prova 3 (2)

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Universidade Federal de Viçosa
Centro de Ciências Exatas - CCE
Departamento de Matemática
Terceira Prova de MAT140 - Turma 9
Cálculo I - 15/07/2014
Professor: Allan
Nome: Matrícula:
Em todas as questões justifique suas respostas.
1ª Questão: (15 pontos)
a) (7 pontos) Esboce o gráfico da região R delimitada pelas funções f e g onde
f (x) = 3x2 − 4 e g (x) = −x− 2.
b) (8 pontos) Determine a área de R.
1
2ª Questão: (15 pontos) Calcule a integral:
´ 2
0
4x3ex
4
dx
3ª Questão: (15 pontos) Calcule a integral:
´ √4x2 − 9
x2
dx
2
4ª Questão: (40 pontos) Para a função f dada abaixo, faça o que se pede justificando se
existe ou não existe:
f (x) =
x2
(1− x)2 .
a) (4 pontos) Determine o domínio de f .
b) (5 pontos) Verifique que f ′ (x) =
2x
(1− x)3 e determine os pontos críticos.
c) (5 pontos) Determine intervalos de crescimento e de decrescimento.
d) (5 pontos) Encontre os máximos e mínimos locais.
3
e) (5 pontos) Sabendo que f ′′ (x) =
2 + 4x
(1− x)4 , determine os intervalos de concavidade.
f) (5 pontos) Encontre os pontos de inflexão.
g) (6 pontos) Determine as assintotas verticais e horizontais.
h) (5 pontos) Esboce o gráfico de f utilizando as informações dos itens anteriores.
4
5ª Questão: (15 pontos) Para um pacote ser aceito por um determinado serviço de entrega
de encomendas, a soma do comprimento e do perímetro da secção transversal não devem
ser maior do que 120 cm . Se o pacote tiver o formato de uma caixa retangular com secção
quadrada, ache as dimensões do pacote tendo o maior volume possível para ser despachado.
a) (5 pontos) Determine a função a ser otimizada.
b) (10 pontos) Otimize a função encontrada no item anterior.
5