Integrais Lista 02

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Lista de exercícios – Integrais – Lista 02 
1- (Integrais definidas) – Calcule as integrais definidas abaixo: 
a) ∫ (𝑥2 + 𝑥 + 1)𝑑𝑥
1
0
 
b) ∫ sen(𝑥)𝑑𝑥
𝜋
0
 
c) ∫ sen(𝑥)𝑑𝑥
𝜋/2
−𝜋/2
 
d) ∫
1
𝑥
𝑒
1
𝑑𝑥 
e) ∫ (sen2𝑥 + cos2 𝑥)𝑑𝑥
𝜋
0
 
f) ∫ (sen2𝑥 + cos2 𝑥)𝑑𝑥
0
𝜋
 
g) ∫
1
√1−𝑥2
𝑑𝑥
1/2 
0
 
h) ∫ 𝑒2𝑥𝑑𝑥
ln2
0
 
i) ∫
4
1+𝑥2
𝑑𝑥
0
−1
 
j) ∫ |𝑠𝑒𝑛(𝑥/2)|𝑑𝑥
𝜋
−𝜋 
 
k) ∫ |𝑥 − 1|𝑑𝑥
3
0
 
l) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
ln2
−1
, 𝑓(𝑥) = {
𝑥 + 1 𝑥 ≤ 0
𝑒−𝑥 𝑥 > 0
 
m) ∫ 𝑥3𝑒cos 𝑥
2
ln(𝑥4 + 3𝑥) 𝑑𝑥
4
2
+ ∫ 𝑥3𝑒cos 𝑥
2
ln(𝑥4 + 3𝑥) 𝑑𝑥
2
4
 
n) ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
3
0
, g(x) definido abaixo no gráfico. 
 
2- (Regra da substituição, completando o quadrado, reduzindo uma fração imprópria, 
separando uma fração) – Calcule as integrais abaixo: 
a) ∫ sen(𝑥) cos(𝑥) 𝑑𝑥 
b) ∫ tg(𝑥)𝑑𝑥 
c) ∫
1
𝑥+3
𝑑𝑥 
d) ∫
1
2𝑥+5
𝑑𝑥 
e) ∫
4𝑥
𝑥2+1
𝑑𝑥 
f) ∫
4𝑥+7
𝑥2+1
𝑑𝑥 
g) ∫ √𝑥2 + 2𝑥 + 3 ⋅ (2𝑥 + 2)𝑑𝑥 
h) ∫ √𝑥2 + 2𝑥 + 3 ⋅ (𝑥 + 1)𝑑𝑥 
i) ∫
cos(𝑙𝑛 𝑥)
𝑥
 𝑑𝑥 
j) ∫ 𝑒sen(tg 𝑥) sec2 𝑥 cos(tg 𝑥) 𝑑𝑥 
k) ∫
𝑒𝑥
cos2(𝑒𝑥)
𝑑𝑥 
l) ∫
3𝑒𝑥+4 cos(𝑒𝑥) sen(𝑒𝑥)𝑒𝑥
cos2(𝑒𝑥)
𝑑𝑥 
m) ∫
1
𝑥2+2𝑥+5
𝑑𝑥 
n) ∫
1
√−𝑥2−6𝑥
𝑑𝑥 
o) ∫
𝑥
𝑥+3
𝑑𝑥 
p) ∫
𝑥2+𝑥+1
𝑥−1
𝑑𝑥 
 
 
Gabarito: 
1- 
a) 
1
3
+
1
2
+ 1 =
11
6
 
b) −(cos(𝜋) − cos(0)) = 2 
c) 0 (integrando é função ímpar e o intervalo de integração simétrico em relação a zero) 
d) ln(𝑒) − ln(1) = 1 − 0 = 1 
e) ∫ 1𝑑𝑥
𝜋
0
= 𝜋 
f) −𝜋 
g) arcsen(1/2) − arcsen(0) = 𝜋/6 − 0 = 𝜋/6 
h) 
1
2
(𝑒2ln(2) − 𝑒0 ) =
1
2
(𝑒ln(4) − 1 ) = 3/2 
i) 4(arctg(0) − arctg(−1)) = 𝜋 
j) ∫ [−𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
2
)] 𝑑𝑥
0
−𝜋 
+ ∫ 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
2
) 𝑑𝑥
𝜋
0 
= 4 
k) ∫ [−(𝑥 − 1)]𝑑𝑥
1
0
+ ∫ (𝑥 − 1)𝑑𝑥
3
1
= 5/2 
l) ∫ (𝑥 + 1)𝑑𝑥
0
−1
+ ∫ 𝑒−𝑥𝑑𝑥
𝑙𝑛2
0
=
1
2
+
1
2
= 1 
m) ∫ 𝑥3𝑒cos 𝑥
2
ln(𝑥4 + 3𝑥) 𝑑𝑥
2
2
= 0 (limites de integração iguais) 
n) 1/2 + 2 = 5/2 (área sob o gráfico). Obs: gráfico ilustra item k. 
 
2- 
a) 
1
2
sen2(𝑥) + 𝐶 = −
1
2
cos2 𝑥 + 𝐶 
b) ∫
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑑𝑥 = − ln|cos 𝑥| + 𝐶 
c) ln|𝑥 + 3| + 𝐶 
d) 
1
2
ln|2𝑥 + 5| + 𝐶 
e) 2 ln(𝑥2 + 1) + 𝐶 
f) 2 ln(𝑥2 + 1) + 7 arctg 𝑥 + 𝐶 
g) 
2
3
(𝑥2 + 2𝑥 + 3)
3
2 + 𝐶 
h) 
1
3
(𝑥2 + 2𝑥 + 3)
3
2 + 𝐶 
i) −sen (ln 𝑥) + 𝐶 
j) 𝑒𝑠𝑒𝑛(tg 𝑥) + 𝐶 
k) ∫ sec2(𝑒𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥 = tg(𝑒𝑥) + 𝐶 
l) 3∫ sec2(𝑒𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥 − 2 ∫ −
2 cos(𝑒𝑥)sen(𝑒𝑥)𝑒𝑥
cos2(𝑒𝑥)
= 3 tg(𝑒𝑥) − 2 ln|cos2(𝑒𝑥)| + 𝐶 =
3 tg(𝑒𝑥) − 4 ln|cos(𝑒𝑥)| + 𝐶 
m) 
1
2
arctg (
𝑥+1
2
) + 𝐶 
n) 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
𝑥+3
3
) + 𝐶 
o) ∫
𝑥+3
𝑥+3
𝑑𝑥 − 3 ∫
1
𝑥+3
𝑑𝑥 = 𝑥 − 3 ln|𝑥 + 3| + 𝐶 
p) ∫ (𝑥 + 2 +
3
𝑥−1
) 𝑑𝑥 =
1
2
𝑥2 + 2𝑥 + 3 ln|𝑥 + 3| + 𝐶