Cálculo Diferencial e Integral III

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

APÊNDICE 
UNIDADE 2
Cálculo diferencial 
e integral III
Integrais múltiplas em outras coordenadas
U2
1
Apêndice
Gabaritos comentados com resposta-padrão
Integrais múltiplas em outras coordenadas: UNIDADE 2
Gabarito 1. Faça Valer a Pena – Seção 2.1 
1. Alternativa correta: E
Resposta comentada: Basta observarmos os limites das desigualdades:
2 2 3 8≤ −2 2≤ −2 2 + ≤3 8+ ≤3 8z x≤ −z x≤ − y3 8y3 83 8+ ≤3 8y3 8+ ≤3 8 , 1 51 5≤ −1 51 5≤1 51 5z x1 51 5≤ −1 5z x1 5≤ −1 5 , 3 43 4≤ ≤3 43 4≤ ≤3 4z3 4≤ ≤3 4
2 82 8≤ ≤2 82 8u2 82 8≤ ≤2 8u2 8≤ ≤2 8 , 1 51 5≤ ≤1 51 5≤ ≤1 5v1 5≤ ≤1 5, 3 43 4≤ ≤3 43 4≤ ≤3 4w3 4≤ ≤3 4
Como a indicação é de se realizar em primeiro lugar a integração na variável 
u, os extremos de integração 2 e 8 são associados à integral mais interna. 
Como a última integração é com respeito à variável w, os limites de integração 
para w estão colocados na última integral. 
A mudança de coordenadas é: 
u z x yu z= −u z2 3u z2 3u z x y2 3x y= −2 3= −u z= −u z2 3u z= −u z x y+x y2 3x y+x y
v z x= −v z= −v z
w zw z=w z
A inversa é: 
x w v= −x w= −x w
y uy u= −y u( )y u( )y u v w( )v w= −( )= −y u= −y u( )y u= −y u v w−v w( )v w−v w / 3
z wz w=z w
O determinante do jacobiano será: 1/3 
Assim: 
1
3 3
4
1
5
2
8
3 5∫∫∫ u vu v5u v5 dudvdw.
Integrais múltiplas em outras coordenadas
U2
2
2. Alternativa correta: B
Resposta comentada: Considere a mudança de variáveis: 
u x y z= +u x= +u x y z+y z2 , v x z= −v x= −v x3v x3v xv x= −v x3v x= −v x , w y z= +w y= +w y 2 . Vamos denotar por T a mudança de 
coordenadas (x, y, z) nas coordenadas (u, v, w). Então, o determinante de T e 
o determinante da transformação inversa T −1 são, respectivamente: 
 
J x
x
u
x
v
x
w
y
u
y
v
y
w
z
u
z
TJ xTJ x( )J x( )J x y z( )y z, ,( ), ,y z, ,y z( )y z, ,y z =
∂ ( )x y( )x y z( )z, ,( ), ,x y, ,x y( )x y, ,x y
∂ ( )u v( )u v w( )w, ,( ), ,u v, ,u v( )u v, ,u v
=
∂x∂x
∂
∂x∂x
∂
∂x∂x
∂
∂y∂y
∂
∂y∂y
∂
∂y∂y
∂
∂
∂
∂
∂vvv
z
w
∂
∂
= −= − −
−
= −
−1 8 3 8 1 4
3 4= −3 4= −1 4 1 2
3 8 1 8 3 4
1
8
/ /1 8/ /1 8 3 8/ /3 8 /1 4/1 4
/ /= −/ /= −3 4/ /3 4= −3 4= −/ /= −3 4= −1 4/ /1 4 /1 2/1 2
/ /3 8/ /3 8 1 8/ /1 8 /3 4/3 4
O determinante da transformação inversa é o inverso do determinante da 
transformação T. 
Como det( )T( )T = − 1
8
, então det( )( )T( )( )−( ) = −1( )1( ) 8 .
3. Alternativa correta: B
Resposta comentada: O jacobiano é: 
J x
x
r
x x
z
y
r
y y
z
z
r
z
( )J x( )J x y z( )y z, ,( ), ,y z, ,y z( )y z, ,y z =
∂ ( )x y( )x y z( )z, ,( ), ,x y, ,x y( )x y, ,x y
∂ ( )r( )r , ,( ), ,
=
∂x∂x
∂
∂x x∂x x
∂
∂x x∂x x
∂
∂y∂y
∂
∂y y∂y y
∂
∂y y∂y y
∂
∂
∂
∂
∂
( )¸ z( ), ,( ), ,¸ z, ,( ), ,
θ
θ
θ
∂∂∂
∂
=
z
z
cos r
sen r s rs r n r
θ θs rθ θs r seθ θsenθ θn
θ θn rθ θn r coθ θcos rθ θs r θ θseθ θsen rθ θn r
( )s r( )s rθ θ( )θ θs rθ θs r( )s rθ θs rs rθ θs r−s rθ θs r ( )θ θ( )θ θ
( )n r( )n rθ θ( )θ θn rθ θn r( )n rθ θn r ( )s r( )s rθ θ( )θ θs rθ θs r( )s rθ θs rs r=s r ( )θ θ( )θ θθ θ+θ θ( )n r( )n rθ θ( )θ θn rθ θn r( )n rθ θn r n rn rn rn rn rn rn rn rn r=n r
0
0s r0s r
0 0 1
2 2θ θ2 2θ θseθ θse2 2seθ θsen rθ θn r2 2n rθ θn r( )2 2( )θ θ( )θ θ2 2θ θ( )θ θθ θ+θ θ2 2θ θ+θ θcos
Integrais múltiplas em outras coordenadas
U2
3
Gabarito 2. Faça Valer a Pena – Seção 2.2 
1. Alternativa correta: E
Resposta comentada: A equação do cilindro é x y R2 2x y2 2x y 1
2+ =x y+ =x y2 2+ =2 2x y2 2x y+ =x y2 2x y . A equação da 
esfera é x y z R2 2x y2 2x y 2z R2z R2
2+ +x y+ +x y2 2+ +2 2x y2 2x y+ +x y2 2x y z R=z R .
Utilizamos coordenadas cilíndricas: 
x r cosx r=x r ( )( )θ( )
y r seny r=y r ( )( )θ( )
z zz z=z z
A matriz do jacobiano é: 
J x
x
r
x x
z
y
r
y y
z
z
r
z
( )J x( )J x y z( )y z, ,( ), ,y z, ,y z( )y z, ,y z =
∂ ( )x y( )x y z( )z, ,( ), ,x y, ,x y( )x y, ,x y
∂ ( )r( )r , ,( ), ,
=
∂x∂x
∂
∂x x∂x x
∂
∂x x∂x x
∂
∂y∂y
∂
∂y y∂y y
∂
∂y y∂y y
∂
∂
∂
∂
∂
( )θ( ), ,( ), ,θ, ,( ), ,
θ
θ
θ
( )z( )
∂∂∂
∂
=
( ) ( )
( ) ( )
z
z
cos r( )s r( )
sen r( )n r( ) s rs r=s r=s r( )s r( )
θ θ( )θ θ( ) ( )θ θ( )s rθ θs r( )s r( )θ θ( )s r( ) −s r−θ θ−s r− seθ θsenθ θn
θ θ( )θ θ( ) ( )θ θ( )n rθ θn r( )n r( )θ θ( )n r( ) coθ θcos rθ θs r( )s r( )θ θ( )s r( )
0
0s r0s r
0 0 1
Os limites de integração são 0 1≤ ≤r R≤ ≤r R≤ ≤ , 0 20 2≤ ≤0 2θ pi0 2θ pi0 20 2≤ ≤0 2θ pi0 2≤ ≤0 2 , 0 2
2 2 2≤ ≤ − −z Rz R≤ ≤z R≤ ≤ x y2 2x y2 2− −x y− − .
Ao adotar os limites da variável z entre 0 2
2 2 2≤ ≤ − −z Rz R≤ ≤z R≤ ≤ x y2 2x y2 2− −x y− − , estamos integrando 
sobre a metade superior do volume definido. Após efetuar a integral abaixo, 
multiplicamos o volume obtido por 2 para obter o valor desejado. 
A integral fica 
0
2
0 0 0
2
0
2
2 2
1 2
2 2
1pi pi2pi pi2pi pipi pi1pi pi1 2pi pi2
θ θθ θ2θ θ2
2 2θ θ2 2∫ ∫ ∫ ∫θ θ∫ ∫θ θ∫θ θ∫θ θ∫θ θ∫θ θθ θ= −θ θθ θ= −θ θθ θ= −θ θθ θ∫ ∫θ θ= −θ θ∫ ∫θ θθ θ∫θ θ= −θ θ∫θ θ =
Rpi piRpi piR r2R r2
2 2R r2 2pi piR rpi pi2pi pi2R r2pi pi2 −R r− R
∫ ∫r d∫ ∫∫ ∫zd∫ ∫∫ ∫r d∫ ∫zd∫ ∫r d∫ ∫∫ ∫r d∫ ∫θ θ∫ ∫θ θr dθ θ∫ ∫θ θ∫ ∫zd∫ ∫r d∫ ∫zd∫ ∫ R r2 2R r2 2θ θR rθ θ2θ θ2R r2θ θ22 2θ θ2 2R r2 2θ θ2 2θ θ= −θ θR rθ θ= −θ θ2θ θ2= −2θ θ2R r2θ θ2= −2θ θ2 r dθ θr dθ θr dθ θr dθ θr dr dr dθ θr dθ θr dθ θr dθ θ
 1
3
2
30
2
2
3
3
2
2
3
3
2
pi
θ
pi
∫ ( )2( )22( )2 1( )12( )2− −( )− − = −= − ( )2( )22( )2 1( )12( )2−( )−


= −= −







= −= −= −= −










R R2R R2
3R R3 − −R R− −( )R R( )− −( )− −R R− −( )− −R d2R d2 θR dθ( )R d( )1( )1R d1( )12( )2R d2( )2 R R2R R23R R3= −R R= −2= −2R R2= −2 ( )R R( )( )R( ) .
Multiplicando por 2, obtemos a resposta: 
4
3 2
3
3
2pi R R2R R2
3R R3R R− −R R( )2( )22( )2 1( )12( )2R R( )R R R( )R− −( )− −R R− −R R( )R R− −R R





















 .
2. Alternativa correta: D
Resposta comentada: Da própria integral obtemos os limites de integração: 
0 ≤ ≤θ pi≤ ≤θ pi≤ ≤ , 0 60 6≤ ≤0 6 ( )r s0 6r s0 60 6≤ ≤0 6r s0 6≤ ≤0 6 en ( )θ( ) , 0 25 20 2≤ ≤0 2z r0 2z r0 25z r50 2≤ ≤0 2z r0 2≤ ≤0 2 −z r− .
Dos limites de integração para θ , a integração é sobre o primeiro e o segundo 
quadrantes do plano xy. 
Integrais múltiplas em outras coordenadas
U2
4
Usando x y r2 2x y2 2x y 2+ =x y+ =x y2 2+ =2 2x y2 2x y+ =x y2 2x y e y r seny r=y r ( )( )θ( ) , substituímos em r senr s=r s ( )6r s6r s ( )θ( ) , obtendo: 
r y
r
r y= ⇒6 6y6 6y r y6 6r y= ⇒6 6= ⇒= ⇒6 6= ⇒y= ⇒y6 6y= ⇒y r y=r y6 6r y=r y26 626 6r y6 6r y2r y6 6r y . Então: x y r x y y x y2 2x y2 2x y 2 2r x2 2r x 2 2y y2 2y y
26 3x y6 3x y2 26 32 2y y2 2y y6 3y y2 2y y x y2 2x y6 3x y2 2x y 9+ =x y+ =x y2 2+ =2 2x y2 2x y+ =x y2 2x y ⇒ +r x⇒ +r x2 2⇒ +2 2r x2 2r x⇒ +r x2 2r x = ⇒y y= ⇒y yy y2 2y y= ⇒y y2 2y y6 3= ⇒6 3y y6 3y y= ⇒y y6 3y y2 26 32 2= ⇒2 26 32 2y y2 2y y6 3y y2 2y y= ⇒y y2 2y y6 3y y2 2y y x y6 3x y+ −x y6 3x y( )x y( )x y6 3( )6 3x y6 3x y( )x y6 3x y6 3+ −6 3( )6 3+ −6 3x y6 3x y+ −x y6 3x y( )x y6 3x y+ −x y6 3x y = .
Ou seja, projetada no plano xy, temos a equação de uma circunferência de 
centro (0,3) e raio = 3. 
Os limites de integração em coordenadas retangulares são: 
Para a variável x: xinferiorxinferiorx = −3 , xsuperioxsuperiox r = 3
Para a variável y: yinferior =0, y xy xsuperioy xsuperioy xry xry xy x= +y xy x−y x3 93 9y x3 9y xy x3 9y xy x= +y x3 9y x= +y x
2
Para a variável z: zinferiorzinferiorz = 0 , z x ysuperioz xsuperioz xrz xrz xz x= −z x −25z x25z x25z x25z xz x= −z x25z x= −z x
2 2y2 2y
Finalmente, da fórmula de mudança de coordenadas retangulares para 
cilíndricas, temos que r dzdr dzdr d r dzdr dzd dxdy dzr d� �r
d � �dx� �dxr d� �r dθr dθr dθr dθr d� �θ� �r d� �r dθr d� �r d = . 
Então 
−
+ − − −
∫ ∫ ∫
3
3
0
3 93 9+ −3 9+ −+ −3 9+ −
0
252 2 2x x y− −x y− −2 2x y2 2
dzdy dxdxd .
3. Alternativa correta: C
Resposta comentada: De x y a2 2x y2 2x y 2+ =x y+ =x y2 2+ =2 2x y2 2x y+ =x y2 2x y temos x ax a y= −x a= −x ax a= −x a
2 2y2 2y . Usando coordenadas 
cilíndricas, x r cosx r=x r ( )( )θ( ) e y r seny r=y r ( )( )θ( ) , temos que y r sen2 2y r2 2y r 2y r=y r ( )( )θ( ) . Então, 
x rx r y r cos= −x r= −x rx r= −x r y r=y r ( )2 2y r2 2y r ( )θ( ) . Substituímos x r cosx r=x r ( )( )θ( ) e y r seny r=y r ( )( )θ( ) na integral, usando 
os limites de integração 0 20 2≤ ≤0 2θ pi0 2θ pi0 20 2≤ ≤0 2θ pi0 2≤ ≤0 2 , 0 ≤ ≤r a≤ ≤r a≤ ≤ , 0 50 5≤ ≤0 50 5≤ ≤0 5z0 5≤ ≤0 5.
xy dxdy dz r cos r dzdr dzdr d r dzdr dzd
A
a
2
0
2
0 0
5
2 2∫∫∫ ∫ ∫ ∫r c∫r c= ( ) ( ) =
pi
θ θr sθ θr senθ θen2 2θ θ2 2r s2 2r sθ θr s2 2r sen2 2enθ θen2 2en( )θ θ( ) ( )θ θ( ) θr dθr d 
0
2
0 0
5
4 2
pi
θ θ4 2θ θ4 2 θ∫ ∫ ∫ ( )4 2( )4 2θ θ( )θ θ4 2θ θ4 2( )4 2θ θ4 2 ( )θ θ( )θ θ
a
r c4 2r c4 2∫r c∫ os4 2os4 2θ θseθ θ4 2θ θ4 2se4 2θ θ4 2n d4 2n d4 2θ θn dθ θ4 2θ θ4 2n d4 2θ θ4 2 ( )n d( )θ θ( )θ θn dθ θ( )θ θ zdn dzdn d r dθr dθzdr dzd
Gabarito 3. Faça Valer a Pena – Seção 2.3 
1. Alternativa correta: B
Resposta comentada:
5 31
1
2
00
55 355 3
1
2
0
5 345 3
0
θ ρ5 3θ ρ5 3
0
θ ρ
0
5 345 3θ ρ5 345 3φ φ5 3φ φ5 3θ φ5 3θ φ5 31θ φ1
pi pi2pi pi2pipi pipipi pipipi pi
5 3se5 35 3n d5 35 3φ φ5 3n d5 3φ φ5 35 3d5 35 3θ φ5 3d5 3θ φ5 3∫ ∫∫ ∫5 3∫ ∫5 34∫ ∫45 345 3∫ ∫5 345 31∫ ∫1
2
∫ ∫
2
0∫ ∫04∫ ∫40∫ ∫02∫ ∫2 0∫ ∫00∫ ∫02∫ ∫25 325 3∫ ∫5 325 3ρ φ∫ ∫ρ φ5 3ρ φ5 3∫ ∫5 3ρ φ5 35 3
45 3ρ φ5 345 3∫ ∫5 345 3ρ φ5 345 3ρ φ∫ ∫ρ φ5 3ρ φ5 3∫ ∫5 3ρ φ5 3θ ρ∫ ∫θ ρ5 3θ ρ5 3∫ ∫5 3θ ρ5 30θ ρ0∫ ∫0θ ρ00θ ρ0∫ ∫0θ ρ05 325 3θ ρ5 325 3∫ ∫5 325 3θ ρ5 325 35 3ρ φ5 3se5 3ρ φ5 3∫ ∫5 3ρ φ5 3se5 3ρ φ5 35 3n d5 3∫ ∫5 3n d5 35 3ρ φ5 3n d5 3ρ φ5 3∫ ∫5 3ρ φ5 3n d5 3ρ φ5 35 3d d5 3∫ ∫5 3d d5 35 3ρ φ5 3d d5 3ρ φ5 3∫ ∫5 3ρ φ5 3d d5 3ρ φ5 35 3θ ρ5 3d d5 3θ ρ5 3∫ ∫5 3θ ρ5 3d d5 3θ ρ5 3∫∫ ∫∫1∫1∫ ∫1∫1∫∫ ∫∫0∫0∫ ∫0∫0∫ ∫∫∫ ∫5 3∫ ∫5 3∫5 3∫ ∫5 30∫ ∫0∫0∫ ∫0θ ρ∫ ∫θ ρ∫θ ρ∫ ∫θ ρ5 3θ ρ5 3∫ ∫5 3θ ρ5 3∫5 3θ ρ5 3∫ ∫5 3θ ρ5 30θ ρ0∫ ∫0θ ρ0∫0θ ρ0∫ ∫0θ ρ05 3θ ρ5 3∫ ∫5 3θ ρ5 3=5 3θ ρ5 3∫ ∫5 3θ ρ5 35 35 35 3θ ρ5 35 3θ ρ5 3θ ρθ ρ5 3θ ρ5 35 3θ ρ5 35 3θ ρ5 35 3θ ρ5 35 3θ ρ5 35 3θ ρ5 35 35 35 35 35 35 35 35 3θ φ= −θ φ5 3θ φ5 3= −5 3θ φ5 31θ φ1= −1θ φ1 [θ φ[θ φ[θ φ[θ φθ φ= −θ φ[θ φ= −θ φθ φcoθ φθ φsθ φ]]] =∫θ φ∫θ φ∫θ φ∫θ φθ φ= −θ φ∫θ φ= −θ φ 040θ φ0θ φ∫0∫θ φ∫θ φ0θ φ∫θ φ2θ φ2θ φθ φ= −θ φ2θ φ= −θ φ
pipi
θdθdθ
31 1 2
2
31 1 2
2 20
2 −





















 = −31= −31 1= −1










= −= −= −= −

2 22 2




2 22 22 22 22 22 2
2 2

2 22 2

2 2∫0∫0 dθdθd
pipi
.
Integrais múltiplas em outras coordenadas
U2
5
2. Alternativa correta: A
Resposta comentada: Usando coordenadas esféricas, temos que:
x y n sen2 2x y2 2x y 2 2 2 2n s2 2n s 2 2+ =x y+ =x y2 2+ =2 2x y2 2x y+ =x y2 2x y + =n s+ =n sen+ =enn s2 2n s+ =n s2 2n s 2 2+ =2 2ρ φseρ φsen sρ φn s2 2ρ φ2 2se2 2seρ φse2 2sen s2 2n sρ φn s2 2n sθ ρn sθ ρn s2 2θ ρ2 2n s2 2n sθ ρn s2 2n sn s+ =n sθ ρn s+ =n sn s2 2n s+ =n s2 2n sθ ρn s2 2n s+ =n s2 2n s φ θ2 2φ θ2 2se2 2seφ θse2 2sen2 2nφ θn2 2nφ θseφ θse+ =φ θ+ =se+ =seφ θse+ =sen+ =nφ θn+ =n2 2+ =2 2φ θ2 2+ =2 2se2 2se+ =se2 2seφ θse2 2se+ =se2 2sen2 2n+ =n2 2nφ θn2 2n+ =n2 2nn scon sn ssn s 
ρ φ ρ φ2 2ρ φ2 2ρ φ 2 2ρ φ2 2ρ φρ φseρ φρ φ2 2ρ φseρ φ2 2ρ φn sρ φn sρ φρ φ2 2ρ φn sρ φ2 2ρ φ ρ φseρ φρ φ2 2ρ φseρ φ2 2ρ φρ φnρ φρ φ2 2ρ φnρ φ2 2ρ φ( )θ θ( )θ θ2 2( )2 2θ θ2 2θ θ( )θ θ2 2θ θn s( )n sθ θn sθ θ( )θ θn sθ θ2 2n s2 2( )2 2n s2 2θ θ2 2θ θn sθ θ2 2θ θ( )θ θ2 2θ θn sθ θ2 2θ θθ θenθ θ( )θ θenθ θθ θ2 2θ θenθ θ2 2θ θ( )θ θ2 2θ θenθ θ2 2θ θn scon s( )n scon sn ssn s( )n ssn sθ θn sθ θ+θ θn sθ θ( )θ θn sθ θ+θ θn sθ θθ θ2 2θ θn sθ θ2 2θ θ+θ θ2 2θ θn sθ θ2 2θ θ( )θ θ2 2θ θn sθ θ2 2θ θ+θ θ2 2θ θn sθ θ2 2θ θ = 
Então, ρ φ ρ φ2 2ρ φ2 2ρ φ 16 4ρ φseρ φρ φ2 2ρ φseρ φ2 2ρ φn sρ φn sρ φn sρ φn sρ φρ φ2 2ρ φn sρ φ2 2ρ φ 16n s16 ρ φenρ φ= ⇒16= ⇒16n s= ⇒n s16n s16= ⇒16n s16 = .
3. Alternativa correta: B
Resposta comentada: Usando coordenadas esféricas, temos que 
xy 2 2
: Usando coordenadas esféricas, temos que 
2
: Usando coordenadas esféricas, temos que 
= ( )n s( )n s( )n s( )n sen( )en =( )ρ φ( )se( )seρ φse( )sen s( )n sρ φn s( )n sθ ρn sθ ρn s( )θ ρ( )n s( )n sθ ρn s( )n s( )θ ρ( )n s( )n sθ ρn s( )n s( )φ θ( )se( )seφ θse( )sen( )nφ θn( )nn s( )n scon s( )n sn s( )n ssn s( )n s ρ φ θ θ3 3ρ φ3 3ρ φ 2θ θ2θ θρ φseρ φρ φ3 3ρ φseρ φ3 3ρ φn sρ φn sρ φ θ θn sθ θρ φ3 3ρ φn sρ φ3 3ρ φ θ θenθ θn scon sn ssn s . O elemento de volume é 
dx dy dz r sen dr d d= 2r s2r s φ φdrφ φdr d dφ φd dθd dθd d . Da equação fornecida da esfera, temos que o raio 
da esfera é igual a 5. A equação de uma esfera, em coordenadas esféricas é 
ρ = 5 (com 0 2 00 2≤ ≤0 2 ≤ ≤θ pi0 2θ pi0 20 2≤ ≤0 2θ pi0 2≤ ≤0 2 φ pi≤ ≤φ pi≤ ≤, ).
Então xy dx dy dzA
2∫∫∫A∫∫∫A = 
pipi
0
5
00
2 ( )ρ φ( )ρ φ θ θ( )θ θ3 3( )3 3ρ φ3 3ρ φ( )ρ φ3 3ρ φ 2( )2θ θ2θ θ( )θ θ2θ θρ φseρ φ( )ρ φseρ φρ φ3 3ρ φseρ φ3 3ρ φ( )ρ φ3 3ρ φseρ φ3 3ρ φn s( )n sρ φn sρ φ( )ρ φn sρ φ θ θn sθ θ( )θ θn sθ θρ φ3 3ρ φn sρ φ3 3ρ φ( )ρ φ3 3ρ φn sρ φ3 3ρ φ θ θenθ θ( )θ θenθ θn scon s( )n scon sn ssn s( )n ssn s ( )ρ φ( )ρ φ ρ φ( )ρ φ θ( )θ2( )2ρ φ2ρ φ( )ρ φ2ρ φρ φseρ φ( )ρ φseρ φn d( )n dρ φn dρ φ( )ρ φn dρ φ d d( )d dρ φd dρ φ( )ρ φd dρ φ θd dθ( )θd dθ =∫0∫0∫0∫0∫0∫0 
ρ φ θ θ ρ φ θ
pipi 5 4ρ φ5 4ρ φ
0
5
0
2
0
2
ρ φseρ φρ φ5 4ρ φseρ φ5 4ρ φn sρ φn sρ φρ φ5 4ρ φn sρ φ5 4ρ φ en d dρ φd dρ φ dθdθ∫0∫0∫0∫0∫0∫0 θ θcoθ θθ θsθ θ .
Gabarito 4. Faça Valer a Pena – Seção 2.4
1. Alternativa correta: A
Resposta comentada:
 
 Fonte: O autor.
Utilizamos coordenadas esféricas com 0
2
≤ ≤φ≤ ≤φ≤ ≤
pi
. A integral fica: 
7 7 7 7
0
3
0
2
0
3 2
0
3
0
2
zd7 7zd7 7x d7 7x d7 7zdx dzd7 7zd7 7x d7 7zd7 7y d7 7y d7 7x dy dx d7 7x d7 7y d7 7x d7 7z s7 7z s7 7y dz sy d7 7y d7 7z s7 7y d7 7 se3 2se3 2n3 2n3 2
V∫∫∫V∫∫∫V ∫ ∫7 7∫ ∫7 7
2
∫ ∫
2
∫ ∫7 7∫ ∫7 7∫ ∫∫ ∫7 7∫ ∫7 7 7 7∫ ∫7 72∫ ∫2
3
∫ ∫
32
∫ ∫
2
2∫ ∫27 727 7∫ ∫7 727 7z s∫ ∫z s7 7z s7 7∫ ∫7 7z s7 77 727 7z s7 727 7∫ ∫7 727 7z s7 727 7 n d∫ ∫n d d d∫ ∫d d∫ ∫0∫ ∫0z s∫ ∫z s7 7z s7 7∫ ∫7 7z s7 7 n d∫ ∫n d d d∫ ∫d d∫ ∫0∫ ∫0z s∫ ∫z s7 7z s7 7∫ ∫7 7z s7 7∫ ∫0∫ ∫0z s∫ ∫z s7 7z s7 7∫ ∫7 7z s7 7∫ ∫0∫ ∫00∫ ∫0∫∫ ∫∫7 7∫7 7∫ ∫7 7∫7 77 7z s7 7∫7 7z s7 7∫ ∫7 7z s7 7∫7 7z s7 7∫∫ ∫∫0∫0∫ ∫0∫0z s∫z s∫ ∫z s∫z s7 7z s7 7∫7 7z s7 7∫ ∫7 7z s7 7∫7 7z s7 7∫∫ ∫∫7 7∫7 7∫ ∫7 7∫7 77 7z s7 7∫7 7z s7 7∫ ∫7 7z s7 7∫7 7z s7 7∫∫ ∫∫0∫0∫ ∫0∫0z s∫z s∫ ∫z s∫z s7 7z s7 7∫7 7z s7 7∫ ∫7 7z s7 7∫7 7z s7 77 7z s7 7= =7 7z s7 7∫ ∫= =∫ ∫d d∫ ∫d d= =d d∫ ∫d d∫ ∫= =∫ ∫n d∫ ∫n d= =n d∫ ∫n d∫ ∫= =∫ ∫z s∫ ∫z s= =z s∫ ∫z s7 7z s7 7∫ ∫7 7z s7 7= =7 7z s7 7∫ ∫7 7z s7 77 727 7z s7 727 7∫ ∫7 727 7z s7 727 7= =7 727 7z s7 727 7∫ ∫7 727 7z s7 727 77 7z s7 7∫7 7z s7 7∫ ∫7 7z s7 7∫7 7z s7 7= =7 7z s7 7∫7 7z s7 7∫ ∫7 7z s7 7∫7 7z s7 77 7z s7 7∫7 7z s7 7∫ ∫7 7z s7 7∫7 7z s7 7= =7 7z s7 7∫7 7z s7 7∫ ∫7 7z s7 7∫7 7z s7 7∫ ∫ρ φ∫ ∫z s∫ ∫z sρ φz s∫ ∫z sen∫ ∫enρ φen∫ ∫en∫ ∫ρ φ∫ ∫z s∫ ∫z sρ φz s∫ ∫z sen∫ ∫enρ φen∫ ∫en∫ ∫= =∫ ∫ρ φ∫ ∫= =∫ ∫z s∫ ∫z s= =z s∫ ∫z sρ φz s∫ ∫z s= =z s∫ ∫z sen∫ ∫en= =en∫ ∫enρ φen∫ ∫en= =en∫ ∫en∫ ∫ρ φ∫ ∫
2∫ ∫2ρ φ2∫ ∫2se∫ ∫seρ φse∫ ∫sen d∫ ∫n dρ φn d∫ ∫n d∫ ∫ρ φ∫ ∫se∫ ∫seρ φse∫ ∫sen d∫ ∫n dρ φn d∫ ∫n d∫ ∫= =∫ ∫ρ φ∫ ∫= =∫ ∫se∫ ∫se= =se∫ ∫seρ φse∫ ∫se= =se∫ ∫sen d∫ ∫n d= =n d∫ ∫n dρ φn d∫ ∫n d= =n d∫ ∫n d∫ ∫ρ θ∫ ∫d d∫ ∫d dρ θd d∫ ∫d d∫ ∫ρ θ∫ ∫d d∫ ∫d dρ θd d∫ ∫d d∫ ∫= =∫ ∫ρ θ∫ ∫= =∫ ∫d d∫ ∫d d= =d d∫ ∫d dρ θd d∫ ∫d d= =d d∫ ∫d dφ ρ7 7φ ρ7 70φ ρ0∫ ∫φ ρ∫ ∫7 7∫ ∫7 7φ ρ7 7∫ ∫7 70∫ ∫0φ ρ0∫ ∫00∫ ∫0φ ρ0∫ ∫0∫ ∫φ ρ∫ ∫7 7∫ ∫7 7φ ρ7 7∫ ∫7 7∫ ∫φ ρ∫ ∫7 7∫ ∫7 7φ ρ7 7∫ ∫7 7∫ ∫= =∫ ∫φ ρ∫ ∫= =∫ ∫ φ
pi
∫ ∫
pi
∫ ∫
pi
pi
∫ ∫
pi
∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫7 7∫ ∫7 7∫7 7∫ ∫7 7∫7 7∫ ∫7 7∫7 7∫ ∫7 7∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫0∫ ∫0∫0∫ ∫0∫0∫ ∫0∫0∫ ∫0∫ ∫φ ρ∫ ∫∫∫ ∫φ ρ∫ ∫∫∫ ∫φ ρ∫ ∫∫∫ ∫φ ρ∫ ∫7 7∫ ∫7 7φ ρ7 7∫ ∫7 7∫7 7∫ ∫7 7φ ρ7 7∫ ∫7 7∫7 7∫ ∫7 7φ ρ7 7∫ ∫7 7∫7 7∫ ∫7 7φ ρ7 7∫ ∫7 70∫ ∫0φ ρ0∫ ∫0∫0∫ ∫0φ ρ0∫ ∫0∫0∫ ∫0φ ρ0∫ ∫0∫0∫ ∫0φ ρ0∫ ∫0∫ ∫∫∫ ∫7 7∫ ∫7 7∫7 7∫ ∫7 7∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫φ ρ∫ ∫∫∫ ∫φ ρ∫ ∫7 7∫ ∫7 7φ ρ7 7∫ ∫7 7∫7 7∫ ∫7 7φ ρ7 7∫ ∫7 7 =0∫ ∫0∫ ∫∫ ∫φ ρ∫ ∫0∫ ∫φ ρ∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫0∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫φ ρ∫ ∫∫∫ ∫φ ρ∫ ∫0∫ ∫φ ρ∫ ∫∫∫ ∫φ ρ∫ ∫∫ ∫2∫ ∫7 7∫ ∫7 727 7∫ ∫7 77 7∫ ∫7 7φ ρ7 7∫ ∫7 727 7∫ ∫7 7φ ρ7 7∫ ∫7 7
pi
ρ θ φd dρ θd dρ θ dφdφ
7
4
81
4
4
0
3
0
3
0
2
0
2
0
2
0
ρ
φ φ
4
φ φ
4
2φ φ2
0
φ φ
0
θ φ
pi
pi
pi
pi



= =θ φ= =θ φ= =φ φ= =φ φ∫ ∫∫ ∫2∫ ∫2∫ ∫2∫ ∫2 0∫ ∫00∫ ∫0φ θ∫ ∫φ θ φ φ∫ ∫φ φ0φ φ0∫ ∫0φ φ00φ φ0∫ ∫0φ φ0∫ ∫∫ ∫4∫ ∫4
ρ
∫ ∫
ρ
∫ ∫∫ ∫0∫ ∫0
3
∫ ∫
3
0∫ ∫0
2
∫ ∫
2
0∫ ∫02∫ ∫2
pi
∫ ∫
pi 
∫ ∫


∫ ∫

∫ ∫



∫ ∫






∫ ∫




∫ ∫


∫ ∫

∫ ∫



∫ ∫






∫ ∫



∫∫ ∫∫0∫0∫ ∫0∫0∫∫ ∫∫0∫0∫ ∫0∫0∫ ∫∫∫ ∫0∫ ∫0∫0∫ ∫0φ φ∫ ∫φ φ∫φ φ∫ ∫φ φ0φ φ0∫ ∫0φ φ0∫0φ φ0∫ ∫0φ φ0∫ ∫se∫ ∫∫ ∫n d∫ ∫
2∫ ∫2n d2∫ ∫2φ θ∫ ∫φ θn dφ θ∫ ∫φ θ d s
81d s81φ φd sφ φ81φ φ81d s81φ φ81φ φd sφ φφ φ= =φ φd sφ φ= =φ φφ φ= =φ φd sφ φ= =φ φ∫ ∫d s∫ ∫2∫ ∫2d s2∫ ∫2φ φ∫ ∫φ φd sφ φ∫ ∫φ φ2φ φ2∫ ∫2φ φ2d s2φ φ2∫ ∫2φ φ2φ φ∫ ∫φ φd sφ φ∫ ∫φ φφ φ= =φ φ∫ ∫φ φ= =φ φd sφ φ= =φ φ∫ ∫φ φ= =φ φ2φ φ2= =2φ φ2∫ ∫2φ φ2= =2φ φ2d s2φ φ2= =2φ φ2∫ ∫2φ φ2= =2φ φ2∫ ∫d s∫ ∫7∫ ∫7d s7∫ ∫7φ φ∫ ∫φ φd sφ φ∫ ∫φ φ7φ φ7∫ ∫7φ φ7d s7φ φ7∫ ∫7φ φ7φ φ= =φ φ∫ ∫φ φ= =φ φd sφ φ= =φ φ∫ ∫φ φ= =φ φ7φ φ7= =7φ φ7∫ ∫7φ φ7= =7φ φ7d s7φ φ7= =7φ φ7∫ ∫7φ φ7= =7φ φ7∫ ∫∫∫ ∫d s∫ ∫∫∫ ∫φ φ∫ ∫φ φ∫φ φ∫ ∫φ φd sφ φ∫ ∫φ φ∫φ φ∫ ∫φ φφ φ= =φ φ∫ ∫φ φ= =φ φ∫φ φ= =φ φ∫ ∫φ φ= =φ φd sφ φ= =φ φ∫ ∫φ φ= =φ φ∫φ φ= =φ φ∫ ∫φ φ= =φ φφ φenφ φφ φ= =φ φenφ φ= =φ φ d dθ φd dθ φd dθ φd dθ φ= =d d= =θ φ= =θ φd dθ φ= =θ φ
.
Integrais múltiplas em outras coordenadas
U2
6
567
4
567
4
2 567
20
2
0
2
0
2 2
0
2d s2d s22d s2 en d sd s567d s567 2d s2 en dd sφ pid s2d s2φ pi2d s22d s2φ pi2d s2φ pi
0
φ pi
0
d sφ pid s2d s2φ pi2d s2 φ φd sφ φd sφ φd sφ φd spid spid s φ φdφ φd
pi
pi pi567pi pi5672pi pi2 pi
∫ ∫∫ ∫
567
∫ ∫
567
4∫ ∫4
2∫ ∫20∫ ∫0
2
∫ ∫
2
0∫ ∫02∫ ∫2 0∫ ∫0se∫ ∫sen d∫ ∫n d
2n d2∫ ∫2n d2 d s∫ ∫d s
567d s567∫ ∫
567d s567φ θ∫ ∫φ θn dφ θn d∫ ∫n dφ θn d φ pi∫ ∫φ pi4φ pi4∫ ∫4φ pi4 0φ pi0∫ ∫0φ pi0d sφ pid s∫ ∫d sφ pid s
567d s567φ pi567d s567∫ ∫
567d s567φ pi567d s567
pi
∫ ∫
pi
∫∫ ∫∫0∫0∫ ∫0∫0 ∫0∫0d s∫d sd s= =d s= =d s= =d sen= =end sφ pid s= =d sφ pid s2d s2φ pi2d s2= =2d s2φ pi2d s22d s2φ pi2d s2= =2d s2φ pi2d s2 φ φ= =φ φd sφ φd s= =d sφ φd sd sφ pid s∫ ∫d sφ pid s= =d sφ pid s∫ ∫d sφ pid sd sφ pid s∫ ∫d sφ pid s= =d sφ pid s∫ ∫d sφ pid s =
567
2
1
2
1
2
567
80
2 2pi
φ φφ φ
1
φ φ
1
2
φ φ
2
φ
pi
pi
φ φ−φ φ

φ φ

φ φ

































=φ φseφ φφ φnφ φ cos
2. Alternativa correta: B
Resposta comentada: Utilizamos coordenadas cilíndricas: x cosx crx cx c=x c θosθos , 
y seny sry sy s=y s θenθen , z zz z=z z . Para determinar o centro de massa, precisamos calcular 
a massa e o momento do sólido em relação ao plano coordenado xy. 
Substituindo-se z = 7 na equação z xz x= +z x( )
a massa e o momento do sólido em relação ao plano coordenado 
( )
a massa e o momento do sólido em relação ao plano coordenado 
z x( )z x y( )y= +( )= +z x= +z x( )z x= +z x4z x4z xz x= +z x4z x= +z x( )2 2( )y( )y2 2y( )y= +( )= +2 2= +( )= + , temos a intersecção entre 
as duas superfícies: 
7 4 7
4
7
4
2= +7 4= +7 4 ( )2 2( )2 2= +( )= + ⇒ = ⇒ =( )x y( )2 2( )2 2x y2 2( )2 2= +( )= +x y= +( )= +2 2= +2 2( )2 2= +2 2x y2 2= +2 2( )2 2= +2 2 r rr r2r r2⇒ =r r⇒ =2⇒ =2r r2⇒ =2 ⇒ =r r⇒ = . 
Este é o limite superior de integração para a variável r.
Cálculo da massa:
M C dx dy dz C r dr d
V r
dy
V r
dy
r
= =dx= =dx dy= =dy dz= =dz= =M C= =M C [ ] =∫∫∫V r∫∫∫V r= =∫∫∫= = ∫ ∫∫ ∫C r∫ ∫C rC r∫ ∫C r dz∫ ∫dzdr∫ ∫dr d C∫ ∫d CV r∫ ∫V r∫∫ ∫∫C r∫C r∫ ∫C r∫C rV r∫V r∫ ∫V r∫V r∫∫ ∫∫C r∫C r∫ ∫C r∫C rV r∫V r∫ ∫V r∫V r∫ ∫∫∫ ∫V r4V rV r∫ ∫V r4V r∫ ∫V rV r∫V r∫ ∫V r∫V r4V r∫V r∫ ∫V r∫V r
7
0V r0V r∫ ∫0∫ ∫V r∫ ∫V r0V r∫ ∫V r∫∫ ∫∫0∫∫ ∫∫V r∫V r∫ ∫V r∫V r0V r∫V r∫ ∫V r∫V r
7
C r∫ ∫C r4C r∫ ∫C r0V r0V r∫ ∫0∫ ∫V r∫ ∫V r0V r∫ ∫V r
2
∫ ∫
2
∫ ∫ 4
7
0∫ ∫0∫ ∫
7
4
0∫ ∫0∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫0∫ ∫∫∫ ∫
2
∫ ∫2∫ ∫C r∫ ∫C r2C r∫ ∫C r 2θ θθ θz rθ θz r drθ θdr dθ θd[ ]θ θ[ ]z r[ ]z rθ θz r[ ]z r∫ ∫θ θ∫ ∫d C∫ ∫d Cθ θd C∫ ∫d Cd C=d C∫ ∫d C=d Cθ θd C=d C∫ ∫d C=d C∫ ∫∫∫ ∫θ θ∫ ∫∫∫ ∫ 4θ θ4
7
θ θ
74θ θ4 2θ θ2z r2z rθ θz r2z r
pi pipi pi
∫ ∫
pi pi
∫ ∫∫ ∫
pi pi
∫ ∫∫ ∫
pi pi
∫ ∫∫∫ ∫∫
pi pi
∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫
pi pi
∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫
pi pi
∫ ∫∫∫ ∫
7pi pi7
∫ ∫
7
∫ ∫
pi pi
∫ ∫
7
∫ ∫
2pi pi2
∫ ∫
2
∫ ∫
pi pi
∫ ∫
2
∫ ∫
C rC r r dr dr dr dr d7 4C r7 4C r 3r d3r d
0
7
C r4C r
0
2
− =r d− =r dr d− =r dr dr dr d− =r dr dr d7 4− =7 4∫C r∫C r0∫0∫C r∫C r0∫0 θr dθr d− =θ− =
pi
= −= −= −


= −= −















= ⋅= ⋅= ⋅ −
























= ⋅= ⋅



= ⋅= ⋅= ⋅
= ⋅= ⋅
= ⋅


























∫= −∫= −C= −C= −
r r d C= ⋅d C= ⋅7
2
r r4r r
4
7
2
7
4
4 7
4
4
2 4r r2 4r r42 44r r4r r2 4r r4r r
0
7
4
0∫0∫
2
2
θd Cθd C
pi









2 49
8
pi pipi pi=pi pi=Cpi piCpi pi
Cálculo do momento: 
M C zdx dzdx dzd y dx dy dx d z Cy dz Cy d z r dzdr d C z r dr dr dr dr dxyM CxyM C V Vy dV Vy d
r
= =zd= =zdx d= =x dzdx dzd= =zdx dzd y d= =y dx dy dx d= =x dy dx d z C= =z Cy dz Cy d= =y dz Cy d= =M C= =M C












∫∫∫V V∫∫∫V V= =∫∫∫= = ∫∫∫V V∫∫∫V V ∫∫θ θr dθ θr dr dθ θr dr dr dr dθ θr dr dr dθ θθ θ
z
θ θ
z
θ θθ θ

θ θ

θ θ



θ θ


 
θ θ

θ θ



θ θ



θ θ∫θ θ∫θ θd Cθ θd Cd C=d Cθ θd C=d C∫θ θ∫
pi 2
4
7
0∫0∫
7
4θ θ4θ θ
0∫0∫
2
2 2
===
C r r dr d49 16
2
49 16r r16r r
2
4
0
7 4
0
2 5
0
7 4
0




r r−r r

















∫ ∫0∫ ∫0
2
∫ ∫
2
∫ ∫r d∫ ∫r dr d∫ ∫r dr dr dr d∫ ∫r dr dr d C∫ ∫C 0∫ ∫00∫ ∫0∫ ∫∫ ∫
r
∫ ∫
r49
∫ ∫
49 16
∫ ∫
16
2∫ ∫2∫ ∫∫ ∫0∫ ∫0

∫ ∫


∫ ∫

∫ ∫



∫ ∫






∫ ∫




∫ ∫


∫ ∫

∫ ∫



∫ ∫






∫ ∫



∫∫ ∫∫0∫0∫ ∫0∫0∫ ∫θ θdrθ θdr dθ θdθ θθ θ
r r
θ θ
r r49
θ θ
49 16
θ θ
16r r16r r
θ θ
r r16r r
θ θ

θ θ

θ θ



θ θ


 
θ θ

θ θ



θ θ



∫ ∫θ θ∫ ∫r d∫ ∫r dθ θr d∫ ∫r d C∫ ∫Cθ θC∫ ∫C=∫ ∫=θ θ=∫ ∫=
pi pipi pi7 4pi pi7 4
∫ ∫
pi pi
∫ ∫∫ ∫
pi pi
∫ ∫
7 4
∫ ∫
7 4pi pi7 4
∫ ∫
7 4
∫ ∫
pi pi
∫ ∫
r
∫ ∫
rpi pir
∫ ∫
r49
∫ ∫
49pi pi49
∫ ∫
49 16
∫ ∫
16pi pi16
∫ ∫
16
∫ ∫
pi pi
∫ ∫
 
∫ ∫
pi pi
∫ ∫

∫∫ ∫∫
pi pi
∫∫ ∫∫∫ ∫
pi pi
∫ ∫
/ // /7 4/ /7 42/ /2/ /r/ /r49/ /49 16/ /16 4/ /4/ /7 4/ /7 4 / / / /
∫ ∫
/ /
∫ ∫
pi pi/ /pi pi2pi pi2/ /2pi pi2pi pi/ /pi pirpi pir/ /rpi pir49pi pi49/ /49pi pi49 16pi pi16/ /16pi pi16 4pi pi4/ /4pi pi4pi pi/ /pi pi7 4pi pi7 4/ /7 4pi pi7 4 pi pi/ /pi pi pi pi/ /pi pi
∫ ∫
pi pi
∫ ∫
/ /
∫ ∫
pi pi
∫ ∫
2
∫ ∫
2pi pi2
∫ ∫
2/ /2
∫ ∫
2pi pi2
∫ ∫
2
∫ ∫
pi pi
∫ ∫
/ /
∫ ∫
pi pi
∫ ∫
r
∫ ∫
rpi pir
∫ ∫
r/ /r
∫ ∫
rpi pir
∫ ∫
r49
∫ ∫
49pi pi49
∫ ∫
49/ /49
∫ ∫
49pi pi49
∫ ∫
49 16
∫ ∫
16pi pi16
∫ ∫
16/ /16
∫ ∫
16pi pi16
∫ ∫
16
∫ ∫
pi pi
∫ ∫
/ /
∫ ∫
pi pi
∫ ∫
7 4
∫ ∫
7 4pi pi7 4
∫ ∫
7 4/ /7 4
∫ ∫
7 4pi pi7 4
∫ ∫
7 4 −
∫ ∫
−pi pi−
∫ ∫
−/ /−
∫ ∫
−pi pi−
∫ ∫
−
∫ ∫
pi pi
∫ ∫
/ /
∫ ∫
pi pi
∫ ∫
 
∫ ∫
pi pi
∫ ∫
/ /
∫ ∫
pi pi
∫ ∫

∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫0∫ ∫0∫0∫ ∫0∫0∫ ∫0∫0∫ ∫0∫ ∫θ θ∫ ∫∫∫ ∫θ θ∫ ∫∫∫ ∫θ θ∫ ∫∫∫ ∫θ θ∫ ∫∫ ∫
pi pi
∫ ∫∫∫ ∫
pi pi
∫ ∫∫∫ ∫
pi pi
∫ ∫∫∫ ∫
pi pi
∫ ∫∫ ∫
pi pi
∫ ∫
/ /
∫ ∫
pi pi
∫ ∫∫∫ ∫
pi pi
∫ ∫
/ /
∫ ∫
pi pi
∫ ∫∫∫ ∫
pi pi
∫ ∫
/ /
∫ ∫
pi pi
∫ ∫∫∫ ∫
pi pi
∫ ∫
/ /
∫ ∫
pi pi
∫ ∫ =
C r r d C d49
4
16r r16r r
12
49
4
7
4
16
12
7
4
2 6r r2 6r r162 616r r16r r2 6r r16r r
0
7 4
0
2 3
30
2
−




































∫0∫0
/7 4/7 4
θ θθ θdθ θd49θ θ49 7θ θ7 16θ θ16 7θ θ73θ θ3= ⋅θ θ= ⋅= ⋅θ θ= ⋅= ⋅θ θ= ⋅ − ⋅θ θ− ⋅− ⋅θ θ− ⋅

θ θ

θ θ= ⋅= ⋅θ θ= ⋅= ⋅



θ θ


 
θ θ

θ θ



θ θ



θ θd Cθ θd C= ⋅θ θ= ⋅d C= ⋅d Cθ θd C= ⋅d C
pi pir rpi pir r49pi pi49r r16r rpi pir r16r r2 6pi pi2 6r r2 6r rpi pir r2 6r rr r16r r2 6r r16r rpi pir r16r r2 6r r16r r 2pi pi2pi pi pi pi
∫∫∫0∫0∫0∫0θ θ∫θ θ∫θ θ∫θ θ= ⋅θ θ= ⋅∫= ⋅θ θ= ⋅∫= ⋅θ θ= ⋅∫= ⋅θ θ= ⋅
pi pi
∫
pi pi
∫
pi pi
∫
pi pi
=C dC d
C343C d343C d 343
24 120
2
θC dθC d pi
pi
∫C d∫C d0∫0 =
Logo, a coordenada z do centro de massa é dada por z
M
M
C
C
xy= == = =
343
12
49
8
14
3
pi
pi .
U2
7Integrais múltiplas em outras coordenadas
3. Alternativa correta: C
Resposta comentada: Precisamos determinar a massa do sólido e o momento 
com respeito ao plano xy. 
Por simetria, os outros valores são iguais
M f z dx dz dx dz d y dx dy dx d z xy dz xy d dx dy dz
sen d d d
V V
y d
V V
y dM f=M f ( )x y( )x y z d( )z d
V V
( )
V V
x y
V V
x y( )x y
V V
x y z x= +z x( )z x( )z x y z( )y z= +( )= +z x= +z x( )z x= +z x y z+y z( )y z+y z =∫∫∫M f∫∫∫M fV V∫∫∫V V∫∫∫z x∫∫∫z x∫∫∫V V∫∫∫V Vz x= +z x∫∫∫z x= +z x( ), ,( )x y( )x y, ,x y( )x yV V( )V V, ,V V( )V Vx yV Vx y( )x yV Vx y, ,x yV Vx y( )x yV Vx y ( )2 2( )y z( )y z2 2y z( )y z= +( )= +2 2= +( )= +( )2( )
2
4 2
0
ρ ρ4 2ρ ρ4 2 φ ρn dφ ρn d d dφ ρd dθ φd dθ φd d
aaa
∫0∫0∫∫ =0∫0∫
2
0∫0∫ 2
pi
pi
φ θ
ρ pipipi pipi
00
2
0
7ρ pi7ρ pi
0
0
φ θ
0
φ θ
2
0
7
7
2ρ pi2ρ pi
7
dφ θdφ θ a
a
a
∫ ∫∫ ∫∫ ∫ρ φ∫ ∫ρ φ ρ θ∫ ∫ρ θ φ φ∫ ∫φ φ φ θ∫ ∫φ θ
pi
∫ ∫
pi 6∫ ∫6ρ φ6ρ φ∫ ∫ρ φ6ρ φ0∫ ∫00∫ ∫0
2
∫ ∫
2
0∫ ∫02∫ ∫2 0∫ ∫0φ θ0φ θ∫ ∫φ θ0φ θ0∫ ∫0φ φ0φ φ∫ ∫φ φ0φ φ2∫ ∫2φ φ2φ φ∫ ∫φ φ2φ φρ φseρ φ∫ ∫ρ φseρ φn d∫ ∫n dρ φn dρ φ∫ ∫ρ φn dρ φ d d∫ ∫d dρ θd dρ θ∫ ∫ρ θd dρ θ φ φseφ φ∫ ∫φ φseφ φn d∫ ∫n dφ φn dφ φ∫ ∫φ φn dφ φ
a
∫ ∫
a
∫∫ ∫∫0∫0∫ ∫0∫0∫∫ ∫∫0∫0∫ ∫0∫0∫ ∫∫∫ ∫φ φ∫ ∫φ φ∫φ φ∫ ∫φ φ0∫ ∫0∫0∫ ∫0φ φ0φ φ∫ ∫φ φ0φ φ∫φ φ0φ φ∫ ∫φ φ0φ φφ φ∫ ∫φ φ=φ φ∫ ∫φ φ









ρ piρ pi


ρ pi

ρ piρ piρ pi

ρ piρ pi



= −= −
pipi[ ]= −[ ]= −co[ ]coccoc[ ]ccoc s[ ]sφ[ ]φ =02
72
7
a
Pela simetria, as coordenadas x e y do centro de massa são zero. Resta 
determinar a coordenada no eixo z. Para isto, determinamos o momento 
com respeito ao plano xy. 
M z f x dx dy dz z x dx dy dz
se
xyM zxyM zV VdyV VdyM z=M z ( )f x( )f x y z( )y zV V( )V Vy zV Vy z( )y zV Vy z = +z x= +z x= +( )z x( )z x y z( )y z= +( )= +z x= +z x( )z x= +z x y z+y z( )y z+y z =∫∫∫M z∫∫∫M zV V∫∫∫V V∫∫∫V V∫∫∫V V= +∫∫∫= +( ), ,( )y z( )y z, ,y z( )y zV V( )V V, ,V V( )V Vy zV Vy z( )y zV Vy z, ,y zV Vy z( )y zV Vy z ( )2 2( )y z( )y z2 2y z( )y z= +( )= +2 2= +( )= +( )2( )
2
4 2ρ φcoρ φcosρ φs ρ ρ4 2ρ ρ4 2 n dnn dn d d
a
φ ρn dφ ρn d θ φd dθ φd d
pi
pi
00
2
0
2 ∫0∫0∫0∫0∫0∫0 =
a n d a
a
ρ
pi φn dpi φn dpi φ φ φn dφ φn d pi
pi
pi piapi pia
api piapi pi
n ds cn dpi φs cpi φsepi φses csepi φsen dpi φn ds cn dpi φn dn dosn d
8pi pi8pi pi
0
0
2pi pi2pi pi
0
8pi pi8pi pi
0
pi φ
0
pi φ2pi φ2pi φpi φs cpi φ2pi φs cpi φ
8
8 8
2
8
pi pipi pi

pi pipi pi

= =n d= =n dφ φ= =φ φn dφ φn d= =n dφ φn dn ds cn d= =n ds cn dpi φs cpi φ= =pi φs cpi φsepi φses csepi φse= =sepi φses csepi φsen dpi φn ds cn dpi φn d= =n dpi φn ds cn dpi φn dn dosn d= =n dosn dpi φs cpi φ2pi φs cpi φ= =pi φs cpi φ2pi φs cpi φ −∫ ∫
a
∫ ∫
a
pi φ∫ ∫pi φ
a
pi φ
a
∫ ∫
a
pi φ
a
pi φ∫ ∫pi φs c∫ ∫s cpi φs cpi φ∫ ∫pi φs cpi φ∫ ∫
ρ
∫ ∫
ρs c∫ ∫s cs c∫ ∫s c
ρs cρ∫ ∫
ρs cρ∫ ∫∫ ∫se∫ ∫sen d∫ ∫n d d∫ ∫dφ φ∫ ∫φ φn dφ φn d∫ ∫n dφ φn dφ θ∫ ∫φ θdφ θd∫ ∫dφ θd
pi
∫ ∫
pi
n dφ φn dcon dφ φn d∫ ∫n dφ φn dcon dφ φn ds c∫ ∫s cn ds cn d∫ ∫n ds cn dn dφ φn ds cn dφ φn d∫ ∫n dφ φn ds cn dφ φn dφ θs cφ θ∫ ∫φ θs cφ θn dφ θn ds cn dφ θn d∫ ∫n dφ θn ds cn dφ θn d dφ θds cdφ θd∫ ∫dφ θds cdφ θd0∫ ∫0φ θ0φ θ∫ ∫φ θ0φ θ
2
∫ ∫
2
0∫ ∫02∫ ∫2 0∫ ∫0pi φ0pi φ∫ ∫pi φ0pi φ8∫ ∫8 2∫ ∫2s c2s c∫ ∫s c2s c8∫ ∫8pi φ8pi φ∫ ∫pi φ8pi φ

∫ ∫


∫ ∫

∫ ∫s cs c∫ ∫s cs c



∫ ∫






∫ ∫




∫ ∫


∫ ∫

∫ ∫s cs c∫ ∫s cs c



∫ ∫






∫ ∫



s c= =s c∫ ∫s c= =s cpi φs cpi φ= =pi φs cpi φ∫ ∫pi φs cpi φ= =pi φs cpi φpi φs cpi φ= =pi φs cpi φ∫ ∫pi φs cpi φ= =pi φs cpi φs c= =s c∫ ∫s c= =s cs c2s c= =s c2s c∫ ∫s c2s c= =s c2s c∫∫ ∫∫φ θ∫φ θ∫ ∫φ θ∫φ θφ θs cφ θ∫φ θs cφ θ∫ ∫φ θs cφ θ∫φ θs cφ θ0∫0∫ ∫0∫0φ θ0φ θ∫φ θ0φ θ∫ ∫φ θ0φ θ∫φ θ0φ θ
111
2
8
2
0
2
8
cos φ
pi
pi












=
a
Finalmente, z
M
zf z dx dz dx dz d y dx dy dx d zy dzy d
a
a
a
A
= ( )x y( )x y z d( )z d = == =∫∫∫A∫∫∫A
1 8
2
7
7
16
8
7( ), ,( )x y( )x y, ,x y( )x y
pi
pi
.