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Resumo EDO Parte 1 2015 02

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
Uma equação diferencial (ED) é uma equação que envolve uma ou mais derivadas de uma função desconhecida.
Classificação de uma Equação Diferencial
Quanto a ordem
A ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada que ela contém.
Exemplos:
1) 
 é uma ED de primeira ordem
2) 
 é uma ED de segunda ordem
3) 
 é uma ED de terceira ordem
Quanto ao Tipo
● EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA (EDO): É uma equação que envolve derivadas ordinárias de uma função de uma única variável independente
Exemplos:
1) 
 2) 
 
● EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL (EDP): É uma equação que envolve derivadas parciais de uma função de mais de uma variável independente.
Exemplos:
1) 
 2) 
 
Quanto ao Grau
Exemplos:
1) 
 → 1º grau
2) 
 → 2º grau 
Quanto aos Coeficientes
Exemplos:
1) 
 → Coeficientes constantes
2) 
 → Coeficientes variáveis 
Quanto a Homogeneidade:
1) 
 → Homogênea
2) 
 → Heterogênea
 3) 
 → Heterogênea
Solução de uma Equação Diferencial
A solução de uma equação diferencial é uma função 
 que juntamente com suas derivadas satisfazem a equação para todo 
 pertencente a algum aberto 
.
Exemplo: Mostre que 
 é solução da equação diferencial 
Note que: 
 
 
 
 
 
Logo, 
 é solução da ED.
Obs.: Esta não é a única solução da ED, por exemplo, a função 
 também é solução da ED.
Veja: 
 
 
Vamos ver que todas as soluções da ED tem a forma 
, onde 
 é uma constante real, neste caso dizemos que 
 é uma solução geral.
Equações Diferenciais de Primeira Ordem
● Equações Lineares
Definição: Uma equação diferencial da forma 
 
é chamada de equação linear.
Dividindo pelo coeficiente 
, obtemos uma forma mais útil de uma eqaução linear:
 
Exemplos:
1) 
 3) 
2) 
 
Método de Solução: (O método dos Fatores Integrantes)
1) Calcule o fator integrante: 
2) Multiplique ambos os lados da equação por 
 e expresse o resultado como: 
3) Integre ambos os lados da equação obtida no passo 2 e, então resolva para 
. Não esqueça de 
acrescentar uma constante de integração.
Exemplo:
1) Encontre a solução da equação 
.
 Fator integrante: 
 Multiplicar a equação pelo fator integrante: 
 
�� EMBED Equation.3 
Integrar ambos os lados da equação: 
 
 
 
 Solução: 
Problema de Valor Inicial 
Estamos interessados em resolver uma equação diferencial de primeira ordem sujeita à condição inicial 
, em que 
 é um número no intervalo 
 e 
 é um número real qualquer. Este problema é chamado de problema de valor inicial (PVI) de primeira ordem.
Exemplo: 1) Resolva o problema de valor inicial 
, 
 
Dividir a equação por 
, e reescreve-la na forma: 
:
 
Fator integrante: 
 Multiplicar a equação pelo fator integrante: 
 
�� EMBED Equation.3 
Integrar ambos os lados da equação: 
 
 
 
 
 
Usando a condição inicial 
 temos 
, logo a solução do problema de valor inicial é: 
● Variáveis Separáveis
Definição: Uma equação diferencial da forma 
 
 
é chamada separável ou tem variáveis separáveis.
Exemplos: 
1) 
 3) 
2) 
 4) 
Método de Solução: Separação de variáveis:
Passo 1: Separe as variáveis da equação reescrevendo-a na forma diferencial 
Passo 2: Integre ambos os lados da equação 
Se 
 é uma antiderivada qualquer de 
 e se 
é um a antiderivada qualquer de 
, então geralmente a solução é dada pela equação
 
Exemplo: 1) Encontre a solução da equação diferencial 
Fazer a separação de variáveis: 
Integrar ambos os lados da equação: 
 
�� EMBED Equation.3 
 Solução: 
_1373731226.unknown
_1373740320.unknown
_1373740426.unknown
_1405252784.unknown
_1436692535.unknown
_1454499335.unknown
_1436692533.unknown
_1436692534.unknown
_1405252826.unknown
_1436692532.unknown
_1373740524.unknown
_1373740579.unknown
_1373740968.unknown
_1373742227.unknown
_1373740556.unknown
_1373740575.unknown
_1373740455.unknown
_1373740472.unknown
_1373740434.unknown
_1373740391.unknown
_1373740408.unknown
_1373740418.unknown
_1373740398.unknown
_1373740372.unknown
_1373740380.unknown
_1373740327.unknown
_1373731417.unknown
_1373740257.unknown
_1373740285.unknown
_1373740304.unknown
_1373740313.unknown
_1373740295.unknown
_1373740271.unknown
_1373740278.unknown
_1373740263.unknown
_1373740204.unknown
_1373740236.unknown
_1373740243.unknown
_1373740250.unknown
_1373740230.unknown
_1373734468.unknown
_1373738512.unknown
_1373731466.unknown
_1373734457.unknown
_1373731472.unknown
_1373731460.unknown
_1373731320.unknown
_1373731355.unknown
_1373731389.unknown
_1373731410.unknown
_1373731370.unknown
_1373731379.unknown
_1373731364.unknown
_1373731332.unknown
_1373731347.unknown
_1373731327.unknown
_1373731293.unknown
_1373731306.unknown
_1373731313.unknown
_1373731300.unknown
_1373731266.unknown
_1373731273.unknown
_1373731286.unknown
_1373731252.unknown
_1373731146.unknown
_1373731170.unknown
_1373731188.unknown
_1373731217.unknown
_1373731221.unknown
_1373731203.unknown
_1373731211.unknown
_1373731196.unknown
_1373731176.unknown
_1373731183.unknown
_1373731159.unknown
_1373731164.unknown
_1373731151.unknown
_1373731109.unknown
_1373731127.unknown
_1373731132.unknown
_1373731115.unknown
_1373731119.unknown
_1373731094.unknown
_1373731100.unknown
_1298901180.unknown
_1373731086.unknown
_1298902020.unknown
_1298900225.unknown

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