Negação de proposições com quantificador e o contra-exemplo - Resumo
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Negação de proposições com quantificador e o contra-exemplo - Resumo


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Lógica
Negação de proposições com quanticador
Ambos os quanticadores (Universal e existencial) podem ser precedidos de negações,
conforme os exemplos a seguir:
(x)(x é homem).
~(x)(x é homem).
(x)(x sabe cantar).
~(x)(x sabe cantar).
Os quais podem ser lidos, respectivamente, das seguintes formas:
Todo humano é homem.
Nem todo humano é homem.
Algum humano sabe cantar.
E nenhum humano sabe cantar.
Equivalências
~(x)(x é homem) (x)(~x é homem).
~(x)(x sabe cantar) (x)(~x sabe cantar).
Segundas regras de negação de De Morgan
~[(x A)(p(x))] (x A)(~p(x))
~[( x A)(p(x))] ( x A)(~p(x))
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Contra-exemplos
Caso queiramos demonstrar que uma dada proposição:
( x A)(p(x)) é falsa, basta mostrar que a sua negação:
( x A)(~p(x)) é verdadeira.
Ou seja, basta demonstrarmos que existe pelo menos um elemento x0
A tal que p(x0
) é uma
proposição falsa.
x0
= Contra–exemplo
Exemplos
I. ( n N)(2n
> n2
)
2 = Contra-exemplo 22
=2²
3 = Contra-exemplo 23
< 3²
4 = Contra-exemplo 24
= 4²
II. ( x R)(|x|≠0)
0 = Contra-exemplo |0|=|0|