ep1 2010 01 gabarito

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A´lgebra I - Soluc¸o˜es dos EP1
1a Questa˜o: Para os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6}, calcule:
(a) A ∪B;
(b) A ∩B;
(c) A−B;
(d) B − A;
(e) A×B.
Soluc¸a˜o:
(a) Lembre-se que A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}. Dessa forma para os conjuntos A e
B dados tem-se que:
A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} .
(b) Como A ∩B = {x | x ∈ A e x ∈ B}, enta˜o neste caso A ∩B = {3, 4}.
(c) Lembre-se que A−B = {x ∈ A | x /∈ B}. Para os conjuntos dados A−B = {1, 2}.
(d) B − A = {x ∈ B | x /∈ A}, portanto B − A = {5, 6}.
(e) Sendo A×B = {(a, b) | a ∈ A e b ∈ B}, enta˜o
A×B = {(1, 3) , (1, 4) , (1, 5) , (1, 6) , (2, 3) , (2, 4) , (2, 5) , (2, 6) ,
(3, 3) , (3, 4) , (3, 5) , (3, 6) , (4, 3) , (4, 4) , (4, 5) , (4, 6)} .
2a Questa˜o: Prove que A ⊂ B se, e somente se, A−B = ∅.
Soluc¸a˜o: Considere por hipo´tese que A ⊂ B. Devemos mostrar que A − B = ∅. De fato,
se A− B 6= ∅ enta˜o existiria algum x tal que x ∈ A tal que x /∈ B o que contradiz a nossa
hipo´tese de que A ⊂ B ( isto e´, todo elemento de A e´ tambe´m elemento de B ). Portanto,
A−B = ∅.
Suponhamos agora, por hipo´tese, que A−B = ∅. Ora enta˜o para qualquer x ∈ A tem-se
que x ∈ B (caso contra´rio ter´ıamos A−B 6= ∅), portanto A ⊂ B.
3a Questa˜o: Sejam A e B conjuntos na˜o-vazios. Prove que A × B = B × A se, e somente
se, A = B.
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Soluc¸a˜o: Lembre-se que
A×B = {(a, b) | a ∈ A e b ∈ B} .
Se A = B enta˜o A×B = A× A = B × A.
Se A × B = B × A enta˜o para quaisquer elementos a ∈ A e b ∈ B tem-se que existem
a ∈ A e b ∈ B tais que
(a, b) =
(
b, a
)
,
donde a = b e b = a. Portanto a ∈ B e b ∈ A, o que mostra que A ⊂ B e B ⊂ A, isto e´
A = B.
4a Questa˜o: Prove as leis de De Morgan:
(A ∪B)c = Ac ∩Bc e (A ∩B)c = Ac ∪Bc.
Ou seja, o complementar da unia˜o e´ a intersec¸a˜o dos complementares e o complementar
da intersec¸a˜o e´ a unia˜o dos compementares.
Soluc¸a˜o:
(a) De fato, tem-se que x ∈ (A ∩B)c ⇐⇒ x /∈ (A ∩B)⇐⇒ x /∈ A ou x /∈ B ⇐⇒ x ∈ Ac
ou x ∈ Bc ⇐⇒ x ∈ Ac ∪Bc.
(b) Basta notar que x ∈ (A ∪B)c ⇐⇒ x /∈ (A ∪B) ⇐⇒ x /∈ A e x /∈ B ⇐⇒ x ∈ Ac e
x ∈ Bc ⇐⇒ x ∈ Ac ∩Bc.
5a Questa˜o: Demonstre a igualdade A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C).
Soluc¸a˜o: Inicialmente vamos mostrar que A ∪ (B ∩ C) ⊂ (A ∪B) ∩ (A ∪ C).
Seja enta˜o x ∈ A ∪ (B ∩ C) =⇒ x ∈ A ou x ∈ (B ∩ C).
• Se x ∈ A enta˜o x ∈ A ∪B e x ∈ A ∪ C implicando que x ∈ (A ∪B) ∩ (A ∪ C).
• Se x ∈ (B ∩ C) enta˜o x ∈ B e x ∈ C, donde x ∈ A ∪ B e x ∈ A ∪ C e assim
x ∈ (A ∪B) ∩ (A ∪ C).
Mostra-se agora a inclusa˜o contra´ria, isto e´, (A ∪B) ∩ (A ∪ C) ⊂ A ∪ (B ∩ C).
Considerando x ∈ (A ∪B) ∩ (A ∪ C) tem-se que x ∈ (A ∪B) e x ∈ (A ∪ C).
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Uma possibilidade e´ x ∈ A, neste caso x ∈ A ∪ (B ∩ C) e encerramos a prova.
Agora, se x /∈ A enta˜o seguramente x ∈ B e x ∈ C =⇒ x ∈ A ∪ (B ∩ C).
6a Questa˜o: Sejam A e B conjuntos quaisquer, prove que A ⊂ B ⇐⇒ A ∩B = A.
Soluc¸a˜o: Mostremos primeiro que se A ⊂ B enta˜o A ∩B = A.
De fato, se x ∈ A ∩ B enta˜o x ∈ A, logo A ∩ B ⊂ A. Por outro lado, para todo x ∈ A,
como por hipo´tese A ⊂ B, enta˜o x ∈ B donde concluimos que x ∈ A∩B, isto e´, A ⊂ A∩B.
Conclusa˜o: A ∩B = A.
Provemos agora a implicac¸a˜o contra´ria, ou seja, se A ∩B = A enta˜o A ⊂ B.
De fato, se x ∈ A, como por hipo´tese A = A ∩B, enta˜o x ∈ B, isto e´, A ⊂ B.
7a Questa˜o: Escreva os seguintes subconjuntos A ⊂ R, dos nu´meros reais, como unia˜o de
intervalos:
(a) A = {x ∈ R | x2 > 1 e x2 < 4}
(b) A = {x ∈ R | x2 ≥ 4 e x2 < 9}.
Soluc¸a˜o:
(a) De x2 > 1 segue que x < −1 ou x > 1, isto e´, x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,+∞), agora, de
x2 < 4 vem que −2 < x < 2, isto e´, x ∈ (−2, 2).
Portanto, x ∈ [(−∞,−1) ∪ (1,+∞)] ∩ (−2, 2), ou seja, x ∈ (−2,−1) ∪ (1, 2).
∴ A = (−2,−1) ∪ (1, 2).
(b) De x2 < 9 vem que −3 < x < 3, ou seja, x ∈ (−3, 3), e de x2 ≥ 4 segue que x ≤ −2
ou x ≥ 2, isto e´, x ∈ (−∞,−2] ∪ [2,+∞).
Portanto, x ∈ (−3,−2] ∪ [2, 3). Enta˜o, A = (−3,−2] ∪ [2, 3).
8a Questa˜o: Seja R2 = {(x, y) | x, y ∈ R} o conjunto dos pontos no plano, representados
por pares ordenados de nu´meros reais. Seja Ω o subconjunto de R2 definido por
Ω =
{
(x, y) ∈ R2 | xy > 0} .
Definimos uma relac¸a˜o R no conjunto R dos nu´meros reais por
para x, y ∈ R, x R y quando (x, y) ∈ Ω .
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Mostre que a relac¸a˜o assim definida e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia. Determine suas classes
de equivaleˆncia.
Soluc¸a˜o: Inicialmente, observe que se x R y enta˜o
x > 0 e y > 0 ou x < 0 e y < 0 ,
ou seja, x R y se, e somente se, x na˜o possui sinal diferente do de y.
Sendo assim, a reflexividade e´ imediata, visto que x na˜o pode possuir sinal diferente dele
mesmo.
A simetria tambe´m e´ direta, pois se x na˜o possui sinal diferente de y, enta˜o y na˜o possui
sinal diferente de x.
Para verificar a transitividade, sejam x, y e z tais que x R y e y R z. Como x R y, enta˜o
x na˜o possui sinal diferente do de y. Por outro lado, de y R z, tem-se que y na˜o possui sinal
diferente do de z. Dessa forma, claramente, x na˜o possui o mesmo sinal que z e, portanto,
x R z.
Classes de equivaleˆncia: x = R+ se x > 0; x = R− se x < 0; x = R se x = 0.
9a Questa˜o: Discuta as propriedades de reflexividade, simetria e transitividade nas relac¸o˜es
definidas no conjunto dos nu´meros reais, de maneira ana´loga a` do exerc´ıcio anterior, para os
conjuntos Ω dados:
(a) Ω = {(x, y) ∈ R2 | xy ≤ 0} .
(b) Ω = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 1} .
Soluc¸a˜o:
(a) A reflexividade na˜o vale pois, por exemplo, para x = 1, tem-se xx > 0. A simetria
e´ va´lida devido a` comutatividade do produto. A transitividade tambe´m na˜o vale pois, por
exemplo, se x = 1, y = −1 e z = 1, tem-se xy < 0 e yz < 0, mas xz > 0.
(b) A reflexividade na˜o vale pois, por exemplo, para x = 1, tem-se x2 + x2 = 2 > 1. A
simetria e´ va´lida devido a` comutatividade da soma. A transitividade tambe´m na˜o vale pois,
por exemplo, se x = 1, y = 0 e z = 1, tem-se x2+ y2 = 1 e y2+ z2 = 1, mas x2+ z2 = 2 > 1.
10a Questa˜o: Quais das relac¸o˜es abaixo,definidas no conjunto dos nu´meros inteiros, sa˜o
relac¸o˜es de equivaleˆncia? Nos casos afirmativos, determine suas classes de equivaleˆncia.
(a) a R b ⇔ a− b e´ um nu´mero primo.
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(b) a R b ⇔ a− b e´ um nu´mero ı´mpar.
(c) a R b ⇔ a− b e´ um nu´mero par.
Soluc¸a˜o:
(a) e (b) na˜o sa˜o relac¸o˜es de equivaleˆncia pois na˜o sa˜o reflexivas, visto que a− a = 0 e
0 na˜o e´ primo nem ı´mpar.
(c) A reflexividade e´ va´lida pois a − a = 0 e 0 e´ par. A relac¸a˜o e´ sime´trica pois, se a
R b, enta˜o a − b = 2k (e´ par) e, portanto, b − a = −2k = 2(−k) (e´ par), ou seja, b R a.
Finalmente, para verificar a gtransitividade, sejam a, b e c tais que a R b e b R c. Assim,
a− b = 2k1 e b− c = 2k2 e, portanto, a− c = (a− b) + (b− c) = 2k1 + 2k2 = 2(k1 + k2), ou
seja, a R c. A classe de equivaleˆncia a de um inteiro a e´ o conjunto dos nu´meros pares se a
e´ par e e´ o conjunto dos nu´meros ı´mpares se a e´ ı´mpar.
11a Questa˜o: Deˆ um exemplo de relac¸a˜o definida no conjunto dos nu´meros reais R que:
(a) seja anti-reflexiva e sime´trica.
(b) seja anti-sime´trica.
(c) seja sime´trica e na˜o seja transitiva.
Soluc¸a˜o:
(a) a R b ⇔ ab < 0 (e´ anti-reflexiva, pois xx = x2 ≥ 0 e a simetria e´ consequ¨eˆncia da
comutatividade do produto)
(b) a R b ⇔ a− b > 0 (e´ anti-sime´trica, pois se a− b > 0, enta˜o b− a < 0)
(c) a R b ⇔ ab e´ par (a simetria decorre da comutatividade do produto e a transitividade
falha, por exemplo, para a = 1, b = 2 e c = 3, pois ab = 2 e´ par e bc = 6 e´ par, mas ac = 3
na˜o e´ par)
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