Variável Complexa - Parte 2

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4) Forma Trigonométrica 
 
Norma e módulo 
Chama-se norma de um número complexo z = x + yi ao número real não 
negativo. 
N (z) = x2 + y2 
Chama-se módulo ou valor absoluto de um número complexo z = x + yi ao 
número real não negativo. 
22)( yxzNz 
 
Algumas vezes, em lugar de 
z
 usamos os símbolos 

ou r para representar o 
módulo. 
Exemplos: 
1º) 
iz  3
 
2º) z = -2i 
3º) z = -5 
4º) z = -1 -i 
 
Propriedades do módulo 
Se z = x + yi é um número complexo qualquer, então: 
(I) 
0z
 
(II) 
00  zz
 
(III) 
z z
 
(IV) Re(z) 

 
zz )Re(
 
(V) Im(z)

 
zz )Im(
 
Se z1 e z2 são dois números complexos quaisquer, então: 
 11 
VI) 
2121 z . zz . z 
 
VII) 
0)(z 
z
z
z
z
2
2
1
2
1 
 
VIII) 
2121 zzzz 
 
 
Observemos que, se z é um número real, então o módulo de z, segundo a 
definição dada, coincide com o módulo de z como elemento de IR, pois: 
z
xxxzixzIR  222 0.0
 
Assim, por exemplo, temos: 
0z 0z 3;z 3z 2;z 2z 
 
 
 
Exemplo: 
Sendo z1= 3 + 4i e z2 = 12 – 5i, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Argumento 
Chama-se argumento de um número complexo z = x + yi, não nulo, ao ângulo 

 tal que 
 12 
zρ que em ,
ρ
y
θsen e 
ρ
x
θ cos 
 
Notemos que: 
1º) a condição 
0z
 garante 
 0 
 
2º) existe ao menos um ângulo 

 satisfazendo a definição, pois: 
1cos
22
22
2
2222
22 

















yx
yxyxyx
sen 
 
3º) Fixando o complexo 
0z
, estão fixados 
senθ e cosθ
, mas o ângulo 

 pode 
assumir infinitos valores, congruentes dois a dois (congruência módulo 
2
). 
Assim, o complexo 
0z
 tem argumento 
Zk ,2kθθ 0  
 
em que 
0
chamado argumento principal de z, é tal que 


x
0cos
, 


y
sen 0
 e 
200 0 
. Freqüentemente trabalhamos com 
0
chamando-o simplesmente 
argumento de z. 
 
Exemplos: 
1º) z = 
i3
 
 
 
 
2º) z = -2i 
 
 
 
3º) z = -5 
 
 13 
 
4º) z = -1 –i 
 
 
 
 
 
Plano de Argand-Gauss 
As noções de módulo e argumento tornam-se mais concretas quando 
representamos os números complexos z = x + yi = (x, y) pelos pontos do plano 
cartesiano xOy com a conveção de marcarmos sobre os eixos Ox e Oy, 
respectivamente, a parte real e a parte imaginária de z. 
Assim, a cada número complexo z = (x, y) corresponde um único ponto P do 
plano xOy. 
 
Nomenclatura: 
xOy = plano de Argand-Gauss 
Ox = eixo real 
Oy = eixo imaginário 
P = afixo de z 
Notemos que a distância entre P e O é o módulo de z: 
OP = 
 22 yx
 
e o ângulo formado por 
OP
com o eixo real é 
0
tal que 


x
0cos
 e 


y
sen 0
; 
portanto 
0
 é o argumento principal de z. 
 
Forma Trigonométrica 
Dado um número complexo z = x + yi, não nulo, temos: 
 14 
z = x + yi = 









y
i
p
x
..
 
e portanto: 
)..(cos  seniz 
 
Chamada forma trigonométrica ou polar de z. 
 
Exemplos: 
1º) z = 
i3
 
 
 
 
 
 
 
2º) z = -2i 
 
 
 
 
 
3º) z = -5 
 
 
 
 
 
 15 
4º) z = -1 –i 
 
 
 
 
3ª Lista de Exercícios 
 
1. Determine o módulo e o argumento principal, coloque na forma 
trigonométrica e dê a representação gráfica dos números: 
a) 4 
b) 
31 i
 
c) 
i3
 
d) 
2.2 i
 
e) -5 
f) -2i 
g) -5 - 5i 
h) 2 - 2i 
 
2. Calcule o módulo dos seguintes números: 
a) 3 – 4i 
b) 
2.2 i
 
c) 
i512 
 
d) 
 seni.cos 
 
e) 
itg 
 
f) 24+7i 
 
3. Coloque na forma trigonométrica os números: 
a) 3 + 3i 
b) 
35.5 i
 
c) -8 – 8i 
d) 11 
e) 2i 
 16 
f) i3 
g) 
i 3
 
h) i(1 + i) 
i) 2i (1 – i) 
 
 
4. Coloque na forma algébrica os seguintes números: 
a) 
  seni.cos.3 
 
b) 







4
.
4
cos.2

seni
 
c) 







6
11
.
6
11
cos.4

seni
 
d) 







2
3
.
2
3
cos.5

seni
 
 
5. Calcule o módulo dos números: 
a) (1 + i)3 
b) (1 – i)4 
c) (5 + 12i).i 
d) (1 + i).(2 + 2i).(4 + 4i) 
e) 
i
i
22
1


 
f) 
i
i
43
5

 
 
6. Escreva na forma trigonométrica os números: 
a) 2
2
3
.
2
1








 i
 
b) 
i
i1
 
c) 
 00 30.30cos.5 seni
 
 
7. Escreva na forma trigonométrica o inverso multiplicativo de 
31 i
. 
 17 
8. Escreva na forma trigonométrica os números: 
a) 
i
i
22
55


 
b) 
 i
i
 2
1
 
c)  
5
3
3.1
i
i 
 
9. Como é representado, na forma trigonométrica, o número complexo: 
 
i
i
z



1
1
2 ? 
 
10. Represente no plano de Argand-Gauss os seguintes complexos: 
a) 3 + 5i 
b) -3 + 2i 
c) -2 – 3i 
d) 1 – 4i 
e indique graficamente o módulo 

 e o argumento principal 
o
 de cada um 
deles. 
 
11. Represente geometricamente no plano de Argand-Gauss os seguintes 
subconjuntos de ℂ: 
 
 
 1iz CzC
3 Cz B
2z CzA



z