta tangente no ponto P1, ou seja, a 
derivada da função velocidade e consequentemente, a derivada segunda da função distância.
ai = v’(t) = s’’(t) 
As unidades de medida para a aceleração média e para a aceleração instantânea podem 
ser: km/h2 ou m/s2 ou a que se adequar ao problema em questão.
RECAPITULANDO 
Para você consolidar os conceitos apresentados, resolveremos alguns problemas envolvendo as 
grandezas mencionadas, mas antes vamos a um resumo das fórmulas apresentadas até aqui:
( ) ( ) – 
m
s t t s t
v
t
+ ∆
=
∆
 e ( )’iv s t=
( ) ( ) – 
m
v t t v t
a
t
+ ∆
=
∆
 e ( ) ( )’ ’’ma v t s t= =
Agora sim, vamos aos exercícios resolvidos para colocar em prática a derivada como taxa 
de variação.
Taxa de Variação60
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. No instante t = 0 um corpo inicia um movimento em linha reta. Sua posição no instan-
te t é dada pela equação s(t) = - t2 + 9t – 3. Considere o tempo em segundos e a 
distância percorrida em metros. Determine:
a) A velocidade média do corpo no intervalo de tempo [1, 4];
b) A velocidade do corpo no instante t = 3;
c) A aceleração média no intervalo [2, 4];
d) A aceleração no instante t = 2.
Solução
a) Já vimos que a velocidade média de um corpo é definida pela fórmula:
( ) ( ) – s t t s tsvm
t t
+∆∆
= =
∆ ∆
t = tempo inicial, no nosso caso t = 1s
∆t = tempo final menos o tempo inicial: 4 1 3t t s∆ = − ∴ ∆ = .
Você pode agora calcular s(t +∆t) e s(t), ou seja, s(1 + 3) e s(1), então:
( ) ( )4 1 
3
s s
vm
−
=
Como: 
s(t) = - t2 + 9t – 3:
s(4) = - 16 + 36 – 3 = 17
s(1) = -1 + 9 – 3 = 5
Então: 
17 5 4 /
3
vm vm m s−= ∴ =
b) A velocidade instantânea no tempo t = 3 segundos, é definida através da derivada da 
função distância:
( ) 2 9vi t t=− +
No instante t = 3: vi (3) = –2 . 3 + 9
 3 /vi m s=
c) Já a aceleração média é dada pela fórmula:
( ) ( ) – 
m
v t t v t
a
t
+∆
=
∆
Como o intervalo de tempo é de 2 até 4 segundos, o tempo inicial t = 2s e ∆t = 4 – 2 = 2, 
então:
( ) ( )4 – 2
2m
v v
a =
Repare que agora precisamos da função velocidade para encontrar v(4) e v(2). Esta 
função foi definida na letra (b), quandoefetuamos a derivada da função distância, ou 
seja, v(t) = – 2t + 9. Daí, 
v(4) = - 2 . 4 + 9 = 1
v(2) = - 4 + 9 = 5
Taxa de Variação 61
Então: 2
 
1 5 2 /
2m m
a a m s−= ∴ = −
IMPORTANTE
Veja aluno(a), este resultado negativo quer dizer, que nesse intervalo de tempo em questão, 
o corpo está perdendo velocidade, ou seja, desacelerando.
d) A aceleração instantânea é definida pela derivada da função velocidade:
’( )ia v t= derivando v(t) = – 2t + 9, temos:
2 2 /ia m s= −
2. A partícula em movimento retilíneo tem a função definida por s(t) = 16t – 2t2 e no 
instante t = 0 ela inicia o movimento. Considere o espaço medido s(t) em metros e o 
tempo t em segundos. Calcule:
a) A velocidade média da partícula no intervalo de tempo [1,4];
b) A velocidade da partícula no instante t = 1;
c) A aceleração média da partícula no intervalo de tempo [0,3]
d) A aceleração do corpo no instante t = 3
Solução
a) Para a velocidade média vamos usar a fórmula:
( ) ( ) – s t t s tvm
t
+ ∆
=
∆
 (1)
t = tempo inicial = 1s
∆t = tempo final – tempo inicial = 4 – 1 = 3s
Como o deslocamento é definido pela equação:
s(t) = 16t – 2t2,
s(t+Δt) = s(1 + 3) = s(4) = 16 . 4 – 2 . 42
então, s(t+Δt) = 32m
e, s(t) = s(1) = 16 . 1 – 2 . 12
s(t) = 14m
Substituindo em (1):
 32 14 18
3 3
vm −= =
6 /vm m s=
b) Para a velocidade instantânea, você já sabe que é preciso derivar a função desloca-
mento:
vi(t) = s’(t), derivando s(t):
( ) 16 – 4v t t= , esta é a função velocidade.
Taxa de Variação62
No instante t = 1,
(1) 16 4 . 1 12 /vi vi m s= − ∴ =
c) Para a aceleração média usaremos a fórmula:
( ) ( ) – 
m
v t t v t
a
t
+ ∆
=
∆
 (1)
no intervalo [0,3], temos:
t = 0 e Δt = 3 – 0 = 3
Na letra (b) temos a função velocidade:
v(t) = 16 – 4t (2)
Então v(t + Δ t) = v(0 + 3) = v(3) = 16 – 4 . 3 = 4
v (t) = v(0) = 16
Substituindo na equação (1):
4 16 1 2 
3 3m
a − −= =
2 4 /ma m s= −
d) Para a aceleração instantânea, você tem que derivar a função velocidade (2):
v(t) = 16 – 4t
Então ( ) ' 4ia v t= = −
A aceleração no instante t = 3s é de – 4m/s2
Caro(a) aluno(a), com esses dois exemplos você pôde perceber 
a diferença entre uma taxa de variação média e uma taxa de 
variação instantânea.
E este conceito pode ser estendido para outras grandezas além 
da velocidade e da aceleração.
Veja este outro exemplo:
3. A área de um quadrado é a função do seu lado x. Determinar:
a) A taxa de variação média da área de um quadrado em relação ao lado, quando o 
lado varia de 2,5m a 3,0m.
b) A taxa de variação da área em relação ao lado, quando o lado mede 4m.
Solução
A princípio, você deve achar a função área, para equacionar o problema: Como o lado do 
quadrado é x, a área é :
( ) 2A x x= (1)
a) A taxa de variação média da área em relação ao lado do quadrado vai ser dada através 
da fórmula:
( ) ( ) A x X A xA
x x
+∆ −∆
=
∆ ∆
 (2)
Taxa de Variação 63
Você se lembra desta fórmula quando abordamos a velocidade 
média e a aceleração média?
Pois é, ela pode ser utilizada também neste problema, que envolve o cálculo do crescimento 
de uma área em relação ao lado de um quadrado quando este varia de 2,5m a 3,0m.
Vejamos como:
x = 2,5m (comprimento inicial)
Δx = 3 – 2,5 = 0,5 (comprimento final menos comprimento inicial)
A (x + Δx) = A (2,5 + 0,5) = A(3)
A(x) = A(2,5)
Substituindo em (1):
A(3) = 32 = 9 e 
A(2,5) = 2,52 = 6,25
Agora, substituindo em (2):
29 6,25 5,5 /
0,5
A m m
x
∆ −
= =
∆
Portanto a área cresce 5,5m2 a cada metro.
b) Queremos saber agora o quanto a área cresce no exato instante em que o lado mede 
4,0 metros. Neste caso, trata-se de uma taxa de variação instantânea e aí é a deriva-
da da função área que vai resolver o nosso problema.
A’(x) = dA
dx
 = 2x e quando x = 4:
A’(4) = 2 . 4 = 8m2/m.
Com esse exemplo caro(a) aluno(a), você pôde observar que o conceito de taxa de varia-
ção média e instantânea pode ser utilizado no cálculo de variações de outras grandezas 
além da velocidade e da aceleração.
E agora, nós vamos estudar outras situações de variações de 
grandezas em que a derivada será utilizada para resolução de 
problemas.
Nesses exercícios, você vai ver que vamos trabalhar com funções 
que possuem mais de uma variável.
Veja por exemplo o volume de um cilindro: V = π r 2 h
Figura 3: Cilindro
r
h
Taxa de Variação64
Dependendo da situação, o raio e a altura podem variar ao mesmo tempo. Como vamos 
usar a derivada para calcular essas variações, você vai precisar se lembrar de como se 
deriva uma função implícita. Este assunto já foi abordado no Cálculo I, aonde vimos que é 
necessário usar a regra da cadeia para realizar este tipo de derivação. Vamos a ela!
VAMOS RELEMBRAR 
Derivação Implícita
Sempre que temos uma função escrita na forma y = f (x), dizemos que y é uma função explícita 
de x, pois podemos isolar a variável dependente de um lado e a expressão da função do outro. 
Mas nem sempre isso acontece. Às vezes as variáveis estão do mesmo lado da equação. 
Neste caso, dizemos que y é uma função implícita de x. Temos então, uma equação escrita 
na forma F(x , y) = 0.
Veja, por exemplo, a equação y = 3x2 – 6x. Neste caso, y é uma função explícita de x. 
Mas se escrevermos a equação desta forma, y – 3x2 + 6x = 0, ela passa a ser uma equação implícita.
No caso da explícita, se quisermos derivar y em função de x, podemos escrever que:
y’ = dy
dx
 = 6x – 6
Agora para derivar uma função implicitamente, você deve observar que a derivada de x é igual 
a 1 e a derivada de y é dy
dx
.
Então, no nosso exemplo, a derivada de y – 3x2 + 6x = 0 será: dy
dx
 – 6x + 6 = 0, isolando dy
dx
, temos: 
dy
dx
 = 6x – 6, que é o mesmo resultado obtido na explícita.
E você vai observar que nos nossos exemplos, nem sempre é possível ou conveniente expli-
citar y, portanto, será necessário que se derive implicitamente. 
Para que você possa treinar essa derivação e fazer o uso da regra da cadeia, vejamos 
outros exemplos:
a) x2 + y2 = 6, derivando ambos os lados:
2x + 2y dy
dx
 = 0, observe que neste caso, usamos a regra da cadeia para derivar y2
2 2 
 
dy dy xy x
dx dx y
= − ∴ = −
ATENÇÃO
Se você teve dificuldade de entender esta derivação, talvez melhore se você chamar y de f e 
consultar o material didático online da disciplina. 
Como y está elevado ao quadrado, veja a regra:
F = f n → derivada F’ = nf n – 1. f ’ , então, como f = y, 
F = y2 → derivada F’ = 2y . dy
dx
 
Se fosse, por exemplo, F = y 5 → a derivada seria: F’ = 5y4 . dy
dx
 
Agora ficou mais claro? Então vamos a outros exemplos:
b) 2x3 + y3 = – 4, derivando os dois lados, temos
6x2 + 3y2 . dy
dx
 = 0
3y2 dy
dx
= – 6x2 e 
2
2
 2dy x
dx y
−
=
Taxa de Variação 65
c) xy – 2x + y2 – 5 = 0
d) Repare que agora temos uma multiplicação, então chame “x” de f e “y” de g e consul-
te sua tabela de Regras de Derivação em Funções Operações: 
F = f.g → F’ = fg’ + gf’
Então: 
 – 2 2 0dy dyX y y
dx dx
+ + = , colocando 
dy
dx
 em evidência,
( )2 2dy x y y
dx
+ =− +
 2
2
dy y
dx x y
− +
=
+
e) x2y2 – y + x4 – 3 = 0
Derivando os dois lados da equação:
2 2 3. 2 . 2 4 0dy dyx y y x x
dx dx
+ − + =
( )2 3 2 2 –1 4 – 2dy x y x xydx = −
3 2
2
4 2 
2 1 
dy x xy
dx x y
− −
=
−
Então aluno(a), voltando ao exemplo do cilindro, se você for derivar o volume em função 
do raio, veja como se faz:
V = π r 2 h, o raio é a variável independente e trata-se de uma multiplicação, não se esque-
ça de aplicar a fórmula de derivação correspondente ao produto: 
F = f.g → F’ = fg’ + gf’
Chame “π r 2” de f e “h“ de g. Neste casoa derivada do raio é 1 e da altura é dr
dh
.
Então: 2. .2dV dhr h r
dr dr
π π= +
E se fosse para derivar o volume em função da altura?
Neste caso, a altura seria a variável independente e a derivada igual a 1 e a derivada do 
raio seria dr
dh
, assim:
2. 1 . 2 .dV drr h r
dh dh
π π= +
Espero que tenha ficado clara para você, a derivação implícita. Amplie 
bastante suas habilidades algébricas e sua compreensão de derivada 
implícita consultando os livros de cálculo e fazendo outros exercícios.
E agora, vamos aos problemas de taxas de variação.
Taxa de Variação66
PROBLEMA 1
Um objeto se move sobre a parábola y = 2x2 + 3x – 1 de tal modo que sua abscissa varia 
de 6 unidades por minuto. Qual é a taxa de variação de sua ordenada quando o objeto 
estiver no ponto (0, –1)?
Solução
O problema te fornece a variação da abscissa em relação ao tempo: 
dx
dt
 = 6 unid/min
E pede a variação da ordenada em relação ao tempo, ou seja 
dy
dt
, no instante em que 
x = 0 e y = – 1.
Então, precisamos derivar a função y = 2x2 + 3x – 1, em função do tempo, sabendo que a 
derivada de t é igual a 1 e de x é dx
dt
:
4 3dy dx dxx
dt dt dt
= +
Como x = 0 e 
dx
dt
 = 6:
3.6 dy dy
dt dt
= ∴ = 18 unid/min
Repare que o valor de y, neste caso, não interferiu na resposta.
PROBLEMA 2
O raio de uma circunferência (fig. 4) cresce à razão de 21cm/s. Qual é a taxa de cresci-
mento do comprimento l da circunferência em relação ao tempo?
r
0
Figura 4: circunferência
Solução
O problema nos dá a taxa de variação do raio em relação ao tempo:
dr
dt
 = 21 cm/s
E pede a taxa de variação do comprimento da circunferência 
dl
dt
. 
Como sabemos que o perímetro da circunferência é l = 2π r vamos derivar o comprimento 
da circunferência em função do tempo:
2 .dl dr
dt dt
π= , substituindo 
dr
dt
= 21, temos:
dl
dt
= 42π cm/s
Taxa de Variação 67
PROBLEMA 3
Um balão esférico tem seu raio aumentado numa taxa constante de 0,05 m/s. 
Calcule a taxa de variação do seu volume no instante em que seu raio mede 
2 metros.
Solução
Como foi dado que 
dr
dt
= 0,05 m/s e o volume da esfera é 34 
3
V rπ= , vamos derivar 
o volume em função do tempo: 2 2
12 4
3
dV dr drr r
dt dt dt
π π= =
Se r = 2 e 0,05dr
dt
= , vamos substituir:
34 . 4. 0,05 0,80dV m s
dt
π π= =
PROBLEMA 4
Um tanque tem a forma cilíndrica e seu raio mede 5 metros e a altura 10 metros. No 
tempo t = 0, a água começa a fluir no tanque à razão de 25 m3/h.
a) Com que velocidade o nível da água sobe?
b) Quanto tempo levará para o tanque ficar cheio?
Solução 
a) 
Figura 5: tanque cilíndrico
r
h
r = 5 m
h = 10 m
dv
dt
 = 25 m3/h
Estas três medidas foram dadas no enunciado do problema. Como o nível de água está 
subindo no tanque, quem varia é a altura, portanto o que se pede na letra “a” é dh
dt
 e 
repare que o raio não varia, será sempre igual a 5 metros.
Sabendo que o volume do cilindro é V = π r 2 h, como r = 5, o volume é V = 25π h
Como foi dado 
dv
dt
, vamos derivar o volume em função do tempo:
25 .dV dh
dt dt
, então 25 25 . dh
dt
π= 
e 
1dh m s
dt π
= que é a velocidade que o nível de água sobe.
Taxa de Variação68
b) Como a altura do tanque é de 10m e o raio de 5m, quando o tanque encher, teremos 
um volume total de:
VT = π r 2 h = π . 25 . 10 = 250 π m3
Se a variação do volume em função do tempo é:
dv
dt
 = 25m3/h,
isso quer dizer que o tanque enche 25m3 a cada hora. Você pode fazer uma regra de três 
para achar o tempo que o tanque levará para ficar cheio:
1hora – 25 m3
x – 250 π m3
Então: 
250 .1 10
25
x x horasπ π= ∴ =
Caro(a) aluno(a), com base nestes exemplos de taxas de variação 
que acabamos de ver, você já pode resolver os exercícios de 
fixação propostos a seguir, a fim de praticar e solidificar seus 
novos conhecimentos.
Caso surjam dúvidas, retome a leitura do módulo, consulte os 
livros de cálculo e tente esclarecê-las. Vamos em frente!
Taxa de Variação 69
Síntese
Caro(a) Aluno(a), 
Neste módulo conhecemos mais uma importante aplicação da derivada. 
Aprendemos a diferenciar uma taxa de variação média de uma taxa de variação instantâ-
nea e também aprendemos que a velocidade é a taxa de variação do deslocamento, assim 
como a aceleração é a taxa de variação da velocidade.
E finalmente, compreendendo que taxas de variação são derivadas, usamos esta poderosa 
ferramenta do Cálculo para solucionarmos diversos problemas envolvendo grandezas que 
sofrem variações.
Espero que você faça bom uso desses novos conceitos. Bons estudos!
Referências Básicas
FLEMMING, D. M. e GONÇALVES, M. B. – Cálculo A. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
THOMAS, G. B. – Cálculo - Volume 1. São Paulo: Addison Wesley, 2002.
ANTON, H., BIVENS, I. e DAVIS, S. – Cálculo – Volume 1. Porto Alegre: Bookman, 2007.
Referências Complementares
BOULOS, Paulo – Introdução ao Cálculo – Volume 1, Cálculo Diferencial. São Paulo: Blücher, 1988.
LEITHOLD, L. – O Cálculo com Geometria Analítica – Volume 1. São Paulo: Harbra Ltda, 1994.
LARSON, R. E., HOSTETLER, R. P. e EDWARDS, B. H. – Cálculoe Geometria Analítica – Volume 1. USA: 
LTC, 2006.
SIMMONS G. F. – Cálculo com Geometria Analítica – Volume 1. São Paulo: Makron Books, 1987.
SWOKOWISKI, Earl William – Cálculo com Geometria Analítica – Volume 1 - 2. São Paulo: Makron Books, 1995.
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