Aula 2 Eletrônica Digital

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CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 
 
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Eletrônica Digital 
 
Aula 2 
 
 
Prof. Ederson Cichaczewski 
 
 
 
 
 
CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 
 
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Conversa Inicial 
Olá! Seja bem-vindo(a) à segunda aula da disciplina Eletrônica Digital! 
Nesta aula, veremos a simplificação de circuitos lógicos por meio de 
expressões na forma de soma de produtos, que é a base para o projeto de 
circuitos digitais. 
Começaremos referenciando os circuitos integrados correspondentes às 
portas lógicas para fixar a aplicação prática. Iremos projetar circuitos lógicos 
combinacionais com base em uma especificação de saída desejada, 
compreenderemos a ferramenta mapa de Karnaugh e a usaremos para a 
simplificação de funções lógicas. Por fim, abordaremos recursos de minimização 
de expressões lógicas. 
Vamos lá? 
 
Vamos conhecer o professor desta disciplina e a ementa desta 
rota? Acesse o material online. 
Contextualizando 
Os circuitos lógicos combinacionais recebem esta denominação porque 
sua saída depende apenas dos valores atuais presentes nas suas entradas, ou 
seja, eles não possuem a característica de memória. É possível fazer o projeto 
de qualquer circuito digital usando como base os circuitos lógicos 
combinacionais - inclusive esse conceito será utilizado mais para frente, quando 
abordarmos os dispositivos lógicos programáveis. 
Descrever circuitos lógicos digitais por meio de expressões lógicas é uma 
etapa importante de um projeto, de forma a garantir o seu funcionamento e 
também buscar otimizar os recursos necessários para a implementação prática, 
não deixando de levar em conta questões de desempenho. 
Desta forma, o entendimento das ferramentas de simplificação lógica é 
fundamental para o Engenheiro desenvolver projetos de circuitos digitais. 
 
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Assista à contextualização do professor Ederson Cichaczewski 
sobre esse assunto no material online. 
Tema 1 - Simplificação de circuitos lógicos 
O método de simplificação de circuitos lógicos requer que a expressão 
lógica esteja na forma de soma-de-produtos, por exemplo: 
𝐴𝐵𝐶 + �̅�𝐵𝐶̅ 
𝐴𝐵 + �̅�𝐵 + �̅�𝐶 + 𝐷 
Percebe-se que as expressões nesta forma têm dois ou mais termos AND 
(produtos) conectados pela operação OR. As variáveis de entrada são 
representadas por letras maiúsculas, e cada uma pode ser invertida 
(complementada ou negada), por meio de uma barra horizontal sobre a letra, o 
que indica o uso de uma porta lógica NOT, ou não invertida (não 
complementada), o que representa uma ligação direta. O termo AND suprime o 
operador (.) que denota a operação de produto entre as variáveis de entrada, 
ficando uma variável logo ao lado da outra, sendo que sua ordem teoricamente 
não faz diferença. 
A barra de inversão não pode estar sobre mais de uma variável de forma 
contínua (por ex: 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ − 𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑜), sempre deve haver uma separação na barra 
entre as letras que representam as entradas quando estiverem negadas (por ex: 
�̅��̅� − 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑡𝑜). É possível que a barra de inversão fique sobre uma operação de 
soma (OR), por exemplo: 𝐴 + 𝐵𝐶̅̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ . 
A simplificação de expressões lógicas consiste em reduzi-la a uma forma 
mais simples, ou seja, que contenha um menor número de termos ou variáveis 
na expressão. Esta nova expressão será usada na implementação de um circuito 
que realiza o mesmo que o original, mas contém menos portas lógicas e 
conexões. Uma vantagem estratégica em simplificar circuitos lógicos está na 
velocidade de operação dos CIs, visto que há sempre um atraso de propagação 
entre a entrada e a saída. Portanto, quanto mais portas lógicas, maior é o atraso 
 
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total do circuito como um todo, então, diminuindo a quantidade de portas, menor 
é o atraso e mais rápido fica o circuito. 
Além disso, quanto menos conexões, menor é a probabilidade de 
ocorrência de defeito no circuito, tornando-o mais confiável. Ainda pode-se 
avaliar, pelo ponto de visto de custo, que um circuito com menos portas é mais 
barato que um circuito com mais portas. 
Na figura a seguir é apresentado um circuito (a) que, simplificado, resulta 
no circuito indicado em (b). Ambos apresentam o mesmo resultado de saída para 
os mesmos valores de entrada, mas fica claro no segundo circuito (b) as 
vantagens de ter menos portas: menor atraso e menor custo. 
 
(a) Circuito lógico original. 
(b) Circuito lógico (a) simplificado. 
 
Simplificação Algébrica 
É possível usar os teoremas booleanos vistos na aula 1 para simplificar 
expressões de circuitos lógicos. Contudo, nem sempre é fácil identificar qual 
teorema deve-se aplicar para se chegar ao resultado mais simplificado. Também 
é difícil identificar se a expressão já está na forma mais simples ou se ainda pode 
ser simplificada. Portanto, o uso de simplificação algébrica depende de certa 
experiência para obter resultados razoavelmente bons, sendo muitas vezes um 
processo de tentativa e erro. Os passos essenciais para a simplificação algébrica 
são: 
 
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1. Colocar a expressão original na forma de soma-de-produtos, aplicando-se 
repetidamente os teoremas de De-Morgan e os demais teoremas 
booleanos que realizam multiplicação de termos. 
2. Então se verifica se os termos produto têm fatores comuns e realiza-se 
sempre que possível a fatoração (colocar a variável comum em evidência, 
multiplicando). A fatoração pode resultar na eliminação de um ou mais 
termos por meio do uso de um teorema booleano. 
Como exemplo, vamos entender como o circuito (a) se transformou no 
circuito (b) na figura de exemplo. 
Temos que a expressão de saída de (a) é: 
𝑧 = 𝐴𝐵𝐶 + 𝐴�̅�. (�̅�𝐶̅ ̅̅ ̅̅ ̅) 
Vamos realizar alguns passos usando os teoremas booleanos para 
realizar a simplificação. Confira: 
1. Aplica o teorema 17 no termo (�̅�𝐶̅ ̅̅ ̅̅ ̅): 𝑧 = 𝐴𝐵𝐶 + 𝐴�̅�. (�̅̅� + 𝐶̅̅) 
2. No termo (�̅̅� + 𝐶̅̅) cancela negação dupla: 𝑧 = 𝐴𝐵𝐶 + 𝐴�̅�. (𝐴 + 𝐶) 
3. Aplica o teorema 13ª no termo 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . (𝐴 + 𝐶): 𝑧 = 𝐴𝐵𝐶 + 𝐴�̅�𝐴 + 𝐴�̅�𝐶) 
4. Aplica o teorema 3 no termo 𝐴�̅�𝐴: 𝑧 = 𝐴𝐵𝐶 + 𝐴�̅� + 𝐴�̅�𝐶) Obs: 
Percebe-se que agora temos a expressão na forma de soma de produtos. 
5. Fatoração de AC comum no 1º e 3º termos: 𝑧 = 𝐴𝐶(𝐵 + �̅�) + 𝐴�̅� 
6. Aplica o teorema 8 em 𝐵 + �̅�: 𝑧 = 𝐴𝐶(1) + 𝐴�̅� 
7. Aplica o teorema 2 em 𝐴𝐶(1): 𝑧 = 𝐴𝐶 + 𝐴�̅� 
8. Fatoração de A comum: 𝑧 = 𝐴(𝐶 + �̅�) 
9. Deixando em ordem: 𝑧 = 𝐴(�̅� + 𝐶) Obs: Neste ponto chegamos na 
equação lógica do circuito (b). 
 
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Vamos listar quantas portas lógicas temos no circuito (a): 
 3 portas inversoras NOT; 
 2 portas AND de 3 entradas cada; 
 1 porta NAND de 2 entradas; 
 1 porta OR de 2 entradas; 
 Total de portas de (a): 7 portas lógicas. 
 
Vamos listar quantas portas lógicas temos no circuito (b): 
 1 porta inversora NOT; 
 1 porta OR de 2 entradas; 
 1 porta AND de 2 entradas; 
 Total de portas de (b): 3 portas lógicas. 
 
Como sabemos se o circuito (a) apresenta o mesmo resultado de (b)? 
Vamos comprovar por meio de tabela verdade: 
A B C 𝐴𝐵𝐶 𝐴�̅� (�̅�𝐶̅ ̅̅ ̅̅ ̅) 𝐴𝐵𝐶 + 𝐴�̅�. (�̅�𝐶̅ ̅̅ ̅̅ ̅) 
0 0 0 0 0 0 0 
0 0 1 0 0 1 0 
0 1 0 0 0 1 0 
0 1 1 0 0 1 0 
1 0 0 0 1 1 1 
1 0 1 0 1 1 1 
1 1 0 0 0 1 0 
1 1 1 1 0 1 1 
Tabela verdade da equação do circuito (a). 
 
 
 
 
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A B C �̅� + 𝐶 𝐴(�̅� + 𝐶) 
0 0 0 1 0 
0 0 1 1 0 
0 1 0 0 0 
0 1 1 1 0 
1 0 0 1 1 
1 0 1 1 1 
1 1 0 0 0 
1 1 1 1 1 
Tabela verdade da equação do circuito (b). 
 
Analisando o resultado das tabelas, percebemos que ambas apresentam 
o mesmo resultado, comprovando a equivalência entre o circuito original (a) e o 
simplificado (b). 
 
Utilizando Circuitos Lógicos 
É importante saber qual circuito integrado de portas lógicas é utilizado 
para implementar na prática um circuito lógico. Na aula 1 vimos as famílias de 
circuitos lógicos. Aqui vamos listar os principais circuitos integrados de portas 
lógicas que são utilizados mais frequentemente. Como percebemos no exemplo 
de simplificação, podemos ter portas lógicas de 2 entradas e até de 3 entradas. 
Na prática, quais circuitos integrados nós utilizaremos para montar esses 
circuitos lógicos? Conheça alguns a seguir: 
 
 
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NAND 7400 (TTL) / 4011 (CMOS) 
 
CI TTL com 4 portas NAND de 2 Entradas 
 
NOR 7402 (TTL) / 4001 (CMOS) 
 
CI TTL com 4 portas NOR de 2 Entradas 
 
 
 
 
 
 
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NOT 7404 (TTL) / 4069 (CMOS) 
 
CI TTL com 6 portas inversoras NOT 
 
AND 7408 (TTL) / 4081 (CMOS) 
 
CI TTL com 4 portas AND de 2 Entradas 
 
 
 
 
 
 
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NAND 3 Entradas 7410 (TTL) / 4023 (CMOS) 
 
CI TTL com 3 portas NAND de 3 Entradas 
 
AND 3 Entradas 7411 (TTL) / 4073 (CMOS) 
 
CI TTL com 3 portas AND de 3 Entradas 
 
 
 
 
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OR 7432 (TTL) / 4071 (CMOS) 
 
CI TTL com 4 portas OR de 2 Entradas 
 
XOR 7486 (TTL) / 4070 (CMOS) 
 
CI TTL com 4 portas XOR de 2 Entradas 
 
E agora, quais circuitos integrados deveriam ser usados para montar o 
circuito simplificado (b)? Considerando uma montagem com circuitos TTL, os 
circuitos integrados seriam: 
 
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 1 CI 7404 (será usada apenas uma porta NOT, ficarão sobrando 5 portas). 
 1 CI 7408 (será usada apenas uma porta AND, ficarão sobrando 3 portas). 
 1 CI 7432 (será usada apenas uma porta OR, ficarão sobrando 3 portas). 
 
Consulte a lista completa dos CIs TTL a seguir: 
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_7400_series_integrated_circuits 
 
Acesse também a lista completa dos CIs CMOS: 
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_4000_series_integrated_circuits 
 
O professor Ederson Cichaczewski explica mais sobre esse 
assunto no material online. Confira! 
 
Tema 2 – Projeto de circuitos lógicos combinacionais 
Até agora nesta aula trabalhamos com circuitos dados, então obtivemos 
a sua expressão lógica e depois a sua tabela verdade. Mas qual é a função ou a 
aplicação desses circuitos? São apenas exemplos didáticos. Na aula 1 fizemos 
um exemplo de aplicação real de um circuito lógico, aonde conhecíamos a sua 
aplicação prática, e na ocasião também já foi dado o circuito para depois 
obtermos a sua equação booleana e sua tabela verdade. 
Mas como se chega ao circuito lógico? Como ele foi construído? 
Para projetar um circuito devemos fazer o processo inverso: primeiro 
definimos a tabela verdade, então obtemos a expressão lógica e depois 
desenhamos o circuito com portas lógicas. 
Devemos levantar quantas entradas serão avaliadas e quais condições 
de estado dessas entradas produzirão uma ativação na saída (nível lógico 1), 
sendo que, para as demais condições possíveis, a saída fica desativada (nível 
lógico 0). Então iremos elaborar a equação booleana para as condições em que 
a saída seja 1. 
 
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Como exemplo, vamos considerar uma aplicação que tem duas entradas, 
e queremos que a saída x seja ativada quando a entrada A estiver desativada 
(0) “E” a entrada B estiver ativada (1). Para 2 entradas, temos 4 combinações 
possíveis de níveis nas entradas, então elaboramos a seguinte tabela verdade: 
A B x 
0 0 0 
0 1 1 
1 0 0 
1 1 0 
 
Agora, vamos elaborar a equação para a condição em que a saída é 1. 
No parágrafo anterior a letra “e” foi enfatizada em maiúsculo, para denotar a 
operação AND que deveremos fazer entre as entradas A e B, visto a condição 
colocada, conforme apresentado na tabela verdade. 
Para que o resultado de uma operação AND seja igual a 1, ambas as suas 
entradas devem apresentar valor 1, e já que queremos que a entrada A seja 0, 
precisamos inverter esta entrada. Portanto, a equação booleana será: 𝑥 = �̅�𝐵 
Então já sabemos que iremos utilizar a porta AND de 2 entradas, e 
sabendo que a entrada A deve ser igual a 0, iremos necessitar de uma porta 
NOT para a entrada A, para então ser conectada à porta AND. O circuito 
resultante é apresentado na figura a seguir. 
 
Circuito que tem a saída x=1 para condição de entrada A=0 e B=1. 
 
E se quisermos que duas condições de entrada produzam uma saída igual 
a 1, conforme a tabela verdade a seguir? 
 
 
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A B x 
0 0 0 
0 1 1 
1 0 1 
1 1 0 
 
Quando temos mais de uma condição que ativa a saída, precisamos usar 
a operação OR, pois a saída é única, e queremos que ela seja ativada em uma 
condição “OU” em outra condição. Portanto, a relação entre as entradas em cada 
condição é dada por uma operação AND, e a relação entre as condições é dada 
por uma operação OR. 
No caso desta nova tabela verdade, a expressão booleana fica na forma 
de soma de produtos assim: 
𝑥 = �̅�𝐵 + 𝐴�̅� 
Na sequência, ainda podemos constatar que pode ser possível simplificar 
o circuito utilizando um teorema booleano, mas não é o caso deste circuito. 
Agora o circuito será acrescentado de mais um conjunto de portas NOT e AND 
para o segundo termo, e também uma porta OR para fazer a operação entre os 
dois termos (que representam duas condições de entrada) e apresentar a saída 
x. O novo circuito é apresentado a seguir. 
 
Em resumo, os passos de um projeto completo de circuito lógico seriam: 
 
1. Interpretar o problema e construir a sua tabela verdade; 
2. Escrever os termos AND para cada condição que a saída é 1; 
 
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3. Escrever a expressão lógica na forma de soma de produtos; 
4. Simplificar a expressão, se possível; 
5. Desenhar o circuito com portas lógicas para a expressão final. 
Ao desenhar o circuito, é importante escrever os termos AND ou partes 
da expressão nos nós do circuito e a expressão final em sua saída, para melhor 
entendimento. 
Quer aprender mais sobre os circuitos lógicos combinacionais? 
Acesse a explicação do professor Ederson Cichaczewski no material 
online. 
 
Tema 3 - Mapa de Karnaugh 
Também chamado de mapa K, é um método gráfico no formato de matriz 
usado para obter uma expressão a partir de uma tabela verdade, simplificar uma 
expressão lógica e para minimizar uma expressão de um circuito lógico. Possui 
uma limitação prática quanto ao número de entradas, sendo que iremos utilizá-
lo para aplicações de até 4 entradas. 
Primeiramente, vamos ver como funciona o mapa de Karnaugh de 2 
entradas. 
Consideramos uma tabela verdade com entradas A e B, e saída x igual a 
1 quando ambas entradas estiverem em 1 ou ambas estiverem em 0, conforme 
a seguir. 
Decimal A B x 
0 0 0 1 
1 0 1 0 
2 1 0 0 
3 1 1 1 
 
O mapa K para duas entradas é o seguinte: 
 
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Então preenchemos com 1 e 0 nas células correspondentes da tabela 
verdade. O valor escrito na célula representa o valor da saída quando as 
entradas correspondentes estão apresentando os valores que estão na linha e 
na coluna de interseção desta célula. Para auxiliar na identificação das células, 
costuma-se escrever no seu canto superior direito o número em decimal 
equivalente ao número binário formado na intersecção das entradas. Não se 
deve trocar a posição das entradas no mapa K, a entrada A deve ficar nas 
colunas e a entrada B deve ficar nas linhas. 
Então, o mapa K preenchido fica assim: 
 
Para obter a expressão lógica, realizamos uma operação AND com as 
variáveis envolvidas na intersecção das células que possuem valor 1. E quando 
se tem mais de uma célula com valor 1, vamos adicionando novos termos AND 
à expressão por meio de uma operação OR. Quando a variável de entrada está 
sendo representada pelo valor 0 (na linha ou na coluna), ela deverá ser negada 
na expressão, por meio de uma barra horizontal sobre a variável. 
Para o mapa K de duas variáveis, a expressão lógica fica assim: 𝑥 = �̅��̅� +
𝐴𝐵 
Vamos agora entender o funcionamento do mapa K de 3 variáveis. 
 
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Considere uma tabela verdade com entradas A, B e C, e saída x igual a 1 
nas linhas 0 e 5, conforme a seguir. 
Decimal A B C x 
0 0 0 0 1 
1 0 0 1 0 
2 0 1 0 0 
3 0 1 1 0 
4 1 0 0 0 
5 1 0 1 1 
6 1 1 0 0 
7 1 1 1 0 
 
O mapa K para três entradas é dado a seguir: 
 
Não se deve trocar a posição das entradas no mapa K, as entradas A e B 
devem ficar nas colunas e a entrada C deve ficar nas linhas. Este mapa K 
preenchido para a tabela fica assim: 
 
Agora temos uma variável de entrada para as linhas do mapa e duas 
variáveis de entrada para as colunas do mapa K. A expressão lógica fica assim: 
𝑥 = �̅��̅�𝐶̅ + 𝐴�̅�𝐶 
Vamos agora entender o funcionamento do mapa K de 4 variáveis. 
 
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Considere uma tabela verdade com entradas A, B, C e D, e saída x igual 
a 1 nas linhas 1, 
 11 e 13, conforme a tabela a seguir. 
Decimal A B C D x 
0 0 0 0 0 0 
1 0 0 0 1 1 
2 0 0 1 0 0 
3 0 0 1 1 0 
4 0 1 0 0 1 
5 0 1 0 1 0 
6 0 1 1 0 0 
7 0 1 1 1 0 
8 1 0 0 0 0 
9 1 0 0 1 0 
10 1 0 1 0 0 
11 1 0 1 1 1 
12 1 1 0 0 0 
13 1 1 0 1 1 
14 1 1 1 0 0 
15 1 1 1 1 0 
 
O mapa K para quatro entradas é dado a seguir: 
 
 
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Não se deve trocar a posição das entradas no mapa K, as entradas A e B 
devem ficar nas colunas e as entradas C e D devem ficar nas linhas. 
O mapa K preenchido para a tabela fica assim: 
 
Agora temos duas variáveis de entrada para as linhas do mapa e duas 
variáveis de entrada para as colunas do mapa K. A expressão lógica fica assim: 
𝑥 = �̅��̅�𝐶̅𝐷 + 𝐴𝐵𝐶̅𝐷 + 𝐴�̅�𝐶𝐷 
 
Quer saber mais sobre o mapa de Karnaugh? Assista à explicação 
do professor Ederson Cichaczewski no material online. 
 
Tema 4 - Simplificação com Mapa de Karnaugh 
O mapa K tem alguns recursos de simplificação das expressões de forma 
bem direta e simples. Vamos entender esses recursos para projetos de circuitos 
com 2, 3 e 4 entradas. 
Para uma aplicação com 2 entradas, vamos considerar que a tabela 
verdade contempla duas saídas em 1 em uma mesma linha do mapa K. Segue 
a tabela verdade. 
Decimal A B x 
0 0 0 1 
1 0 1 0 
2 1 0 1 
3 1 1 0 
 
 
 
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O mapa K para esta tabela verdade fica assim: 
 
Verificamos que temos 1 par adjacente de 1s horizontalmente na linha da 
entrada B invertida (negada). Neste caso, a expressão resultante seria: 
𝑥 = �̅��̅� + 𝐴�̅� 
Nos dois termos desta expressão aparece a variável de entrada A, mas 
em uma delas invertida, sendo que a variável de entrada B invertida também 
aparece nos dois termos, mas igualmente (ambas com inversão). 
Neste caso, a variável A pode ser eliminada. Isto pode ser feito caso a 
adjacência seja na vertical, eliminando a variável que muda e mantendo a 
variável que não muda. A expressão resultante para esta nova tabela verdade 
seria: 
𝑥 = �̅� 
Para uma aplicação com 3 entradas, consideramos uma tabela verdade 
com entradas A, B e C e saída x igual a 1 nas linhas 0, 1 e 5, conforme a seguir: 
 
Decimal A B C x 
0 0 0 0 1 
1 0 0 1 1 
2 0 1 0 0 
3 0 1 1 0 
4 1 0 0 0 
5 1 0 1 1 
6 1 1 0 0 
7 1 1 1 0 
 
 
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O mapa K preenchido para a tabela fica assim: 
 
Percebemos que há uma adjacência vertical na primeira coluna das 
entradas AB entre as células 0 e 1. Neste caso eliminamos a variável que irá 
aparecer na expressão em sua forma direta e também em sua negada, junto com 
as variáveis AB invertidas, que é a entrada C. Há também uma adjacência 
horizontal pelas extremidades na linha da entrada C entre as células 1 e 5. Neste 
caso eliminamos a variável A, que irá aparecer em sua forma direta e também 
em sua forma negada. 
Portanto, a expressão resultante é: 
𝑥 = (�̅��̅�𝐶̅ + �̅��̅�𝐶) + (�̅��̅�𝐶 + 𝐴�̅�𝐶) = �̅��̅� + �̅�𝐶 
 
Também pode ocorrer uma adjacência entre 4 células, chamada de 
quarteto. O mapa K a seguir demonstra esta situação. 
 
Nesta situação temos as entradas B e C que mudam da sua forma direta 
para sua forma invertida, então irá sobrar apenas a variável A, que não muda. 
Portanto, a expressão resultante será: 𝑥 = �̅� 
Para uma aplicação com 4 entradas, consideramos uma tabela verdade 
com entradas A, B, C e D, e saída x igual a 1 nas linhas 0, 1 e 5, conforme vemos 
na tabela. 
 
 
x 
 
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Decimal A B C D x 
0 0 0 0 0 1 
1 0 0 0 1 0 
2 0 0 1 0 0 
3 0 0 1 1 0 
4 0 1 0 0 1 
5 0 1 0 1 0 
6 0 1 1 0 0 
7 0 1 1 1 0 
8 1 0 0 0 0 
9 1 0 0 1 0 
10 1 0 1 0 1 
11 1 0 1 1 1 
12 1 1 0 0 0 
13 1 1 0 1 0 
14 1 1 1 0 1 
15 1 1 1 1 1 
 
O mapa K preenchido para a tabela fica assim: 
 
Percebemos que há uma adjacência horizontal na primeira linha das 
entradas CD entre as células 0 e 4. Neste caso eliminamos a entrada B que irá 
aparecer na expressão em sua forma direta e também em sua negada, junto com 
as variáveis ACD invertidas. Há também uma adjacência em quarteto entre as 
células 10, 11, 14 e 15. Neste caso eliminamos as entradas B e D, que irão 
 
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aparecer em sua forma direta e também em sua forma negada, ficando as 
entradas A e C. 
Portanto, a expressão resultante é 𝑥 = �̅�𝐶̅�̅� + 𝐴𝐶. 
Também pode ocorrer uma adjacência entre 8 células, chamada octeto. 
O mapa K a seguir demonstra esta situação. 
 
Para obter a expressão eliminaremos as entradas que mudam, no caso 
A, B e D. A expressão final ficaria: 𝑥 = 𝐶̅ 
 
Agora é com o professor Ederson Cichaczewski! É ele quem fala 
mais sobre as simplificações utilizando o mapa de Karnaugh. 
 
Tema 5 – Minimização com Mapa de Karnaugh 
 
Além da simplificação já proporcionada pelo mapa K, algumas situações 
permitem ainda uma minimização, ou seja, mais um nível de simplificação. Nem 
sempre a tabela verdade de um circuito deverá ter sua saída determinada para 
produzir valor 0 ou valor 1. Podem existir algumas condições de entrada que 
nunca ocorrerão, então o valor de saída para essas condições é irrelevante (don’t 
care). 
Nesses casos, representamoso valor de saída com a letra x. Ter uma 
célula com valor irrelevante no mapa K pode ajudar na simplificação da 
expressão, e consequentemente, do circuito lógico, pois o projetista pode decidir 
considerar o valor dessa saída irrelevante como 0 ou 1. Vamos considerar o 
exemplo a seguir de um mapa K com saídas irrelevantes. 
 
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À primeira vista podemos agrupar dois pares, um na vertical (células 0 e 
1) e outro na horizontal (células 0 e 2), tendo uma expressão com dois termos, 
conforme a seguir. 
𝑥 = �̅��̅� + �̅�𝐶̅ 
Mas a célula 3 está com valor irrelevante, então podemos decidir 
considerá-la como valor 1, então teremos um quarteto (células 0, 1, 2 e 3), o que 
proporcionará uma expressão muito mais simplificada, com apenas um termo. 
A expressão minimizada obtida para este mapa K é apresentada a seguir: 
𝑥 = �̅� 
Em resumo, os passos para o uso do método de mapa K para obter uma 
expressão booleana simplificada e minimizada são: 
 
1. Construa o mapa K e coloque 1 nas células que correspondem aos 1 na 
tabela verdade, deixando 0 nas outras células. 
2. Analise o mapa para verificar os 1 adjacentes, agrupando-os em par, 
quarteto ou octeto. Determinados agrupamentos podem envolver 1 de 
outros agrupamentos. 
3. Faça as eliminações de variáveis de entrada dentro dos grupos 
adjacentes. 
4. Verifique se há saídas irrelevantes e considere no mapa K o valor 1 aonde 
for conveniente para proporcionar uma minimização. 
5. Escreva a expressão na forma de soma de produtos, com todos os termos 
obtidos. 
 
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Em algumas ocasiões já temos a expressão booleana, mas não sabemos 
a tabela verdade e desejamos simplificá-la. Nesta situação o mapa K também 
pode ser utilizado. Sabendo quantas variáveis de entrada há na expressão, 
construímos o mapa K correspondente. 
É importante apenas se certificar que a expressão está na forma de soma 
de produtos. Caso necessário, aplique algum dos teoremas algébricos para 
deixar a expressão neste formato. Então, é só procurar os termos produto no 
mapa K e atribuir o valor 1 nas células correspondentes. Depois, use os recursos 
de simplificação, verificando as adjacências e obtendo a expressão simplificada. 
Para exemplificar, vamos simplificar a seguinte expressão: 
𝑥 = �̅��̅�𝐶̅�̅� + 𝐶̅𝐷 + 𝐴�̅�𝐶 + �̅� 
Temos 4 variáveis de entrada, então vamos construir o mapa K para tal. 
Para o primeiro termo, vamos encontrá-lo no mapa e colocar 1 na célula. Para o 
segundo termo, vamos procurar todas as células que, dentre as combinações de 
entrada, há a combinação 𝐶̅𝐷 e assim por diante para o terceiro e quarto termos 
da expressão. Desta forma, temos o seguinte mapa K: 
 
Podemos identificar um octeto nas duas primeiras colunas, outro octeto 
entre a primeira e a última coluna e um quarteto na última linha. A expressão 
simplificada será: 
𝑥 = 𝐴�̅� + 𝐶̅ + �̅� 
Acompanhe mais detalhes sobre a minimização com o professor no 
material online! 
 
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Trocando Ideias 
Nessa aula, vimos o processo de simplificação de circuitos lógicos, 
implementados por meio de circuitos integrados digitais de portas lógicas. Os 
recursos de simplificação trabalhados englobam conceitos da álgebra e suas 
propriedades, o que é de conhecimento básico. Utilizamos diariamente métodos 
de otimização de recursos, por exemplo: 
 Utilizar um caminho alternativo para ir de casa até o trabalho (tempo); 
 Economizar nas finanças pessoais ou outras necessidades (custo); 
 Escolher um veículo que faz mais quilometragem por litro de combustível 
(desempenho). 
A simplificação é um processo de otimização de custo e desempenho, 
ligado ao tempo de resposta de um circuito integrado, aplicado ao projeto de 
circuitos digitais. O conhecimento adquirido nesta aula é fundamental para a 
continuidade nesta disciplina e será utilizado ao longo de todo o curso. Não fique 
com dúvidas, estude o tema consultando o livro indicado na referência 
bibliográfica e também outras fontes de pesquisa. 
Na Prática 
Vamos analisar uma situação real de projeto de circuito lógico 
combinacional. 
Uma máquina copiadora deverá interromper seu funcionamento e ativar 
um indicador luminoso sempre que uma das seguintes condições ocorrer: 
 A bandeja de papel estiver vazia, estando o sensor de papel da bandeja 
desativado, portanto, quando estiver indicando nível lógico baixo; 
 Os dois sensores de papel estiverem acionados, indicando um 
atolamento de papel, portanto, ambos em nível lógico alto. 
Interprete a aplicação e construa a tabela verdade, obtenha a expressão 
simplificada por mapa de Karnaugh, desenhe o circuito e indique quais circuitos 
integrados TTL devem ser utilizados. 
 
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Tabela Verdade 
Temos 3 variáveis de entrada, que são os sensores. Vamos nomear de P 
a variável de entrada do sensor de papel da bandeja, e os outros dois sensores 
de atolamento vamos nomear de Q e R. 
Cada vez que a entrada P for igual a 0, indicando ausência de papel, a 
saída deve ser ativada. Cada vez que as entradas Q e R estiverem ativadas 
juntas, a saída deve ser ativada. A saída será nomeada de S. Confira a tabela 
verdade. 
Decimal P Q R S 
0 0 0 0 1 
1 0 0 1 1 
2 0 1 0 1 
3 0 1 1 1 
4 1 0 0 0 
5 1 0 1 0 
6 1 1 0 0 
7 1 1 1 1 
 
Mapa de Karnaugh 
Agora vamos construir o mapa K para essa tabela verdade: 
 
 
 
 
 
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Expressão simplificada 
Analisando o mapa K, verificamos um quarteto nas células 0, 1, 2 e 3 e 
também um par nas células 3 e 7. A expressão será a seguinte: 
𝑆 = �̅� + 𝑄𝑅 
Desenho do circuito 
Temos para P uma porta inversora, para o segundo termo da expressão 
uma porta AND para Q e R, e por fim, para realizar a soma dos termos, usamos 
uma porta OR, conforme a seguir: 
 
 
Circuitos integrados 
Os circuitos integrados a serem utilizados são: 
 1 CI 7404 para a porta inversora (NOT); 
 1 CI 7408 para a porta AND; 
 1 CI 7432 para a porta OR. 
 
Síntese 
Nesta aula, trabalhamos a simplificação de circuitos lógicos, o projeto de 
circuitos lógicos combinacionais, mapa de Karnaugh, simplificações de funções 
booleanas com mapas de Karnaugh e minimização lógica. O bom entendimento 
desta aula é fundamental, visto que trata dos processos de otimização e projeto 
de circuitos digitais. 
Confira as considerações finais do professor Ederson 
Cichaczewski sobre o conteúdo abordado no material online. 
 
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Referências 
 
TOCCI, R.; WIDMER, N. S. Sistemas Digitais – Princípios e Aplicações. 11ª 
ed. São Paulo: Pearson, 2011. Capítulo 4.