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Universidade de Bras´ılia Departamento de Matema´tica Matema´tica 1 Lista de Exerc´ıcios – Semana 06 Temas abordados : Derivadas das func¸o˜es exponencial e logaritmo: Regra da cadeia; Sec¸o˜es do livro: 3.6 e 3.8 1) Supondo que y = y(u) e u = u(x), use a regra da cadeia para calcular a derivada dy/dx nos itens abaixo (a) y = u4 + 1; u = 3x2 − 2x (b) y = √u; u = 1/(x− 1) (c) y = u2 + 2u− 3; u = √x (d) y = u3 + u; u = 1/√x 2) Calcule a derivada de cada uma das func¸o˜es abaixo. (a) f(x) = (5x3 − x4)7 (b) f(x) = e √ 3x+1 (c) f(x) = √ x2, x 6= 0 (d) f(x) = √ 3x2 − 4x+ 6 (e) s(t) = 3 √ 2t− t2 (f) s(t) = √ 3t+ √ 2 + √ 1− t (g) s(t) = et/ √ 1−t (h) s(t) = ( (3t− 4)2 (5t+ 2)5 )10 3) Se f e´ uma func¸a˜o deriva´vel e positiva, enta˜o (ln f(x))′ = f ′(x) f(x) . Vamos usar este fato para calcular a derivada da func¸a˜o f(x) = x2 3 √ 7x− 14 (1 + x2)4 . Tomando o logar´ıtmo nos dois lados, e lembrando que a func¸a˜o logaritmo transforma produtos em soma e poteˆncias em produtos, obtemos ln(f(x)) = 2 ln(x) + 1 3 ln(7x− 14)− 4 ln(1 + x2). Derivando, obtemos 1 f(x) f ′(x) = 2 x + 7/3 7x− 14 − 8x 1 + x2 , e portanto f ′(x) = x2 3 √ 7x− 14 (1 + x2)4 ( 2 x + 7/3 7x− 14 − 8x 1 + x2 ) . O procedimento acima e´ chamado de derivac¸a˜o logar´ıtmica. Use-o para derivar as func¸o˜es abaixo. (a) f(x) = (x+ 1)x (b) f(x) = (x+ 1)e x 2 +1 Lista de Exerc´ıcios – Semana 06 - Pa´gina 1 de 3 4) Dado um nu´mero a > 0, com a 6= 1, definimos a func¸a˜o exponencial de base a como sendo ax = ex ln(a). Use a regra da cadeia para calcular a derivada de ax. Em seguida, compare-a com a derivada da func¸a˜o poteˆncia xa. 5) Considere a curva cuja equac¸a˜o e´ y = √ x3 2− x . (a) Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da curva em (1, 1). (b) Obtenha as equac¸o˜es das retas tangentes ao gra´fico da curva nos pontos em que x = 3/2. Lista de Exerc´ıcios – Semana 06 - Pa´gina 2 de 3 RESPOSTAS 1) (a) dy dx = dy du du dx = 4u3(6x− 2) = 4(3x2 − 2x)3(6x− 2) (b) dy dx = 1 2 √ u (−1)(x− 1)−2 = −1 2(x− 1)2√1/(x − 1) (c) dy dx = (2u+ 2) 1 2 √ x = 1 + x−1/2 (d) dy dx = (3u2 + 1) −1 2x3/2 = −(3 + x) 2x √ x3 2) (a) f ′(x) = 7(5x3 − x4)6(15x2 − 4x3) (b) f ′(x) = 3 2 √ 3x+ 1 e √ 3x+1 (c) f ′(x) = x |x| , x 6= 0 (d) f ′(x) = 3x− 2√ 3x2 − 4x+ 6 (e) s′(t) = 2− 2t 3( 3 √ 2t− t2)2 (f) s′(t) = 3− 1 4 √ 2 + √ 1− t√1− t 2 √√ 2 + √ 1− t+ 3t (g) s′(t) = −(t− 2)e t/ √ 1−t 2 √ (1− t)3 (h) s′(t) = −10(−4 + 3t 2)19(−100− 24t+ 15t2) (2 + 5t)51) 3) (a) f ′(x) = (x+ 1)x ( ln(x+ 1) + x x+1 ) (b) f ′(x) = e(x 2+1)(1 + x)(−1+e x 2 +1)(1 + 2x(1 + x) ln(1 + x)) 4) (ax)′ = ex ln(a)(x ln(a))′ = ln(a)ax. Para xa usamos a regra da poteˆncia para obter (xa)′ = axa−1. 5) (a) y = 2x− 1 (b) y = 3√3x− 3√3 Lista de Exerc´ıcios – Semana 06 - Pa´gina 3 de 3
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