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Lista 6 - Derivadas e Regra da Cadeia

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Matema´tica 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 06
Temas abordados : Derivadas das func¸o˜es exponencial e logaritmo: Regra da cadeia;
Sec¸o˜es do livro: 3.6 e 3.8
1) Supondo que y = y(u) e u = u(x), use a regra da cadeia para calcular a derivada dy/dx
nos itens abaixo
(a) y = u4 + 1; u = 3x2 − 2x (b) y = √u; u = 1/(x− 1)
(c) y = u2 + 2u− 3; u = √x (d) y = u3 + u; u = 1/√x
2) Calcule a derivada de cada uma das func¸o˜es abaixo.
(a) f(x) = (5x3 − x4)7
(b) f(x) = e
√
3x+1
(c) f(x) =
√
x2, x 6= 0
(d) f(x) =
√
3x2 − 4x+ 6
(e) s(t) = 3
√
2t− t2
(f) s(t) =
√
3t+
√
2 +
√
1− t
(g) s(t) = et/
√
1−t
(h) s(t) =
(
(3t− 4)2
(5t+ 2)5
)10
3) Se f e´ uma func¸a˜o deriva´vel e positiva, enta˜o (ln f(x))′ = f
′(x)
f(x)
. Vamos usar este fato
para calcular a derivada da func¸a˜o
f(x) =
x2 3
√
7x− 14
(1 + x2)4
.
Tomando o logar´ıtmo nos dois lados, e lembrando que a func¸a˜o logaritmo transforma
produtos em soma e poteˆncias em produtos, obtemos
ln(f(x)) = 2 ln(x) +
1
3
ln(7x− 14)− 4 ln(1 + x2).
Derivando, obtemos
1
f(x)
f ′(x) =
2
x
+
7/3
7x− 14 −
8x
1 + x2
,
e portanto
f ′(x) =
x2 3
√
7x− 14
(1 + x2)4
(
2
x
+
7/3
7x− 14 −
8x
1 + x2
)
.
O procedimento acima e´ chamado de derivac¸a˜o logar´ıtmica. Use-o para derivar as func¸o˜es
abaixo.
(a) f(x) = (x+ 1)x
(b) f(x) = (x+ 1)e
x
2
+1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 06 - Pa´gina 1 de 3
4) Dado um nu´mero a > 0, com a 6= 1, definimos a func¸a˜o exponencial de base a como
sendo
ax = ex ln(a).
Use a regra da cadeia para calcular a derivada de ax. Em seguida, compare-a com a
derivada da func¸a˜o poteˆncia xa.
5) Considere a curva cuja equac¸a˜o e´ y =
√
x3
2− x .
(a) Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da curva em (1, 1).
(b) Obtenha as equac¸o˜es das retas tangentes ao gra´fico da curva nos pontos em que
x = 3/2.
Lista de Exerc´ıcios – Semana 06 - Pa´gina 2 de 3
RESPOSTAS
1) (a)
dy
dx
=
dy
du
du
dx
= 4u3(6x− 2) = 4(3x2 − 2x)3(6x− 2)
(b)
dy
dx
=
1
2
√
u
(−1)(x− 1)−2 = −1
2(x− 1)2√1/(x − 1)
(c)
dy
dx
= (2u+ 2)
1
2
√
x
= 1 + x−1/2
(d)
dy
dx
= (3u2 + 1)
−1
2x3/2
=
−(3 + x)
2x
√
x3
2) (a) f ′(x) = 7(5x3 − x4)6(15x2 − 4x3)
(b) f ′(x) =
3
2
√
3x+ 1
e
√
3x+1
(c) f ′(x) =
x
|x| , x 6= 0
(d) f ′(x) =
3x− 2√
3x2 − 4x+ 6
(e) s′(t) =
2− 2t
3( 3
√
2t− t2)2
(f) s′(t) =
3− 1
4
√
2 +
√
1− t√1− t
2
√√
2 +
√
1− t+ 3t
(g) s′(t) = −(t− 2)e
t/
√
1−t
2
√
(1− t)3
(h) s′(t) = −10(−4 + 3t
2)19(−100− 24t+ 15t2)
(2 + 5t)51)
3) (a) f ′(x) = (x+ 1)x
(
ln(x+ 1) + x
x+1
)
(b) f ′(x) = e(x
2+1)(1 + x)(−1+e
x
2
+1)(1 + 2x(1 + x) ln(1 + x))
4) (ax)′ = ex ln(a)(x ln(a))′ = ln(a)ax. Para xa usamos a regra da poteˆncia para obter
(xa)′ = axa−1.
5) (a) y = 2x− 1 (b) y = 3√3x− 3√3
Lista de Exerc´ıcios – Semana 06 - Pa´gina 3 de 3

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