Propriedades das Seções Planas

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GEOMETRIA DE MASSAS – Superfícies planas 
CENTRO DE GRAVIDADE, CENTRO DE MASSA OU CENTRO DE 
GEOMÉTRICO 
x



A
A
dA
xdA
x



A
A
dA
ydA
y
ÁREA COM UM EIXO DE SIMETRIA 
0
A
xdA



A
A
dA
ydA
y
ÁREAS COMPOSTAS 



A
Ax
x



A
Ay
y
MOMENTO DE INÉRCIA 
x

A
x dAyI
2
r 

A
y dAxI
2
yx
A
IIdArJ  
2
0
222 yxr 
Integral do momento de segunda 
ordem de uma área 
Momento de segunda ordem em 
torno de z _ Momento Polar de 
Inércia 
MOMENTO DE INÉRCIA 
O momento de inércia polar representa físicamente, e por 
analogia, a resistência ao giro de determinada seção em 
relação a um ponto devido as suas propriedades geométricas 
(tamanho e forma). 
O momento de inércia axial representa fisicamente, e por 
analogia, a resistência ao giro em torno de um eixo que a 
seção apresenta, devido as suas características geométricas 
(tamanho e forma). 
TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS 
x




AA
AA
x
dAydydAdy
dAydAdyyI
)'(2)(
)'()'(
2
22
Dr 
 20 . rAJJ c D
 2' . yAII xx D
Este teorema nos permite 
relacionar momentos de inércia 
em relação a eixos quaisquer 
com momentos de inércia 
relativos a eixos baricêntricos, 
desde que eles sejam paralelos. 
zero 
Dx x’ 
y’ 
Dy 
 2' . xAII yy D
ÁREAS COMPOSTAS 
2
' .dyAII xx  
2
' .dxAII yy  
PRODUTO DE INÉRCIA 
O significado fisico do produto de inércia 
relaciona-se com a distribuição geométrica 
segundo os eixos. Se um ou ambos os 
eixos são de simetria, o produto de inércia 
é nulo 
Teorema dos eixos paralelos para Produto de Inércia 
yxAII yxxy DD .''
• Teorema dos eixos paralelos para produtos de inércia: 
AyxII xyxy 
Produto de Inércia 
• Produto de Inércia: 
 dAxyI xy
• Quando o eixo x, o eixo y, ou ambos são 
eixos de simetria, o produto de inércia é 
zero. 
Eixos Principais e Momentos de Inércia Principais 
Dados 




dAxyI
dAxIdAyI
xy
yx
22
desejamos determinar os momentos 
e o produto de inércia em relaçãos 
aos novos eixos x’ e y’. 



2cos2sen 
2
2sen 2cos
22
2sen 2cos
22
xy
yx
yx
xy
yxyx
y
xy
yxyx
x
I
II
I
I
IIII
I
I
IIII
I















• Com a rotação dos eixos tem-se 
• As equações para Ix’ e Ix’y’ são as 
equações paramétricas para um círculo, 
 
2
222
22
xy
yxyx
méd
yxmédx
I
II
R
II
I
RIII





 



 
• As equações para Iy’ e Ix’y’ descrevem o 
mesmo círculo. 

sen cos
sen cos
xyy
yxx


Observação: 
Eixos Principais e Momentos de Inércia Principais 
 
2
222
22
xy
yxyx
méd
yxmédx
I
II
R
II
I
RIII





 



 
• Nos pontos A e B, Ix’y’ = 0 é Ix’ é 
máximo e mínimo, respectivamente. 
RII méd mín,máx
yx
xy
m
II
I


2
2tan 
• Imáx e Imín são os momentos principais 
de inércia da superfície em relação a O. 
• A equação para Qm define dois ângulos 
apartados de 90o que correspondem aos 
eixos principais da superfície em 
relação a O. 
Círculo de Mohr para Momentos e Produtos de Inércia 
9 - 18 
2
22
xy
yxyx
méd I
II
R
II
I 




 



• Os momentos e o produto de inércia para uma 
superfície são plotados como mostrado e são 
utilizados para construir o círculo de Mohr, 
• O círculo de Mohr pode ser usado para determinar 
graficamente ou analiticamente os momentos e o 
produto de inércia para quaisquer eixos 
retangulares incluindo os eixos principais e os 
momentos e produto de inércia principais. 
Problema Resolvido 
9 - 19 
Para a seção mostrada, sabe-se que os 
momentos e o produto de inércia em 
relação aos eixos x e y são Ix = 7,20 x 10
6 
mm4, Iy = 2,59 x 10
6 mm4 e Ixy = -2,54 x 10
6 
mm4. 
Usando o círculo de Mohr, determine (a) 
os eixos principais em relação a O, (b) os 
valores dos momentos principais em 
relação a O e (c) os momentos e o produto 
de inércia em relação aos eixos x’ e y’. 
SOLUÇÃO: 
• Plotamos os pontos (Ix , Ixy) e (Iy ,-Ixy) e 
construímos o círculo de Mohr sabendo 
que o diâmetro do círculo equivale à 
distância entre os pontos. 
• A partir do círculo, determinamos a 
orientação dos eixos principais e os 
momentos de inércia principais. 
• Também a partir do círculo, 
determinamos os momentos e o produto 
de inércia em relação aos eixos x’ e y’. 
9 - 20 
46
46
46
mm1054,2
mm1061,2
mm1020,7



xy
y
x
I
I
I
SOLUÇÃO: 
• Plotamos os pontos (Ix , Ixy) e (Iy ,-Ixy) e construímos o 
círculo de Mohr sabendo que o diâmetro do círculo 
equivale à distância entre os pontos. 
 
 
    4622
46
2
1
46
2
1
mm10437,3
mm10305,2
mm10825,4



DXCDR
IICD
IIIOC
yx
yxméd
RIOAI  médmáx
46
max mm1033,8 I
RIOBI  médmín
46
min mm1047,1 I
Problema Resolvido 
9 - 21 46
46
mm10430,3
mm10895,4


R
IOC méd
• Também a partir do círculo, determinamos os momentos 
e o produto de inércia em relação aos eixos x’ e y’. 
 Os pontos X’ e Y’ correspondentes aos eixos x’ e y’ são 
obtidos pela rotação de CX e CY no sentido anti-horário 
de um ângulo 2  2(60o) = 120o. O ângulo entre CX’ e o 
eixo horizontal é f = 120o – 47,8o = 72,2o. 
o
médy RIYCOCOGI 2,72coscos ´'  
46 mm1085,3 yI
o
médx RIXCOCOFI 2,72coscos'  
46 mm1094,5 xI
o
yx RYCXFI 2,72sen sen '  
46 mm1027,3 yxI
Problema Resolvido 
Determine o momento de inércia da superfície sombreada em relação ao eixo x. 
Exercício 1 
SOLUÇÃO: 
• Calculamos os momentos de inércia do retângulo e 
do semicírculo em relação ao eixo x. 
Retângulo: 
   463
3
13
3
1 mm102,138120240  bhI x
Semicírculo: 
momento de inércia em relação a AA’, 
  464
8
14
8
1 mm1076,2590  rI AA
  
 
23
2
2
12
2
1
mm1072,12
90
mm 81,8a-120b
mm 2,38
3
904
3
4






rA
r
a
 momento de inércia em relação a x’, 
    
46
2362
mm1020,7
2,381072,121076,25

  AaII AAx
 momento de inércia em relação a x, 
  
46
2362
mm103,92
8,811072,121020,7

  AbII xx
• O momento de inércia da superfície sombreada é obtido 
subtraindo-se o momento de inércia do semicírculo do 
momento de inércia do retângulo. 
46 mm109,45 xI
xI

46 mm102,138 

46 mm103,92 
Determine os momentos de inércia Ix , Iy e Ixy da superfície sombreada em 
relação aos eixos mostrados. Em seguida, calcule Ix’ , Iy’ e Ix’y’ , em relação aos 
eixos x’ – y’ , obtidos ao girarmos x-y de 45 graus no sentido horário 
Exercício 2 
Exercício 2 – Cálculo de Ix 
Exercício 2 – Cálculo de Iy 
Exercício 2 – Cálculo de Ixy 
Exercício 2 – Cálculo de Ix’ 
Exercício 2 – Cálculo de Iy’ 
Cálculo de Ix’y’