Apostila - Introdução ao estudo de Limites

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INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES 
 
Se |x-a|<ε valer para todo ε>0, arbitrariamente pequeno, dizemos que a variável x tem 
um limite e tal limite vale a. Simbolicamente, 
 
 
 
 
Os valores x1, x2 e x3 da variável x, estão na vizinhança ε de x=a. Isto é, os valores xi 
estão no intervalo a-e < xi <a+e (i=1,2,3) 
 
 LIMITE DE UMA FUNÇÃO 
 
Seja Y=f (x) uma função definida nas vizinhanças do ponto a, ou, em certos pontos 
desta vizinhança. A função tende a b, quando x tende a a, ou 
 
 
 
e, para cada número positivo ε > 0, tão pequeno quanto se queira, pode-se indicar um 
δ > 0 tal que, para todo x diferente de a, verificando | x -a | < δ , a desigualdade 
| f(x) - l | < ε, fica satisfeita. Diz-se então que b é o limite de f(x). 
 
 
 UVA Cálculo Diferencial e Integral I Profª Cinira Fernandes 
 Apostila 1 
Limite de uma variável 
 
 
 a 
a-ε a+ε 
x 
axax =→ lim,
bxf
ax
=
→
)(lim
LIMITES NOS EXTREMOS DO DOMÍNIO 
 São os limites em que a variável independente x tende a assumir, em módulo, 
valores muito grandes positivos ( + ∞ ) ou negativos (– ∞ ). Simbolicamente: 
∞+→∞−→ x 
limf(x) )(lim ouxf
x
 
Ex: Calcule os limites das funções: 
a) =





∞+→ xx
1
 lim
 
 b) =





∞−→ xx
1
 lim
 
 c) =
∞+→
3
 
 xlim
x
 d) =
∞−→
3
 
 xlim
x
 
 
OPERAÇÕES COM LIMITES 
 Supondo que gefxf
ax
==
→→ ax
g(x) lim )(lim , onde ( f e g são finitos), verificam-se 
para os limites as seguintes propriedades: 
 
 a) gfxgxfxgxf
axaxax
+=+=+
→→→
)(lim)(lim)]()([ lim 
 
 b) gfxgxfxgxf
axaxax
−=−=−
→→→
)(lim)(lim)]()([ lim 
 
 c) gfxgxfxgxf
axaxax
×=×=×
→→→
)(lim)(lim)]()([ lim 
 
 d) 0 )(lim)(lim)]()([ lim ≠÷=÷=÷
→→→
gcomgfxgxfxgxf
axaxax
 
 
 e) nn
ax
n
ax
fxfxf ==
→→
)](lim[)]([ lim 
 
 
Observação importante: Uma função f(x) definida em um intervalo I, com a ∈ I, é 
contínua em x = a, se: )()(lim afxf
ax
=
→
 
Exemplo: Verificar se a função 
2
4)(
2
−
−
=
x
x
xf é contínua em x = 3. 
Resolução: Cálculo de )3(f : 5
23
43)3(
2
=
−
−
=f 
Cálculo do :)(lim
3
xf
x→
 
2
4lim
2
3
−
−
→ x
x
x
 = )2(
)2)(2(lim
3
−
−+
→ x
xx
x
 = )2(lim
3
+
→
x
x
 = 5 
Como )(lim
3
xf
x→
 = )3(f , )(xf é contínua no ponto x = 3. 
Exemplo: Verificar se a função 
1
7)(
−
+
=
x
x
xf é contínua no ponto x = 1 A função é 
descontínua em x = 1 
 
Exemplo: Verificar se a função 



>+
≤+
=
3 22
3 2 )(
xsex
xsex
xf é contínua em x =3. 
Resolução: Cálculo de )3(f : Para x = 3, tem-se 523)3( =+=f . Contudo, como 
8)(lim 5)(lim
33
==
+− →→ xx
xfdediferenteéxf 
Como não existe o limite em x = 3, a função é descontínua . 
 NOTAÇÕES SIMBÓLICAS OPERACIONAIS 
 
 a) 
 
 b) 
 
 
 c) 
 
 d) , �−∞�� =� +∞, 	
	�	é	���−∞, 	
	�	é	í���� 	���	�	 ∈ N* 
 
 e) f) 
 
 
 
 FORMAS INDETERMINADAS 
 
 As sete formas clássicas de indeterminação são: 
 
 
∞−=∞−
∞+=∞+
 
 
k
k



<∞+
>∞−
=−∞×



<∞−
>∞+
=+∞×
0k se ,
0k se ,)(
0k se ,
0k se ,)(
k
k
0=
∞±
k
∞+=+∞ )( n



<∞−
>∞+
=
0k se ,
0k se ,
0
k



−∞=−∞+−∞
+∞=+∞++∞
 )( )(
 )( )(
00
 1 ,0 ,0 , , ,
0
0
∞∞×∞−∞
∞
∞
∞ e
 Aparecendo uma destas formas no cálculo do limite, deve-se adotar técnicas com o 
objetivo de encontrar uma expressão correlata à forma inicial, a fim de, substituí-la e 
evitar tal situação. Exemplos: 
a) = = = =
 
 Como o resultado obtido é uma indeterminação, deve-se substituí-lo por uma 
expressão correlata. A técnica adotada consiste em multiplicar e dividir a expressão 
indicada pelo conjugado. 
 = = 
 = = 
 Observe que após a aplicação do primeiro procedimento, surge outra forma de 
indeterminação. Este fato nos obriga a adotar outros recursos, ou seja: divide-se 
numerador e denominador pela maior potência de x 
 = = = 
lim�→� ��
�
�
 !� "�� ��"�!
 
= = = 1 Conclusão: = 1 
 
 
b) = = 
 = = = = 6 
 
 
 
 
)32(lim 2 xxx
x
−++
∞→
)32( 2 ∞−+∞+∞ )3( ∞−+∞+∞ )( ∞−∞
)( ∞−∞
)32(
)32)(32(lim
2
22
xxx
xxxxxx
x +++
+++−++
∞→ )32(
)32(lim
2
22
xxx
xxx
x +++
−++
∞→
)32(
32lim
2 xxx
x
x +++
+
∞→ )32(
32lim
2
∞++∞+∞
+∞
∞→x ∞
∞
x
xxx
x
x
x )32(
32
lim
2 +++
+
∞→
x
x
xx
x
x
x
xx
x
x
+++
+
∞→
222
2 32
32
lim
1321
32
lim
2 +++
+
∞→
xx
x
x
1001
02
+++
+
11
2
+
)32(lim 2 xxx
x
−++
∞→
3
9lim
2
3
−
−
→ x
x
x 33
932
−
−
0
0
3
9lim
2
3
−
−
→ x
x
x )3(
)3)(3(lim
3
−
−+
→ x
xx
x
)3(lim
3
+
→
x
x
)33( +
 LIMITE EXPONENCIAL FUNDAMENTAL 
 
 
11limou 11lim e
x
e
x
x
x
x
x
=





+=





+
−∞→+∞→ 
 Onde e é um número irracional, chamado número de Euler. 
Façamos x variar de 1 até +∞. 
2
1
111
1
=





+→=x
 
5,2
4
9
2
112
2
==





+→=x
 
36,2
27
64
3
113
3
==





+→=x 44,2256
625
4
114
4
==





+→=x
 
59,2
10
10.59,2
10
1110 10
1010
≅≅





+→=x
 
705,2
100
11100
100
≅





+→=x
 
717,2
1000
111000
1000
≅





+→=x
 
ex =≅





∞+
+→+∞→
+∞
...71828182,211 
Uma forma equivalente desse limite é: 
 
ex x
x
=+
→
1
0
)1(lim
 
Exemplos. Calcule os limites indicados abaixo: 
a) x
x x
4)11(lim +
+∞→
 b) x
x x
)11(lim −
−∞→
 c) x
x
x
5
0
)1(lim −
−→
 
O conceito de continuidade 
Ao definir Lim f(x), se x a, analisamos o comportamento da função f(x) para valores 
de x próximos de a, mas diferentes de a. Vimos que Lim f(x) pode existir, mesmo que f 
não esteja definida no ponto a. Se f está definida em x=a e Lim f(x) existe, ainda pode 
ocorrer que este limite seja diferente de f(a). Uma idéia muito simples de função real 
contínua é a de uma função que possa ser traçada em uma folha sem retirar a caneta do 
papel. Caso se interrompa o gráfico da função e se comece em outro local do papel, 
ocorre uma "descontinuidade". Em contextos avançados, observa-se que este critério é 
errado, mas para o momento tal análise é suficiente.Abaixo, mostramos um gráfico de uma função f contínua (sem interrupção) e um 
gráfico de uma função g descontínua com uma série de problemas. 
 
Na função descontínua g, observamos que: Não existe Lim g(x), se x b, pois os 
limites laterais de g=g(x) são diferentes, isto é: 
Limx b_ g(x) = s 
 Limx b+ g(x) = k embora g(b)=k. 
1. Não existe Lim g(x) quando x c, pois 
Limx c_ g(x) = 
 Limx c+ g(x) = embora g(c)=k. 
2. Em x=d, temos 
Limx d_ g(x) = Limx d+ g(x) = s e g(d)=s. Assim Limx d g(x)=s 
que coincide com o valor de g no ponto x=d, isto é: 
Limx d g(x) = g(d) = s 
3. Em x=e, o valor que se obtém não é o esperado, aqui 
Limx e_ g(x) = k = Limx e+ g(x) mas g(e)=z, logo 
Limx e g(x) g(e) 
 
Definição de função contínua: 
Seja uma função f:|a,b| R e a<c<b. A função f é contínua no ponto c, se Lim f(x) 
existe, quando x c e é igual a f(c), ou de uma forma mais concisa: 
Limx cf(x)=f(c) 
onde |a,b| é um intervalo da forma: (a,b), (a,b], [a,b) ou [a,b]. 
Se não existe Lim f(x) ou se existe Lim f(x) quando x c, mas Lim f(x) é diferente de 
f(c), dizemos que a função f é descontínua em x=c. 
Limites trigonométricos 
 
 
 
 Limites envolvendo infinito 
 
a) b) c) d) 
Limite de uma função polinomial para 
 Seja a função polinomial . Então: 
 
OBSERVAÇÃO: Quando x →→→→ + ∞∞∞∞ ou x →→→→ – ∞∞∞∞, o 
limite de um polinômio é igual ao limite do seu termo de maior grau. 
 Exemplos: 
a) lim�→��2$� + $ − 3� & 	 lim�→� 2$� & ∞ 
 
b) lim�→'��3$( − 4$� + 2$ + 1� & 	 lim�→'� 3$( & −∞ 
 
c) lim�→'� +��,��'!����"�-. & 	 lim�→'� ��
,
�� & lim�→'�2$ & −∞