Processamento Digital de Sinais

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Universidade Presbiteriana Mackenzie
Curso de Engenharia Ele´trica
Processamento Digital de Sinais
Notas de Aula
Prof. Marcio Eisencraft
Segundo semestre de 2007
Universidade Presbiteriana Mackenzie
Curso de Engenharia Ele´trica
Processamento Digital de Sinais
TEORIA
Prof. Marcio Eisencraft
Segundo semestre de 2007
Processamento Digital de Sinais – Aula 1T – Professor Marcio Eisencraft – fevereiro 2007 
Aula 1T - Sinais de tempo discreto 
 Operações com seqüências 
Bibliografia 
HAYKIN, Simon S.; VAN VEEN, Barry. Sinais e sistemas. Porto Alegre: Bookman, 2001. 668 p. ISBN 
8573077417. Páginas 40-46. 
 
MITRA, Sanjit K. Digital signal processing: a computer-based approach. 2nd ed. Boston: McGraw-Hill, 
c2001. 866 p. : il. ; 24 cm ISBN 0072321059. Páginas 44 – 49. 
 
 
1. Sinais de tempo discreto 
Ö Um sinal de tempo discreto é basicamente um sinal que está definido apenas 
em instantes isolados de tempo. Conseqüentemente, um sinal de tempo dis-
creto pode ser descrito por uma seqüência de números. 
Ö Nesta aula, aprenderemos um pouco mais sobre a representação deste tipo de 
sinal e como realizar operações com eles. 
Ö Os sinais de tempo discreto são representados pela notação em que só 
está definido para números inteiros. Cada um dos elementos do sinal 
][nx n
x é 
chamado de amostra. Vejamos alguns exemplos: 
(a) 66 ,][ 2 ≤≤−= nnnx
Este sinal é constituído das seguintes amostras 
. A figura a seguir mostra um gráfico deste 
sinal: 
[ ] }36,25,16,9,4,1,0,1,4,9,16,25,36{}{ =nx
stem(-6:6, (-6:6).^2); 
 
1 
 
Processamento Digital de Sinais – Aula 1T – Professor Marcio Eisencraft – fevereiro 2007 
A segunda amostra deste sinal é 25]5[ =−x . Este sinal tem amos-
tras. 
131)6(6 =+−−
(b) Nnny n ∈= ,)9,0(][
As amostras deste sinal são ;...}6561,0;729,0;81,0;9,0;1{]][{ =ny . A figura a seguir 
mostra as 50 primeiras amostras deste sinal. 
Repare que este é um sinal com infinitas amostras e, por exemplo, . 1]0[ =y
stem (0:50, (0.9).^(0:50)) 
 
• Os exemplos acima mostram que um sinal de tempo discreto pode ser uma 
seqüência de comprimento finito ou infinito. Além disso, um sinal de compri-
mento finito definido no intervalo 21 NnN ≤≤ tem comprimento ou duração: 
112 +−= NNN . 
 
• Dentre as seqüências de comprimento infinito, destacamos as seqüências 
chamadas causais definidas somente para e as seqüências anticausais de-
finidas para 
0≥n
0<n . Por exemplo, a seqüência do exemplo anterior é causal. 
 
Exercício 
1. (CARLSON, 1998; p. 44) Um sinal é chamado de simplesmente definido 
(“simply-defined”) se ele é representado por uma única equação e é chamado 
2 
 
Processamento Digital de Sinais – Aula 1T – Professor Marcio Eisencraft – fevereiro 2007 
de definido por partes (“piecewise defined”) se é representado por um con-
junto de equações cada uma válida num intervalo de tempo diferente. Sendo 
assim, esboce os sinais de tempo discreto definidos pelas seguintes equações. 
Indique também se eles são definidos por partes. 
(a) [ ] nenx 25,0= , ∞≤≤∞− n (b) [ ]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥−
<≤−
<−
=
6,
3
5
63,3
3,1
nn
n
nn
nx 
(c) [ ] ( )
1
1
2 +
+=
n
nnx , ∞≤≤∞− n (d) [ ]
⎩⎨
⎧
<
≥−=
0,0
0,12
n
nnnx
 
(e) [ ] ( )( )⎩⎨
⎧
<−
≥+=
0,11
0,11
nn
nn
nx 
 
1.1. Operações com seqüências 
• Sistemas de tempo discreto são entidades que transformam uma ou mais se-
qüências de entrada em uma ou mais seqüências de saída. A figura a seguir 
mostra esquematicamente um sistema de tempo discreto cuja entrada é a se-
qüência e a saída é a seqüência . ][nx ][ny
 
• O conceito de sistemas é um dos mais importantes no curso de Engenharia 
Elétrica e é explorado em várias disciplinas. Aqui, nos preocuparemos princi-
palmente com a parte operacional de sistemas de tempo discreto, ou, em outras 
palavras, em como eles operam. 
3 
 
Processamento Digital de Sinais – Aula 1T – Professor Marcio Eisencraft – fevereiro 2007 
• Quase todo sistema de tempo discreto pode ser decomposto em um conjunto 
de operações básicas entre seqüências que serão estudadas a seguir. 
 
1.1.1. Produto 
• A operação produto entre duas seqüências e , representada por 
, consiste em multiplicar, para cada valor de as amostras das 
seqüências e . 
][nx ][ny
[ ] ][][1 nynxnw ⋅= n
][nx ][ny
• Esquematicamente, esta operação é representada pelo símbolo mostrado a se-
guir. Esta operação também é chamada de modulação na área de telecomuni-
cações. 
 
1.1.2. Soma 
• A operação soma entre duas seqüências e , representada por 
, consiste em somar, para cada valor de as amostras das se-
qüências e . 
][nx ][ny
[ ] ][][2 nynxnw += n
][nx ][ny
• Esquematicamente, esta operação é representada pelo símbolo mostrado a se-
guir que é chamado de somador. 
 
 
 
 
4 
 
Processamento Digital de Sinais – Aula 1T – Professor Marcio Eisencraft – fevereiro 2007 
1.1.3. Multiplicação por escalar 
• Nesta operação, um novo sinal é gerado multiplicando-se cada amostra da 
seqüência pelo escalar [ ]nx A : [ ]nAxnw =][3 . 
• Esquematicamente temos: 
 
• Esta operação também é chamada de ganho. 
 
Exercício 
2. (MITRA, 2001; p. 106) Considere as seguintes seqüências de comprimento 7 
definidas para : 33 ≤≤− n
[ ] { }
[ ] { }
[ ] { }1;0;5;6;3;4;5
2;9;4;3;1;7;0
2;5;4;1;0;2;3
−−=
−−=
−=
nw
ny
nx
. 
Determine as seguintes seqüências: 
(a) (b) [ ] [ ] [ ]nynxnu += [ ] [ ] [ ]nwnxnv += (c) [ ] [ ] [ ]nwnyns −= 
(d) . [ ] [ ]nynr 5,4=
 
1.1.4. Deslocamento no tempo 
• A última operação de que trataremos por enquanto é o deslocamento no tem-
po (“time-shifting”). A relação entre a saída e a entrada nesta operação é 
[ ] ][4 Nnxnw −= 
em que é um inteiro. Se esta é uma operação de atraso e se N 0>N 0<N esta 
é uma operação de avanço. O dispositivo que implementa a operação de atraso 
de uma amostra é chamado de atraso unitário e seu símbolo é mostrado a se-
guir. 
5 
 
 
Processamento Digital de Sinais – Aula 1T – Professor Marcio Eisencraft – fevereiro 2007 
• A explicação do por que deste símbolo será dada mais tarde quando estudar-
mos Transformadas z. 
 
Exercícios 
3. Um sinal de tempo discreto , definido para todo inteiro é dado por 
. Ele é passado por um atrasador, obtendo-se o sinal 
][nx n
[ ] 12 += nnx [ ] ]1[ −= nxnw . 
 
Descreva as amostras para 100 ≤≤ n dos sinais e e escreva uma fórmu-
la fechada para as amostras do sinal . 
][nx ][nw
][nw
 
4. Desenhe um diagrama de blocos que programe a seguinte operação sobre o 
sinal : [ ]nx
]2[75,0]1[5,0][][ −+−+= nxnxnxny 
 
5. (MITRA, 2001; p. 47) Descreva uma formula para o sinal obtido do fil-
tro mostrado em diagrama de blocos na figura a seguir: 
][ny
 
6 
 
Processamento Digital de Sinais – Aula 2T – Professor Marcio Eisencraft – fevereiro 2007 
1 
 
Aula 2T - Classificação de sinais 
Bibliografia 
 HAYKIN, Simon S.; VAN VEEN, Barry. Sinais e sistemas. Porto Alegre: Bookman, 2001. 668 p. ISBN 
8573077417. Páginas 40-46. 
 OPPENHEIM, Alan V.; WILLSKY, Alan S.; NAWAB, S. Hamid. Signals & systems. 2nd. ed. Upper Sad-
dle River, New Jersey: Prentice-Hall, c1997. 957 p. ISBN 0138147574. Páginas 1-14 
 
1.2 Classificação de sinais 
• Nas aulas anteriores, vimos que um sinal, de forma geral é uma função (con-
tínua ou discreta) do tempo. Veremos agora como podemos classificar os si-
nais segundo alguns critérios como simetria, periodicidade e energia. 
• Em cada caso, veremos as definições para sinais de tempo contínuo e discre-
to. 
 
1.2.1 Classificação baseada na simetria 
1.2.1.1 Sinais de tempo contínuo• Um sinal de tempo contínuo é dito par se ele satisfizer a condição 
( ) ( )txtx =− para todo t 
• Um sinal de tempo contínuo é dito impar se ele satisfizer a condição 
( ) ( )txtx −=− para todo t 
• Assim, os sinais pares são simétricos com relação ao eixo vertical ou origem 
dos tempos enquanto que os sinais ímpares são antisimétricos em relação à o-
rigem dos tempos. 
• Os sinais ( ) 2ttx = e ( ) 3ttx = são exemplos de sinal par e ímpar respectivamen-
te. O gráfico destes sinais está mostrado a seguir. 
 
Processamento Digital de Sinais – Aula 2T – Professor Marcio Eisencraft – fevereiro 2007 
2 
 
• Qualquer sinal ( )tx pode ser decomposto numa soma de dois outros sinais, um 
par ( )tx p e outro ímpar ( )txi , ou seja, 
( ) ( ) ( )txtxtx ip += , (1) 
com ( ) ( )txtx pp =− e ( ) ( )txtx ii −=− 
• Trocando t por t− na expressão (1), temos: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )txtxtxtxtx ipip −=−+−=− (2) 
• Resolvendo o sistema (1)-(2) para ( )tx p e ( )txi , chega-se a: 
 
 
1.2.1.2 Sinais de tempo discreto 
• De forma análoga ao que foi feito em tempo contínuo, definimos sinais de 
tempo discreto par e ímpar como: 
Sinal par: 
[ ] [ ]nxnx =− para todo n . 
Sinal ímpar: 
[ ] [ ]nxnx −=− para todo n . 
• Demonstra-se também, de forma análoga ao que foi feito antes, que qualquer 
sinal pode ser decomposto em uma componente par e numa componente ím-
par. 
[ ] [ ] [ ]( )
[ ] [ ] [ ]( )nxnxnx
nxnxnx
i
p
−−=
−+=
2
1
2
1
 
• A figura seguinte mostra exemplos de sinais de tempo discreto par e ímpar. 
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
1
2
1
2
p
i
x t x t x t
x t x t x t
= + −
= − −
Processamento Digital de Sinais – Aula 2T – Professor Marcio Eisencraft – fevereiro 2007 
3 
 
 
 
Exercícios 
1. (1041) (MITRA, 2001; p.106) Determine a componente par e ímpar das se-
qüências a seguir definidas no intervalo 33 ≤≤− n : 
(a) [ ] { }2;5;4;1;0;2;3 −=nx 
(b) [ ] { }2;9;4;3;1;7;0 −−=ny 
(c) [ ] { }1;0;5;6;3;4;5 −−=nw 
 
1.2.2 Classificação quanto à periodicidade 
1.2.2.1 Sinais de tempo contínuo 
• Um sinal ( )tx é dito periódico quando satisfizer a condição ( ) ( )Ttxtx += para 
todo t e T é uma constante positiva. 
• O menor valor de T que satisfaz esta condição é chamado de período funda-
mental de ( )tx . 
• O inverso do período fundamental é a freqüência fundamental, que, quando o 
período é medido em segundos, é dada em Hertz (Hz). 
T
f 1= 
• Também definimos a freqüência angular do sinal, medida em radianos por 
segundo como: 
T
πω 2= 
Processamento Digital de Sinais – Aula 2T – Professor Marcio Eisencraft – fevereiro 2007 
4 
 
• Quando o sinal não apresenta um período mínimo T é chamado de aperiódi-
co. 
 
Exercício 
2. (HAYKIN, 2000; p. 37) A figura a seguir mostra uma onda triangular. Qual é 
a freqüência fundamental desta onda? Expresse a freqüência fundamental em 
unidades de Hz ou rad/s. 
 
 
1.2.2.2 Sinais de tempo discreto 
• A classificação de sinais em sinais periódicos e aperiódicos apresentada até 
agora se aplica a sinais de tempo contínuo. Consideraremos a seguir o caso de 
sinais de tempo discreto. 
• Diz-se que um sinal de tempo discreto [ ]nx é periódico se ele satisfizer a con-
dição 
[ ] [ ]Nnxnx += para todos os números inteiros n , 
em que N é um número inteiro positivo. 
• O menor valor de N que satisfaz a definição anterior é chamado de período 
fundamental do sinal de tempo discreto [ ]nx . A freqüência angular fundamen-
tal ou, simplesmente, freqüência fundamental de [ ]nx é definida por: 
N
π2=Ω , 
Processamento Digital de Sinais – Aula 2T – Professor Marcio Eisencraft – fevereiro 2007 
5 
 
a qual é medida em radianos. 
• Lembre-se: O período de um sinal de tempo discreto é obrigatoriamente um 
número inteiro. Assim, sua freqüência angular fundamental Ω não pode as-
sumir qualquer valor. 
 
Exercício 
3. (HAYKIN, 2000; p. 78) Determine se os seguintes sinais são periódicos. Se 
forem periódicos, encontre o período fundamental. 
(a) [ ] ( )nnx 1−= 
(b) [ ]nx descrito na figura a seguir. 
 
 
1.2.3 Sinais de energia e potência 
1.2.3.1 Sinais de tempo contínuo 
• Em sistemas elétricos, um sinal pode representar uma tensão ou uma corrente. 
Considere uma tensão ( )tv aplicada a um resistor de resistência R , produzindo 
uma corrente ( )ti . A potência instantânea dissipada no resistor é definida por 
( ) ( )
R
tvtp
2
= ou ( ) ( )tRitp 2= 
• Vemos assim que a potência instantânea ( )tp é proporcional à amplitude do 
sinal elevada ao quadrado. Além do mais, para Ω=1R , vemos que a potência 
( )tp é exatamente igual à amplitude ao quadrado do sinal. 
Processamento Digital de Sinais – Aula 2T – Professor Marcio Eisencraft – fevereiro 2007 
6 
 
• Baseado nisso, em análise de sinais, costuma-se definir a potência instantânea 
de um sinal ( )tx como: 
( ) ( )txtp 2= 
• Lembrando que a energia é o produto da potência pelo tempo, costuma-se de-
finir a energia total do sinal ( )tx como: 
( ) ( )∫ ∫− ∞∞−∞→ == 22 22lim
T
TT
dttxdttxE
. 
 
• Também definimos a potência média de um sinal como 
( )∫−∞→= 22 21lim
T
TT
dttx
T
P . 
• Para sinais periódicos, podemos calcular a potência média tomando a média 
apenas num período ao invés de tomar todo o eixo dos tempos. Para um sinal 
periódico de período fundamental T , temos: 
( )∫−= 22 21
T
T
dttx
T
P
. 
• A raiz quadrada da potência média P é chamada de valor médio quadrático 
(rms – root-mean-square) do sinal ( )tx . 
 
1.2.3.2 Sinais de tempo discreto 
• No caso de um sinal de tempo discreto [ ]nx , as integrais anteriores são substi-
tuídas pelas somas correspondentes. Dessa forma, a energia total de [ ]nx é de-
finida por: 
[ ]∑∞
−∞=
=
n
nxE 2 
e sua potência média é definida por: 
Processamento Digital de Sinais – Aula 2T – Professor Marcio Eisencraft – fevereiro 2007 
7 
 
[ ]∑
−=∞→ +=
N
NnN
nx
N
P 2
12
1lim . 
• Novamente, para um sinal periódico, basta tomarmos a média de um período 
para o cálculo da potência média. Assim, para o caso de um sinal [ ]nx com pe-
ríodo fundamental N , 
[ ]∑−
=
=
1
0
21 N
n
nx
N
P . 
• Um sinal é chamado de sinal de energia se e somente se a energia total do 
sinal satisfizer a condição 
∞<< E0 . 
• Um sinal é chamado de sinal de potência se e somente se a potência média do 
sinal satisfizer a condição 
∞<< P0 . 
• Pode-se mostrar que as classificações de energia e potência de sinais são mu-
tuamente exclusivas. Em especial, um sinal de energia tem potência média ze-
ro enquanto que um sinal de potência tem energia infinita. 
 
Exercícios 
4. (HAYKIN, 2000; p. 39) Qual a energia total do pulso retangular mostrado na 
figura a seguir? 
 
Resposta: 1
2TA 
 
5. (HAYKIN, 2000; p. 39) Qual é a potência média da onda quadrada mostrada 
na figura a seguir? 
Processamento Digital de Sinais – Aula 2T – Professor Marcio Eisencraft – fevereiro 2007 
8 
 
 
Resposta: 1 
 
6. (HAYKIN, 2000; p. 40) Qual é a potência média da onda triangular mostrada 
a seguir? 
 
Resposta: 1/3 
 
7. (HAYKIN, 2000; p. 40) Qual a energia total do sinal de tempo discreto mos-
trado a seguir? 
 
 
8. (HAYKIN, 2000; p. 40) Qual a potência média do sinal periódico de tempo 
discreto mostrado na figura a seguir? 
 
Processamento Digital de Sinais - Aula 3T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 
Aula 3T - Seqüências Típicas 
Bibliografia 
HAYKIN, Simon S.; VAN VEEN, Barry. Sinais e sistemas. Porto Alegre: Bookman, 2001. 668 p. ISBN 
8573077417. Páginas 46-59. 
 
OPPENHEIM, Alan V.; WILLSKY, Alan S.; NAWAB, S. Hamid. Signals& systems. 2nd. ed. Upper Sad-
dle River, New Jersey: Prentice-Hall, c1997. 957 p. ISBN 0138147574. Páginas 14-38. 
 
 
1.3 Algumas seqüências básicas 
• Nesta aula serão definidos e estudados alguns sinais básicos em tempo discre-
to. Estes sinais serão utilizados durante todo o restante do curso para construir 
sinais mais complicados e estudar a resposta de sistemas a eles. 
• Estudaremos os sinais de tempo discreto impulsivo, degrau, exponencial e 
senoidal. 
 
1.3.1 Sinal impulso 
• A versão de tempo discreto do impulso, comumente notada por [ ]nδ é defini-
da por: 
[ ]
⎩⎨
⎧
≠
==
0 ,0
0 ,1
n
n
nδ . 
• A figura a seguir mostra um gráfico do sinal [ ]nδ . 
 
1 
 
Processamento Digital de Sinais - Aula 3T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 
• Para representar um impulso no instante kn = , basta escrevermos [ kn − ]δ . Por 
exemplo, a figura a seguir representa o sinal [ ]3−nδ . 
 
 
Exercício 
1. Esboce os seguintes sinais: 
(a) [ ]nna δ2][ = (b) [ ] [ ] [ ] [2 3 1 0,5b n n n nδ δ δ= + − + − ]2
 
• Um sinal de tempo discreto arbitrário pode ser representado como uma soma 
ponderada de impulsos. Por exemplo, o sinal a seguir: 
 
pode ser expresso por 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 675,04215,125,0 − ]+−+−−−++= nnnnnnx δδδδδ . 
 
 
2 
 
Processamento Digital de Sinais - Aula 3T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 
Exercício 
2. Expresse os seguintes sinais como somas ponderadas de funções impulsivas. 
 
 
1.3.2 Sinal degrau 
• A versão em tempo discreto da função degrau, comumente denotada por [ ]nu 
é definida por: 
[ ] ⎩⎨
⎧
<
≥=
0 ,0
0 ,1
n
n
nu 
• A figura a seguir mostra um gráfico do sinal [ ]nu . 
 
 
 
3 
 
Processamento Digital de Sinais - Aula 3T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 
Exercícios 
3. (1022) Esboce o seguinte sinal: 
[ ] [ ] [ ]3−−= nununw 
 
4. (HAYKIN; VEEN, 2001; p. 56) Um sinal de tempo discreto é definido 
por: 
[ ]nx
[ ] ⎩⎨
⎧ ≤≤=
contrário caso ,0
90 ,1 n
nx 
Usando descreva como a superposição de duas funções degrau. [ ]nu [ ]nx
 
1.3.3 Sinais exponenciais 
• Em tempo discreto, um sinal exponencial real é dado por: 
[ ] nBrnx = , 
com B e r constantes reais. 
• A figura a seguir mostra exemplos de sinais exponenciais de tempo discreto. 
 
 
4 
 
Processamento Digital de Sinais - Aula 3T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 
• Se o sinal é decrescente. Se 10 << r 1>r o sinal é crescente. Vemos também 
que se , um sinal exponencial de tempo discreto assume valores (+,-) que 
se alternam. 
0<r
 
Exercícios 
5. (1021) Calcule a energia e a potência do sinal [ ] ( ) [ ]nunx n8,0= e verifique se 
ele é um sinal de energia ou de potência. 
 
1.3.4 Sinais senoidais 
• A versão de tempo discreto de um sinal senoidal é escrita como 
[ ] ( )φ+Ω= nAnx cos (1) 
• O período de um sinal de tempo discreto é medido em amostras. Desta forma, 
para que seja periódico com um período de amostras, ele deve satisfa-
zer a condição para todo e para algum inteiro. 
[ ]nx N
[ ] [ ]Nnxnx += n N
• Calculando , temos [ Nnx + ]
[ ] ( )φ+Ω+Ω=+ NnANnx cos (2) 
• Assim, a condição para que [ ] [ ]Nnxnx += é: 
mN π2=Ω radianos 
ou 
N
mπ2=Ω radianos/amostra inteiros. (3) Nm,
• Assim, um sinal senoidal de tempo discreto será periódico se e somente se sua 
freqüência angular puder ser escrito na forma da Equação 3, com in-
teiros. 
Ω Nm,
• É importante notar que, diferentemente dos sinais senoidais de tempo contí-
nuo, nem todos os sinais senoidais de tempo discreto com valores arbitrários 
de são periódicos. Especificamente, para que o sinal senoidal de tempo dis-Ω
5 
 
Processamento Digital de Sinais - Aula 3T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 
creto descrito na Eq. (1) seja periódico, a freqüência angular deve ser um 
múltiplo na forma de razão de 2π, como indica a Eq. (3). 
Ω
• A figura a seguir ilustra o sinal senoidal [ ] ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= nnx
6
cos π . Tente calcular o perí-
odo deste sinal e confira com a figura. 
 
 
Exercícios 
6. (1021) Determine se os seguintes sinais de tempo discreto são periódicos. Se 
o forem, determine o seu período fundamental: 
(a) [ ] ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ += onnx 45
20
13cos3 π 
(b) [ ] ( )nnx π2cos= 
 
6 
 
Processamento Digital de Sinais – Aula 4T – Professor Marcio Eisencraft – março 2007 
Aula 4T - Sistemas de tempo discreto 
 Classificação 
Bibliografia 
HAYKIN, Simon S.; VAN VEEN, Barry. Sinais e sistemas. Porto Alegre: Bookman, 2001. 668 p. ISBN 
8573077417. Páginas 59-70. 
 
LATHI, Bhagwandas Pannalal. Signal processing and linear systems. California: Berkeley, c1998. 734 p. 
ISBN 0941413357. Páginas 562-572. 
 
 
2. Sistemas de tempo discreto no domínio do tempo 
 Em aulas passadas já foi discutido o conceito de sistema. Foi visto que um 
sistema é uma interconexão de operações que transforma um sinal de entrada 
em um sinal de saída. Neste curso, abordam-se particularmente os sistemas 
em que os sinais são de tempo discreto. Estes sistemas são chamados de sis-
temas de tempo discreto. 
• Matematicamente, se expressa um sistema por um operador. Por exemplo, 
para dizer que um sinal é a saída de um sistema [ ]ny H cuja entrada é [ ]nx es-
creve-se: 
[ ] [ ][ ]nxHny = 
Em diagrama de blocos: 
 [ ]nx [ ]ny
H 
 
Exercícios 
1. (LATHI, 1998; p. 572) Uma média móvel é usada para detectar a tendência 
de uma variável que flutua muito rapidamente como as médias do mercado 
de ações. Uma variável pode flutuar (para cima ou para baixo) diariamente, 
mascarando a sua tendência de longo prazo. 
1 
 
Processamento Digital de Sinais – Aula 4T – Professor Marcio Eisencraft – março 2007 
 Podemos obter a tendência de longo prazo suavizando ou tomando a mé-
dia dos últimos valores da variável. Para o mercado de ações, podemos con-
siderar uma média móvel de 3 dias como sendo a média dos valores de fe-
chamento do mercado de ações dos últimos três dias, 
N
][ny
[ ]nx , e . [ ]1−nx [ ]2−nx
(a) Escreva a equação de diferenças relacionando com a entrada . ][ny [ ]nx
(b) Usando elementos de atraso, faça um diagrama de blocos deste filtro de mé-
dia móvel. 
 
2. (LATHI, 1998; p. 611) Resolva a seguinte equação iterativamente (primeiros 
três termos apenas): 
[ ] [ ] [ ] 0216,016,0 =−−−− nynyny com [ ] 251 =−y , . [ ] 02 =−y
 
3. (LATHI, 1998; p. 611) Resolva a seguinte equação iterativamente (primeiros 
três termos apenas): 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [nxnxnxnynyny 31322132 ]++++=++++ 
com . 2y[-2] e 3y[-1] u[n],3x[n] === n
 
4. (LATHI, 1998; p. 571) A saída de uma caixa registradora representa o 
preço total de itens passados pela caixa. A entrada é o preço do -
ésimo item. 
][ny
n [ ]nx n
(a) Escreva a equação de diferenças relacionando a ][ny [ ]nx . 
(b) Esquematize a realização deste sistema usando APENAS UM elemento de 
atraso. 
 
2 
 
Processamento Digital de Sinais – Aula 4T – Professor Marcio Eisencraft – março 2007 
2.1 Classificação de sistemas 
2.1.1 Memória 
• Diz-se que um sistema possui memória se sua saída depende de valores pas-
sados ou futuros do sinal de entrada. A extensão temporal de valores passados 
dos quais a saída depende define quão longe a memória se estende no passado. 
• Em contrapartida, diz-se que um sistema é sem memória se seu sinal de saída 
depende somente do valor presente do sinal de entrada. 
• Por exemplo, o sistema de média móvel do Exercício 1 descrito pela relação 
entrada-saída: 
[ ] [ ] [ ]( )21
3
1][ −+−+= nxnxnxny 
tem memória, uma vez que o valor do sinalde saída no instante depende 
do valor atual e de dois valores passados do sinal de entrada . 
][ny n
[ ]nx
• Por outro lado, um sistema descrito pela relação: 
[ ] [ ]nxny 2= 
é sem memória uma vez que o valor do sinal de saída no tempo depende 
apenas do valor atual do sinal de entrada 
][ny n
[ ]nx . 
 
2.1.2 Causalidade 
• Diz-se que um sistema é causal se o valor atual do sinal de saída depender 
somente dos valores presentes e/ou passados do sinal de entrada. Em contrapar-
tida, o sinal de saída de um sistema não-causal depende de valores futuros do 
sinal de entrada. 
• Por exemplo, o sistema de média móvel já descrito, 
3 
 
Processamento Digital de Sinais – Aula 4T – Professor Marcio Eisencraft – março 2007 
[ ] [ ] [ ]( )21
3
1][ −+−+= nxnxnxny 
é causal. Por outro lado, o sistema de média móvel descrito por: 
[ ] [ ] [( )11
3
1][ −+++= nxnxnxny ] 
é não-causal uma vez que o sinal de saída [ ]ny depende de um valor futuro do 
sinal de entrada, a saber, . [ ]1+nx
 
2.1.3 Invariância no tempo 
• Diz-se que um sistema é invariante no tempo se um retardo de tempo ou a-
vanço de tempo do sinal de entrada levar a um deslocamento idêntico no sinal de 
saída. Isto implica que um sistema invariante no tempo reage de maneira idênti-
ca, não importa quando o sinal de entrada seja aplicado. Dizendo com outras 
palavras, as características de um sistema invariante no tempo não se modificam 
com o tempo. Caso contrário, diz-se que o sistema é variante no tempo. 
• Por exemplo, o sistema [ ] [ ]12 −= nxny é invariante no tempo. Já o sistema 
 é variante no tempo. [ ] ( )nxrny n=
 
2.1.4 Linearidade 
• Dizemos que um sistema é linear quando são válidos os princípios da super-
posição e da homogeneidade explicados a seguir. Caso contrário, o sistema é 
chamado não-linear. 
 
 
 
4 
 
Processamento Digital de Sinais – Aula 4T – Professor Marcio Eisencraft – março 2007 
A. Princípio da superposição 
Seja um sistema e sejam [ ] [ ][ nxHny = ] [ ]ny1 a resposta à entrada e [ ]nx1 [ ]ny2 a 
resposta à entrada . Um sistema satisfaz o princípio da superposição se, 
quando aplicamos a ele a entrada 
[ ]nx2
[ ] [ ] [ ]nxnxnxS 21 += sua saída é [ ] [ ]nynyyS 21 += . 
 
B. Princípio da homogeneidade 
Seja um sistema e seja [ ] [ ][ nxHny = ] [ ]ny1 a resposta à entrada . Um sistema 
satisfaz ao princípio da homogeneidade se quando aplicamos a ele a entrada 
, , sua saída é 
[ ]nx1
[ ] [ ]naxnxH 1= *Ra∈ [ ] [ ]naynyH 1= . 
• Assim, para verificar se um sistema é linear é necessário testar as duas condi-
ções acima. 
 
Exercícios 
5. (1021) Um sistema linear e invariante no tempo tem a seguinte resposta à 
entrada [ ] [ ]nnx δ= (resposta impulsiva): 
 
Faça um esboço da saída deste sistema quando a entrada é: [ ]ny
(a) [ ] ][3 nnx δ= 
(b) [ ] ]2[ −= nnx δ 
(c) [ ] [ ] [ ]15,02 −+= nnnx δδ 
5 
 
Processamento Digital de Sinais – Aula 4T – Professor Marcio Eisencraft – março 2007 
6. (1031) Um sistema de tempo discreto é definido pela seguinte equação de 
diferenças: 
[ ] [ ] [ ]( )11 −−= nxnxny 
(a) Este sistema é causal? Justifique. 
(b) Este sistema tem memória? Justifique. 
(c) Este sistema é linear? Justifique. 
(d) Este sistema é invariante no tempo? Justifique. 
(e) Determine iterativamente a resposta ao degrau deste sistema ( [ ] [ ]nunx = ) para 
. 50 ≤≤ n
(f) Repita o item (e) para [ ] [ ].2−= nunx . 
(g) Repita o item (e) para [ ] [ ]nunx 3= . 
Resp: (f) ; (g) [ ] { } 50 ,0;0;0;1;0;0 ≤≤= nny [ ] { } 50 ,6;6;6;6;6;3 ≤≤−−−−−= nny 
 
 
6 
 
Processamento Digital de Sinais – Aula 5T – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2007 
1 
Aula 5T – Representação de sistemas LIT: 
 A soma de convolução 
Bibliografia 
 HAYKIN, Simon S.; VAN VEEN, Barry. Sinais e sistemas. Porto Alegre: Bookman, 2001. 668 p. ISBN 
8573077417. Páginas 85-99. 
 OPPENHEIM, Alan V.; WILLSKY, Alan S.; NAWAB, S. Hamid. Signals & systems. 2nd. ed. Upper Sad-
dle River, New Jersey: Prentice-Hall, c1997. 957 p. ISBN 0138147574. Páginas 74-90. 
 
2.2. Sistemas LIT – A soma de convolução 
ƒ Os sistemas mais utilizados em quase todas as áreas da Engenharia são os 
sistemas lineares invariantes no tempo (abreviadamente, LIT ou LTI em in-
glês). 
ƒ O principal motivo para esta preferência é que este tipo de sistema fica to-
talmente caracterizado pela sua resposta impulsiva, ou seja, pela saída do sis-
tema quando colocamos em sua entrada o sinal impulso unitário [ ]nδ . Em ou-
tras palavras, se soubermos a resposta de um sistema LIT a uma entrada im-
pulsiva, saberemos calcular sua resposta para qualquer entrada. 
ƒ Veja, por exemplo, o exercício a seguir (Exercício 6 da aula 4T). 
 
Exercício 
1. (1021) Um sistema linear e invariante no tempo tem a seguinte resposta à en-
trada [ ] [ ]nnx δ= (resposta impulsiva): 
 
Faça um esboço da saída [ ]ny deste sistema quando a entrada é: 
(a) [ ] ][3 nnx δ= 
Processamento Digital de Sinais – Aula 5T – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2007 
2 
(b) [ ] ]2[ −= nnx δ 
(c) [ ] [ ] [ ]15,02 −+= nnnx δδ 
 
• Resumindo, como qualquer sinal [ ]nx pode ser descrito como uma soma pon-
derada de impulsos, sendo o sistema LIT e conhecendo a resposta a um im-
pulso, poderemos determinar a saída devida a qualquer entrada [ ]nx . 
• Se a entrada de um sistema linear for expressa como uma superposição pon-
derada de impulsos deslocados no tempo, a saída será uma superposição 
ponderada da resposta do sistema a cada impulso deslocado no tempo. Se o 
sistema for também invariante no tempo, a resposta do sistema a um impulso 
deslocado no tempo será uma versão deslocada no tempo da resposta do sis-
tema a um impulso. Por isso, a saída de um sistema LIT é dada por uma su-
perposição ponderada de respostas ao impulso deslocadas no tempo. 
• Essa superposição é chamada de soma de convolução. 
• Na aula de hoje analisaremos este fato e suas conseqüências em detalhes. 
 
2.2.1 A soma de convolução 
• Considere um sinal qualquer [ ]nx . Sabemos que 
[ ] [ ] [ ] [ ]nxnnx δδ 0= 
Ou seja, a multiplicação de um sinal [ ]nx por um impulso [ ]nδ resulta num im-
pulso de intensidade [ ] [ ]nx δ0 . A figura seguinte ilustra este produto. 
 
Processamento Digital de Sinais – Aula 5T – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2007 
3 
• Generalizando esta expressão podemos dizer que 
[ ] [ ] [ ] [ ]knkxknnx −=− δδ 
• Ou seja, a multiplicação de um sinal por um impulso deslocado no tempo re-
sulta em um impulso deslocado no tempo com amplitude dada pelo valor no 
instante em que o impulso ocorre. Esta propriedade nos permite expressar 
[ ]nx como a seguinte soma de impulsos deslocados no tempo: 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] KK +−+−+++−++−+= 221101122 nxnxnxnxnxnx δδδδδ 
• De forma mais concisa, podemos escrever: 
[ ] [ ]∑∞
−∞=
−=
k
knkxnx δ][ (1) 
 
Exercícios 
2. Escreva o sinal [ ]nx da figura anterior como uma soma ponderada de impul-
sos. 
 
3. Esboce o seguinte sinal [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]15,11225 −+++++= nnnnns δδδδ . 
 
• Vamos analisar agora a saída de um sistema LIT a uma entrada [ ]nx descrita 
pela equação (1) acima. 
 
 
 
 
• Vamos chamar de H o operador que representa a operação realizada por este 
sistema e de [ ]nh a resposta deste sistema a um impulso, ou seja, 
[ ][ ]
[ ] [ ][ ]nHnh
nxHny
δ=
=][
 (2) 
• Sendo assim, para uma entrada qualquer [ ]nx podemos escrever usando as 
Equações (1) e (2): 
x[n] y[n] 
H 
Processamento Digital de Sinais – Aula 5T – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2007 
4 
[ ] [ ][ ] [ ] [ ]⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −== ∑∞
−∞=k
knkxHnxHny δ 
• Levando-se em conta que o sistema é linear, podemosaplicar a superposição 
e a homogeneidade para aplicar o operador a cada uma das parcelas da soma-
tória. Obtemos assim: 
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]∑∑ ∞
−∞=
∞
−∞=
−=−=
kk
knHkxknkxHny δδ 
• Utilizando agora o fato de que o sistema é invariante no tempo, temos que a 
resposta a um impulso atrasado de k amostras é a saída impulsiva atrasada 
de k amostras, ou seja, [ ][ ] [ ]knhknH −=−δ . Assim, concluímos que: 
[ ] [ ] [ ]∑∞
−∞=
−=
k
knhkxny (3) 
• Desta forma vemos realmente que a resposta de um sistema LIT qualquer é 
dada por uma soma ponderada da resposta impulsiva deslocada no tempo. Ou 
seja, ela é totalmente descrita pela entrada e pela resposta impulsiva. 
• A somatória da Eq. (3) é chamada de soma de convolução e representada pe-
lo símbolo *, ou seja, 
[ ] [ ] [ ] [ ]∑∞
−∞=
−=∗
k
knhkxnhnx 
• A Figura 1 a seguir do (HAYKIN; VEEN, 2001) ilustra o processo de convo-
lução. A figura (a) descreve a resposta ao impulso de um sistema LIT arbitrá-
rio. Na figura (b) a entrada é representada como uma soma de impulsos pon-
derados e deslocados no tempo [ ] [ ] [ ]knkxnpk −= δ . A saída do sistema associ-
ada a cada pulso [ ]npk é 
[ ] [ ] [ ]knhkxnvk −= 
Processamento Digital de Sinais – Aula 5T – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2007 
5 
 
Figura 1 – A soma de convolução (HAYKIN; VEEN, 2001). 
Processamento Digital de Sinais – Aula 5T – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2007 
6 
• Ou seja, [ ]nvk é obtida deslocando-se, no tempo, a resposta impulsiva de k 
unidades e multiplicando-se por [ ]kx . A saída [ ]ny em resposta à entrada [ ]nx 
é obtida somando-se todas as seqüências [ ]nvk : 
[ ] [ ]∑∞
−∞=
=
k
k nvny 
• Assim, somamos para cada valor de n os valores ao longo do eixo k indica-
dos no lado direito da figura (b). 
 
Exercício 
4. (HAYKIN; VEEN, 2001; p. 88) Suponha que um sistema H LIT tenha a 
resposta ao impulso: 
[ ]
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
±=
=
contrário caso ,0
0 2
1 ,1
n
n
nh 
Determine a resposta deste sistema em resposta à entrada 
[ ]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−
=
=
=
contrário caso ,0
2 ,2
1 ,3
0 ,2
n
n
n
nx 
 
• No exercício acima, encontramos todos os [ ]nvk e depois somamos para todos 
os valores de k para determinarmos [ ]ny . Esta abordagem é muito eficaz 
quando a entrada tem curta duração, de forma que somente um pequeno nú-
mero de sinais [ ]nvk precisa ser determinado. Quando a entrada tem uma du-
ração longa, um número muito grande, possivelmente infinito de sinais [ ]nvk 
precisa ser avaliado antes que [ ]ny possa ser encontrado. 
• Uma abordagem mais interessante é olharmos novamente para a equação 
[ ] [ ] [ ]∑∞
−∞=
−=
k
knhkxny 
Processamento Digital de Sinais – Aula 5T – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2007 
7 
e imaginarmos que n está fixo. Desta forma, para calcularmos a saída num certo 
instante 0n precisaríamos calcular: 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∑ ∞
−∞=
∞
−∞=
−−=−=
kk
nkhkxknhkxny )( 000 (4) 
o que consiste em somar todos os elementos do sinal [ ] [ ] ( )[ ]00 nkhkxkwn −−= ou 
seja, do produto do sinal de entrada pela resposta impulsiva do sistema invertida 
no tempo e deslocada de 0n unidades. 
• Os exercícios seguintes devem ilustrar este enfoque. 
 
Exercícios 
5. Encontre a resposta nos instantes 1=n e 2=n para o sistema e para a entrada 
do Exercício 4 usando a abordagem discutida acima. 
 
6. (HAYKIN; VEEN, 2001, p. 91) Um sistema LIT tem resposta ao impulso: 
[ ] [ ]nunh n⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
4
3 
Determine a saída do sistema nos instantes 5−=n , 5=n e 10=n quando a entra-
da for [ ] [ ]nunx = . 
RESP: [ ] 05 =−y , [ ] 288,35 =y , [ ] 831,310 =y 
 
7. Escreva uma fórmula para [ ]kwn para o Exercício anterior e encontre [ ]ny pa-
ra todo n . 
RESP: [ ] [ ]
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ≥⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ≤≤⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=
+−
contrário caso ,0
0 ,
4
314
 ,
contrário caso , 0
0 ,
4
3
1
n
nynkkw
nnk
n
 
 
• Este último exercício sugere que, em geral, podemos determinar [ ]ny para to-
do n sem avaliarmos a Eq. (4) para um número infinito de deslocamentos 
distintos no tempo n . Isto é realizado identificando-se os intervalos de n nos 
quais [ ]kwn tem a mesma forma funcional. Depois, precisamos somente ava-
liar a Eq. (4) usando o [ ]kwn associado com cada intervalo. Muitas vezes é 
Processamento Digital de Sinais – Aula 5T – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2007 
8 
muito útil traçarmos graficamente tanto [ ]kx como [ ]knh − quando determi-
namos [ ]kwn e identificamos os intervalos apropriados de deslocamento no 
tempo. Resumindo: 
1. Trace graficamente [ ]kx e [ ]knh − como uma função da variável independente 
k . Para determinar [ ]knh − , primeiramente reflita [ ]kh em torno de 0=k para 
obter [ ]kh − e depois desloque [ ]kh − de n− no tempo. 
2. Inicie com o deslocamento de tempo n grande e negativo. 
3. Escreva a forma funcional para [ ]kwn . 
4. Aumente o deslocamento no tempo n até que a forma funcional para [ ]kwn se 
modifique. O valor de n no qual ocorre a modificação define o fim do inter-
valo corrente e o início de um novo intervalo. 
5. Admitamos que n esteja no novo intervalo. Repita os passos 3 e 4 até que to-
dos os intervalos de deslocamento no tempo n e as formas funcionais para 
[ ]kwn sejam identificados. Isto usualmente implica em aumentar n até um 
número positivo muito grande. 
6. Para cada intervalo de deslocamento no tempo n , some todos os valores de 
[ ]kwn correspondente para obter [ ]ny neste intervalo. 
 
Exercícios 
8. (HAYKIN; VEEN, 2001, p. 93) Um sistema LIT tem a resposta ao impulso 
dada por: 
[ ] [ ]10][ −−= nununh 
Determine a saída deste sistema quando a entrada for o pulso retangular definido 
como 
[ ] [ ] [ ]72 −−−= nununx 
Processamento Digital de Sinais – Aula 5T – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2007 
9 
 
RESP: 
[ ]
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
>
≤≤−
≤<
≤≤−
<
=
 16n 0,
16n12 ,16
116 ,5
62 ,1
2 ,0
n
n
nn
n
ny
 
 
9. (HAYKIN; VEEN, 2001, p. 95) Admitamos que a entrada [ ]nx para um sis-
tema H do tipo LIT seja dada por [ ] [ ] [ ]{ }10−−= nununx nα e que a resposta ao 
impulso do sistema seja dada por [ ] [ ]nunh nβ= em que 10 << β . Encontre a 
saída deste sistema. 
RESP: 
[ ]
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
>
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
≤≤
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
<
=
+
9 ,
-1
-1
90 ,
-1
-1
0 ,0
10
n
1
n
n
n
n
ny
n
β
α
β
α
β
β
α
β
α
β
 
 
10. (HAYKIN; VEEN, 2001, p. 96) Admitamos que a entrada de um sistema LIT 
com resposta ao impulso [ ] [ ] [ ]{ }132 −−−= nununh nα seja 
[ ] [ ] [ ]{ }1222 −−+= nununx . Encontre a saída [ ]ny . 
RESP: 
[ ]
( )
( )
( )
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
≥
≤≤
≤≤
≤≤
<
=
+
24 ,0
2314 ,
-1
-12
1311 ,
-1
-12
100 ,
-1
-12
0 ,0
1-
24-n12
1-
11-12
1-
1-n-2n
n
n
n
n
n
ny
α
αα
α
αα
α
αα
 . 
 
Processamento Digital de Sinais – Aula 5T – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2007 
10 
11. (HAYKIN; VEEN, 2001, p. 97) Suponha que a entrada [ ]nx e a resposta ao 
impulso [ ]nh de um sistema H do tipo LIT sejam dadas por: 
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]101
632
−−+=
−−−+−=
nununh
nunununx 
Encontre a saída deste sistema, [ ]ny . 
RESP: 
[ ]
⎪⎪
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
≥
≤<+−
≤≤−
<≤
<≤
<≤−
−<
=
15n ,0
1512 15
119 9
94 ,0
42 4,-
11- 2,-n
1 ,0
nn
nn
n
nn
n
n
ny
 . 
 
12. (HAYKIN; VEEN, 2001, p. 97) Considere um sistema LIT com resposta ao 
impulso: 
[ ]
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ≤≤=
contrário caso ,0
30 ,
4
1 n
nh 
Encontre uma expressão que relacione diretamente uma entrada arbitrária [ ]nx à 
saída deste sistema, [ ]ny . 
RESP: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )1 1 2 3
4
y n x n x n x n x n= + − + − + − . 
 
Processamento Digital de Sinais – Aula 7T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 
Aula 7T – Propriedades da resposta ao impulso 
Bibliografia 
HAYKIN, Simon S.; VAN VEEN, Barry. Sinais e sistemas. Porto Alegre: Bookman, 2001. 668 p. ISBN 
8573077417. Páginas 108-120. 
 
OPPENHEIM, Alan V.; WILLSKY, Alan S.; NAWAB, S. Hamid. Signals & systems. 2nd. ed. Upper Sad-
dle River, New Jersey: Prentice-Hall, c1997. 957 p. ISBN 0138147574. Páginas 103-116. 
 
 
2.3 Propriedades da representação da resposta ao impulso para sistemas 
LIT 
• Vimos nas últimas aulas que a resposta ao impulso de um sistema LIT o ca-
racteriza completamente. Desta forma, apenas olhando a resposta impulsiva, 
deve ser possível descobrir se um sistema LIT é causal ou tem ou não memó-
ria e o resultado da interconexão desses sistemas. Esse será o assunto desta 
aula. 
 
2.3.1 Conexão paralela de sistemas LIT 
• Consideremos a seguinte conexão paralela de sistemas LIT em que [ ]nh1 e 
 são as respostas impulsivas de cada sistema: [ ]nh2
 
Figura 1 – Conexão paralela de sistemas 
 
• A saída desta conexão de sistemas [ ]ny é a soma das saídas de cada sistema: 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [nhnxnhnxnynyny 2121 ]∗+∗=+= 
• Usando a representação da convolução por somatórias, podemos escrever que 
1 
Processamento Digital de Sinais – Aula 7T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]knhkxknhknhkxny
knhkxknhkxny
kk
kk
−=−+−=
⇒−+−=
∑∑
∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
21
21
 
sendo [ ] [ ] [ ]nhnhnh 21 += . Ou seja, tudo se passa como se a resposta impulsiva do 
sistema equivalente ao da Figura 1 fosse o da Figura 2 a seguir: 
 
Figura 2 – Sistema equivalente ao da Figura 1 
 
• A resposta ao impulso de dois sistemas conectados em paralelo é a soma das 
respostas individuais ao impulso. 
• Uma outra forma de enxergar esse fato é dizer que a convolução possui a 
propriedade distributiva: 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )nhnhnxnhnxnhnx 2121 +∗=∗+∗ 
 
2.3.2 Conexão em cascata de sistemas 
• Consideremos agora a conexão em cascata de dois sistemas LIT ilustrada na 
Figura 3 a seguir. 
 
Figura 3 – Conexão em cascata de sistemas LIT 
 
• Chamamos de a saída do primeiro sistema e a entrada para o segundo 
sistema da conexão em cascata. Podemos expressar a saída em termos de 
[ ]nz
[ ]nz 
como 
2 
Processamento Digital de Sinais – Aula 7T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∞
−∞=
−=∗=
k
knhkznhnzny 22 (1) 
• Porém, é a saída do primeiro sistema e é expressa em termos de [ ]kz [ ]kx co-
mo: 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∞
−∞=
−=∗=
l
ll khxkhkxkz 11 (2) 
• Substituindo (2) em (1), temos: 
[ ] [ ] [ ] [ ]∑ ∑∞
−∞=
∞
−∞=
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
k
knhkhxny 21
l
ll 
• Trocando a ordem das somatórias em (3) e fazendo l−= km , temos: 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑ ∑∑ ∑ ∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=−−=
ll
llll
mk
mnhmhxknhkhxny 2121 (3) 
• A somatória interna é identificada como a convolução de com [ ]nh1 [ ]nh2 ava-
liada em . Ou seja, se definirmos l−n [ ] [ ] [ ]nhnhnh 21 ∗= , então, 
[ ] [ ] [ ]ll −=−−∑∞
−∞=
nhmnhmh
m
21 (4) 
• Substituindo (4) em (3), obtemos: 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nhnxnhxny ∗=−= ∑∞
−∞=l
ll 
• Conseqüentemente, a resposta ao impulso de dois sistemas LIT conectados 
em cascata é a convolução das respostas impulsivas individuais. A conexão 
em cascata é equivalente em termos de entrada-saída ao sistema único repre-
sentado pela resposta ao impulso [ ]nh , como mostra a Figura 4. 
 
Figura 4 – Sistema equivalente ao da Figura 3 
 
• Matematicamente, este resultado significa que a soma de convolução satisfaz 
as propriedades associativa e comutativa: 
3 
Processamento Digital de Sinais – Aula 7T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 
[ ] [ ]{ } [ ] [ ] [ ] [ ]{ }
[ ] [ ] [ ] [ ]nhnhnhnh
nhnhnxnhnhnx
1221
2121
∗=∗
∗∗=∗∗
 
 
Exercício 
1. (HAYKIN; VEEN, 2001; p.110) Considere a interconexão de sistemas LIT 
descrita na figura a seguir. A resposta de cada sistema é dada por 
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]nunh
nnh
nununh
nunh
nα
δ
=
−=
−+=
=
4
3
2
1
2
2
 
Encontre a resposta ao impulso do sistema global, [ ]nh . 
 
 
2.3.3 Sistemas sem memória 
• Já vimos que a saída de um sistema sem memória depende somente da entra-
da atual. A pergunta que tentaremos responder agora é: como identificar um 
sistema LIT sem memória apenas olhando sua resposta impulsiva? Ou como 
deve ser a resposta impulsiva de um sistema LIT sem memória? 
• Explorando-se a propriedade comutativa da convolução, a saída de um siste-
ma LIT pode ser expressa como 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∞
−∞=
−=∗=
k
knxkhnxnhny . 
• Para que este sistema seja sem memória, [ ]ny deve depender somente de [ ]nx 
e não de [ knx ]− para . Conseqüentemente, um sistema LIT de tempo 0≠k
4 
Processamento Digital de Sinais – Aula 7T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 
discreto é sem memória se, e somente se, [ ] [ ]kckh δ= , em que é uma cons-
tante arbitrária. 
c
• Assim, a condição de ausência de memória impõe fortes restrições na forma 
da resposta ao impulso. Todos os sistemas LIT sem memória realizam multi-
plicação escalar com a entrada. 
 
2.3.4 Sistemas causais 
• Já vimos que a saída de um sistema causal depende somente dos valores pas-
sados ou presentes da entrada. Vamos ver agora como isso se reflete na res-
posta impulsiva de sistemas LIT. 
• Escrevemos a soma de convolução como: 
[ ] [ ] [ ]∑∞
−∞=
−=
k
knxkhny 
• Os valores passados e atuais da entrada [ ]nx , [ ]1−nx , [ ]2−nx ,..., são associa-
dos com índices na soma de convolução, enquanto que os valores futu-
ros da entrada , 
0≥k
[ ]1+nx [ 2]+nx ,... são associados com índices . 0<k
• Conseqüentemente, para um sistema causal, teremos [ ] 0=kh para . 0<k
 
Exercício 
2. (HAYKIN; VEEN, 2001, p. 113) Um sistema de tempo discreto tem a res-
posta ao impulso: 
[ ] [ ]2+= nuanh n 
Este é um sistema causal? Tem memória? 
 
2.3.5 Resposta ao degrau 
• A resposta de um sistema LIT a um degrau caracteriza como o sistema res-
ponde a mudanças repentinas na entrada. 
5 
Processamento Digital de Sinais – Aula 7T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 
• A resposta ao degrau é facilmente expressa em termos da resposta ao impul-
so usando-se a convolução, supondo-se que a entrada seja uma função de-
grau. 
• Admitamos que um sistema tenha a resposta ao impulso e denote a res-
posta ao degrau como . Teremos: 
[ ]nh
[ ]ns
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∞
−∞=
−=∗=
k
knukhnunhns 
• Como [ ] 0=− knu para e nk > [ ] 1=− knu para nk ≤ , temos: 
[ ] [ ]∑
−∞=
=
n
k
khns 
• Ou seja, a resposta ao degrau é a soma corrente da resposta ao impulso. 
 
Exercício 
3. (HAYKIN; VEEN, 2001, p. 116) Encontre a resposta ao degrau de um siste-
ma de tempo discreto com resposta ao impulso: 
[ ] ( ) [ ]nuanh n−= 
 
2.3.6 Sistemas invertíveis e desconvolução 
•Um sistema é invertível se a entrada do sistema puder ser recuperada a partir 
de sua saída. 
• Isso implica a existência de um sistema inverso que toma a saída do sistema 
original como sua entrada e produz a entrada do sistema original. 
• A Figura 5 a seguir descreve a cascata de um sistema LIT que tem resposta 
ao impulso com um sistema inverso LIT que tem resposta ao impulso 
. 
][nh
][1 nh−
 
Figura 5 – Cascata de um sistema LIT com seu sistema inverso. 
6 
Processamento Digital de Sinais – Aula 7T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 
• O processo para recuperar [ ]nx de [ ] [ ]nxnh ∗ é denominado desconvolução, 
uma vez que ele corresponde a inverter ou desfazer a operação de convo-
lução. 
• Um sistema inverso tem saída [ ]nx em resposta a entrada [ ] [ ] [ ]nxnhny ∗= e 
desta forma resolve o problema da desconvolução. 
• A desconvolução e os sistemas inversos desempenham um papel impor-
tante em muitos problemas de processamento de sinais e sistemas. 
• Um problema comum é o de inverter ou equalizar a distorção introduzida 
por um sistema não ideal. 
• Por exemplo, considere o uso de um modem de alta velocidade para co-
municar-se por meio de linhas telefônicas. A distorção causada pela rede 
telefônica impõe graves restrições à taxa em que as informações podem 
ser transmitidas; desta forma um equalizador é incorporado ao modem. O 
equalizador inverte a distorção da rede telefônica e permite que taxas de 
dados muito mais altas sejam atingidas. Neste caso, o equalizador repre-
senta um sistema inverso para a rede telefônica. 
• A relação entre a resposta ao impulso de um sistema e o sistema in-
verso correspondente 
[ ]nh
[ ]nh 1− pode ser obtida notando-se que 
[ ] [ ] [ ]( ) [ ]nxnhnhnx =∗∗ −1 
• Isto implica que 
 
[ ] [ ] [ ]nnhnh δ=∗ −1 (5) 
 
• Em muitas aplicações de equalização, um sistema inverso exato pode ser di-
fícil de encontrar ou implementar. A determinação de uma solução aproxi-
mada para a Equação (5) muitas vezes é suficiente nesses casos. 
 
 
 
7 
Processamento Digital de Sinais – Aula 7T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 
Exercício 
4. (HAYKIN; VEEN, 2001, p. 114) Considere projetar um sistema de tempo 
discreto para eliminar a distorção associada com um eco indesejável num 
problema de transmissão de dados. Suponha que o eco seja representado co-
mo atenuação por uma constante a e um retardo correspondente a uma uni-
dade de tempo na seqüência de entrada. Daí, o sinal recebido distorcido, [ ]ny , 
ser expresso em termos do sinal transmitido [ ]nx como: 
[ ] [ ] [ ]1−+= naxnxny 
Encontre um sistema inverso causal que recupere [ ]nx de . [ ]ny
RESP: [ ] ( ) [ ]nuanh n−=−1
8 
Processamento Digital de Sinais – Aula 8T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 
Aula 8T – Representação por equações de diferenças para sistemas LIT 
Bibliografia 
HAYKIN, Simon S.; VAN VEEN, Barry. Sinais e sistemas. Porto Alegre: Bookman, 2001. 668 p. ISBN 
8573077417. Páginas 120-132. 
 
LATHI, Bhagwandas Pannalal. Signal processing and linear systems. California: Berkeley, c1998. 734 p. 
ISBN 0941413357. Páginas 573 – 578. 
 
 
2.4. Representação por equações de diferenças para sistemas LIT 
• Uma outra forma de representar um sistema de tempo discreto linear e inva-
riante no tempo (LIT) é através de equações de diferenças. 
• De uma forma geral, temos: 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ MnxbnxbnxbNnyanyanya MN − ]++−+=−++−+ ++ 121121 11 KL ou 
[ ] [ ]1 1
0 0
N M
k k
k k
a y n k b x n k+ +
= =
− = −∑ ∑ (1) 
 
 
• O número , correspondente ao número máximo de valores da saída que 
devem ser guardados para o cálculo das futuras saídas do sistema é chamado 
de ordem da equação de diferenças. 
N
• Um exemplo de equação de diferenças de segunda ordem é 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ 122
4
11 −+=−+−+ nxnxnynyny ]
]
 
• Esta equação poderia representar a relação entre os sinais de entrada e saída 
de um sistema que processa dados em um computador, por exemplo. Neste 
caso a ordem é porque a equação de diferenças envolve , impli-
cando uma memória máxima na saída do sistema igual a dois. 
2=N [ 2−ny
• As equações de diferenças são facilmente reorganizadas para se obter formu-
las para computar a saída corrente do sistema a partir do sinal de entrada e 
das saídas passadas. 
• Por exemplo, a equação anterior pode ser reescrita como: 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2
4
1112 −−−−−+= nynynxnxny 
1 
Processamento Digital de Sinais – Aula 8T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 
Iniciando com 0=n podemos obter a saída avaliando a seqüência das equações 
M
]1[
4
1]2[]2[2]3[]3[
]0[
4
1]1[]1[2]2[]2[
]1[
4
1]0[]0[2]1[]1[
]2[
4
1]1[]1[2]0[]0[
yyxxy
yyxxy
yyxxy
yyxxy
−−+=
−−+=
−−−+=
−−−−−+=
 
• Em cada equação, a saída corrente é computada a partir da entrada e dos va-
lores passados da saída. Para começarmos este processo no instante 0=n , 
devemos conhecer os dois valores passados mais recentes da saída [ ]1−y e 
. Estes valores são conhecidos como condições iniciais. [ 2−y ]
• As condições iniciais reúnem todas as condições sobre o passado do sistema 
que são necessárias para se computar as saídas futuras. Note que, em geral, o 
número de condições iniciais necessárias para determinar a saída é igual à 
ordem do sistema. 
 
2.4.1. A notação operacional 
• Em equações de diferenças é comum utilizar-se de uma notação operacional 
parecida com a que foi vista em Circuitos Elétricos para equações diferenci-
ais (Transformada de Laplace). 
• Utilizaremos o operador para denotar a operação de atrasar uma seqüên-
cia de uma unidade de tempo. Assim 
1−z
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]knfnfz
nfnfz
nfnfz
k −≡
−≡
−≡
−
−
−
L
2
1
2
1
 
• Assim, uma equação de diferenças da forma: 
[ ] [ ] [ ]nxnayny =−− 1 
pode ser escrita como 
2 
Processamento Digital de Sinais – Aula 8T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 
[ ] [ ] [ ]nxnyazny =− −1 
ou 
( ) [ ] [ ]nxnyaz =− −11 
• A equação de segunda ordem 
[ ] [ ] [nxnynyny =−+−+ 2
16
11
4
1][ ] 
pode ser expressa como 
[ ] [ ] [ ] [ ]nxnyznyzny =++ −− 21
16
1
4
1 
ou 
[ ] [ ]nxnyzz =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++ −− 21
16
1
4
11 
• Uma equação geral 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ MnxbnxbnxbNnyanyanya MN − ]+−+=−+−+ ++ 121121 11 KK 
Pode ser expressa como 
( ) [ ] ( ) [ ]nxzbzbzbbnyzazazaa MMNN −+−−−+−− ++++=++++ 123121123121 KK 
ou 
[ ] [ ] [ ] [ ]nxzPnyzQ 11 −− = 
em que [ ]1−zQ e [ ]1−zP são os operadores polinomiais de grau e N M 
[ ][ ] NN
N
N
zbzbzbbzP
zazazaazQ
−
+
−−−
−
+
−−−
++++=
++++=
1
2
3
1
21
1
1
2
3
1
21
1
K
K
 
 
Exercícios 
1. (LATHI, 1998, p. 611) Resolva iterativamente (apenas os primeiros três ter-
mos) e escreva as seguintes equações com a notação operacional: 
(a) , com [ ] [ ] 015,0 =−− nyny [ ] 101 =−y 
(b) [ ] [ ] [ ]nxnyny =−+ 12 com [ ] [ ]nuenx n−= e [ ] 01 =−y . 
 
 
 
3 
Processamento Digital de Sinais – Aula 8T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 
2.4.2. A resposta à entrada zero ou resposta natural 
• Vamos tentar encontrar uma solução para a equação de diferenças (1) quando 
a entrada é [ ] 0=nx . Esta é conhecida como resposta à entrada nula ou res-
posta natural do sistema e será representada por [ ]ny0 . 
• Assim, temos 
[ ] [ ] 001 =− nyzQ 
ou 
( ) [ ] 00123121 =++++ −+−− nyzazazaa NNK 
ou 
[ ] [ ] [ ] 01 010201 =−++−+ + Nnyanyanya NK (2) 
• Já vimos que podemos resolver esta equação de forma recursiva. Porém, o-
lhando atentamente para a equação acima, podemos determinar de uma 
maneira mais eficiente. 
[ ]ny0
• Esta equação mostra queuma combinação linear de [ ]ny0 e versões atrasadas 
dela resultam zero para todo n . Isto só é possível se [ ]ny0 e suas versões atra-
sadas tiverem a mesma forma. 
• Uma função exponencial tem essa propriedade: nγ
nmmn γγγ −− = 
Esta equação mostra que uma versão atrasada de é a própria multiplicada 
por uma constante. 
nγ nγ
• Assim, uma solução da equação (2) deve ser da forma: 
[ ] ncny γ=0 (3) 
• Para encontrar e c γ substituímos esta solução na Equação (2). A Equação 
(3) implica 
4 
Processamento Digital de Sinais – Aula 8T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ] NnN
n
n
cNnynyz
cnynyz
cnynyz
−−
−−
−−
=−=
=−=
=−=
γ
γ
γ
00
2
00
2
1
00
1
2
1
L 
• Substituindo estes resultados na Equação (2) temos: 
[ ] [ ] [ ] ⇔=−++−+ + 01 010201 Nnyanyanya NK 
⇔=+++ −+− 01121 NnNnn cacaca γγγ K 
( ) 01121 =+++ −+− nNNaaac γγγ K (4) 
• Assumindo 0≠γ e (excluindo as soluções triviais), a Eq. (4) é satisfeita 
quando 
0≠c
01
1
21 =+++ −+− NNaaa γγ K 
 [ ] 01 =−γQ (5) 
• A solução proposta (Eq. (3)) está correta desde que ncγ γ satisfaça a Equa-
ção (5). Para resolvê-la, multiplicamos os dois membros por obtendo: Nγ
01
1
21 =+++ +− NNN aaa Kγγ (6) 
que é um polinômio de grau que tem soluções N N 1γ , 2γ ,..., Nγ . 
• Desta forma a Eq. (2) também terá soluções da forma , ,..., 
. Neste caso, pode-se mostrar que a solução geral é uma combinação 
linear das soluções. Assim, 
N
nc 11γ nc 22γ
n
NNc γ
N
[ ] nNNnn cccny γγγ +++= L22110 
em que 1γ , 2γ ,..., Nγ são as soluções da Eq. (5) e , ,..., são constantes ar-
bitrárias determinadas a partir de condições auxiliares, geralmente dadas na 
forma de condições iniciais. 
1c 2c Nc
N
• O polinômio [ ]1−γQ é chamado de polinômio característico do sistema e a 
equação [ ] 01 =−γQ é chamada de equação característica do sistema. 
5 
Processamento Digital de Sinais – Aula 8T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 
• Além disso, as raízes 1γ , 2γ ,..., Nγ da equação característica são chamadas de 
raízes características ou valores característicos (ou autovalores) do sistema. 
• As exponenciais ( ), são os modos naturais ou modos caracterís-
ticos do sistema. 
n
iγ Ni K,2,1=
• Na discussão, assumimos que o sistema tem raízes características diferen-
tes 
n
1γ , 2γ ,..., Nγ com correspondentes modos característicos , 
,..., . 
nc 11γ
nc 22γ nNNc γ
• Se duas ou mais raízes coincidirem (raízes repetidas), a forma dos modos ca-
racterísticos é modificada. 
• Da mesma forma como em equações diferenciais, se uma raiz γ se repete r 
vezes (raiz de multiplicidade r ), os modos característicos correspondente a 
estas raízes são , , ,..., . nγ nnγ nn γ2 nrn γ1−
• Assim, se um sistema tem raízes características 1γ , 2γ ,..., Nγ sendo que 1γ 
tem multiplicidade r , sua resposta natural é: 
[ ] nnnnrrnrrnrrrnnn cccncncnccny γγγγγγγ ++++++++= ++++ KK 221112312110 
• Outro problema que não foi abordado é o que acontece quando as raízes ca-
racterísticas são complexas. 
• Logicamente, se a equação de diferenças tem coeficientes reais, as raízes 
complexas só podem aparecer em pares conjugados. As raízes complexas 
podem ser tratadas exatamente como raízes reais, no entanto é possível eli-
minar os números complexos trabalhando com soluções reais. 
• Primeiramente, expressamos as raízes complexas γ e na forma polar. Se *γ
γ é o módulo de γ e β sua fase, então: 
βγγ je= e βγγ je−=* 
• A resposta à entrada nula é então dada por 
6 
Processamento Digital de Sinais – Aula 8T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 
[ ] ( )
njnnjn
nn
ecec
ccny
ββ γγ
γγ
−+=
+=
21
*
210
 
• Para um sistema real, e precisam ser conjugados de forma que 1c 2c [ ]ny0 
seja uma função real de . Assim, seja n
θjecc
21
= e θjecc −=
22
 
Desta forma, 
[ ] ( ) ( )[ ]
( )θβγ
γ θβθβ
+=
+= +−+
nc
eecny
n
njnjn
cos
20 
• Nesta solução e c θ deverão ser obtidos das condições iniciais. 
 
Exercício 
2. (2022) Encontre a resposta natural para a seguinte equação de diferenças: 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]14,013,12 −+=++−+ nxnxnynyny 
Considere como condições iniciais [ ] 500 =y e [ ] 710 =y . 
 
3. (2021) Calcule a resposta natural [ ]ny0 do sistema de tempo discreto repre-
sentado pela equação de diferenças 
[ ] [ ] [ ] [ ]15225110 −=−+−− nxnynyny , [ ] 310 =−y , . [ ] 220 =−y
 
4. (2021) Calcule e esboce a resposta natural [ ]ny0 do sistema de tempo discreto 
representado pela equação de diferenças 
[ ] [ ] [ ]15216 −=−+ nxnyny , [ ]
22
110 −=−y , [ ] 24
120 =−y . 
 
2.4.3. Resposta forçada e resposta total de um sistema LIT 
• Já vimos em aulas anteriores que a resposta de um sistema LIT a uma entrada 
 é dada por [ ]nx
7 
Processamento Digital de Sinais – Aula 8T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∞
−∞=
−=∗=
k
knhkxnhnxny 
em que é a resposta impulsiva do sistema. [ ]nh
• Esta resposta, obtida quando as condições iniciais do sistema são nulas, é 
conhecida como resposta forçada do sistema à entrada . [ ]nx
• No caso geral em que temos condições inicias e uma entrada não nula, 
podemos usar sobreposição e escrever: 
[ ] [ ] [ ] [ ]nhnxnyny ∗+= 0 
 
Exercício 
5. (2022) Dado o sistema: 
[ ] [ ] [ ] [ ]119,0 −−=−− nxnxnyny 
com condição inicial [ ] 210 =−y . Pede-se para , 0≥n
(a) Determine iterativamente os cinco primeiros pontos da resposta deste sis-
tema à entrada . [ ] [ ]nunx n−= 2
(b) Determine a resposta natural deste sistema. 
(c) Determine a resposta impulsiva deste sistema (Dica: lembre-se, para cal-
cular resposta impulsiva, consideramos condições iniciais nulas). 
(d) Determine a resposta forçada deste sistema para [ ] [nunx n−= 2 ]. (Dica: lem-
bre-se, para calcular resposta forçada, consideramos condições iniciais nu-
las). 
(e) Determine a resposta completa deste sistema para a entrada [ ] [ ]nunx n−= 2 e 
compare com os pontos obtidos no item (a). 
 
 
8 
Processamento Digital de Sinais – Aula 9T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 
1 
Aula 9T - Resposta de sistemas LIT a exponenciais complexas 
Bibliografia 
ƒ OPPENHEIM, Alan V.; WILLSKY, Alan S.; NAWAB, S. Hamid. Signals & systems. 2nd. ed. Upper Sad-
dle River, New Jersey: Prentice-Hall, c1997. 957 p. ISBN 0138147574. Páginas 182-186. 
ƒ HAYKIN, Simon S.; VAN VEEN, Barry. Sinais e sistemas. Porto Alegre: Bookman, 2001. 668 p. ISBN 
8573077417. Páginas 116-120. 
 
3. Análise de Fourier de sinais de tempo discreto 
3.1. Resposta de sistemas LIT discretos a exponenciais complexas 
• Quando estudamos sistemas LIT é interessante representar sinais como com-
binações lineares de sinais básicos que possuem as seguintes propriedades: 
o O conjunto de sinais básicos pode ser usado para construir uma 
grande e útil classe de sinais. 
o A resposta de um sistema LIT a cada sinal deve ser simples o sufi-
ciente em estrutura para nos permitir uma representação convenien-
te para a resposta do sistema a qualquer sinal construído como uma 
combinação linear dos sinais básicos. 
• Um exemplo de conjunto de sinais básicos que já usamos é [ ]{ }Zkkn ∈− ,δ 
que leva à representação da saída pela soma de convolução. 
• Outro conjunto com características importantes é o conjunto { }nz em que z é 
um número complexo. 
• A importância das exponenciais complexas no estudo de sistemas LIT vem 
do fato de que a resposta de um sistema LIT a uma entrada exponencial com-
plexa é a mesma exponencial complexa apenas com uma mudança de ampli-
tude; isto é, 
( ) nn zzHz → 
em que o fator de amplitude complexa ( )zH será em geral umafunção da variá-
vel complexa z . 
Processamento Digital de Sinais – Aula 9T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 
2 
• Um sinal para o qual a saída de um sistema é uma constante (possivelmente 
complexa) vezes a entrada é chamada de autofunção do sistema e o fator de 
amplitude é chamado de autovalor do sistema. 
• Vamos mostrar que as seqüências exponenciais complexas são autofunções 
de sistemas LIT de tempo discreto. 
• Suponha que um sistema LIT com resposta impulsiva [ ]nh tenha como entra-
da a seqüência 
[ ] nznx = , (1) 
em que z é um número complexo. 
• A saída do sistema pode ser determinada através da soma de convolução 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∑∑ ∞
−∞=
−∞
−∞=
−∞
−∞=
==−=
k
kn
k
kn
k
zkhzzkhknxkhny (2) 
• Desta expressão, vemos que se a entrada [ ]nx é a exponencial complexa dada 
pela Equação (1), então, assumindo que a somatória no segundo membro de 
(2) converge, a saída é a mesma exponencial complexa multiplicada por uma 
constante que depende do valor de z . Isto é, 
[ ] ( ) nzzHny = (3) 
em que 
( ) [ ]∑∞
−∞=
−=
k
kzkhzH
. (4) 
• Consequentemente, as exponenciais complexas são autofunções dos sistemas 
LIT de tempo discreto. A constante ( )zH para um valor específico de z é o 
autovalor associado à autofunção nz . 
• Para a análise de sistemas LIT, a utilidade da decomposição de sinais mais 
gerais em termos de autofunções pode ser visto através de um exemplo. 
• Seja [ ]nx uma combinação linear de três exponenciais complexas, isto é: 
[ ] nnn zazazanx 332211 ++= . 
Processamento Digital de Sinais – Aula 9T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 
3 
• Pela propriedade da autofunção, a resposta de cada uma separadamente é: 
( )
( )
( ) nn
nn
nn
zzHaza
zzHaza
zzHaza
33333
22222
11111
→
→
→
, 
e pela propriedade da superposição, teremos: 
[ ] ( ) ( ) ( ) nnn zzHazzHazzHany 333222111 ++= . 
• De forma mais geral, a Equação (3) em conjunto com a propriedade da su-
perposição mostra que a representação de sinais como uma combinação line-
ar de exponenciais complexas leva a uma expressão conveniente para a res-
posta de um sistema LIT. 
• Especificamente, se a entrada de um sistema LIT for representada por uma 
combinação linear de exponenciais complexas, isto é, se: 
[ ] ∑=
k
n
kk zanx , então a saída será 
[ ] ( )∑=
k
n
kkk zzHany . 
• Em outras palavras, se a entrada de um sistema LIT é representada por uma 
combinação linear de exponenciais complexas, a saída também pode ser re-
presentada como uma combinação linear dos mesmos sinais exponenciais 
complexos. Cada coeficiente desta representação da saída é obtido como o 
produto do respectivo coeficiente da entrada ka e o autovalor do sistema 
( )kzH associado à autofunção nkz . 
• Este fato é uma forte motivação para estudarmos a representação de um dado 
sinal como uma soma de exponenciais complexas. Como obter esta represen-
tação? Quais sinais podem ser escritos assim. É o que veremos nas próximas 
aulas quando estudaremos a representação de sinais de tempo discreto por sé-
ries de Fourier. 
 
 
Processamento Digital de Sinais – Aula 9T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 
4 
Exercícios 
1. (OPPENHEIM; WILLSKY; NAWAB, 1997, p.185 modificado) Considere 
um sistema LIT cuja saída seja a entrada atrasada de três amostras, ou seja, 
[ ] [ ]3−= nxny . 
Pede-se: 
(a) Determine diretamente a saída do sistema quando a entrada for [ ] nnx ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
2
1 . 
(b) Determine a resposta impulsiva do sistema. 
(c) Obtenha ( )zH utilizando a definição (4). 
(d) Determine a saída do sistema à entrada [ ] nnx ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
2
1 usando o item (c). 
(e) Determine a saída do sistema à entrada [ ] ( ) ( )nnnx 7cos4cos += . 
 
2. Considere um sistema LIT com resposta impulsiva [ ] [ ]nunh n⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
3
1 . Usando as 
propriedades de autofunções determine a saída deste sistema quando a entra-
da for: 
(a) [ ] ( )nnx 1= 
(b) [ ] ( )nnx 2= 
(c) [ ] ( )nnx 21+= 
(d) [ ] ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= nnx
4
cos π 
 
3. (MITRA, 2001, p. 277) Mostre que a função [ ] nzna = em que z é uma cons-
tante complexa é uma autofunção de um sistema LIT de tempo discreto. Seria 
[ ] [ ]nuznv n= também uma autofunção de um sistema LIT? 
 
Processamento Digital de Sinais – Aula 11T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 
Aula 11T – Série de Fourier de tempo discreto 
Bibliografia 
ƒ OPPENHEIM, Alan V.; WILLSKY, Alan S.; NAWAB, S. Hamid. Signals & systems. 2nd. ed. Upper Sad-
dle River, New Jersey: Prentice-Hall, c1997. 957 p. ISBN 0138147574. Páginas 211-221. 
ƒ HAYKIN, Simon S.; VAN VEEN, Barry. Sinais e sistemas. Porto Alegre: Bookman, 2001. 668 p. ISBN 
8573077417. Páginas 168-178. 
 
3.2. Representação em séries de Fourier para sinais de tempo discreto peri-
ódicos 
• No curso de Análise de Sinais, estudam-se formas de representar um sinal de 
tempo contínuo como uma soma de senóides ou exponenciais. 
• Aqui discutiremos algo similar para sinais de tempo discreto. Nosso enfoque 
é parecido com o que foi usado para sinais de tempo contínuo. 
• Primeiro representaremos um sinal [ ]nx periódico como uma série de Fourier 
formada por uma exponencial (ou senóide) de tempo discreto e suas harmô-
nicas. A seguir estenderemos esta representação para um sinal aperiódico 
 considerando como o caso limite de um sinal periódico com o perí-
odo se aproximando do infinito. 
[ ]nx [ ]nx
ƒ Um sinal periódico com período 60 =N é mostrado na figura seguinte. 
 
ƒ Você já deve saber que um sinal de tempo contínuo periódico de período 
pode ser representado como uma série trigonométrica de Fourier consistindo 
de uma senóide com freqüência fundamental 
0T
0
0
2
T
πω = e todas as suas harmô-
1 
Processamento Digital de Sinais – Aula 11T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 
nicas (senóides cujas freqüências são múltiplos inteiros de 0ω ). A forma ex-
ponencial da série de Fourier consiste nas exponenciais , , , 
,... 
tje 0 tje 0ω± tje 02ω±
tje 03ω±
ƒ Vamos tentar fazer um paralelo para sinais de tempo discreto. A freqüência 
de uma senóide de período é 0N
0
0
2
N
π=Ω . Assim, um sinal periódico de tem-
po discreto com período pode ser representado por uma série de Fourier 
de tempo discreto com freqüência fundamental 
0N
0
0
2
N
π=Ω e suas harmônicas. 
ƒ Assim como em tempo contínuo, podemos usar uma forma trigonométrica ou 
exponencial para as séries de Fourier. Devido à sua compacidade e facilidade 
de manipulação matemática, a forma exponencial é preferível à trigonométri-
ca. 
ƒ Por esta razão passaremos a forma trigonométrica e iremos direto para a for-
ma exponencial das séries de Fourier de tempo discreto. 
ƒ A série de Fourier exponencial consiste nas exponenciais , , 
,..., ,... e assim por diante. 
nje 0 nje 0Ω±
nje 02Ω± njke 0Ω±
ƒ Em princípio haveria um número infinito de harmônicas, como no caso con-
tínuo. Porém isso não acontece porque as exponenciais de tempo discreto cu-
jas freqüências estão separadas por 2π são idênticas já que 
( ) njnjnjnj eeee Ω±Ω±Ω == ππ 22 
ƒ A conseqüência deste resultado é que a -ésima harmônica é idêntica à har-
mônica . 
k
0Nk +
ƒ Para demonstrar isto, seja a -ésima harmônica . Então kg k njke 0Ω±
( ) ( )
k
njknnkjnNkj
Nk geeeg ==== Ω+ΩΩ++ 00000 2π 
e 
000 2 rNkNkNkk
gggg +++ ==== L 
2 
Processamento Digital de Sinais – Aula 11T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 
ƒ Assim, a primeira harmônica é idêntica à harmônica ( ), a segunda har-
mônica é idêntica à harmônica (
10 +N
20 +N ) e assim por diante. 
ƒ Em outras palavras, existem apenas harmônicas independentes e estas fi-
cam sobre umintervalo de 
0N
π2 (porque as harmônicas estão separadas por 
0
0
2
N
π=Ω ). 
ƒ Podemos escolher estas harmônicas independentes como com 
 ou sobre 
0N
njke 0Ω
10 0 −≤≤ Nk 21 0 −≤≤− Nk ou sobre 01 Nk ≤≤ ou qualquer outra 
escolha conveniente. Qualquer um desses conjuntos terá as mesmas harmôni-
cas apenas em ordem diferente. 
ƒ Vamos tomar a primeira possibilidade 10 0 −≤≤ Nk . Esta escolha correspon-
de às exponenciais para njke 0Ω =k 0, 1, 2,..., 10 −N . A série de Fourier para 
um sinal periódico com período 0N [ ]nx consiste destas harmônicas e po-
de ser expressa como 
0N
[ ] ∑−
=
Ω=
1
0
0
0
N
k
njk
keanx com 
0
0
2
N
π=Ω (1) 
 
ƒ Pode-se mostrar (ver referências) que os termos podem ser calculados 
como 
ka
[ ]∑−
=
Ω−=
1
00
0
0
1 N
n
njk
k enxN
a 
Assim, temos uma representação em séries de Fourier de tempo discreto de um 
sinal periódico de período : 0N
[ ] ∑−
=
Ω=
1
0
0
0
N
k
njk
keanx (2) 
em que 
[ ]∑−
=
Ω−=
1
00
0
0
1 N
n
njk
k enxN
a e 
0
0
2
N
π=Ω . (3) 
3 
Processamento Digital de Sinais – Aula 11T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 
ƒ A série de Fourier consiste de componentes 0N
( ) nNj
N
njnj eeea 00
0
00 1
1
2
210 a , ,a ,a ,
Ω−
−
ΩΩ K 
ƒ A freqüência dessas componentes são zero, 0Ω , 02Ω ,..., em que ( ) 00 1 Ω−N
0
0
2
N
π=Ω . 
ƒ A amplitude da -ésima harmônica é . Podemos fazer um gráfico desta 
quantidade em função de 
k ka
ka Ω . Este gráfico é chamado de espectro de Fou-
rier de e nos dá, de uma só vez, uma figura com as magnitudes das vá-
rias harmônicas de . 
[ ]nx
[ ]nx
ƒ Em geral, os coeficientes de Fourier são complexos e podem ser represen-
tados na forma polar como: 
ka
kaj
kk eaa
∠= 
ƒ O gráfico de ka por é chamado de espectro de amplitude e o de Ω ka∠ por 
 é chamado de espectro de ângulo (ou fase). Estes dois gráficos juntos são 
os espectros em freqüência de 
Ω
[ ]nx . 
ƒ Conhecendo estes espectros, podemos reconstruir ou sintetizar de acordo 
com a Equação (2). Assim, o espectro de Fourier (ou de freqüência), que é 
uma forma alternativa de descrever o sinal 
[ ]nx
[ ]nx é em todos os sentidos equi-
valente (em termos de informação) ao gráfico de [ ]nx em função de n . 
ƒ O espectro de Fourier de um sinal constitui a descrição no domínio da fre-
qüência de [ ]nx em contraste com a descrição no domínio do tempo, em que 
 é especificado em função do tempo . [ ]nx n
ƒ Estes resultados são muito similares à representação de um sinal periódico de 
tempo contínuo por uma série de Fourier exponencial exceto que, em geral, o 
espectro de um sinal de tempo contínuo é infinito e consiste de um número 
infinito de componentes exponenciais (harmônicas). O espectro de um sinal 
4 
Processamento Digital de Sinais – Aula 11T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 
de periódico de tempo discreto, em contraste tem no máximo componen-
tes. 
0N
• Note que se [ ]rφ é uma função de r periódica de período então 0N
[ ] [ ]∑∑
=
−
=
=
0
0 1
0 Nr
N
r
rr φφ (4) 
em que 0Nr = indicam a soma sobre qualquer valores consecutivos de 0N r . 
• Isto ocorre porque o lado direito da Equação (4) é a soma de todos os va-
lores consecutivos de 
0N
[ ]rφ . Como [ ]rφ é periódica, esta soma precisa ser a 
mesma independentemente de onde a começamos. 
• Por outro lado, é periódica com período por que: njke 0Ω− 0N
( ) njkkjnjkNnjk eeee 0000 2 Ω−−Ω−+Ω− == π 
• Sendo assim, se é periódica de período , [ ]nx 0N [ ] njkenx 0Ω− também é periódi-
ca de período . 0N
• Desta forma, segue da Equação (4) que também é periódica de período 
assim como . Assim, por causa da propriedade (4) podemos reescrever 
as Equações (2) e (3) como: 
ka 0N
njk
k ea 0
Ω
[ ] ∑
=
Ω=
0
0
Nk
njk
k eanx (5) 
e [ ]∑
=
Ω−=
0
0
0
1
Nn
njk
k enxN
a (6) 
• Se fizermos um gráfico de para todos os valores de (ao invés de apenas 
para ), veremos que o espectro de é periódico com período 
. Além disso, a Equação (5) mostra que 
ka k
10 0 −≤≤ Nk ka
0N [ ]nx pode ser sintetizada não ape-
nas pelas exponenciais correspondentes a 0N 10 0 −≤≤ Nk , mas por quais-
quer exponenciais sucessivas neste espectro, começando em qualquer va-
lor de (positivo ou negativo). 
0N
k
• Por esta razão, costuma-se representar o espectro para todos os valores de 
 (e não apenas no intervalo 
ka
k 10 0 −≤≤ Nk ). 
5 
Processamento Digital de Sinais – Aula 11T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 
• Mesmo assim, precisamos lembrar que para sintetizar precisamos adi-
cionar apenas componentes sucessivas. 
[ ]nx
0N
• As componentes espectrais estão separadas pela freqüência ka
0
0
2
N
π=Ω e e-
xiste um total de componentes se repetindo periodicamente sobre o eixo 
. Assim, na escala da freqüência 
0N
Ω Ω , se repete a cada intervalo de 2π. ka
• As equações (7) e (8) mostram que tanto [ ]nx quanto seu espectro são pe-
riódicos e ambos têm exatamente o mesmo número de componentes ( ) em 
um período. O período de 
ka
0N
[ ]nx é e o de é 2π radianos. 0N ka
• A Equação (8) mostra que é complexo em geral e é o conjugado de 
se é real. Assim, 
ka ka− ka
[ ]nx
kk aa −= e kk aa −−∠=∠ 
sendo assim, ka é uma função par e ka∠ é uma função ímpar de . k
 
Exercícios 
1. (3022) Seja o seguinte sinal de tempo discreto periódico: 
 
(a) Qual o período e a freqüência fundamental deste sinal ? 0N 0Ω
(b) Calcule os coeficientes da série de Fourier deste sinal para ka 10 0 −≤≤ Nk . 
(c) Esboce o espectro de módulo e de fase para este sinal. 
 
2. (3021) Dado o sinal de tempo discreto periódico a seguir: 
6 
Processamento Digital de Sinais – Aula 11T – Professor Marcio Eisencraft – abril 2007 
 
(a) Determine o seu período e sua freqüência fundamental . 0N 0Ω
(b) Determine os coeficientes da série de Fourier de tempo discreto (SFTD) 
para . 
ka
10 0 −≤≤ Nk
 
7 
Processamento Digital de Sinais – Aula 12T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 
Aula 12T – Propriedades das séries de Fourier de tempo discreto 
Bibliografia 
• OPPENHEIM, Alan V.; WILLSKY, Alan S.; NAWAB, S. Hamid. Signals & systems. 2nd. ed. Upper Sad-
dle River, New Jersey: Prentice-Hall, c1997. 957 p. ISBN 0138147574. . Páginas 221-226. 
• HAYKIN, Simon S.; VAN VEEN, Barry. Sinais e sistemas. Porto Alegre: Bookman, 2001. 668 p. ISBN 
8573077417. Páginas 202-240. 
 
3.3. Propriedades das séries de Fourier de tempo discreto
• Na aula passada, definimos a série de Fourier de sinais de tempo discreto e 
vimos como obtê-la. 
Representação em séries de Fourier de tempo discreto de um sinal periódico de 
período : 0N
[ ] ∑
=
Ω=
0
0
Nk
njk
k eanx 
em que 
[ ]∑
=
Ω−=
0
0
0
1
Nn
njk
k enxN
a e 
0
0
2
N
π=Ω . 
• Vimos também que é complexo em geral e é o conjugado de se 
 é real, ou seja, para sinais 
ka ka− ka
[ ]nx [ ]nx vale: 
kk aa −= e kk aa −−∠=∠ 
sendo assim, ka é uma função par e ka∠ é uma função ímpar de . k
• Existem muitas semelhanças entre as propriedades de séries de Fourier de 
tempo discreto e contínuo. Além disso, várias podem ser inferidas a partir de 
propriedades da transformada de Fourier de tempo discreto (a ser estudada 
em Análise de Sinais II). Assim, apresentaremos a seguir as propriedades de 
tempo discreto que nos interessam discutindo apenas as mais importantes. 
Uma discussão mais detalhadas das propriedades será feita nos cursos de A-
nálise de Sinais. 
 
1 
Processamento