GEOMETRIA ANALÍTICA TRATAMENTO ALGÉBRICO APOSTILA NÍVEL MÉDIO

Prévia do material em texto

Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@afonsocarioca.com.br 
WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 
 
AFONSO CARIOCA – AULAS ONLINE VIA SKYPE Página 1 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA – AULAS ONLINE VIA SKYPE 
Aula 01: Estudo do Ponto 
1. Introdução à Geometria Analítica 
Geometria Analítica é a parte da Geometria que estuda os entes geométricos (retas, planos, superfícies 
e curvas) a partir do estudo analítico dos pontos inseridos no plano cartesiano. Assim, a Geometria 
Analítica, também chamada Geometria de Coordenadas e de Geometria Cartesiana, é o estudo 
da Geometria e seus elementos por meio de um sistema de coordenadas e dos princípios da álgebra e 
da análise. 
2. Plano Cartesiano 
O Plano Cartesiano é formado por dois eixos orientados perpendiculares entre si, dividindo o plano 2 
em quatro quadrantes. O eixo 0x é denominado Eixo das Abscissas, possuindo pontos positivos nos 
primeiro e quarto quadrantes; enquanto o eixo 0y é denominado Eixo das Coordenadas, possuindo 
pontos positivos nos primeiro e segundo quadrantes. Observe a figura abaixo, onde estão representados 
alguns pontos: 
Fig. 01 
Assim, todo ponto no plano é representado por duas coordenadas (x,y) e temos as seguintes situações 
possíveis: 
 
 
 
 
1ª) x,y 1º quadrante x 0 e y 0
2ª) x,y 2º quadrante x 0 e y 0
3ª) x,y 3º quadrante x 0 e y 0
4ª) x,y 4º quadrante x 0 e y 0
   
   
   
   
 
 
Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@afonsocarioca.com.br 
WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 
 
AFONSO CARIOCA – AULAS ONLINE VIA SKYPE Página 2 
 
3. Distância entre dois pontos 
Considere a figura abaixo: 
Fig. 02 
       
2 2 2 22 2 2 2
AB AB B A B A AB B A B A
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo da figura acima:
d x y d x x y y d x x y y             
 
4. Ponto Médio de um Segmento 
4.1. Razão de Secção de um Segmento Orientado 
Fig. 03 
 
 
Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@afonsocarioca.com.br 
WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 
 
AFONSO CARIOCA – AULAS ONLINE VIA SKYPE Página 3 
 
Observando a figura acima, podemos concluir que: 
C BB A
B A C B
y yy yBD CE
tan r
x x x xDA EB

     
 
 
4.2. Ponto Médio de um Segmento 
É o ponto que divide um segmento em duas partes iguais. Assim, na figura 03 se o ponto B é o ponto 
médio do segmento 
AC
, então na expressão abaixo 
r 1
. 
C B C BB A B A
B A C B B A C B
C B A C
B A C B B B A C B A C B
B A
C B A C
B A C B B B A C B A C B
B A
y y y yy y y y
r 1
x x x x x x x x
Assim:
x x x x
1 x x x x x x x x 2x x x x
x x 2
Analogamente :
y y y y
1 y y y y y y y y 2y y y y
y y 2
  
    
   
 
             

 
             

 
Vamos praticar... 
1) Represente em um mesmo sistema de eixos cartesianos os seguintes pontos: 
a) A(3,5) b) B(-2,-2) c) C(0,3) d) D(-4,0) e) E(1, -2) f) F(-3, 5) 
2) Sejam os pontos A(-4,0) e B(28,0). Determine os pontos que dividem o segmento orientado 
AB
 em 
quatro partes congruentes. 
3) Sejam os pontos A(3,7) e B(5, 2), represente o segmento 
AB
 e encontre as coordenadas do seu 
ponto médio. 
4) Ache as distâncias entre os pontos: 
a) A(3,5) e B(-3, 5) 
b) A(-4,0) e B(5, 2) 
 
 
 
 
Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@afonsocarioca.com.br 
WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 
 
AFONSO CARIOCA – AULAS ONLINE VIA SKYPE Página 4 
 
5. Mediana e Baricentro de um Triângulo 
Em geometria a mediana de um triângulo é o segmento de reta que liga um vértice deste triângulo ao 
ponto médio do lado oposto a este vértice. As três medianas de um triângulo são concorrentes e se 
encontram no centro de massa, ou baricentro do triângulo. 
Considere o triângulo ABC mostrado na figura abaixo: 
 Fig. 04 
As coordenadas o baricentro desse triângulo são dadas pelas expressões: 
     A A B B C C
A B C A B C
G G
Vértices do Triângulo ABC
A x , y , B x , y e C x , y
Assim:
x x x y y y
x e y
3 3
   
 
 
6. Condição de Alinhamento de Três Pontos 
Três pontos estão alinhados se, e somente se, pertencerem à mesma reta. Para verificarmos se 
os pontos estão alinhados, podemos utilizar a construção gráfica determinando os pontos de acordo 
com suas coordenadas posicionais. Ou através do determinante abaixo: 
A A
B B
A B B C C A B A C B A C
C C
A A
x y
x y
0 x y x y x y x y x y x y 0
x y
x y
        
 
Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@afonsocarioca.com.br 
WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 
 
AFONSO CARIOCA – AULAS ONLINE VIA SKYPE Página 5 
 
     A A B B C C
A A
B B B B
B B A A
C C C C
C C
A B
Sejam os pontos A, B e C, cujas coordenadas são A x , y , B x , y e C x , y .
Assim, se A, B e C estão alinhados (pertencem a uma mesma reta), então:
x y 1
y 1 x 1 x y
x y 1 0 x y 1 0
y 1 x 1 x y
x y 1
Assim:
x y
       
   C A B C B C B C
A B A C B A C A B C B C
y y x x x y y x 0
Assim:
x y x y x y x y x y y x 0
     
     
 
 Aula 02: Estudo da Reta 
1. Equação Geral da Reta 
Sejam os pontos 
 A AA x ,y
e 
 B BB x ,y
. Considere um ponto genérico 
 C x,y
 colinear com os 
pontos A e B. Aplicando a condição de alinhamento de três pontos, obtemos: 
   
   
A A
A A B B A B A B
B B
A B B A A B B A
A B B A A B B A
A B B A A B B A
x y
x y
0 xy x y x y x y x y xy 0
x y
x y
Assim:
y y x x x y x y x y 0
Fazendo :
a y y , b x x e c x y x y
Temos :
y y x x x y x y x y 0 ax by c 0
       
     
     
         
 
Assim, a equação 
ax by c 0  
é denominada Equação Geral da reta. 
Vamos praticar... 
1) Encontre a equação geral da reta que passa pelos pontos A(4, 6) e B(2, 2). 
2) Encontre a equação geral da reta que passa pelos pontos A(-2, 5) e B(5, -2). 
3) Encontre o ponto de interseção das retas dos exercícios (1) e (2). 
 
 
Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@afonsocarioca.com.br 
WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 
 
AFONSO CARIOCA – AULAS ONLINE VIA SKYPE Página 6 
 
2. Inclinação da Reta 
Considere a figura a seguir: 
Fig. 05 
A inclinação da reta (r) é igual à tangente do ângulo 

. Assim, temos: 
   B A B A
B A B A
y y y y
tan m coeficiente angular
x x x x
 
   
 
 
Desta forma 
 A Ay y m x x  
é a equação da reta quando são conhecidos um ponto e o coeficiente 
angular da reta. 
Vamos praticar... 
1) Encontre a equação da reta que passa pelo ponto A(3, 5) e forma um ângulo de 30° com o eixo 
positivo 0x. 
2) Qual o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(5,3) e B(4,8)? 
3) Qual é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (–1,3) e B (–2,4)? 
4) (UFSC-2011) A reta que passa pela origem e pelo ponto médio do segmento AB com A(0,3) e B(5,0) 
tem qual coeficiente angular? 
(A) 3/5 (B) 2/5 (C) 3/2 (D) 1 
 
 
 
 
Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Cariocaafonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@afonsocarioca.com.br 
WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 
 
AFONSO CARIOCA – AULAS ONLINE VIA SKYPE Página 7 
 
4. Equação Reduzida da Reta 
   
   
     
 
 
 
   
A A
A A B B A B A B
B B
A B B A A B B A
B A A B A B B A
A B A B A B B A A B
A B A B A B B A
A B A B A B
x y
x y
0 xy x y x y x y x y xy 0
x y
x y
Assim:
y y x x x y x y x y 0
Isolando oy :
x x y y y x x y x y
Assim:
x x y y y x x y x y x x
Assim:
x x y y x y x y
y x
x x x x x x
A
       
     
     
           
    
 
     
   
A B A B B A
A B A B
A B A B B A
A B A B
ssim:
y y x y x y
y x y mx n
x x x x
Onde :
y y x y x y
m coeficiente angular e n coeficiente linear
x x x x
  
     
  
 
 
  
Assim, a equação 
y mx n 
é denominada Equação Reduzida da reta. 
Vamos praticar... 
1. (UDESC-2008) A soma do coeficiente angular com o coeficiente linear da reta que passa pelos pontos 
A(1, 5) e B(4, 14) é: 
(A) 4 (B) –5 (C) 3 (D) 2 (E) 5 
 
 
 
 
 
Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@afonsocarioca.com.br 
WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 
 
AFONSO CARIOCA – AULAS ONLINE VIA SKYPE Página 8 
 
7. Posições Relativas de Duas retas 
     
     
 
1 1 1
2 2 2
1 1 1
1 2
2 2 2
1 1 1
1 2
2 2 2
1
a x b y c
a x b y c
Resolvendo, temos :
a b c
r r Re tas Paralelas e Dist int as
a b c
a b c
r r Re tas Paralelas e Coincidentes
a b c
r
 

 
  
   
   1 12
2 2
a b
r Re tas Interceptas, único ponto de int erseção
a b
 
 
7.1. Retas Paralelas 
Sejam as retas 
 1 1 1 1r : a x b y c 0  
 e 
 2 2 2 2r : a x b y c 0  
, assim essas retas serão 
paralelas se forem satisfeitas as seguintes relações: 
     1 1 11 2
2 2 2
a b c
r r Re tas Paralelas e Dist int as
a b c
  
 
Caso as equações das retas estejam na forma reduzida, 
 1 1 1r : y m x n 
 e 
 2 2 2r : y m x n 
elas 
serão paralelas se seus coeficientes angulares forem iguais. Assim: 
   1 2 1 2r r m m 
 
IMPORTANTE! 
As retas 
 1 1r : ax by c 0  
 e 
 2 2r : ax by c 0  
 são paralelas. E variando o termo 
independente “c”, construímos um feixe de retas paralelas. 
Vamos praticar... 
1) Determine a interseção das retas 
 1r : x 2y 3 0  
 e 
 2r :2x 3y 5 0  
. 
2) Determinar m para que as retas de equações 
 1r : x 2y 2m 0  
, 
 2r :mx y 3 0  
 e 
 3r :2x 2y m 0  
 sejam concorrentes no mesmo ponto. 
 
 
 
Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@afonsocarioca.com.br 
WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 
 
AFONSO CARIOCA – AULAS ONLINE VIA SKYPE Página 9 
 
7.3. Retas Perpendiculares 
Retas perpendiculares são retas que se interceptam formando um ângulo reto. Retas 
perpendiculares são, portanto, um caso especial de retas concorrentes. 
Fig. 06 
Caso as equações das retas estejam na forma reduzida, 
 1 1 1r : y m x n 
 e 
 2 2 2r : y m x n 
elas 
serão perpendiculares se seus coeficientes angulares forem simétricos e recíprocos, isto é, o produto 
entre eles é igual a -1. Assim: 
   1 2 1 2 1
2
1
r r m m 1 m
m
       
 
Vamos praticar... 
1) Obter uma reta que passa pelo ponto P(6,-5) e é perpendicular à reta de equação 
 r :5x 7y 1 0  
. 
2) Determine as equações das alturas de um triângulo ABC, onde A(0,-3), B(-4,0) e C(2,1). 
8. Ângulo entre Duas Retas 
Dadas duas retas (r) e (s), concorrentes, de equações . Elas formam entre si um ângulo 

 como mostra 
a figura abaixo: 
Fig. 07 
 
Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@afonsocarioca.com.br 
WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 
 
AFONSO CARIOCA – AULAS ONLINE VIA SKYPE Página 10 
 
Temos dois casos: 
1º) Uma das retas é vertical, ou seja, não tem coeficiente angular, assim: Dadas as retas (r) e (s) e uma 
delas não tem coeficiente angular, então a tangente do ângulo agudo por elas formado é o módulo do 
inverso do declive da outra reta. 
 1
r
1
tan
m
 
 (veja a figura abaixo) 
Fig. 08 
2º) Se nenhuma delas é vertical, então o ângulo por elas formado pode ser determinado pela expressão: 
  s r1
s r
m m
tan
1 m m

 
 
 
Fig. 09 
Vamos praticar... 
1) Calcular o ângulo formado pelas retas 
 r :3x y 5 0  
 e 
 s :2x y 3 0  
 
2) Calcular o ângulo formado pelas retas 
 r :2x y 1 0  
 e 
 s :6x 4y 5 0  
 
3) Calcular o ângulo formado pelas retas 
 r : 4x 2y 1 0  
 e 
 s :3x 4 0 
 
 
Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@afonsocarioca.com.br 
WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 
 
AFONSO CARIOCA – AULAS ONLINE VIA SKYPE Página 11 
 
4) Calcular o ângulo formado pelas retas 
 r :5x 2y 0 
 e 
 s :10x 4y 5 0  
 
9. Distância entre Ponto e Reta 
Seja um Ponto 
 0 0P x ,y
 e uma reta 
 s :ax by c 0  
, como mostra a figura abaixo: 
Fig. 10 
A distância entre o ponto P e a reta (s) é dada pela expressão: 
0 0
s,P
2 2
ax by c
d
a b
 


 
IMPORTANTE! 
Se as retas (r) e (s) forem paralelas, podemos calcular a distância d entre elas, basta que tomemos um 
ponto P pertencente a uma das retas e calculemos a distância deste ponto a outra reta! 
Fig. 11 
 
 
 
Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@afonsocarioca.com.br 
WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 
 
AFONSO CARIOCA – AULAS ONLINE VIA SKYPE Página 12 
 
Vamos praticar... 
1) Encontre a distância entre as retas 
 r :2x 3y 1 0  
 e 
 s :2x 3y 4 0  
 
2) Encontre a distância entre as retas 
 r :3x 4y 13 0  
 e 
 s :3x 4y 7 0  
 
10. Área do triângulo 
Considere o triângulo ABC, cujos vértices são 
     A A B B C CA x , y , B x , y e C x , y
. Sabemos que a 
área desse triângulo é dada pela expressão: 
1 1
A Base Altura A BC AH
2 2
       
 
Fig. 12 
1º) Calculemos a medida do lado 
BC
, aplicando a fórmula da distância entre dois pontos: 
   
2 2
C B C BBC x x y y   
 
2º) A equação geral da reta 
BC
 é dada por: 
   
B B
B B C C B C B C
C C
B C C B B C C B
x y
x y
0 xy x y x y x y x y xy 0
x y
x y
Assim:
y y x x x y x y x y 0
       
     
 
 
 
 
Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@afonsocarioca.com.br 
WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 
 
AFONSO CARIOCA – AULAS ONLINE VIA SKYPE Página 13 
 
3º) Distância do ponto A à reta BC: 
       
   
   
   
   
A A B C C B B C C B
B C A C B A B C C B
A,BC 2 2
B C C B
A B C A B C A C B A C A
A,BC 2 2
B C C B
A
A B C A B C A C B A C A
2 2
B C C B
A x ,y e BC : y y x x x y x y x y 0
Assim:
y y x x x y x y x y
d
y y x x
Assim:
x y x y x y x y x y x y
d AH
y y x x
Assim:
x y
x y x y x y xy x y x y
AH AH
y y x x
     
    

  
    
 
  
    
  
      
A
B B
C C
A A
2 2
B C C B
x y
x y
x y
y y x x  
 
   
   
   
 
A A
B A
C C
2 2 A A
C B C B
2 2
B C C B
A A
B B
C C
2 2 A A
C B C B
2
B C
Retornando à expressão da área de um triângulo e substituindo BC e AH , temos:
x y
x y
x y
x y
BC x x y y e AH
y y x x
Substituindo :
x y
x y
x y
x y1 1
A BC AH A BC x x y y
2 2 y y x
 
    
  
          
   
2
C Bx
 
 
Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@afonsocarioca.com.br 
WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 
 
AFONSO CARIOCA – AULAS ONLINE VIA SKYPE Página 14 
 
   
2 2
C B C B
Assim:
1
A x x y y
2
     
   
A A
B A
C C
A A
2 2
B C C B
x y
x y
x y
x y
y y x x

  
A A
B A
C C
A A
Logo :
x y
x y1
A
x y2
x y
   
IMPORTANTE! 
Podemos estender este conceito para um polígono de n lados, onde conhecemos as coordenadas de 
seus vértices. Assim: 
A A
B B
C Bpolígono
A A
x y
x y
1
A x y
2
x y
 
 
Vamos praticar... 
1) Determine a área do triângulo ABC onde A, B e C são, respectivamente, os pontos médios dos 
segmentos 
MN
, 
NP
 e 
PM
, sendo 
 M 1, 5 
, 
 N 1,3
 e 
 P 7, 5
. 
2. Calcular a área do quadrilátero ABCD, sendo 
 A 0,0
, 
 B 4, 2
 , 
 C 6,8
e 
 D 0,4
. Faça uma 
representação gráfica do quadrilátero. 
 
 
 
 
 
Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@afonsocarioca.com.br 
WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 
 
AFONSO CARIOCA – AULAS ONLINE VIA SKYPE Página 15 
 
Aula 03: Estudo da Circunferência 
1. Equação reduzida da circunferência 
Considere uma circunferência de centro 
 0 0C x ,y
, raio r e um ponto genérico P(x, y). 
 Fig. 13 
Aplicando a fórmula da distância entre os pontos C e P, obtemos: 
   2 2 20 0x x y y r   
, que é a equação cartesiana de uma circunferência. 
2. Equação geral da circunferência 
Desenvolvendo a equação reduzida de uma circunferência, obtemos a sua equação desenvolvida ou 
equação geral da circunferência. Assim: 
   2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0
2 2 2 2 2
0 0 0 0
2 2 2
0 0 0 0
2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
x x y y r x 2x x x y 2y y y r
Assim:
x y 2x x 2y y x y r 0
Fazendo :
a 2x , b 2y e c x y r
Temos :
x y 2x x 2y y x y r 0 x y ax by c 0
          
      
      
            
 
Assim, a equação geral de uma circunferência é 
2 2x y ax by c 0    
. 
 
Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@afonsocarioca.com.br 
WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 
 
AFONSO CARIOCA – AULAS ONLINE VIA SKYPE Página 16 
 
3. Posições relativas entre ponto e circunferência 
As figuras a seguir mostram as possíveis situações entre um ponto e uma circunferência: 
Fig. 14 
4. Posições relativas entre a reta e a circunferência 
As figuras a seguir mostram as possíveis situações entre uma reta e uma circunferência: 
 
Fig. 15 
 
Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@afonsocarioca.com.br 
WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 
 
AFONSO CARIOCA – AULAS ONLINE VIA SKYPE Página 17 
 
5. Posições relativas de duas circunferências 
As figuras a seguir mostram as possíveis posições entre duas circunferências: 
Fig. 16 
Aula 04: Estudo das Cônicas 
1. Seções Cônicas 
Uma seção cônica (ou simplesmente cônica) é uma curva obtida cortando-se qualquer cone de duas 
folhas por um plano que não passa pelo seu vértice, chamado de plano secante. Assim, temos: 
1º) Se o plano secante é paralelo a uma geratriz do cone, a cônica é uma parábola como mostra a figura 
a seguir: 
Fig. 17 
 
Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@afonsocarioca.com.br 
WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 
 
AFONSO CARIOCA – AULAS ONLINE VIA SKYPE Página 18 
 
2º) Se o plano secante não é paralelo a uma geratriz e corta só uma das duas folhas do cone, a cônica é 
uma elipse como mostra a figura abaixo: 
Fig. 18 
3º) Se o plano secante não é paralelo a uma geratriz e corta ambas as folhas do cone, a cônica é uma 
hipérbole como mostra a figura a seguir: 
Fig. 19 
OBS.: No caso de um plano que passa pelo vértice do cone, obtemos um ponto, uma reta ou um par de 
retas concorrentes. 
2. Elipse 
É o conjunto de todos os pontos P do plano tal que é constante a soma d1 + d2 das distâncias d1 e d2, 
respectivamente, de P a dois pontos fixos F1 e F2 chamados focos da elipse. 
 Fig. 20 d1 + d2 = constante 
 
 
Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@afonsocarioca.com.br 
WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 
 
AFONSO CARIOCA – AULAS ONLINE VIA SKYPE Página 19 
 
A elipse determinada por seus focos F1(-c, 0) e F2(c, 0), onde 
c 0
, e pela constante 2a > 2c, tem a 
equação reduzida 
2 2
2 2
x y
1
a b
 
 e a² = b² + c². 
Dada a elipse abaixo: 
Fig. 21 
Identificamos os seus elementos: 
 Centro: C(0,0). 
 Vértices: A1(-a, 0), A2(a,0), B1(-b,0) e B2(b,0). 
 Focos: F1(-c, 0) e F2(c, 0). 
 Eixo maior: 1 2A A 
 Eixo menor: 1 2B B ¨ 
 Excentricidade: 
 
c
e 0 e 1
a
  
 
Vamos praticar... 
Deduza a equação de uma elipse. 
 
 
 
 
Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@afonsocarioca.com.br 
WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 
 
AFONSO CARIOCA – AULAS ONLINE VIA SKYPE Página 20 
 
3. Hipérbole 
A hipérbole determinada por seus focos F1(-c, 0) e F2(c, 0), onde 
c 0
, e pela constante 2a < 2c, tem a 
equação reduzida 
2 2
2 2
x y
1
a b
 
 e b² = c² - a². 
Dada a hipérbole abaixo: 
 
Fig. 22 
Identificamos os seus elementos: 
 Centro: C(0, 0). 
 Vértices: V1(-a, 0) e V2(a,0). 
 Focos: F1(-c, 0) e F2(c, 0). 
 Assíntotas: 
b
y x
a
 
 
 Excentricidade: 
 
c
e e 1
a
 
 
Vamos praticar... 
Deduza a equação de uma hipérbole. 
 
 
 
 
Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@afonsocarioca.com.br 
WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 
 
AFONSO CARIOCA – AULAS ONLINE VIA SKYPE Página 21 
 
4. Parábola 
A parábola determinada por seu foco F(p,0) e por sua diretriz D: x =-p, tem equação reduzida: 
2y 4px
. 
Dada a parábola abaixo: 
Fig. 23 
 
Identificamos os seguintes elementos: 
 Vértice: V(0, 0). 
 Diretriz D: x =- p. 
 Foco: F(p, 0). 
Vamos praticar... 
Deduza a equação de uma parábola. 
IMPORTANTE! 
As cônicas descritas anteriormente têm todos os focos no eixo x e centro ou vértice no ponto (0, 0). As 
equações com centro ou vértice genérico (x0, y0) e focos em y = y0 são: 
Elipse: 
   
2 2
0 0 2 2 2
2 2
x x y y
1 com a b c
a b
 
   . 
Hipérbole: 
   
2 2
0 0 2 2 2
2 2
x x y y
1 com b c a
ab
 
   . 
Parábola:    2 20 0y y 4p x x  . 
 
Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@afonsocarioca.com.br 
WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 
 
AFONSO CARIOCA – AULAS ONLINE VIA SKYPE Página 22 
 
As respectivas equações com centro ou vértice genérico (x0, y0) e focos em x = x0 são obtidas trocando-
se (x – x0) por (y – y0) nas equações acima. 
Vamos praticar... 
1. Identifique a cônica a partir de sua equação, seus elementos e faça um esboço do seu gráfico: 
a) 
2 24x 9y 16x 18y 11 0    
. 
b) 
2 225x 36y 100x 72y 836 0    
 
c) 
2 29x 4y 72x 24y 144 0    
 
d) 
2 216x 9y 160x 54y 885 0     
 
e) 
2x 6x 4y 11 0   
 
5. Reconhecimento de uma cônica pela equação (*) 
Dada uma equação do tipo 
2 2ax by cxy dx ey f 0     
. Vamos estudar dois casos: 
1º) Caso: Quando c = 0. 
2 2ax by dx ey f 0    
, completando os quadrados: 
   
2 2
2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
ax by dx ey f 0
d d e e d e
a x x b y y f 0
a b4a 4b 4a 4b
d e d e
a x b y f
a b 4a 4b
a b 1
d e
x d y e f
4 4
    
   
           
   
   
        
   
 
     
 
 Representa uma circunferência de centro em C(-d,-e) se 
2 2d e
f
4 4
 
>0. Mas também pode ser reduzida 
à forma de uma elipse, de uma hipérbole ou de uma parábola. Ou ainda representar: um conjunto de 
retas, um ponto ou o conjunto vazio. 
 
 
 
 
Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@afonsocarioca.com.br 
WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 
 
AFONSO CARIOCA – AULAS ONLINE VIA SKYPE Página 23 
 
2º) Caso: Quando 
c 0
. 
2 2
2
ax by cxy dx ey f 0
Sejam:
2a c d
c 2b e 4ab c a b
d e 2f
     
       
 
Usaremos, sem demonstração, o seguinte resultado: 
0, 0 representa uma elipse
0 representa uma parábola
0
0 representa uma hipérbole
0, 0 conjunto vazio
    

  
   
  
     
Ainda dada a equação geral de 2º grau 2 2ax 2bxy cy 2dx 2ey f 0     , temos que: 
Critério Caso Geral Casos Excepcionais 
2b ac 0  Hipérbole Duas retas concorrentes 
2b ac 0  Parábola Duas retas paralelas 
2b ac 0  Elipse Elipse pontual 
 
Vamos praticar... 
1. Identificar o lugar geométrico representado pela equação dada: 
a) 
2 2x 4xy 4y 12x 6y 0    
. 
b) 
2 2x 2xy 4y 4x 0   
 
c) 
2 25x 4xy y 24x 6y 5 0     
 
d) 
2 22x xy x y y 0    
 
e) 
2 2x 4y 4xy 3x y 1 0     
 
f) 
2 2x 3y xy 2x 4y 5 0     
 
 
 
Canal YouTube: Afonso Carioca Oficial Facebook: Afonso Carioca 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@afonsocarioca.com.br 
WAPP/TELEGRAM: (62) 98618-3847 / 99469-8239 / 98109-4036 
 
AFONSO CARIOCA – AULAS ONLINE VIA SKYPE Página 24 
 
2. Caracterizar cada uma das cônicas, identificando seus elementos principais: 
a) 
2 23x 2y 12x 4y 8 0    
 
b) 
22y x 2x 7 0   
 
c) 
2 24x 3y 6y 15 0   
 
d) 
2 24x 9y 8x 36y 4 0    
 
e) 
2 2x 4y 4x 24y 36 0    
 
f) 
2 2x y 8x 4y 11 0    
 
g) 
2y 8x 6y 17 0   
 
h) 
2 23x 2y 12x 8y 19 0    
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
1) GIOVANNI, José Ruy e BONJORNO, José Roberto 
Matemática Completa – 2ª Edição Renovada – FTD – São Paulo - 2005 
2) IEZZI, Gelson et alii 
Fundamentos de Matemática Elementar – Vol 07 – Geometria Analítica 
Atual Editora Ltda – 1977