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Cálculo Diferencial e Integral III

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APÊNDICE 
UNIDADE 3
Cálculo diferencial 
e integral III
Equações diferenciais ordinárias
U3
1
Apêndice
Gabaritos comentados com resposta-padrão
Equações diferenciais ordinárias: UNIDADE 3
Gabarito 1. Faça Valer a Pena - Seção 3.1
1. Alternativa correta: A.
Resposta comentada: A EDO pode ser escrita como y y'y y'y y− =y y− =y y 0 .
Fazendo a verificação da função y exy e=y e , a derivamos em relação a x, chegando 
a dy
Fazendo a verificação da função 
dy
Fazendo a verificação da função 
dx
ex= . 
Substituindo a derivada da função e da própria função na equação diferencial 
ordinária, temos:
y y'y y'y y− =y y− =y y ⇒0 e ex xe ex xe e− =e e− =e e ⇒0 0 00 0=0 0
Conclui-se então que a função y exy e=y e é solução da equação diferencial 
ordinária y y'y y'y yy y=y y . Se realizada a mesma verificação nas demais, nota-se que 
não são soluções.
2. Alternativa correta: D.
Resposta comentada: Podemos reescrever a EDO como 
dy
dx
y− =y− =y 5 . 
Derivando a função y ex= −y e= −y ey e= −y e
1
5
y e
5
y e 5 , pela regra da cadeia, temos:
y ey ex'y e'y ey e=y e1
5
y e
5
y e
Substituindo a derivada da função e a função na EDO, obtém-se:
dy
dx
y− =y− =y 5
Equações diferenciais ordinárias
U3
2
Portanto, a função dada y ex= −y e= −y ey e= −y e1
5
y e
5
y e 5 é solução geral da EDO 
dy
dx
y= +y= +y 5 .
3. Alternativa correta: B.
Resposta comentada: 
y x y u du y u Cy x= −y x = =y u= =y u du= =du y= =y +∫ ∫y x∫ ∫y x dx∫ ∫dx y u∫ ∫y uy x= −y x∫ ∫y x= −y x( )∫ ∫( )y x( )y x∫ ∫y x( )y xy x= −y x( )y x= −y x∫ ∫y x= −y x( )y x= −y x y u= =y u∫ ∫y u= =y uy u= =y u∫ ∫y u= =y u( )∫ ∫( )2 1( )∫ ∫( )y x( )y x∫ ∫y x( )y x2 1y x( )y x∫ ∫y x( )y x= −( )= −∫ ∫= −( )= −2 1= −( )= −∫ ∫= −( )= −y x= −y x( )y x= −y x∫ ∫y x= −y x( )y x= −y x2 1y x= −y x( )y x= −y x∫ ∫y x= −y x( )y x= −y x
1
∫ ∫
1
∫ ∫2 1y u2 1y u y2 1y∫ ∫2 1∫ ∫y u∫ ∫y u2 1y u∫ ∫y u 2
5
∫ ∫
5
∫ ∫ 5
6
∫ ∫ ∫ ∫ y C=
( )
+
( )2 1( )x( )x2 1x( )x −( )−2 1−( )−
12
6
Para x =1 e y = 2 , temos:
y C C=
( )
+ =C C+ =C C
( )2 1( )x( )x2 1x( )x −( )−2 1−( )−
12
23
12
6
C C+ =C C C C+ =C C
Portanto, a solução particular é y =
( )
+
( )2 1( )x( )x2 1x( )x −( )−2 1−( )−
12
23
12
6
Gabarito 2. Faça Valer a Pena - Seção 3.2
1. Alternativa correta: C.
Resposta comentada: A afirmação II é falsa, pois uma equação diferencial 
parcial (EDP) é aquela que envolve derivadas parciais de uma função de mais 
de uma variável independente. Na equação do pêndulo, afirmativa IV, o 
termo 
g
L
senθnθn caracteriza a equação como não linear. E, dessa forma, temos 
a seguinte disposição de valores lógicos: V, F, V, F.
2. Alternativa correta: B.
Resposta comentada: O que determina a ordem de uma equação diferencial 
é a sua maior derivada. Dessa forma, a afirmação I é falsa, pois a equação é de 
4ª ordem. Na segunda equação, a única derivada que temos é de ordem 1. A 
terceira equação é não linear, caracterizada pelo termo y². A quarta equação 
diferencial é de 2ª ordem. Portanto, a alternativa B é a correta.
Equações diferenciais ordinárias
U3
3
3. Alternativa correta: B.
Resposta comentada: Em relação à ordem, percebe-se que a derivada na 
equação é uma derivada primeira. 
Verificando se a função é uma solução geral, fazemos os seguintes 
procedimentos:
Derivamos a função y Cxy Cxy C x= −y C= −y Cx= −xy Cxy C= −y Cxy C 3
2
 e temos 
dy
dx
Cx= −Cx= −Cx3= −3= − 1
2
2 .
Substituímos na equação xy( )x y( )x yx y+x y( )x y+x y3 0xy3 0xy( )3 0( )x y( )x y3 0x y( )x y − =3 0− =xy− =xy3 0xy− =xy3 0'3 0 ;
x Cxx Cxx C x x Cxx Cxx C+ −x C+ −x Cx+ −xx Cxx C+ −x Cxx Cx Cx Cx C+ −x Cx C+ −x C

x C

x Cx Cx Cx C+ −x Cx C+ −x Cx C
x Cx C
x Cx C+ −x Cx C+ −x Cx C+ −x C
x C+ −x C



x C

x Cx C

x C 





− −x C− −x Cx− −xx Cxx C− −x Cxx C− −x C− −x C

x C

x Cx Cx Cx C− −x Cx C− −x C



x C

x Cx C

x C 








=x C3x Cx C+ −x C3x C+ −x C
2
x C3x Cx C− −x C3x C− −x C 1
2
03 2x3 2x x C3 2x Cx3 2xx Cxx C3 2x Cxx C+ −3 2+ − 3 2
3 2



3 2

 3 2x Cx C3 2x Cx Cx Cx C
3 2x Cx Cx C
x Cx C
x C3 2x Cx Cx C
x Cx C3x C3 2x C3x C
x Cx xx xx Cx xx C Cx xx C+ −x Cx x+ −x xx Cx xx C+ −x Cx xx C − +Cx− +Cx =x C3x Cx C+ −x C3x C+ −x C 3
2
3− +3− +
2
03 3x x3 3x x Cx3 3Cxx x+ −x x3 3x x+ −x x − +3 3− +Cx− +Cx3 3Cx− +Cx33 33 33 33− +3− +3 3− +3− +
Concluímos, então, que a função é uma solução geral da equação diferencial 
ordinária dada.
Logo, temos que a função é uma solução geral da EDO dada, que possui 
ordem 1.
Gabarito 3. Faça Valer a Pena - Seção 3.3
1. Alternativa correta: C.
Resposta comentada: Fazendo a verificação de homogeneidade, temos: 
I) f x y xy yy xy yy x f x y x y y
f x
, ,y x, ,y xy y, ,y yy xy yy x, ,y xy yy x f x, ,f x( )f x( )f x y x( )y x, ,( ), ,y x, ,y x( )y x, ,y xy x= −y xy y= −y yy xy yy x= −y xy yy x ⇒, ,⇒, ,( )f x( )f x y x( )y x, ,( ), ,f x, ,f x( )f x, ,f x = −y x= −y x y y= −y y( )y y( )y y
⇒ ( )f x( )f x y( )y,( ), =
2 2, , , ,, , , , 
 
( )λ λ( )f x( )f xλ λf x( )f x y x( )y xλ λy x( )y x, ,( ), ,λ λ, ,( ), ,f x, ,f x( )f x, ,f xλ λf x, ,f x( )f x, ,f x λ λy xλ λy x y yλ λy y= −λ λ= −y x= −y xλ λy x= −y x ( )λ( )y y( )y yλy y( )y y
( )λ λ( )f x( )f xλ λf x( )f x y( )yλ λy( )y,( ),λ λ,( ), λ λλλ λλ2 2λ λ2 2λ λλλ λλ2 2λλ λλ 2xyλ λxyλ λλ λ2 2λ λxyλ λ2 2λ λ yλ λ−λ λ
f x y x f x y fλ λf xλ λf xλ λy xλ λy x y fλ λy f, ,y x, ,y xλ λ, ,λ λf xλ λf x, ,f xλ λf xλ λ, ,λ λy xλ λy x, ,y xλ λy x( )f x( )f x y x( )y xλ λ( )λ λf xλ λf x( )f xλ λf x y xλ λy x( )y xλ λy x, ,( ), ,y x, ,y x( )y x, ,y xλ λ, ,λ λ( )λ λ, ,λ λy x= −y xy xλ λy x= −y xλ λy x( )y x( )y xy y( )y yy xy yy x( )y xy yy xλ λ( )λ λy xλ λy x( )y xλ λy xy yλ λy y( )y yλ λy yy xy yy xλ λy xy yy x( )y xy yy xλ λy xy yy x, ,( ), ,y x, ,y x( )y x, ,y xy y, ,y y( )y y, ,y yy xy yy x, ,y xy yy x( )y xy yy x, ,y xy yy xλ λ, ,λ λ( )λ λ, ,λ λy xλ λy x, ,y xλ λy x( )y xλ λy x, ,y xλ λy xy yλ λy y, ,y yλ λy y( )y yλ λy y, ,y yλ λy yy xy yy xλ λy xy yy x, ,y xy yy xλ λy xy yy x( )y xy yy xλ λy xy yy x, ,y xy yy xλ λy xy yy xy xλ λy x= −y xλ λy x( )y xλ λy x= −y xλ λy xy yλ λy y= −y yλ λy y( )y yλ λy y= −y yλ λy yy xy yy xλ λy xy yy x= −y xy yy xλ λy xy yy x( )y xy yy xλ λy xy yy x= −y xy yy xλ λy xy yy xλ λ⇒λ λ, ,⇒, ,λ λ, ,λ λ⇒λ λ, ,λ λ( )f x( )f x y f( )y ff xλ λf x( )f xλ λf x λ λ( )λ λy fλ λy f( )y fλ λy f, ,( ), ,f x, ,f x( )f x, ,f xλ λ, ,λ λ( )λ λ, ,λ λf xλ λf x, ,f xλ λf x( )f xλ λf x, ,f xλ λf x y fλ λy f=y fλ λy f ( )x y( )x yx y,x y( )x y,x y2 2λ λ2 2λ λy xλ λy x2 2y xλ λy x( )2 2( )λ λ( )λ λ2 2λ λ( )λ λy xλ λy x( )y xλ λy x2 2y xλ λy x( )y xλ λy xy yλ λy y( )y yλ λy y2 2y yλ λy y( )y yλ λy yy xy yy xλ λy xy yy x( )y xy yy xλ λy xy yy x2 2y xy yy xλ λy xy yy x( )y xy yy xλ λy xy yy x 2y f2y fy fλ λy f2y fλ λy fλ λ, ,λ λ λ λ, ,λ λλ λ, ,λ λ λ λ, ,λ λ é homogênea.
II) f x y y x f y x
f x y y
, ,y y, ,y y x f, ,x f( )f x( )f x y y( )y y, ,( ), ,y y, ,y y( )y y, ,y y= +y y= +y y, ,= +, ,y y, ,y y= +y y, ,y y x f⇒x f, ,⇒, ,x f, ,x f⇒x f, ,x f ( )x y( )x y, ,( ), ,x y, ,x y( )x y, ,x y = ( )y x( )y x
⇒ ( )f x( )f x y y( )y y,( ), y y=y y
2= +2= +
2
2y y2y y
x f, ,x f x f, ,x fx f, ,x f x f, ,x f 
 
( )λ λ( )x y( )x yλ λx y( )x y, ,( ), ,λ λ, ,( ), ,x y, ,x y( )x y, ,x yλ λx y, ,x y( )x y, ,x y λ λy xλ λy x( )λ λ( )y x( )y xλ λy x( )y x2λ λ2 +λ λ+y x+y xλ λy x+y x
( )λ λ( )f x( )f xλ λf x( )f x y y( )y yλ λy y( )y y,( ),λ λ,( ), λy yλy y2λ2 222 + λx
f x y y x f f xλ λy yλ λy y λ λf xλ λf x, ,y y, ,y y x f, ,x fy yλ λy y, ,y yλ λy y( )f x( )f x y y( )y yλ λ( )λ λf xλ λf x( )f xλ λf x y yλ λy y( )y yλ λy y, ,( ), ,y y, ,y y( )y y, ,y yλ λ, ,λ λ( )λ λ, ,λ λy y= +y yy yλ λy y= +y yλ λy
yy y, ,y y= +y y, ,y yy yλ λy y, ,y yλ λy y= +y yλ λy y, ,y yλ λy y( )y y( )y y x f( )x fλ λ( )λ λy yλ λy y( )y yλ λy y, ,( ), ,y y, ,y y( )y y, ,y y x f, ,x f( )x f, ,x fy yλ λy y, ,y yλ λy y( )y yλ λy y, ,y yλ λy y= +( )= +y y= +y y( )y y= +y yy yλ λy y= +y yλ λy y( )y yλ λy y= +y yλ λy y, ,= +, ,( ), ,= +, ,y y, ,y y= +y y, ,y y( )y y, ,y y= +y y, ,y yy yλ λy y, ,y yλ λy y= +y yλ λy y, ,y yλ λy y( )y yλ λy y, ,y yλ λy y= +y yλ λy y, ,y yλ λy y x f⇒x f, ,⇒, ,x f, ,x f⇒x f, ,x f ( )x y( )x yλ λ( )λ λx yλ λx y( )x yλ λx y, ,( ), ,x y, ,x y( )x y, ,x yλ λ, ,λ λ( )λ λ, ,λ λx yλ λx y, ,x yλ λx y( )x yλ λx y, ,x yλ λx y ≠ ( )f x( )f x y( )yλ λ( )λ λf xλ λf x( )f xλ λf x λ( )λyλy( )yλy,( ),( )2( )= +( )= +2= +( )= + x f, ,x f x f, ,x fx f, ,x f x f, ,x f não é homogênea. 
Equações diferenciais ordinárias
U3
4
III) f x y
xy y
f x y
xy y
f x
, ,f x, ,f x( )f x( )f x y( )y, ,( ), ,y, ,y( )y, ,y =
+
⇒, ,⇒, ,( )f x( )f x y( )y, ,( ), ,f x, ,f x( )f x, ,f x =
⇒
2
2, ,2, ,
2 2y2 2y
2 2 2, , , ,, , , , 
 
( )λ λ( )f x( )f xλ λf x( )f x y( )yλ λy( )y, ,( ), ,λ λ, ,( ), ,f x, ,f x( )f x, ,f xλ λf x, ,f x( )f x, ,f x λ
2 2λ2 2
λ λxyλ λxy +λ λ+2 2λ λ2 2xy2 2xyλ λxy2 2xy +2 2+λ λ+2 2+
λ
λ
y( )f x( )f x,( ),λ( )λf xλf x( )f xλf x λλλ( )λλλy( )yλλλyλλλ( )λλλyλλλ = ( )xy( )xy y( )y+( )+
2 2λ2 2λ y2 2y
2 2λ2 2λ ( )2 2( )xy( )xy2 2xy( )xy y( )y2 2y( )y+( )+2 2+( )+
f x y f x y fy fλy f, ,f x, ,f x( )f x( )f x y( )yλ λ( )λ λf xλ λf x( )f xλ λf x yλ λy( )yλ λy, ,( ), ,y, ,y( )y, ,yλ λ, ,λ λ( )λ λ, ,λ λ = ( )xy( )xy y( )y
, ,
( )
, ,
+( )+
⇒, ,⇒, ,( )f x( )f x y f( )y fλ λ( )λ λf xλ λf x( )f xλ λf x y fλ λy f( )y fλ λy f, ,( ), ,f x, ,f x( )f x, ,f xλ λ, ,λ λ( )λ λ, ,λ λf xλ λf x, ,f xλ λf x( )f xλ λf x, ,f xλ λf x y f=y f ( )x y( )x yx y,x y( )x y,x y
2
( )2( )
, ,
( )
, ,
2
, ,
( )
, , 0y f0y fy fλy f0y fλy f, , , ,, , , , é homogênea.
Portanto, apenas I e III são homogêneas.
2. Alternativa correta: A.
Resposta comentada: Reescrevendo a equação dy
dt
y= −3 2= −3 2= − , temos 
dy
dt
y+ =2 3y2 3y+ =2 3+ =y+ =y2 3y+ =y . Comparando com y P x y Q xy P'y Py P+y P ( )x y( )x y = ( )Q x( )Q x , vemos que P x( )P x( )P x = 2 . 
Integrando em I e
P x dxI e=I e∫ ( )P x( )P x dx( )dx :
I e e eP x dx dx xI e=I e∫ = ∫e e∫e ee e=e e( )P x( )P x dx( )dx 2 2
3. Alternativa correta: B.
Resposta comentada: Da equação 4 0y4 0y4 0( )2 1( )2 1xy( )xy2 1xy2 1( )2 1xy2 12 1+2 1( )2 1+2 1 + +( )4 0( )4 02( )2x y( )x y4 0x y4 0( )4 0x y4 02x y2( )2x y2+ +( )+ +x y+ +x y( )x y+ +x y2x y2+ +2x y2( )2x y2+ +2x y2 4 0=4 04 0'4 0 , temos que 
M xyM x= +M x2 1M x2 1M xy2 1yM xyM x2 1M xyM x= +2 1= +M x= +M x2 1M x= +M xy= +y2 1y= +yM xyM x= +M xyM x2 1M xyM x= +M xyM x e N x y= +N x= +N x2= +2= + 4 . E, ao derivarmos, chegamos a ∂
∂
=
M
y∂y∂
x2 e 
∂
∂
=
N
x∂x∂
x2 . Trata-se então de uma equação diferencial exata de 1ª ordem.
Equações diferenciais ordinárias
U3
5
Gabarito 4. Faça Valer a Pena - Seção 3.4
1. Alternativa correta: C.
Resposta comentada: Para y 0 2( )0 2( )0 20 2=0 2 em y x C e C ex xC ex xC e( )y x( )y x = +C e= +C e x x= +x x− −x x− −x xC ex xC e− −C ex xC e1C e1C eC e= +C e1C e= +C e 2= +2= +− −2− −2C e2C e 3x x3x x , temos:
C e C e1C e1C e
0
2C e2C e
0 2+ =C e+ =C eC e2C e+ =C e2C e
0+ =0
C C1 2C C1 2C C 2+ =C C+ =C C1 2+ =1 2C C1 2C C+ =C C1 2C C
Para y ' 0 2( )' 0( )' 0 = em y x C e C ex xC ex xC e'y x'y x( )y x( )y x = − x x− −x xC ex xC e− −C ex xC e2 3x x2 3x x2 3C e2 3C e x x2 3x x−2 3−− −2 3− −x x− −x x2 3x x− −x x− −2 3− −1C e2 3C e1C e2 3C e 22 322 3− −2 3− −2− −2 3− −2C e2C e 3x x3x x , que é a derivada da solução 
geral, temos:
− − =2 3− −2 3− − 21
02 302 3 2
0C e2 3C e2 3− −2 3− −C e− −2 3− −2 312 3C e2 312 3C e2C e2
− − =2 3− −2 3− − 21 2C C2 3C C2 3− −2 3− −C C− −2 3− −1 2C C1 22 31 22 3C C2 31 22 3
Resolvendo o sistema:
C C
C C
C1 2C C1 2C C
1 2C C1 2C C
12 2
2 3C C2 3C CC C1 2C C2 3C C1 2C C 2
2 2C2 2C12 21+ =C C+ =C C1 2+ =1 2C C1 2C C+ =C C1 2C C 2 2⋅2 2( )2 2( )2 2
− −2 3− −2 3C C2 3C C− −C C2 3C C =






















 ⇒
2 2+2 22 2 2 2
 
CCC
C C
2
1 2C C1 2C C
4
2 3C C2 3C CC C1 2C C2 3C C1 2C C 2
=
− −2 3− −2 3C C2 3C C− −C C2 3C C =









Encontramos C1 8= e C2 6= − .
Conclui-se, então, que a solução particular é y x e ex x( )y x( )y x = −8 6e e8 6e e= −8 6= −e e= −e e8 6e e= −e e− −8 6− −2 3e e2 3e ex x2 3x xe ex xe e2 3e ex xe ex x− −x x2 3x x− −x x8 62 38 6e e8 6e e2 3e e8 6e ex x8 6x x2 3x x8 6x xe ex xe e8 6e ex xe e2 3e ex xe e8 6e ex xe e− −8 6− −2 3− −8 6− −x x− −x x8 6x x− −x x2 3x x− −x x8 6x x− −x x .
2. Alternativa correta: A.
Resposta comentada: Escrevemos a equação característica da equação 
diferencial dada. Dessa forma, temos: 
4 8 6 024 824 8m m4 8m m4 84 824 8m m4 824 8+ +m m+ +m m4 8m m4 8+ +4 8m m4 8 6 0=6 0
Como trata-se de uma equação do segundo grau, encontramos o valor das 
raízes através da fórmula de Bhaskara. 
m b bb b a c
a
m mm mm m i= − ±b b− ±b b − ⋅a c⋅a c
⋅
m m=m m− ± − ⋅ ⋅ = =m m= =m m − ± −

m mm mm m= =m mm m= =m m



m mm m
m mm m
















 = − ±
2 22 2a c2 2a c − ±2 2− ±4− ⋅4− ⋅2 242 2
2
8 88 8− ±8 8− ±2 28 82 22 28 82 2− ±2 2− ±8 8− ±2 2− ± 4 4− ⋅4 4− ⋅ 6
2 4⋅2 4⋅
1− ±1− ± 32
8
1m m m mm m m m 222
2
Como temos raízes complexas, fazemos a substituição na fórmula
y x e C x Chy xhy x
xe Cxe C( )y x( )y x = ( )x C( )x C ( )n x( )n xe Ce Ce Ce Ce Ce C e Cαe C β βx Cβ βx C seβ βsen xβ βn x( )β β( )x C( )x Cβ βx C( )x Cx C+x Cβ βx C+x C ( )β β( )n x( )n xβ βn x( )n x1 2( )1 2( )β β1 2β βx Cβ βx C1 2x Cβ βx C( )β β( )1 2( )β β( )x C( )x Cβ βx C( )x C1 2x C( )x Cβ βx C( )x Cx C+x Cβ βx C+x C1 2x C+x Cβ βx C+x Cco1 2co1 2s1 2s1 2 e concluímos que a solução é 
y x e C x C sen xn xhy xhy x
xe Cxe C( )y x( )y x =











x C

x C

x Cx C



x C

x Cx C

x C



x Cx Cx Cx Cx C+x C


n xn x







n xn xn xn x













e Ce C
















e C−e C1 2x C1 2x C

1 2

1 2



1 2



1 2

1 2

1 2



1 2



1 2x Cx Cx Cx C1 2x Cx Cx Cx Cx C+x C1 2x C+x C
2
21 221 2
2
2
co1 2co1 2s1 2s1 2 .
U3
6 Equações diferenciais ordinárias
3. Alternativa correta: B.
Resposta comentada: Da equação dada, temos que o termo de R x( )R x( )R x é um 
polinômio de grau 1, sugerindo então a solução particular y ax bpy apy a= +y a= +y ax b= +x b .
Igualamos a EDO a zero, a fim de obtermos primeiramente a solução 
homogênea.
4 2 6 0y y4 2y y4 2 y6 0y6 04 2''4 24 2y y4 2''4 2y y4 2 '+ −y y+ −y y4 2y y4 2+ −4 2y y4 2 '+ −' 6 0=6 0
Escrevemos a sua equação característica 4 2 6 024 224 2m m4 2m m4 24 224 2m m4 224 2+ −m m+ −m m4 2m m4 2+ −4 2m m4 2 6 0=6 0 para, mediante 
Bhaskara, encontrarmos as raízes.
m b bb b a c
a
m
m
=
− ±b b− ±b b − ⋅a c⋅a c
⋅
=
− ± − ⋅ ⋅ −( )⋅ −( )⋅ −
=
=
= −









2 2 1
2
4− ⋅4− ⋅
2
2 22 2− ±2 2− ± 4 4− ⋅4 4− ⋅ ( )6( )
2 4⋅2 4⋅
1
3
2
 





Encontram-se, então, raízes reais e distintas.
Substituindo em y x C e C ehy xhy x
m x m x( )y x( )y x = +C e= +C em x= +m x1 2C e1 2C e C e1 2C e= +1 2= +C e= +C e1 2C e= +C e 1 2C e1 2C em x1 2m x m x1 2m x= +1 2= +m x= +m x1 2m x= +m x , temos que a solução homogênea é 
y x C e C ehy xhy x
x x( )y x( )y x = +C e= +C ex= +x
−
1 2C e1 2C e C e1 2C e= +1 2= +C e= +C e1 2C e= +C e
3
2 .
Para obtermos a solução particular,
derivamos a solução sugerida y ax bpy apy a= +y a= +y ax b= +x b 
e fazemos as devidas substituições na EDO. Temos:
y apy apy a'y a'y ay a=y a e y p'' = 0 .
4 2 6 5 8y y4 2y y4 2 y x6 5y x6 54 2''4 24 2y y4 2''4 2y y4 2 '+ −y y+ −y y4 2y y4 2+ −4 2y y4 2 '+ −' = −y x= −y x6 5y x6 5= −6 5y x6 5
4 0 2 6 5 8⋅ +4 0⋅ +4 0 2 6⋅ −2 6 ( ) 5 8= −5 8= −5 8= −5 8a a2 6a a2 62 6⋅ −2 6a a2 6⋅ −2 6 ( )a a( )( )x b( )+( )+x b+( )+ 5 8x5 85 8= −5 8x5 8= −5 8
2 6 6 5 8a a2 6a a2 6 x b6 5x b6 5x− −a a− −a a2 6a a2 6− −2 6a a2 6 x b− −x b = −6 5= −6 5x= −x
2 6 8
6 5
5
6
19
18
a b2 6a b2 6
6 5a6 5
a b5a b5
− =a b− =a b2 6a b2 6− =2 6a b2 6 −
− =6 5− =6 56 5a6 5− =6 5a6 5








 ⇒ =a b⇒ =a b− =a b− =a ba b− =a b ⇒ = ⇒ =a b ; a b ; a b ; a ba b− =a b ; a b− =a b
Portanto, a solução particular é y xy xpy xpy xy x= −y x +
5
6
y x
6
y x 19
18
.
Fazemos a substituição em y y yh pyh py= +y y= +y yh p= +h p para encontrarmos a solução geral e 
obtemos y C e C e xxe Cxe C
x
= +y C= +y C e C= +e Ce Cxe C= +e Cxe C − +e x− +e xe x− +e x
−
1 2e C1 2e C= +1 2= +e C= +e C1 2e C= +e C
3
2e x2e x5
6
19
18
.

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