TRIÂNGULO E FATOR DE POTENCIA (corr)

Prévia do material em texto

POTÊNCIA EM CIRCUITOS REATIVOS E CORREÇÃO
DE FATOR DE POTÊNCIA
UFPB – CT- DM- DISCIPLINA ELETROTÉCNICA 
PROF. ANTONIO SERGIO
1) FUNDAMENTOS
Devido a natureza reativa de algumas cargas presentes no circuito que reagem contra a variação da corrente ou da voltagem provocando atraso de fase em uma outra destas grandezas, a potência média consumida por estas cargas, ou por um conjunto delas, ligadass à mesma fase do circuito de alimentação é dada por:
P = V.I.cos() (1)
Aonde P é potência média consumida, V é o valor eficaz da tensão do alimentador – que no caso do Nordeste Brasileiro é de 220V, I é a corrente eficaz que circula pelas cargas e é o defasamento entre a esta corrente e aquela voltagem. O produto N = V. I ou S = V.I é a potência aparente e cos() é conhecido como sendo o fator de potência, isto é, o fator que multiplicado pela potência aparente dá o quanto da potência entregue é transformada (dissipada) em outra forma de energia (mecânica, luminosa, térmica, etc).
Exemplo 1:
Uma certa geladeira traz as seguintes informações acerca de seu consumo: 
- Alimentação: 220V; consumo : 160W; corrente : 1,2A.
Logo, a potência aparente entregue a esta geladeira é:
N = V.I = 220X 1,2 = 264 VA (2) 
O fator de potência é facilmente calculado como sendo:
 (3)
Assim, como a geladeira tem um motor indutivo, a corrente fasorial dela é:
 = 0,727 – j0,955 (4)
Se quisermos a impedância equivalente complexa associada ao motor da geladeira fazemos:
 (5)
Observando a equação (1), podemos perceber que N é hipotenusa de um triangulo retângulo e P, seu cateto adjacente, só faltando, portanto, o cateto oposto deste triangulo e este cateto oposto é a potência reativa Q do motor como poderia ser de uma instalação monofásica qualquer. Assim, o triangulo abaixo representa graficamente a situação acima.
 
 P
 
 	 Q
 N 
Fig. 1 – Triangulo de potência para uma carga reativa.
Assim, temos as seguintes relações para as potências envolvidas numa carga reativa (e mesmo não reativa)
P = N.cos() (6.1)
Q = N.sen() (6.2)
N2 = P2 + Q2 (6.3)
Sabe-se também que a potência ativa P é matematicamente justificada pela parte REAL da impe-dância complexa. Também, dedui-se que a potência reativa Q é justificada pela parte IMAGI-NÁRIA da mesma impedância. Assim, considerando que , tem-se:
P = R.I2 (7.1)
Q = X.I2 (7.2)
Ainda em relação ao caso da geladeira acima, e considerando (2), (6.1) e (6.2), temos:
P = 264.cos(52,700) = 160W (8.1)
Q= 264.sen (52,700) = 210 VAR (8.2)
 
Por outro lado, considerando (5), (7.1) e (7.2), tem-se:
P = 111,10.(1,2)2 = 160W (9.1)
Q = 145,83(1,2)2 = 210VAR (9.2)
Assim sendo, o triangulo de potência para a geladeira acima é:
 160W
 
 210VA
 264VA
Obs: o ângulo da impedância é o mesmo ângulo do triangulo de potência.
2) FORMA COMPLEXA DA POTÊNCIA APARENTE.
 Considerando que
 V e I 
aonde e são ângulos arbitrários de dos fasores de V e de I. 
Podemos escrever que N = N, onde = - = o angulo de defasamento entre estes fasores.
Assim sendo: 
N = = V.I* (12)
Aonde representa o complexo conjugado de . Logo, podemos escrever que:
N 
aonde P e Q são dados pelas equações (8.1) e (8.2)
Para o caso da geladeira acima citada, temos, considerando (4):
N (13)
O que dá os mesmos resultados mostrados em (8.1)-(8.2) e (9.1)-(9.2)
Exemplo 6
Uma tensão de V = 100300 é aplicada a um circuito quem tem um Z = 3 + j4.
Determinar o triângulo de potência para este circuito.
Solução:
Z Z = (14.1)
Considerando (11), temos:
N (14.2)
Observe que o ângulo de N é igual ao ângulo de Z que, por sua vez, é o ângulo entre a v oltagem e a corrente.
Por outro lado, de (13.1) e (13.2), tem-se:
P = R. I2 = 3x202 = 1200W
Q= X. I2= 4.202 = 1600VAR 
 (14.3)
Também podemos calcular a tensão em cada um dos elementos da impedância complexa mostrada em (5) e determinar a potência ativa e reativa do circuito.
Cuidado: não se deve usar NUNCA a tensão de entrada total para calcular P e Q num circuito séria, pois resulta em um GRAVE erro. As tensões usadas para isso devem ser as parcias.
3) CONVENSÃO DOS TRIANGULOS
O triângulo de potência é desenhado conforme as cargas sejam capacitivas ou indutivas. Se a carga é resistiva, não há triangulo de potência para ela, já que não potência reativa sendo desen-volvida nela. Lembramos que, se a carga é indutiva, a corrente está atrasada em relação a volta-gem aplicada; porém, se a carga é capacitiva, a corrente está adiantada em relação a voltagem. Assim sendo, por convenção, o triângulo de potência é desenhado seguindo a posição relativa da corrente em relação a voltagem, como mostra a figura abaixo.
 V P
 
 N Q I N Q 
 I 
 
 V P
 CARGA INDUTIVA CARGA CAPACITIVA
 Fig. 2 – Convenção para o desenho dos triângulos de potência.
Podemos notar que as cargas capacitivas apresenta um energia reativa contrária a indutiva. Assim sendo, as cargas capacitivas tendem a anular a energia reativa desenvolvida pelas cargas indutivas. De maneira geral podemos escrever o vetor N para cada uma das situações encontradas:
a) Carga RL : (15.1)
b) Carga RC: (15.2)
c) Carga R :(15.3)
d) Carga L: 						 (15.4)
e) Carga C: 		 					 (15.5)
 4) ASSOCIAÇÃO DE CARGAS EM PARALELO
Numa instalação qualquer, as cargas estão ligadas em paralelo e, assim sendo, elas recebem diferentes correntes se forem diferentes e as mesmas voltagens. A figura abaixo mostra esta situa-ção.
 
 V Z1 Z2
Fig. 6 – Cargas em paralelo como numa instalação monofásica.
onde Z1 representa uma carga e Z2, outra..
Cada carga tem um vetor N associado a ela. Assim,
N1 			 (16.1)
N2 		 (16.2)
Como energias se somam, dedui-se que o vetor N total das duas cargas são:
NT = N1 + N2 (18)
Em termos gráficos, usando o triângulo de potência, e supondo-se que as duas cargas são indutivas, o que em geral acontece em cargas de instalações, temos:
 P1
 N1 Q1
 P2 A potência aparente total não é necessariamente a soma
 das potências aparentes das cargas da instalação a me-
 NT N2 nos que as cargas sejam iguais. Assim, por Pitágoras:
 Q
 (19)
Fig. 7– Obtenção gráfica do triangulo de potência total de associação de cargas.
De maneira geral, se temos N cargas presentes no circuito o vetor N associado ao conjunto é:
NT (20)
Na figura abaixo temos um caso em que uma carga indutiva em paralelo com uma carga capacitiva.
 
 
Fig. 8 – Associação de uma carga indutiva e outra capacitiva e a obtenção gráfica do triângulo de 
 potência total.
Exemplo 7.
Liga-se em paralelo dois motores indutivos, um que absorve uma corrente de 0.5A e consome 70W e outro que absorve uma corrente de 1,2A e consome 160W. A alimentação é 220V.
Determinar o triângulo de potência do conjunto.
Solução:
A potência aparente e fator de potência do primeiro motor são:
N = V.I = 220x0,5 = 110VA ϕ = 50,50o
E para o segundo tem-se: 
N = V.I = 220x1,2 =264VA ϕ = 52,70o
Logo, os fasores I são, respectivamente, dados por:
I1 (21)
I2 = 0,727 – j0,955 
A potência aparente, N, para o primeiro motor é:
N = V. (22.1)
A potência aparente, N, para o segundo motor é: 
N = V. (22.2)
N total do conjunto é determinado somando-se membro a membro (22.1) e (22.2):
N 
Assim sendo, obtemos o triângulo de potência total do conjunto mostrado abaixo:
 160W
 210VAR
 
 70W
 
 84,88VAR
A impedância total do conjunto é obtida somando a partir da corrente total somando-se os dois fasores em (19.1):
IT = IG + IV
Observe que o angulo da impedância é o mesmo angulo do N total do circuito em módulo e sinal. Também observe que, pelo fato dos triângulos de potência da geladeira e do ventilador serem aproximamente equivalentes, isto é, tem ângulos com valores bem próximos entre si, observamos que o módulo do N total é aproximadamente soma dos módulos dos N de cada carga. O mes- mo ocorre os módulos das correntes totais, conforme pode-se observar.
Exemplo 4 
Um motor indutivo de 3HP e fator de potência 0,7 está ligado em paralelo a um motor capacitivo de 2HP e fator de potência 0,8 em 220V/60Hz.
Determinar os triângulos de potências parciais e totais.
P1 = 3x746 = 2238 W 
N1 = = 3197,14 VA
Q1 = = 2283,22 VAR
I1 = = 14,53 A I1 = 14,53-45,57o = 10,17 – j.10,38
P2 = 2x746 = 1492 W 
N1 = = 1865 VA
Q2 = = 1119 VAR
I2 = = 8,48 A I2 = 8,4836,87o = 6,78 +j.5,09
NT = P1 + P2 + j(Q1 – Q2) = 3730 + j.1164,22
NT = 3907,47 17,33o
IT = I1 + I2 = 16,95 -j.5,29 = 17,76 -17,33o 
Por outro lado,
IT = -17,33o = 17,76 -17,33o 
Exemplo 5
As cargas Z1 = 2 – j.5 e Z2 = 1 + j.1 estão em paralelo. Uma potência de 20W é dissipada no resistor de 2Ω. Determinar o triângulo de potência total do conjunto.
Solução:
P = R.I2 I = = = 3,16
A tensão no capacitor está em quadratura.
VR = IxR = 2 x 3,16 = 6,32 V VC = IxXC = 15,8V
Vent = 6,32 – j.15,8 = 5-36,90
I1 = = = 3,1600
I2 = = = 12,06--113,20
N1 = Vent x = 5-36,90 x 3,1600 = 53,75-68,20 = 19,96 – j.49,9
N2 = Vent x = 17,01-68,20 x 12,06--113,20 = 205,14450 = 160,14 – j.160,14
NT = 180 + j.110,24
Exemplo 6
Um circuito série de dois elementos a potência é 0,707 adiantado. 
Sendo v(t) = 99.sen(9000.t + 30o) a tensão aplicada, determinar os componentes 
físicos do circuito.
 Solução:
 P = 940W N = = 1329,56 VA N = 1329,56-450
 I* = = = 19-750 I = 19750 
 Z = = = 3,68-450 = 2,6 – j.2,6 
 R = 2,6Ω e C = = 42,73µF
5