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18 A forma trigonométrica é mais prática que a forma algébrica para as operações de potenciação e radiciação em ℂ, conforme veremos a seguir. 5) Potenciação Módulo e argumento de produto Teorema O módulo do produto de dois números complexos é igual ao produto dos módulos dos fatores e seus argumentos é congruente à soma dos argumentos dos fatores. Exemplos: 1º) 3 . 3 cos.3 6 . 6 cos.2 2 1 seniz seniz 2º) 6 11 . 6 11 cos.6 6 5 . 6 5 cos.4 2 1 seniz seniz 19 A fórmula que acaba de ser reduzida estende-se ao produto de n fatores (n>2), aplicando a propriedade associativa da multiplicação: )..(cos.... 3.21 senizzzzz n então: )...(.)...cos()...( 2121321 nnn seniz portanto: nnn seniseni .......cos.....cos. 212121 e finalmente: Zkkn ,2... ... 321 3321 Isto é, o módulo do produto de n números complexos é igual ao produto dos módulos dos fatores e seu argumento é congruente à soma dos argumentos dos fatores. A forma algébrica facilita as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão de números complexos, porém não é muito prática no cálculo de potências. Se necessitarmos calcular nyix )( , com n Z, teremos de usar a fórmula do binômia de Newton, que é bastante trabalhosa. Veremos como simplificar a operação de potenciação com complexos no próximo item. Primeira fórmula de Moivre Dado o número complexo seniz .cos. , não nulo, e o número inteiro n, temos: senninz nn .cos. Exemplos: 20 1º) Calcular 3 1z sendo . 4 . 4 cos.21 seniz 2º) Calcular 5 1z sendo 32.21 iz . 21 4ª Lista de Exercícios 1. Dado o número complexo z = 1 + i, determine o módulo e o argumento do complexo z4. 2. Calcule: a) 100 2 3 . 2 1 i b) 1233 i c) 203 i 3. Calcule: a) 100 22 3 i b) 61 i c) 822 i d) 107 22 1 22 1 ii f) 6 2 3 . 2 1 i i 22 6) Radiciação Raiz enésima Dado um número complexo z, chama-se raiz enésima de z, e denota-se n z , a um número complexo kz tal que n kz = z. zzzz nkk n Assim, por exemplo temos: Raízes Cúbicas de 1: 1º) 2 3 . 2 1 2 3 . 2 1 1 i i Raízes Quadradas de i: 2º) 2 2 . 2 2 2 2 . 2 2 i i A dúvida que imediatamente surge é: “quantas são as raízes enésimas de z e como determiná-las?” A resposta a esta pergunta vem a seguir. Segunda fórmula de Moivre Teorema Dados o número complexo seniz .cos. e o número natural )2( nn , então existem n raízes enésimas de z que são da forma: n k n seni n k n z nk 2..2.cos. em que Z.k e IRρn 23 Aplicações 1º) Calcular as raízes quadradas de -1. 2º) Calcular as raízes cúbicas de 8. 3º) Calcular as raízes quartas de 38.8 i . 24 Interpretação geométrica Vimos que n z pode assumir n valores distintos porém todos com o mesmo módulo. Assim, os afixos das n raízes enésima de z são pontos da mesma circunferência, com centro na origem do plano de Argand-Gauss e raio n z . Vimos também que os argumentos principais de n z formam uma progressão aritmética que começa em n e tem razão n 2 . Assim os afixos das n raízes enésimas de z dividem a circunferência de centro (0, 0) e raio n z em n partes congruentes, isto é: se n=2 são pontos diametralmente opostos ou se 3n são vértices de um polígono regular inscrito na circunferência citada. Reexaminando as aplicações vistas no item 31, temos: 1º) raízes quadradas de -1 ksenikzk 2 . 2 cos.1 2º) raízes cúbicas de 8. 3 2 .. 3 2 .cos.2 senkikzk Os afixos de 1 dividem a circunferência de centro (0,0) e raio 1 em duas partes congruentes. Os afixos de 3 8 dividem a circunferência de centro (0, 0) e raio 2 em três partes congruentes. 25 3º ) raízes quartas de 38.8 i 26 . 26 cos.2 ksenikzk 5ª Lista de Exercícios 1. Calcule: a) i247 b) i125 c) 3 211 i d) 4 9628 i 2. Calcule: a) 4 1 b) 3 1 i c) i16 d) 6 729 e) 2 31 i f) 3 64 g) 3 1 h) i4 1 Os afixos de 4 38.8 i são vértices do quadrado inscrito na circunferência de centro (0, 0) e raio 2, sendo 1,3 um dos vértices. 26 3. Determine as raízes quadradas do número complexo z = 5 - 12i. 4. Determine graficamente as raízes quartas de 256. 5. Resolva as seguintes equações em ℂ: a) 02 ix b) 086 x c) 013 x d) 0273 x
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