Matemática Financeira com aplicações práticas

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Matemática Financeira com aplicações práticas.
Maceió, Outubro de 1999.
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Fúlvio Caraciolo Albuquerque
falbuque@yahoo.com
 
Sumário
 
Conceitos Iniciais 
1.1 - Fluxo de Caixa 
1.2 - Juros Simples/Juros Compostos
1.3 - Formação das Taxas de Juros
Modelo de Capitalização simples 
2.1 - Juros Simples 
2.2 - Conceitos de PV e FV
2.3 - Taxas proporcionais/equivalentes
2.4 - Descontos Simples
2.5 - Taxa nominal e Taxa efetiva de desconto
2.6 - Método Hamburguês (Cheque especial)
Modelo de capitalização composta. 
3.1 - Montante 
3.2 - Conceitos de PV e FV
3.3 - Taxas Equivalentes
3.4 - Taxa nominal e Taxa efetiva
Sistemas de Amortização. 
 4.1 - Tabela SAC 
4.2 - Tabela PRICE
5. Índices Financeiros
 5.1 - Formação de um índice financeiro 
5.2 – Correção Monetária
5.3 – Taxa de juros Real
6. Estudos de Casos de Mercado.
 6.1 - Tabelas de Financeiras para financiamento de veículos 
6.2 – Descoberta da taxa de juros implícita numa venda parcelada.
 6.3 - Descoberta da taxa de juros implícita num financiamento 
7. Bibliografia
 
1. Conceitos iniciais.
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1.1 – Fluxo de Caixa
 
O conceito de fluxo de caixa em nosso curso e em toda matemática financeira é primordial. Lembre-se, toda solução de um sistema não trivial em matemática financeira deve necessariamente iniciar-se pela montagem de um fluxo de caixa. Abaixo podemos visualizar um fluxo de caixa onde o tomador de financiamento compra um veículo no valor de R$ 13.900,00, pagando como entrada R$ 5.900,00 e paga 8 parcelas de R$ 1.200,00.
 
 
 -R$1.200,00 
R$ 13.900,00
�
�
(Tempo decorrido no financiamento) 
-R$ 5.900,00
Perceba que o sentido das setas indica o sentido do fluxo de caixa, para baixo significa um fluxo negativo ou um pagamento, para cima um fluxo positivo ou um recebimento. Este fluxo independe matematicamente do ponto de vista de quem toma ou cede um empréstimo, financiamento ou qualquer outra operação financeira. O que significa que mesmo que nós fossemos o proprietário do dinheiro para financiar o veículo do exemplo anterior, poderíamos permanecer com o mesmo gráfico acima que em termos de cálculo o resultado final seria o mesmo. E mesmo invertendo os fluxos no gráfico a situação ainda permanece a mesma, ou seja os cálculos a serem feitos como juro, taxa de juros e etc.. permanecem os mesmos. Quanto ao tamanho da seta ela nos indica o montante do fluxo de caixa referido, verifique que a maior seta corresponde ao fluxo de R$ 13.900,00, enquanto as menores setas são as que correspondem ao conjunto de oito pagamentos de R$ 1.200,00.
Abaixo vemos outro fluxo que representa o financiamento de um apartamento que têm seu preço em R$ 55.000,00, sendo R$ 25.000,00 como entrada, 4 intercaladas e R$ 5000,00 de três em três meses e 10 parcelas de R$ 1.000,00.
 
 
Preço do apartamento
 
 
 
 
 
 
Parcelas
�
 
 
�
Intercaladas
Sinal
 
 
1.2 – Juros simples/Juros Compostos
 
Denominamos de Juro o aluguel ou valor pago pelo tomador de capital ao proprietário do mesmo. Denominamos Taxa de Juros ao percentual que determina quanto do valor total corresponde o que deve ser pago a nível de aluguel pelo capital. A taxa de juros já chegou a ser considerado pecado de usura, levando até mesmo à morte aqueles que delas tiravam lucros que eram considerados pela igreja católica verdadeiros pecados mortais.
Por regime de capitalização entende-se como o Juro é adicionado ao Capital Inicial, de forma que este seja pago no final do período de empréstimo. Existem basicamente dois regimes de capitalização : O regime de capitalização por juros simples, usualmente denominado de juros simples, e o regime de capitalização por juros compostos, usualmente denominado de juros compostos. Existem diversas variações e combinações desses dois regimes, porém de forma básica, existem apenas estes dois regimes de capitalização.
Pode-se notar que a principal característica que diferencia estes dois regimes é quanto ao processo de agregação do juro alcançado num período ao valor do capital inicial. No processo de juros simples há uma descontinuidade desta agregação, o que determina que o juro ou rendimento a ser pago, será pago única e exclusivamente ao final de cada período de arrecadação à que corresponde a taxa de juros. Na figura abaixo vemos uma visualização do que acontece com um fluxo que segue este regime.
 
 
 
 
�
�
Capital a
�
�
�
�
b
c
�
�
C0
�
(tempo)
0 1 2 3 4
 
 
Note que no regime de capitalização simples a = b = c, que representam exatamente o juro ou valor pago pelo aluguel do Capital Inicial (C0) multiplicado pela taxa de juros, digamos por exemplo que a taxa de juros seja 10%, então o valor de a seria C0 * 10/100 = a, veja que dividimos por 100 para normalizar nossa taxa de juros que está representada na forma percentual.
Já no regime de capitalização composta o juro é adicionado de forma instantânea ao capital inicial, transformando o capital inicial ao qual incide a taxa de juros do posterior, um capital inicial maior do que o do período anterior ao mesmo. Acontece com o capital o descrito na figura abaixo.
 
Regime Regime
Composto Simples
 
�
Capital
 
 
�
C0
 
�
�
(tempo)
t t 
 
 
Note que para o mesmo período de tempo o regime de capitalização composto dá um retorno bem maior que o regime simples.
 
Ou seja comprovamos graficamente comprovamos o que até intuitivamente já tinhamos conhecimento, nos capítulos posteriores veremos como comprovar matematicamente que esta diferença existe, e que nem sempre o regime de capitalização composto vai trazer resultados melhores.
 
 
1.3 – Formação da taxa de juros
 
Podemos afirmar que como qualquer produto utilizado no nosso dia a dia como veículo, imóveis, e etc.. o dinheiro possui um valor intrínseco, e como qualquer produto obedece às leis econômicas de oferta e demanda. O valor intrínseco do dinheiro seria exatamente a taxa de juros de captação/venda, ao invés do preço de compra/venda do produto. No gráfico abaixo podemos ver um típico gráfico de oferta e demanda por dinheiro.
 
i%
Oferta
 
Taxa de 
�
Mercado 
(i’)
Demanda
�
Montante($)
 
Entendido o conceito da formação da taxa de juros, podemos entender o conceito de "spread", que seria justamente a diferença entre a taxa de captação no mercado, e a taxa de aplicação no empreendimento planejado. Essas duas taxas sofrem diferentes curvas de oferta X demanda, em diferentes mercados, gerando assim a oportunidade de ganhos. Na figura abaixo visualizamos um gráfico que descreve bem a situação do "spread".
 
 
 
 
 
 
 
 
i%
 
�
ia
Oferta
�
ic 
Demanda
�
Mc Ma Montante($)
Onde Mc = Montante de Captação e Ma = Montante de aplicação, e ia = Taxa de juros para aplicação e ic = taxa de juros para captação.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Modelo de Capitalização Simples.
 �
2.1 – Juros simples
 
Este tipo de aplicação não é propriamente assunto da matemática financeira e sim da matemática comercial, porém como seus modelos são úteis na avaliação de operações de curto prazo, e também fornecem um ótimo embasamento para a compreensão dos modelos de capitalização composta estudados posteriormente, nós estaremos descrevendo-o aqui.
O juro simples nada mais é do que se um determinado poupador entrega determinado quantia (C) para ao final de cada período de tempo (t), receber um certo rendimento (J), que será proporcional a uma taxa variável (i), após cada período de tempo. Abaixo vemos um fluxo de caixa que representa isto.
 
-C J1 J2 J3 J4 C
Tempo(t)
�
0 1 2 3 4 5
 
Matematicamente falando temos :
Tempo 1 : J1 = C * i1
Tempo 2 : J3 = C * i2
Tempo 3 : J3 = C * i3
..
Tempo n : Jn = C * in
 
 
Denominamos de Juro ou rendimento total recebido pelo poupador o valor dado pela equação : J = J1 + J2 + J3 + .... + Jn
Substituindo os termos também temos : J = C * i1 + C * i2 + C * i3 + .... + C * in ou ainda substituindo para a notação de somatório teremos : 
 
n 
J = C * (  it )
t = 1
 
Ao analisarmos a fórmula acima e verificarmos que a nossa taxa de juros pode ser constante, nesse caso teremos que : J = C * i * n, ou seja n significa o número de períodos que a nossa taxa i será constante.
 
 
Exemplo 1:
 
Uma pessoa empresta uma quantia de R$ 100.000,00 durante um ano para ter as seguintes taxas semestrais de retorno : 1º semestre 10%, 2º semestre 15%. Qual será o retorno da pessoa após um ano ?
 
Resposta :
C = 100.000,00; i1 = 10%; i2 = 15%.
 
2 
    J = C * (  it ) 
t = 1
 
J = 100.000 * (0,10 * 1 + 0,15 * 1) = 25.000,00
 
2.2 – Conceitos de PV e FV
 
A partir deste momento vamos adotar a notação de PV, FV, i e n para descrever o montante inicial(PV), o valor futuro(FV), a taxa de juros(i), e o número de períodos de capitalização(n). Isto se dá para mantermos a compatibilidade entre nossos cálculos e as teclas de calculadoras financeiras como a HP 12C, a Casio e etc.. 
 
O montante ou valor futuro (FV) num regime de capitalização simples nada mais é do que a soma do capital inicial (PV) mais os devidos juros. Daí pelas fórmulas temos : 
FV = PV + PV *  i ou 
FV = PV * (1 +  it ). 
Para uma taxa de juros fixa temos : 
FV = PV + PV * i * n 
ou ainda 
FV = PV * (1 + i*n). Esta será a formula mais utilizada em todo o nosso curso.
 
Exemplo 1 : 
Qual o montante (FV) fornecido por uma aplicação de R$1.000,00 na poupança durante uma ano à taxa de juros de 1,5%.
Solução :
PV = 1.000,00
i = 1,5%
n = 12
FV = PV * (1 + i*n)  FV = 1.000 * (1 + 0,015*12) = 1.180,00. Ou seja teremos R$ 1.180,00 ao final de nossa aplicação.
 
 
 
2.3 – Taxas proporcionais/Equivalentes
 
Sabemos dos capítulos anteriores que o regime de capitalização simples varia linearmente no tempo, portanto se tivermos uma taxa mensal e quisermos convertê-la para uma anual basta multiplicá-la por 12 e vice-versa. Se temos uma taxa trimestral e a quisermos transformá-la em semestral basta multiplicá-la por 2 e vice-versa. A estas taxa denominamos de taxas proporcionais. Vejamos exemplos abaixo :
 
Taxa de 3% ao mês é proporcional à uma taxa diária de :
Diária : 3% / 30 = 0,10 % ao dia.
Taxa de 3% ao mês é proporcional à uma taxa anual de :
Anual: 3% * 12 = 36 % ao ano.
Taxa de 48 % ao ano é proporcional à uma taxa trimestral de :
Trimestral: 48% / 4 = 12 % ao trimestre.
São denominadas taxas equivalentes as taxas que aplicadas num mesmo capital inicial, pelo mesmo período de tempo produzem o mesmo valor final. Vejamos os exemplos :
Exemplo : Temos um capital de R$1.000,00 para as duas taxas abaixo, verifique o valor futuro para cada caso.
PV = R$ 1.000,00
Taxa 1
n = 12 meses
i = 2,2 % am
Taxa 2 
n = 1 ano
i = 26,4% aa
 
FV(1) = 1000 * (1 + 0,022*12) = R$1.264,00
FV(2) = 1000 * (1 + 0,264*1) = R$ 1.264,00. Ou seja as duas taxas nos dão o mesmo retorno no período desejado.
 
A definição de taxas equivalentes e proporcionais nos parece iguais num primeiro momento, porém, quando do estudo de regimes de capitalização composta, veremos verdadeiramente o porque da separação das duas taxas.
 
Problemas resolvidos :
Que juros simples um Capital inicial de R$ 10.000,00 aplicado à taxa de 3 % ao bimestre fornece ao fim de 3 meses ? 
PV = 10.000 
i = 3 % a.t.
n = 3 meses = 3/2 bimestres
FV = PV * (1 + i * n) => FV = 10.000(1 + 0,03 * 3/2) = 10.000 (1 + 0,45) = 10.000 * (1,045) = R$ 10.450,00
Qual a taxa de juros simples para que um capital aplicado durante 10 meses equivala à um capital aplicado durante 7 meses à taxa de 3,5 % a.m. 
J1 = C * i1 + n1 = C * 0,035 * 7 = C * 0,245
J2 = C * i2 + n2 = C * i2 * 10 = 10 * C * i2
Como J1 = J2 então 0,245*C = 10*C*i2 daí i2 = 0,245 / 10 = 2,45 % ao mês.
 
2.4 – Desconto simples
 
Utilizada por empresas para melhorar sua liquidez, a operação de desconto bancário consiste na antecipação de créditos, tendo como contrapartida títulos de crédito (diplicatas, notas promissórias e etc..) de posse da empresa que deseja aumentar sua liquidez.
A operação em si consiste na diferença entre o valor nominal ou de resgate(N) de um título(valor de face) de crédito, e seu respectivo valor atual na data de desconto, sendo representado matematicamente como : D = N – A onde :
 
D = Desconto
N = Valor nominal
A = Valor do Título.
 
Podemos ainda utilizar a notação de valor presente e futuro, ficando a equação : D = FV – PV.
Os descontos simples são divididos em dois grupos, o desconto simples racional e o comercial.
 
a) Desconto simples racional
Conhecido também como desconto "por dentro" é nossa forma de desconto mais simples como já visto anteriormente, só que desta vez vamos decompor nossa equação de modo a termos os elementos formadores da mesma :
D = FV – PV como FV = PV * (1 + i*n) então
D = PV * (1 + i * n) – PV  ficando D = PV * i * n (I)
b) Desconto simples comercial
 
Também conhecido como desconto bancário e "desconto por fora", merecendo este último nome por levar em conta o valor nominal do título mediante uma taxa de desconto determinada pela instituição de crédito. Ficando nossa fórmula como a seguir :
 
Dc = FV * i* * n (II)
 
Esta fórmula além de auxiliar na cálculo na prática usual, permitindo um rápido entendimento por parte do cliente do banco, também permite uma maior lucratividade por parte também do banco, já que leva em conta o desconto sobre o valor futuro do título. Por se tratar de uma operação financeira, pode ser necessário o cálculo no desconto de taxas a exemplo do IOF e taxas de serviço. Sistematizando temos :
IOF = FV * i’ * n onde i’ é o valor percentual do IOF
TS(Taxa de serviço) = FV * i’’, onde i’’ é a taxa cobrada pela instituição de crédito.
Estes valores são somados ao valor de desconto de forma que diminui ainda mais o crédito a ser recebido pela venda do título ao banco.
 
Exemplo 1 :
Uma nota promissória, com prazo de vencimento para daqui a 27 dias, possui um valor de resgate de R$ 10.000,00. Desejando antecipar o resgate a empresa remete-o à uma agência bancária que no momento está cobrando uma taxa de desconto de 2,5 % a. m. e recolhendo ao governo um IOF de 0,123% a.m. , calcule :
 
Desconto Comercial 
IOF deduzido do valor de resgate 
Valor Presente comercial líquido 
 
Solução : 
FV = R$10.000,00
n = 27 dias
i’ = 2,5% a.m.
i’’ = 0,123% a.m.
Temos
Dc = FV * i’ * n = 10.000 * 0,025/30 * 27 = R$ 225,00 
IOF = FV * i’’ * n = 10.000 * 0,00123/30 * 27 = R$ 11,07 
Valor líquido = PV = FV – Dc – IOF = 10.000 – 225 – 11,07 = R$ 9.763,93 
 
Exemplo 2 :
Uma duplicata com valor de face de R$ 42.700,00 foi descontada à taxa de 7% a. m., a 30 dias do seu vencimento. Qual foi o valor do desconto ? Qual o valor liberado para o cliente ?
 
Solução :
Valor do desconto 
Dc = FV * i’ * n = 42.700 * 0,07/30 * 30 = R$ 2.989,00 
Valor líquido 
 VL = FV – Dc = 42.700 – 2989 = R$ 39.711,00 
Obs .: Verifique a existência do valor ganho pelo instituição que realiza o desconto já que por meio de uma simples regra de três verificamos que o valor da taxa utilizada é de 7,53% se não vejamos.
 
Taxa Real = (42.700 / 39.711 – 1) * 100 = 7,53
 
Ou seja, como o desconto é feito por meio de um regime de capitalização simples, é totalmente válida a divisão entre FV e PV para se obter a taxa de desconto. O que acontece é que a instituição ganha exatamente por considerar como valor a ser descontado na data presente, um valor futuro, que atualizado daria um valor econsequentemente uma taxa menor. Isto é explicado no capítulo posterior.
 
 
 
 
2.4 – Taxa Nominal e Taxa efetiva de desconto.
 
Por taxa nominal de desconto entende-se a taxa a que a instituição financeira determina a que será descontada o título. O conceito de taxa nominal também é válido para o regime de capitalização composto como será visto posteriormente.
Como foi visto no exemplo do capítulo anterior a taxa que a instituição de crédito determina, não corresponde à taxa que o cliente efetivamente paga devido à caracterísitica do desconto ser feito em cima do valor futuro. No caso do exemplo do capítulo anterior nossa taxa nominal de desconto seria 7% a.m.
Por taxa efetiva de desconto entende-se a taxa que efetivamente se desconta do valor a receber por parte de quem está descontando o título. Veja que neste caso não entra apenas a característica de perda de valor pela forma de cálculo, e sim todas as taxas como IOF e taxa de manutenção da instituição, senão vejamos o exemplo abaixo :
 
Exemplo 1 :
Uma instituição financeira descontou uma Nota promissória com valor de face de R$ 21.240,00 para um prazo de 35 dias. Sabendo-se que a taxa de desconto foi de 9,42% a.m., calcular o desconto e o valor liberado ao cliente. Sabendo-se que o IOF está a 1,5% ao ano com ano base de 360 dias, e a taxa de manutenção do banco é de 0,2% do valor do título. Calcule então a taxa efetiva de desconto utilizada pela financeira.
 
Solução :
a) Valor descontado
Dc = FV * i’ * n = 21.240 * 0,0942/30 * 35 = R$ 2.334,28
IOF 
IOF = FV * i’’ * n (Onde i’’ é a taxa do IOF)  21.240 * 0,015/360 * 35 = R$ 30,98 
Taxa de manutenção 
Taxa = FV * i’’’ ( Onde i’’’ é a taxa de manutenção)  21.240 * 0,02 = R$ 42,48 
Valor líquido 
VL = FV – Dc – IOF – Taxa de Manutenção = 21.240 – 2334,28 – 30,98 – 42,48 = R$ 18.832,26 
Taxa efetiva 
 Tef = (21.240 / 18.832,26 – 1) * 100 = 12,79% é a taxa do período de 35 dias enquanto a taxa no período de 35 utilizada pelo banco é de i = 0,0942/30 * 35 = 10,99 % em 35 dias. 
2.5 – Método Hamburguês 
 
Este é o método utilizado pela maioria de bancos e instituições financeiras para corrigir os saldos devedores em contas correntes, através dos famosos "Cheques especiais". Este método utiliza a fórmula de juros simples para corrigir esse saldo devedor no período de apuração do banco. A fórmula genérica para descobrir este saldo é definida por :
 
Jt = i/30 * (  Sdevt. * dt)
 
O que a fórmula acima nos afirma é que o juros pago pelo cliente ao banco nada mais é do que a soma de todos os saldos devedores no período, multiplicado pelo número de dias que este saldo foi devedor, o resultado multiplicado pela taxa mensal fornecida pelo banco e dividida por dia para termos conhecimento do "prejuízo". Vejamos o exemplo abaixo :
 
Exemplo 1 :
O Banco do Povo S.A. cobra juros simples de 4,2% a.m. para seus clientes portadores de cheque especial. Determine o total pago de juros pelo cliente que possui os lançamentos como descrito abaixo no período de 1 à 30 do mês 3.
 
	MÊS
	HISTÖRICO
	VALOR
	SALDO(D/C)
	Nº DE DIAS
	02/03
	Saldo Ant.
	-
	80.000,00 – C
	-
	10/03
	Cheque
	90.000,00
	10.000,00 – D
	6
	16/03
	Cheque
	25.000,00
	35.000,00 – D
	2
	18/03
	Depósito
	40.000,00
	5.000,00 – C
	-
	23/03
	Déb. Automat.
	13.500,00
	8.500,00 – D
	7
	30/03
	Depósito
	60.000,00
	51.500,00 – C
	-
 
 
Solução :
 
Como nosso juros é calculado por Jt = i/30 * (  Sdevt. * dt) então ficamos com
J = 0,042 / 30 * ( 10.000 * 6 + 35.000 * 2 + 8.500 * 7) = R$ 265.30
 
 
Questões :
 
A que taxa devemos aplicar certo capital a juros simples para que ele dobre em 16 meses ? e para dobrar em 24 meses ? 
Resp. : 6,25% a.m. e 4,16% a. m. 
Qual o prazo de uma aplicação, à taxa de 5% a.m. para que o capital triplique ? 
Resp. : 40 meses 
Por quanto tempo devo aplicar R$ 2.500,00 à taxa de 7,5% a.m. para que obter um resgate de R$ 3.250,00 ? 
Resp. : 4 meses. 
Uma aplicação no valor de R$ 55.000,00 rendeu R$ 9.350,00 em 14 meses. Qual a taxa anual desta aplicação ? 
Resp. : 14,57% a..a. 
Qual o valor da duplicata descontada à taxa de 5,0% a.m., 45 dias antes do seu vencimento, proporcionando ao tomador o valor de R$ 7.800,00 
Resp. : R$ 8.432,43 
Qual o valor do desconto de um título de R$ 5.000,00 com vencimento para 70 dias, à uma taxa de 7,8% a.m. ? Qual a taxa efetiva da operação ? 
Resp. : R$ 326,67 e 6,99% 
Uma duplicata com valor de resgate igual a R$ 1.000.000,00 é resgatada três meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial é de 3,5% a.m., e que o IOF é de 0,123% a.m. determinar ? 
O Valor do desconto e IOF retidos  Dc = R$ 105.000,00; IOF = R$ 3.690,00 
O Valor atual comercial e o valor líquido liberado ?  PVc = R$ 895.000,00; VL = R$ 891.310,00 
A taxa efetiva de desconto  Tx Ef = 12,19% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Modelos de capitalização Composta
 �
3.1 – Montante
 
Considere um capital inicial C0 e que ele sofre incidência de juros com o passar do tempo, e que este mesmo juros é incorporado ao mesmo capital inicial do período subsequente. Temos um modelo semelhante ao logo abaixo :
 
Período 1 : M1 = C0 + C0 * i1 = C0 * (1 + i1)
Período 2 : M2 = M1 + M1 * i2 = M1 * (1 + i2) = C0 * (1 + i1)*(1 + i2)
 . 
.
Período n : Mn = C0 * (1 + i1) * (1 + i2) * (1 + i3).......... * (1 + in)
 
Introduzimos agora o conceito de produtório que é representado pelo símbolo  (Pi) e deixa nossa fórmula como a seguir :
 
M = C0 *  (1 + in+) ou ainda FV = PV * (1 + i)n
 
3.2 – Conceitos de PV e FV
 
Como já deduzimos nossa fórmula, sabemos que para obter o valor futuro num regime de capitalização composta é FV = PV * (1 + i)n , e para obtermos o valor presente basta fazermos PV = FV / (1 + i)n
Exemplo 1 :
Calcular os montantes e os respectivos juros compostos produzidos por R$ 100.000,00 aplicados pelos prazos e taxas abaixo :
12 meses – 2,5% a.m. 
1 mês – 0,25% ao dia 
1 ano e 3 meses – 1,5% a.t. 
 
FV = PV * (1 + i)n  100.000 * (1 + 0,025)12 = R$ 134.488,88 e R$ 34.488,88 
FV = PV * (1 + i)n  100.000 * (1 + 0,0025)30 = R$ 107.778,33 e R$ 7.778,33 
FV = PV * (1 + i)n  100.000 * (1 + 0,015) 5 = R$ 107.728,40 e R$ 7.728,40 
 
 
Exemplo 2 :
Um computador no valor de R$ 2.100,00 é financiado para pagamento em parcela única de R$ 2.224,17 ao final de 2 meses. Qual é a taxa de juros mensal cobrada ?
FV = PV * (1 + i)n  i = [(FV/PV) 1/n –1] * 100
i = [(2224,17/2100) ½ - 1]* 100 = 2,91% a.m.
 
 
3.3 – Taxas equivalentes
 
Como visto no caso da capitalização simples, na capitalização composta temos que duas taxas são equivalentes se aplicadas no mesmo capital inicial a um mesmo período de tempo derem o mesmo resultado. Observe :
MA = C*(1 + i)1
MB= C*(1 + im)m
Sendo MA = MB então  C*(1 + i)1 = C*(1 + im)m então i = (1 + im) m - 1
 
Exemplo 1:
Fornecida a taxa de 42% a.a., determinar taxas de juros compostos equivalentes relativas aos períodos seguintes :
Mensal 
Bimestral 
Trimestral 
 
Solução :
imensal = (1 + ianual+)1/12 = (1 + 0,42)1/12 = 2,96% a.m. 
ibimestral = (1 + ianual+)1/6 = (1 + 0,42)1/6 = 6,02% a.b. 
itrimestral = (1 + ianual+)1/4 = (1 + 0,42)1/4 = 9,16% a.t. 
 
 
3.4 – Taxa Nominal e Taxa efetiva
 
Também como já foi mencionado no capítulo ligado à juros simples, a taxa nominal de um certo rendimento, implica que o período de apuração do mesmo não bate com o período de capitalização do mesmo. O exemplo clássico de uma taxa nominal é o da taxa de juros "institucional", que têm como taxa 12% a.a. Esta taxa implica que a soma de todos os juros dos meses de uma ano equivalem a 12%, porém a verdadeira taxa é de 12,68% a.a. capitalizada anualmente. O que implica dizer que 1% a.m. é equivalenteà 12,68% a.a.
 
Para ficar mais claro veja as seguintes alternativas :
 
12% a.a. (Efetiva) 
12% a.a. com capitalização anual; (Efetiva) 
12% a.a. com capitalização mensal; (Nominal) 
 
Veja que as letras a e b significam a mesma coisa, enquanto a c nos traz o diferenciador anteriormente citado. Normalmente em contratos não temos a descrição da taxa com a exatidão mostrada nas letra b e c, e sim determinado em algum local do mesmo que a taxa é nominal ou efetiva, e aí sim utilizamos a nomenclatura vista na letra a.
 
Questões :
 
Calcular os montantes e os juros compostos produzidos por R$ 100.000,00 aplicados pelos prazos e taxas abaixo : 
12 meses – 2% a.m.  FV = R$ 126.824,18; J = R$ 26.824,18 
2 anos – 3,5% a.t.  FV = R$ 131.680,90; J = R$ 31.680,90 
1 Mês – 0,5% ao dia  FV = R$ 116.140,01; J = R$ 16.140,01 
1 ano e 8 meses – 1,5% a.b.  FV = R$ 116.054,08; J = R$ 16.054,08 
5 anos – 8% a.s.  FV = R$ 215.892,50; J = R$ 115.892,50 
 
Que taxa trimestral fará um capital de R$ 100.000,00 se transformar em R$ 150.000,00 em 9 meses ? 
Resp. : 14,4712% a.t. 
Quanto se deve depositar na data atual para ter acumulados R$ 500.000,00 ao fim de 2 anos e 6 meses, quando se sabe que no mercado há uma taxa de juros corrente de 10% a.t. ? 
Resp. : PV = R$ 192.771,64 
A que taxa devemos aplicar certo capital para que ele dobre em 16 meses ? e para dobrar em 24 meses ? 
Resp. : 4,43% a.m. e 2,93% a.m. 
Qual o prazo de uma aplicação, à taxa de 5% am, para que o capital triplique ? 
Resp. : 676 dias ou 22,5 meses 
Quanto tempo deve permanecer aplicada a quantia de R$ 670,00, à taxa de 0,5% am, para obter um resgate de R$ 751,44 ? 
Resp. :23 meses 
Quanto devo colocar hoje na poupança, se quiser resgatar R$ 1.200,00 daqui a 6 meses ? neste valor ainda não está incorporado o valor devido à variação da TR no período. 
 Resp.: R$ 1.164,62 
�
4. Sistemas de amortização
 
 4.1 – Tabela SAC. 
Esta tabela retornou recentemente ao nosso dia a dia com a volta da estabilidade por meio de financiamentos de veículos, nos quais as prestações do financiamento são decrescentes com o tempo. Podemos afirmar que independente do modo como é reajustada prestação, à uma mesma taxa o valor final pago é o mesmo, portanto demonstrando que o fato das prestações serem decrescentes só serve como ferramenta de marketing e não como real vantagem financeira, nem pelo lado do tomador nem pelo lado do financiador.
O nome SAC vêm de Sistema de Amortização Constante, ou seja cada parcela do financiamento amortiza uma parcela constante do valor do financiamento, mais uma parcela referente ao juros do último período transcorrido do financiamento.
O valor da amortização é dado pela seguinte expressão :
 
A = PV / n
 
Já o saldo devedor é o valor futuro dos capital inicial, subtraído da(s) parcela(s) já amortizadas ficando a seguinte expressão :
 
SD1 = SD0 – A = VF – A (Onde A é a parcela de amortização)
 
Levando para uma parcela qualquer nossa expressão fica :
 
SDt = SDt-1 – A = VF – t * A
 
Vejamos um exemplo prático, se financiamos um automóvel de 10.000 em 20 parcelas, nossa parcela constante de amortização é de 500, já que A = 10000 / 20 , para calcular o restante da parcel falta acrescentar apenas os juros que no caso de ser 1% am, teríamos um juros de 200, já que em um período um juros de 1% num capital de 20.000 dá como resultado 200. Então nossa primeira parcela têm um valor 700. Já a segunda parcela teria o valor de 500, mais o valor de 19.500 corrigido à 1%, que daria 195, ficando a segunda parcela ao custo de 695, veja que a prestação começou a cair. Este conceito ficará claro no exemplo da tabela abaixo, onde vamos montar a tabela SAC de um financiamento de um automóvel no valor R$ 32.000,00, em 10 meses à uma taxa de 1,25%am :
 
	Mês
	Prestação
	Amortização
	Juros
	Saldo Devedor
	1
	R$ 3.600,00
	R$ 3.200,00
	R$ 400,00
	R$28.800,00
	2
	R$ 3.560,00
	R$ 3.200,00
	R$360,00
	R$25.600,00
	3
	R$ 3.520,00
	R$ 3.200,00
	R$320,00
	R$22.400,00
	4
	R$ 3.480,00
	R$ 3.200,00
	R$280,00
	R$19.200,00
	5
	R$ 3.440,00
	R$ 3.200,00
	R$240,00
	R$16.000,00
	6
	R$ 3.400,00
	R$ 3.200,00
	R$200,00
	R$12.800,00
	7
	R$ 3.360,00
	R$ 3.200,00
	R$160,00
	R$9.600,00
	8
	R$ 3.320,00
	R$ 3.200,00
	R$120,00
	R$6.400,00
	9
	R$ 3.280,00
	R$ 3.200,00
	R$80,00
	R$3.200,00
	10
	R$ 3.240,00
	R$ 3.200,00
	R$40,00
	R$0,00
 
 
No gráfico seguinte vemos como se portam as parcelas o valor amortizado e os juros num financiamento feito pelo sistema SAC.
 
Pt 
 
 
 
�
 
 
Juros
 
�
�
�
Amortizado
 
1 n t
 
4.1 – Tabela Price.
 
Também conhecida como sistema francês de amortização, na realidade os dois são diferentes, o primeiro usa uma taxa nominal ano, enquanto o segundo usa uma taxa efetiva, que é o caso usado normalmente no Brasil, porém continuaremos usando o nome Tabela Price por ter sido difundido assim no nosso país.
Este tipo de amortização têm como característica principal a constância de suas parcelas, ou seja as prestações não variam com o tempo. No gráfico abaixo vemos como se comporta uma prestação paga no tempo conforme o sistema de amortização pela tabela price.
Pt 
 
 
 
 
�
 
Amortizado
 
 
Juros 
�
1 n t
 
Vemos que a parcela permanece constante ao longo do financiamento, o que não acontece com a SAC, agora variam numa razão inversa o amortizado e o valor pago com juros, justamente para manter a parcela constante, já na SAC o amortizado é constante.
A demonstração da fórmula para cálculo de uma prestação no sistema PRICE sai um pouco do escopo deste curso, além do que mesmo sabendo a fórmula na prática não é utilizada devido à sua complexidade, sendo calculada direta por calculadoras financeira, de qualquer forma vamos apresentar a fórmula de cálculo de uma parcela no sistema price abaixo :
 
PMT = PV * [(1 + i) n * i] / [(1 + i) n - 1]
Vamos calcular quanto sairá a prestação do exemplo anterior no sistema price :
 
Exemplo 1:
 
PV = R$ 32.000,00
i = 1,25% am
PMT = PV * [(1 + i) n * i] / [(1 + i) n - 1]
 
PMT = 32.000 * [(1 + 0,0125)10 * 0,0125] / [(1 + 0,0125) 10 – 1 = R$ 3.424,10
Abaixo vamos montar uma tabela semelhante ao já montado no sistema SAC :
 
 
	Mês
	Prestação
	Amortização
	Juros
	Saldo Devedor
	1
	R$ 3.424,10
	R$ 3.024,10
	R$ 400,00
	R$28.975,90
	2
	R$ 3.424,10
	R$ 3.061,90
	R$362,20
	R$25.914,00
	3
	R$ 3.424,10
	R$ 3.100,17
	R$323,93
	R$22.813,83
	4
	R$ 3.424,10
	R$ 3.138,93
	R$285,17
	R$19.674,90
	5
	R$ 3.424,10
	R$ 3.178,16
	R$245,94
	R$16.496,74
	6
	R$ 3.424,10
	R$ 3.217,89
	R$206,21
	R$13.278,85
	7
	R$ 3.424,10
	R$ 3.258,11
	R$165,99
	R$10.020,74
	8
	R$ 3.424,10
	R$ 3.298,84
	R$125,26
	R$6.721,90
	9
	R$ 3.424,10
	R$ 3.340,07
	R$84,02
	R$3.381,83
	10
	R$ 3.424,10
	R$ 3.381,83
	R$42,27
	R$0,00
 
Como já foi frisado anteriormente, independente de qual o sistema de amortização usado, o valor total pago pelo financiamento é o mesmo, o que pode ser utilizado é a noção que pagando mais agora como no SAC(R$ 3.600,00) em comparação com o PRICE (R$ 3.424,10), pode ser melhor já que no futuro quem optou por um financiamento SAC pagará R$ 3.240,00, enquanto no PRICE a parcela continuará constante.
 
Questões :
 
Um empréstimo de R$ 100.000,00 foi concedido a uma empresa à uma taxa de juros de 5% ao bimestre, pelo período de 2 anos. Calcular as planilhas no sistema SAC e PRICE. 
Um financiamento de R$ 120.000,00 é solicitado pelo SAC para ser amortizado durante 18 meses, sendo os 13 primeiros meses de carência, à taxa de 168% aa nominal. Sabendo-se que as prestações são mensais e que no período de carência são pagos juros determinar a tabela de pagamentos. 
Admitira mesma questão anterior para a tabela PRICE. 
 
5. Índices Financeiros.
 �
5.1 – Formação de um índice de Preço
 
Até o momento não levamos em conta a existência de inflação para nosso lançamentos financeiros. Mas no dia a dia a inflação é um item que têm muito peso principalmente em relações financeiras de longo prazo.
Um índice de preço é formado justamente para nos fornecer o parâmetro para que possa ser corrigida distorções provocadas pela inflação no preço de bens e serviços.
Índices de preços não passam de médias estatísticas ponderadas, ou sejam definem-se cestas de mercadorias, atribuímos pesos que indicam a importância de determinada mercadoria em nossa cesta, e então verifica-se o valor de mercado da referida mercadoria para termos o valor de nosso índice. Note que ao contrário do que muitos pensam, um índice é dado por um valor monetário, e não em forma percentual, ao dividirmos estes valores por uma data base é que então temos nossos índices no formato percentual. Vamos exemplificar nosso caso :
 
Digamos que na data DT0 temos p1*q1 + p2*q2 que são as quantidades e preços dos produtos 1 e 2, bem como em DT1 temos p1*q1 + p2*q2. Digamos que as quantidades ou pesos de q1 seja 5 e q2 seja 6 unidades. O valor de p1 variou de $8 para $10, já o p2 variou de 9 para 12, montando nossas equações temos :
 
DT0 = 8 * 5 + 10 * 6 = $100
DT1 = 9 * 5 + 12 * 6 = $117
 
Então nosso índice de preços fica IP = DT1 / DT0 = 117 / 100 = 1,17, o que indica que a inflação entre os períodos 0 e 1 foi de 17%.
Cada índice têm sua própria metodologia e setor específico de atuação como podemos ver abaixo :
 
IPA = Índice de preços no Atacado
ICV = Índice de custo de vida, cidade do Rio de Janeiro
INCC = índice Nacional da Construção Civil.
 
Com estes três índices a fundação Getúlio Vargas calcula um novo índice, ou seja ele considera cada índice como um produto monta uma cesta de mercadorias e têm como resultado o IGP-DI, que significa o índice geral de preços disponibilidade internma. Os pesos atribuídos à cada índice seguem como mostrado abaixo :
 
IGP-DI = (6 * IPA + 3 * ICV + 1 * INCC) / 10
 
Existem outros índices como os relacionados abaixo :
 
IPC = Índice de preços ao consumidor
INPC = Índice Nacional de preços ao consumidor
IGP-M = índice Geral de preços de mercado
 
 
5.2 – Correção Monetária
 
A sistemática de correção monetária segue exatamente a mesma sistemática dos juros compostos ou seja 
n 
C1 = C0 + C0 * (   t )
t = 1
Onde  representa a variação do índice de preço ao qual nós estamos utilizando, ou seja todos a correção monetária segue tudo o que já foi visto com o modelo de capitalização composta. Vejamos o exemplo abaixo :
 
Exemplo 1 :
Um amigo seu lhe pediu um empréstimo no valor de R$ 5.000,00 durante um mês, na hora de pagar, você como bom amigo, lhe disse que só seria necessário corrigir a inflação, que no mês foi de 0,9%, quanto seu amigo lhe pagou ?
 
Solução :
FV = PV * (1 + i)n  5.000 * (1 + 0,009)1 = R$ 5.045,00
 
 
5.3 – Taxa Real.
 
Por taxa real entedemos a taxa que está expurgada a inflação do período à que a taxa se refere. Por exemplo um financiamento que possui uma taxa de 4%, num período em que inflação foi 1,5% vai possuir a seguinte taxa real 
Treal = {[(1 + i/100) / (1 + j/100)] –1} * 100
Treal = {[(1 + 4/100) / (1 + 1,5/100)] –1} * 100 = 2,46%
Ou seja a taxa de ganho real da instituição que financia o crédito foi de 2,46%.
 
 
Exemplo 1 :
 
Um investidor aplica em um CDB de 60 dias a uma taxa de 1,7% am. Qual foi seu ganho real de a TR variou 3% no período.
 
Solução :
 
Notar que os períodos de capitalização estão diferentes, temos que normalizar, ou trazendo a taxa da CDB de mensal para bimenstral, ou trazendo a TR de bimestral para mensal, vamos fazer os dois métodos :
 
Treal = {[(1 + i/100) / (1 + j/100)] –1} * 100
 
Treal(mês) = {[(1 + 1,7/100) / (1 + 3/100)1/2] –1} * 100 = 0,2080% am
 
Treal(bim) = {[(1 + 1,7/100)2 / (1 + 3/100)] –1} * 100 = 0,4164% ab
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Estudo de casos de mercado.
 �
6.1 – Tabelas Financeiras para financiamento de veículos.
 
Nas concessionárias vemos muito o uso de multiplicadores para descobrir o valor da parcela de um automóvel, ou seja, multiplica-se o valor a ser financiado por um valor capturado na tabela e automaticamente têm-se o valor da parcela, mas como é calculado esse multiplicador. Digamos que temos um financiamento de R$8.000,00 em 36 meses à uma taxa de 3,8% am. Pela tabela PRICE nossa prestação fica :
 
PMT = 8.000 * [(1 + 0,039)36 * 0,039] / [(1 + 0,039) 36 – 1 = R$ 417,25
 
Agora, o que acontece se dividirmos a nossa prestação pelo valor total financiado ? Vamos ter a variação percentual que nossa prestação possui em relação ao total financiado se não vejamos :
m = 417,25 / 8000 = 0,0522, ou seja multiplicamos o valor que desejamos financiar por este número para dar o valor da parcela. Note que isto acontece independente do valor financiado, o que deve ser levado em conta apenas é o número de parcelas e a taxa, se não vejamos. Vamos fazer um financiamento com as mesmas condições anteriores, só alterando o valor inicial do financiamento, vamos colocar agora apenas R$ 100,00 então ficamos :
 
PMT = 100 * [(1 + 0,039)36 * 0,039] / [(1 + 0,039) 36 – 1 = R$ 5,22
 
Agora para encontrarmos nosso multiplicador basta dividirmos m = 5,22 / 100 = 0,0522 ou seja o mesmo valor encontrado anteriormente.
 
Exercício :
 
Ache os multiplicadores para financiamentos de 36 meses com taxas de 3% am e de 4 % am.
Ache os multiplicadores para financiamentos de 24 meses com taxas de 3% am e de 4 % am.
 
 
 
 
 
6.2 – Descoberta da taxa de juros implícita numa venda parcelada.
 
Você vai à uma loja de informática à procura de um impressora, acha o modelo que deseja por R$ 420,00 à vista. A vendedora lhe diz que em duas vezes (1 + 1), o juros é de apenas 5%, ficando as parcelas no valor de R$ 220,50, ela está correta ?
 
Primeiramente vamos montar o fluxo de caixa :
 
R$ 420,00 
 
�
�
�
-R$ 220,50
 
 
O gráfico nos deixa bem claro que o valor líquido a ser financiado é de R$ 199,50, já que estamos pagando a primeira parcela à vista. Então nosso cálculo fica :
 
i = [(FV/PV) 1/n –1] * 100
 
i = [(220,50/199,50) 1 - 1]* 100 = 10,52% a.m.
 
Ou seja nossa taxa é mais do que o dobro da taxa informada por nossa vendedora.
 
 
 
 
 
6.3 – Descoberta da taxa de juros implícita num financiamento.
 
A compra de imóveis com financiamento direto no construtor têm se tornado a grande opção para a aquisição de moradia no Brasil. Porém como os cálculos envolvem quantias relativamente altas e prazos longos, geralmente os consumidores saem lesados por desconhecer a taxa de juros intera ao financiamento. Neste tópico vamos nos utilizar de uma função da HP, que é a IRR(Internal Rate of Return) ou taxa interna de retorno. Vamos ao exemplo.
Vamos comprar um apartamento nas seguintes condições R$ 40.000,00 de sinal, , 3 pagamentos semestrais de R$ 10.000,00 vencendo o primeiro com 90 dias, e 10 pagamentos mensais de R$ 3.000,00, vencendo o primeiro em 30 dias. Sendo o valor à vista deste imóvel R$ 90.000,00 calcular a taxa de financiamento.
Bem vamos começar pelo ponto que foi bem frisado no começo do curso, que é a criação do fluxo de caixa para que possamos visualizar os lançamentos :
 
Valor do Apartamento
 
 
 
 
 
 
 
 
Sinal Intercaladas
�
 
 
 
 
 
 
 
 
Veja que o valor líquido financiado foi de R$ 50.000,00, já que estamos pagando R$ 40.000,00 à vista. Então nosso PV é R$ 50.000,00. Então digitamos a seguinte sequência de teclas na HP :f
	CLX
	 
	 
	Limpa Memória
	50000
	CHS
	g
	PV
	Lança Valor Líquido
	3000
	g
	PMT
	 
	Primeira Parcela
	2
	g
	FV
	 
	Número de repetições
	13000
	g
	PMT
	 
	Valor da parcela + Intercalada
	3000
	g
	PMT
	 
	Quarta Parcela
	2
	g
	FV
	 
	Número de repetições
	13000
	g
	PMT
	 
	Valor da parcela + Intercalada
	3000
	g
	PMT
	 
	Sétima Parcela
	2
	g
	FV
	 
	Número de repetições
	13000
	g
	PMT
	 
	Valor da parcela + Intercalada
	3000
	g
	PMT
	 
	Décima Parcela
	f
	FV
	 
	3,28
	IRR – Taxa interna de retorno ou a taxa do financiamento
	 
	 
	 
	 
	 
 
A forma como é calculada a taxa interna de retorno é por interpolação linear, ou seja por tentativa e erro, por este motivo a máquina demora até 25 segundos para efetuar o cálculo.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Bibliografia
 �
FARO, Clóvis de. Elementos de engenharia econômica. 3.ed. rev. e ampl. São 
Paulo : Atlas, 1979.
 
FERREIRA, Roberto Gomes. Matemática financeira aplicada ao mercado de capitais. 
4. ed. Recife : Ed. Universitária de U.F.PE., 1995.
 
CASAROTTO FILHO, Nelson, KOPTIKE, Bruno Hartmut. Análise de Investimentos. 8. 
ed. São Paulo : Atlas, 1998.
 
SOBRINHO, José Dutra Vieira. Matemática financeira. 6. ed. São Paulo : Atlas, 1997.
 
Gomes, Reinaldo da Costa. Manual Prático de cálculos financeiros. São Paulo : MACDATA