2013 1 P2

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(0,25) 
(0,25) 
A nota máxima para a 
questão é 2,50 
UnB - CÁLCULO I 
 
 
 
 
PROVA 02 
 
Aluno: GABARITO 
 
 
Questão 01 (2,5 pontos): Faça um esboço completo do gráfico da seguinte função: f (x) = e−x3 . 
 𝐷𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜:  ℝ lim!→!! 𝑓(𝑥) = +∞ lim!→!! 𝑓(𝑥) = 0 
 
Pontos Críticos: 
a) 1ª ordem: 
 𝑦′ = −3𝑥!𝑒!!! −3𝑥!𝑒!!! = 0 𝑥! = 0 → 𝑥 = 0 
 
b) 2ª ordem: 
 𝑦!! = −6𝑥𝑒!!! − 3𝑥!𝑒!!! −3𝑥! = = 3𝑥 3𝑥! − 2  𝑒!!! → 𝑥 = 0  𝑒  3𝑥! − 2 = 0   → 𝑥 = 2/3! 
 
Estudo de Sinais: 
 
 
y`	
   -­‐	
   -­‐	
   -­‐	
  
y``	
   +	
   -­‐	
   +	
  
 
Pontos: 𝑥 = 0 → 𝑦 = 𝑒! = 1 
 𝑥 = 2/3! → 𝑦 = 𝑒!!/! 
 
 
 
 
 
 
 
 
DATA 
28/06/2013 
x = 0 𝑥 = !2/3! 
(0,25) 
(0,25) 
(0,50) 
(0,25) 
(0,50) 
Qualquer prova: (0,50) 
(0,25) 
Questão 02 (2,5 pontos): OTIMIZAÇÃO DA PIZZA DO AMOR 
Autores: Lucas Brandão Guimarães e Rafael Freitas 
 
Um	
   casal	
   bastante	
   desanimado,	
   em	
   pleno	
   dia	
   dos	
   namorados,	
  
resolveu	
  ligar	
  na	
  tele-­‐entrega	
  de	
  uma	
  pizzaria	
  afrodisíaca,	
  para	
  ver	
  
se	
   esquentava	
   a	
   relação.	
   Durante	
   a	
   ligação,	
   foi	
   pedida	
   a	
   pizza	
  
principal:	
   “La	
   Viagrita”,	
   também	
   conhecida	
   como	
   pizza	
   do	
   amor	
  
(figura	
   1).	
   Porém,	
   o	
   atendente	
   alertou	
   que	
   havia	
   apenas	
   40	
   cm	
  
para	
   fazer	
   as	
   laterais	
   aromáticas	
   da	
   caixa	
   de	
   entrega,	
   que	
   são	
  
exclusivas	
   para	
   aquele	
   certo	
   tipo	
   de	
   pizza,	
  mas	
  mesmo	
   assim,	
   o	
  
casal	
   manteve	
   o	
   pedido.	
   O	
   que	
   eles	
   não	
   sabiam	
   era	
   que,	
   por	
  
engano,	
  tinham	
  ligado	
  para	
  uma	
  drogaria	
  e	
  não	
  para	
  uma	
  pizzaria.	
  
Calcule	
  a	
  área	
  máxima	
  que	
  a	
  pizza	
  poderá	
  atingir	
  dentro	
  da	
  caixa	
  
de	
  entrega	
  de	
  base	
  retangular	
  (A),	
  sabendo	
  que	
  seu	
  formato	
  é	
  um	
  
coração	
  formado	
  por	
  um	
  triângulo	
  (B)	
  e	
  dois	
  semicírculos	
  iguais	
  (C)	
  
e	
  (D).	
  
	
  
FIGURA	
  1	
  Pizza	
  do	
  amor.	
  
 
 
 𝐴 =  𝜋𝑟! + 2ℎ𝑟 10𝑟 + 2ℎ = 40   → ℎ = 20− 5𝑟 𝐴 =  𝜋𝑟! + 2 20− 5𝑟 𝑟 𝐴 =  𝜋𝑟! − 10𝑟! + 40𝑟 
 !"!" = 2𝜋𝑟 − 20𝑟 + 40 = 0 → 𝑟 = !"!"!! 
 
Prova de ponto de máximo global. 
Nas palavras dos próprios autores: 
 
Agora basta avaliar se o ponto crítico representa um ponto de máximo global. Para isso, poderíamos analisar 
os valores de (r) nos extremos do intervalo de variação de 𝐴𝑐, fazer um estudo do sinal da primeira derivada 
(C’) nessa mesma faixa ou então fazer o estudo da segunda derivada (C’’). Optamos pelo estudo do sinal da 
segunda derivada no ponto crítico: 𝑑!𝐴𝑐𝑑𝑟! = (40𝑟 −  10𝑟! + 𝜋𝑟!) → 𝒅𝟐𝑨𝒄𝒅𝒓𝟐 = −𝟐𝟎+ 𝟐𝝅   
Note que Ac’’é negativo para qualquer valor de 𝑟. Sendo assim, o ponto crítico representa um ponto 
de máximo global. E a área máxima é: 𝐴 = 40 !"!"!! − 10 !"!"!! ! + 𝜋 !"!"!! ! 
 
1 erro: -(0,25) 
2 erros: -(0,50) 
3 erros: -(0,75) 
 
(0,50) 
(0,50) 
Esqueceu a regra da cadeia: -(0,25) 
 
Questão 03: Em cada caso, faça o que se pede (5,0 pontos): 
 
a) Encontre a derivada de 𝑦 = !"#$!!!!"#$%!!"#  (!!!!). 
 
 𝑦′ = 𝑠𝑒𝑐𝑥  𝑡𝑔𝑥 − 3𝑥! 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 − sen 3𝑥 + 1 − 𝑠𝑒𝑐𝑥 − 𝑥! (−𝑐𝑠𝑐!𝑥 − cos 3𝑥 + 1 3)𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 − sen  (3𝑥 + 1) ! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Encontre a derivada de 𝑦 = ln  (𝑠𝑒𝑛𝑥) ∙ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥! − 17 𝑥). 
 
 
 
𝑦′ = 1𝑠𝑒𝑛𝑥 cos 𝑥 ∙ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥! − 17 𝑥 + ln 𝑠𝑒𝑛𝑥 5𝑥! − 172 𝑥1− 𝑥! − 17 𝑥 ! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 erro: -(0,25) 
2 erros: -(0,50) 
3 erros: -(0,75) 
 
1 erro: -(0,25) 
2 erros: -(0,50) 
3 erros: -(0,75) 
 
(0,50) 
(0,50) 
cada erro: -(0,25) 
(0,50) (0,50) 
erro de cálculo: -(0,25) 
c) Encontre a derivada de 𝑦 = 𝑡𝑔𝑥!"#$ , 𝑡𝑔𝑥 > 0. 
 
Considerar duas soluções possíveis, isto é, para 𝑦 = 𝑡𝑔𝑥!"#$ e para 𝑦 = (𝑡𝑔𝑥)!"#$ 
 
1º entendimento possível: (conforme o enunciado da questão) 
 𝑦 = 𝑡𝑔𝑥!"#$ = 𝑡𝑔 𝑒!"#$  !"! 
 𝑦′ = 𝑠𝑒𝑐! 𝑥!"#$  𝑥!"#$ −𝑠𝑒𝑛𝑥  𝑙𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 1𝑥 
 
2º entendimento possível: (entendimento errado, mas, o que vale é avaliar a solução de expoentes 
em função de x) 
 𝑦 = 𝑡𝑔𝑥!"#$ = 𝑒!"#$  !"  (!"#) 
 𝑦′ = 𝑡𝑔𝑥!"#$ −𝑠𝑒𝑛𝑥 ln 𝑡𝑔𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 1𝑡𝑔𝑥 𝑠𝑒𝑐!𝑥 
 
 
 
 
d) Use a derivação implícita para determinar o valor de y´ em 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦!)+ 𝑥𝑦 = 𝑥! − 𝑠𝑒𝑛𝑥. 
 𝑑𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦! + 𝑥𝑦) = 𝑑𝑑𝑥 𝑥! − 𝑠𝑒𝑛𝑥 
 𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦!) 𝑦! + 3𝑥𝑦!𝑦′ + 𝑦 + 𝑥𝑦′ = 5𝑥! − 𝑐𝑜𝑠𝑥 
 𝑦′ = 5𝑥! − 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑦!cos  (𝑥𝑦!)− 𝑦3𝑥𝑦!𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦!)+ 𝑥 
 
 
 
 
 
d) Determine lim!→! !!!!!!!!"  (!) 
 
 lim!→! 𝑒!!! − 2𝑥1𝑥 = 1− 21 = −1 
 
 
 
 
 
 
Boa Sorte!