Derivadas Lista 05

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Lista de exercícios – Derivadas – Extremos locais e globais, funções crescentes e decrescentes, 
esboço de gráfico 
1- Encontre os extremos locais das funções abaixo, determine os valores máximos e mínimos 
absolutos da função e onde a função os assume. Para resolver os itens abaixo, encontre os 
pontos críticos e verifique o resultado da função nesses pontos e nas extremidades. 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 −2 ≤ 𝑥 ≤ 1 
b) 𝑓(𝜃) = sen(𝜃) ⋅ cos⁡(𝜃) 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋/2⁡ dica: sen2(𝜃) = 1 − cos2(𝜃) 
c) 𝑓(𝑡) = 𝑡 + 1/𝑡 0,2 ≤ 𝑡 ≤ 2 
d) 𝑔(𝑥) = √4 − 𝑥2 −2 ≤ 𝑥 ≤ 1 
e) 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥
2+𝑥 −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 
f) 𝑓(𝑥) = 𝑥2/3 + (𝑥 − 1)2/3 −1 ≤ 𝑥 ≤ 2 
2- Encontre os máximos e mínimos locais das funções do item 1, agora usando o teste da 
primeira derivada. Indique os intervalos em que a função é crescente ou decrescente. 
3- Encontre os máximos e mínimos locais interiores (ou seja, desconsidere as extremidades) e 
os pontos de inflexão das funções do item 1, agora usando o teste da segunda derivada. Indique 
a concavidade de cada intervalo. 
4- Faça um esboço dos gráficos das funções do item 1. 
 
 
 
Gabarito: 
1- 
a) 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥 
P(-2, -4) – Mínimo absoluto. 
P(-2/3, 4/27) – Máximo local. 
P(0, 0) – Mínimo local. 
P(1, 2) – Máximo absoluto. 
b) 𝑓′(𝜃) = cos2(𝜃) − sen2(𝜃) = 
2 ⋅ cos2(𝜃) − 1⁡ 
P(0, 0) – Mínimo absoluto. 
P(π/4, 0,5) – Máximo absoluto. 
P(π/2, 0) – Mínimo absoluto. 
c) 𝑓′(𝑡) = 1 − 𝑡−2 
P(0,2, 5,2) – Máximo global. 
P(1, 2) – Mínimo global. 
P(2, 2,5) – Máximo local. 
d) 𝑔′(𝑥) = −
𝑥
√4−𝑥2
 
P(-2, 0) – Mínimo absoluto. 
P(0, 2) – Máximo absoluto. 
P(1, √3) – Mínimo local. 
e) 𝑓′(𝑥) = (−2𝑥 + 1)𝑒−𝑥
2+𝑥 
P(-1, e-2) – Mínimo absoluto. 
P(1/2, e1/4) – Máximo absoluto. 
P(1, 1) – Mínimo local. 
f) 𝑓′(𝑥) =
2
3
[𝑥−1/3 + (𝑥 − 1)−1/3] 
P(-1, 1+√4
3
) – Máximo absoluto. 
P(0, 1) – Mínimo absoluto. 
P(1/2, 2 ⋅ √1/4
3 ) – Mínimo local. 
P(1, 1) – Mínimo absoluto. 
P(2, 1+√4
3
) – Mínimo absoluto. 
2- 
a) -2 ≤ x ≤ -2/3: crescente. 
-2/3 ≤ x ≤ 0: decrescente. 
0 ≤ x ≤ 1: crescente. 
Máximos locais: x = 2/3, 1. 
Mínimos locais: x = -2, 0. 
b) 0 ≤ θ ≤ π/4: crescente. 
π/4 ≤ θ ≤ π/2: decrescente 
Máximos locais: x = π/4. 
Mínimos locais: x = 0, π/2. 
c) 0,2 ≤ t ≤ 1 – decrescente. 
1 ≤ t ≤ 2 – crescente. 
Máximos locais: x = 0,2, 2. 
Mínimos locais: x = 1. 
d) -2 ≤ x ≤ 0: crescente. 
0 ≤ x ≤ 1: decrescente. 
Máximos locais: x = 0. 
Mínimos locais: x = -2, 1. 
e) -1 ≤ x ≤ 1/2: crescente. 
1/2 ≤ x ≤ 1: decrescente. 
Máximos locais: x = 1/2. 
Mínimos locais: x = -1, 1. 
f) -1 ≤ x ≤ 0: decrescente. 
0 ≤ x ≤ 1/2: crescente. 
1/2 ≤ x ≤ 1: decrescente. 
1 ≤ x ≤ 2: crescente. 
 
3- 
Obs: máximos e mínimos iguais aos 
obtidos nas questões 1 e 2, portanto não 
serão repetidos aqui. 
a) 𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 + 2 
-2 ≤ x ≤ 1/3: cônc. p/ baixo. 
1/3 ≤ x ≤ 1: cônc. p/ cima. 
b) 𝑓′′(𝜃) = −4 cos(𝜃) sen(𝜃) 
0 ≤ θ ≤ π/2: conc. p/ baixo. 
c) 𝑓′′(𝑡) = 2𝑡−3 
0,2 ≤ t ≤ 2: cônc. p/ cima. 
d) −
4
(4−𝑥2)√4−𝑥2
= −4(4 − 𝑥2)−3/2 
-2 ≤ x ≤ 1: cônc. p/ baixo. 
e) 𝑓′′(𝑥) = (4𝑥2 − 4𝑥 − 1)𝑒−𝑥
2+𝑥 
-1 ≤ x ≤ 
1−√2
2
: conc. p/ cima. 
 
1−√2
2
 ≤ x ≤ 1: conc. p/ baixo. 
Obs: a função muda novamente de 
concavidade em 
1+√2
2
, mas esse 
ponto está fora do domínio definido 
no item 1. 
f) 𝑓′′(𝑥) = −
2
9
[𝑥−4/3 + (𝑥 − 1)−4/3] 
-1 ≤ x ≤ 2: cônc. p/ baixo. 
 
 
4- 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
e) 
 
 
f)