Apostila parte03

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18 
A forma trigonométrica é mais prática que a forma algébrica para as operações 
de potenciação e radiciação em ℂ, conforme veremos a seguir. 
 
5) Potenciação 
Módulo e argumento de produto 
Teorema 
O módulo do produto de dois números complexos é igual ao produto dos 
módulos dos fatores e seus argumentos é congruente à soma dos argumentos 
dos fatores. 
Exemplos: 
1º) 





















3
.
3
cos.3
6
.
6
cos.2
2
1


seniz
seniz
 
 
 
 
 
 
 
2º) 





















6
11
.
6
11
cos.6
6
5
.
6
5
cos.4
2
1


seniz
seniz
 
 
 
 
 
 19 
A fórmula que acaba de ser reduzida estende-se ao produto de n fatores (n>2), 
aplicando a propriedade associativa da multiplicação: 
)..(cos.... 3.21  senizzzzz n 
 
então: 
 )...(.)...cos()...( 2121321 nnn seniz   
portanto: 
        nnn seniseni   .......cos.....cos. 212121 
e finalmente: 
  Zkkn 

,2...
...
321
3321

 
Isto é, o módulo do produto de n números complexos é igual ao produto dos 
módulos dos fatores e seu argumento é congruente à soma dos argumentos 
dos fatores. 
A forma algébrica facilita as operações de adição, subtração, multiplicação e 
divisão de números complexos, porém não é muito prática no cálculo de 
potências. Se necessitarmos calcular 
nyix )( 
, com n

 Z, teremos de usar a 
fórmula do binômia de Newton, que é bastante trabalhosa. 
Veremos como simplificar a operação de potenciação com complexos no 
próximo item. 
 
Primeira fórmula de Moivre 
Dado o número complexo 
  seniz .cos. 
, não nulo, e o número inteiro n, 
temos: 
  senninz nn .cos.  
 
Exemplos: 
 20 
1º) Calcular 
3
1z
 sendo 
.
4
.
4
cos.21 







seniz
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º) Calcular 
5
1z
 sendo 
32.21 iz 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 21 
4ª Lista de Exercícios 
 
1. Dado o número complexo z = 1 + i, determine o módulo e o argumento do 
complexo z4. 
 
2. Calcule: 
a) 100
2
3
.
2
1








 i
 
b) 
  1233  i
 
c)
 203 i
 
 
 
3. Calcule: 
a) 100
22
3









i 
b) 
 61 i
 
c) 
 822 i
 
d) 107
22
1
22
1













ii 
f) 
6
2
3
.
2
1








 i
i 
 
 
 
 
 
 
 
 22 
6) Radiciação 
Raiz enésima 
Dado um número complexo z, chama-se raiz enésima de z, e denota-se 
n z
, a 
um número complexo 
kz
 tal que 
n
kz
= z. 
zzzz nkk
n 
 
Assim, por exemplo temos: 
Raízes Cúbicas de 1: 
1º) 











2
3
.
2
1
2
3
.
2
1
1
i
i
 
Raízes Quadradas de i: 
2º) 










2
2
.
2
2
2
2
.
2
2
i
i
 
A dúvida que imediatamente surge é: “quantas são as raízes enésimas de z e 
como determiná-las?” A resposta a esta pergunta vem a seguir. 
 
Segunda fórmula de Moivre 
Teorema 
Dados o número complexo 
  seniz .cos. 
 e o número natural 
)2( nn
, 
então existem n raízes enésimas de z que são da forma: 



















n
k
n
seni
n
k
n
z nk
 2..2.cos.
 
em que 
Z.k e IRρn  
 
 
 23 
Aplicações 
1º) Calcular as raízes quadradas de -1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º) Calcular as raízes cúbicas de 8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3º) Calcular as raízes quartas de 
38.8 i
. 
 
 
 
 
 
 
 24 
 
 
Interpretação geométrica 
Vimos que 
n z
pode assumir n valores distintos porém todos com o mesmo 
módulo. Assim, os afixos das n raízes enésima de z são pontos da mesma 
circunferência, com centro na origem do plano de Argand-Gauss e raio 
n z
. 
Vimos também que os argumentos principais de 
n z
 formam uma progressão 
aritmética que começa em 
n

 e tem razão 
n
2
. Assim os afixos das n raízes 
enésimas de z dividem a circunferência de centro (0, 0) e raio 
n z
 em n partes 
congruentes, isto é: 
se n=2 são pontos diametralmente opostos 
ou 
se 
3n
 são vértices de um polígono regular inscrito na circunferência 
citada. 
Reexaminando as aplicações vistas no item 31, temos: 
1º) raízes quadradas de -1 


















  ksenikzk
2
.
2
cos.1
 
 
 
 
 
2º) raízes cúbicas de 8. 







3
2
..
3
2
.cos.2

senkikzk
 
 
 
 
Os afixos de 
1
 dividem a circunferência de 
centro (0,0) e raio 1 em duas partes 
congruentes. 
 
Os afixos de 
3 8
 dividem a circunferência de 
centro (0, 0) e raio 2 em três partes 
congruentes. 
 
 25 
 
 
3º ) raízes quartas de 
38.8 i
 



















26
.
26
cos.2

ksenikzk
 
 
 
 
 
 
5ª Lista de Exercícios 
 
1. Calcule: 
a) 
i247 
 
b) 
i125
 
c) 
3 211 i
 
d)
4 9628 i
 
 
2. Calcule: 
a) 
4 1
 
b) 
3 1 i
 
c) 
i16
 
d) 
6 729
 
e) 
2
31 i 
f) 
3 64
 
g) 3 1 
h) 
i4
1

 
 
Os afixos de 
4 38.8 i
são vértices do 
quadrado inscrito na circunferência de 
centro (0, 0) e raio 2, sendo 
 1,3
 um dos 
vértices. 
 
 26 
3. Determine as raízes quadradas do número complexo z = 5 - 12i. 
 
 
4. Determine graficamente as raízes quartas de 256. 
 
5. Resolva as seguintes equações em ℂ: 
a) 
02  ix
 
b) 
086 x
 
c) 
013 x
 
d) 
0273 x