Lista de Taxas Relacionadas (Derivadas Cálc1)

Prévia do material em texto

1 
Universidade Estadual do Norte Fluminense – UENF 
CCT/LCMAT – Bacharelado em Engenharia 
Lista de Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral I – MAT– 01101 
(Taxas Relacionadas) 
 
01) Um papagaio de papel está voando a uma altura de 40m. O garoto está empinando o 
papagaio de tal modo que este se move horizontalmente à taxa de 3m/s. Se a linha está 
esticada, a que taxa deve o garoto “dar linha” quando o comprimento da linha solta é 50m? 
 
02) Infla-se um balão esférico de tal modo que o seu volume está aumentando à taxa de 
5dm/min. A que taxa o diâmetro do balão cresce quando o diâmetro é 12dm? 
 
03) Uma bola de neve esférica é formada de tal maneira que seu volume aumenta à taxa de 
8dm/min. Encontre a taxa de variação com que o raio é aumentado quando a bola de neve 
tem 4dm de diâmetro. 
 
04) Suponha que quando o diâmetro é de 6dm, a bola de neve do exercício 3 pare de 
aumentar e comece a se dissolver à taxa de 
4
1
dm3/min. Encontre a taxa com que o raio 
varia, se o raio é de 2dm. 
 
05) Acumula-se areia em um monte de forma cônica, à taxa de 10 dm3/min. Se a altura do 
monte é sempre igual a duas vezes o raio da base, a que taxa cresce a altura do monte 
quando esta é igual a 8dm? 
 
06) Uma lâmpada colocada em um poste está a 5m de altura. Se um homem de 2m de altura 
caminha afastando-se da lâmpada à taxa de 5m/seg, com que velocidade se alonga sua 
sombra? 
 
07) No exercício 6 a que taxa se move a extremidade da sombra do homem? 
 
08) Um homem de 2m de altura caminha em direção a um prédio à taxa de 3m/seg. Se 
existe uma lâmpada sobre o chão a 10m do prédio, com que velocidade a sombra do homem 
diminui, quando ele está a 3m de distância deste? 
 
09) Um recipiente cheio de água com a for a de um cone invertido está sendo esvaziado à 
taxa de 6cm3/min. A altura do cone é 24cm e o raio da base é 12cm. Encontre a velocidade 
o com que baixa o nível da água, quando está a 10m do fundo. 
 
10) Um reservatório tem 12m de comprimento e seus extremos são da forma de um 
triângulo isósceles invertido, tendo 3m de altura e 3m de base. Encontre a velocidade com 
que baixa o nível da água, quando está a 10cm do fundo. 
 
11) A lei de Boyle para a dilatação do gás é PV = C, onde P é o número de newtons por 
unidade quadrada de área, V é o número de unidades cúbicas do volume do gás e C é uma 
constante. Num certo instante, a pressão é 3000N/m2, o volume é 5m3 e o volume está 
aumentando à taxa de 3m3/min. Encontre a taxa de variação da pressão neste momento. 
 
12) A lei adiabática (não se perde nem ganha calor) para a dilatação do ar é PV 1.4 = C, onde P 
é o número de newtons por unidade quadrada de área, V é o número de unidades cúbicas do 
volume e C é uma constante. Num certo instante, a pressão é de 40N/m 2 e está 
aumentando à taxa de 8N/m 2 cada segundo. Qual é a taxa de variação do volume neste 
instante? 
 
 2 
13) Um automóvel que viaja à taxa de 30m/seg, aproxima-se de um cruzamento. Quando o 
automóvel está a 120m do cruzamento, um caminhão que viaja à taxa de 40m/seg atravessa 
o cruzamento. O automóvel e o caminhão estão em rodovias que formam ângulos retos uma 
com a outra. Com que velocidade o automóvel e o caminhão se separam 2seg depois que o 
caminhão passou pelo cruzamento? 
 
14) Um homem está puxado um barco para o cais à taxa de 5m/min, por meio de uma corda 
presa ao barco ao nível da água. Se as mãos do homem estão a 1.6m sobre o nível da água, 
com que velocidade o barco se aproxima do cais quando a extensão da corda para fora é de 
2m? 
 
15) Uma cidade é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o 
número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir 
do primeiro dia da epidemia) é, aproximadamente, dado por 
3
64)(
3t
ttf 
 
a) Qual a razão da expansão a epidemia no tempo t = 4? 
b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8? 
c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º. dia? 
 
16) Analistas de produção verificarão que em uma montadora, o número de peças produzidas 
nas primeiras t horas diárias de trabalho é dado por 





84),1(200
40),(50)(
2
tparat
tparatttf
 
a) Qual a razão de produção (em unidades por hora) após 3 horas de trabalho? Após 7 
horas? 
b) Quantas peças são produzidas na 8ª. hora de trabalho? 
 
 
 
Respostas – Taxas Relacionadas: 
1) 
segm /
5
9
 2) 3) 
mindm /
2
1

 4) 5) 
mindm /
8
5

 6) 7) 
segm /
3
25
 8) 9) 
mincm /
25
6

 10) 
11) 
minpormN 2/1800
 12) 13) 
segm /14
 14) 15) 
43,0,48
 16) 
200,350