Circuitos Digitais - Representacao da Informação - Parte b - Números Negativos Reais

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1
Capítulo 1
Representação da Informação
Parte b
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
1. Representação da Informação
1.2 Representação de Nos Negativos
1.2.1 Representação complemento-a-dois
1.2.2 Outras representações
1.3 Representação de Números Reais
1.3.1 Representação em ponto fixo
1.3.2 Representação em ponto flutuante
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
p p
1.3.3 Representação binária em ponto 
flutuante
2
1.2.1 Representação complemento-a-dois
„ Valor associado a um número de n bits:
∑−
=
−
− +−=
2
0
1
1 22.
n
i
i
i
n
n xxalorV
xn-1 = 
1 para números negativos
0 para números positivos
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
„ O dígito mais significativo – MSB (Most 
Significant Bit) – sinaliza o sinal
1.2.1 Representação complemento-a-dois
„ Valor associado a um número de n bits:
∑−
=
−
− +−=
2
0
1
1 22.
n
i
i
i
n
n xxalorV
122 11 −≤≤− −− nn alorV
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
3
1.2.1 Representação complemento-a-dois
„ Largura de palavra n = 4
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
1.2.1 Representação complemento-a-dois
„ O complemento-a-dois de um número nessa 
representação corresponde ao mesmo número 
i lcom sinal oposto
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
4
1.2.1 Representação complemento-a-dois
„ Complemento-a-dois por subtrações binárias
( ) NmóduloXXdoisaoComplement N −=−− 2)(
…Exemplo (N=4)
1 1
101 0
11
−
001 00
0 111(Valor = +7)
(Valor = -7)
1
011 1
11
−
001 00
0 010(Valor = +2)
(Valor = -2)
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
000 1
11
−
001 00
1 001(Valor = -4)
(Valor = +4)
1.2.1 Representação complemento-a-dois
„ Complemento-a-dois por complemento e
adição binária
1. Complementar todos os bits do número X
2. Adicionar um ao resultado
0 011(Valor = +6)
Complemento bit-a-bit
1 101(Valor = -3)
Complemento bit-a-bit
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
1 100
0 100 +
1
01 10(Valor = -6)
0 010
0 100 +
10 10(Valor = +3)
5
1.2.1 Representação complemento-a-dois
„ Complemento-a-dois por complemento
…Começando pelo bit menos significativo (LSB -
L S f B ) id d biLeast Significant Bit), e considerando os bits na 
ordem inversa à sua significação, deixar 
inalterados os bits que forem 0 até encontrar o 
primeiro 1. Deixar esse 1 inalterado.
…Complementar todos os demais bits.
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
0 001
1 001
0 100
1 111
1 000
1 000
(X = +4)
(X = -4)
complementar
(X= +1)
(X = -1)
complementar
(X= -8)
(X= -8)
1.2.1 Representação complemento-a-dois
„ Operação de subtração
…Podem ser realizadas através da soma do minuendo
l d d b dcom o complemento-a-dois do subtraendo:
…Exemplo (n=4):
minuendo
−subtraendo
minuendo
+(- subtraendo)
=−+=− )5(353 2−
≡
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
p ( ) )(
0 101
1 110
(X = +5)
(X = -5)
complementar
11 0
10 10
1 110
1
11
+
(Valor = +3)
(Valor = -5)
(Valor = -2)
6
1.2.1 Representação complemento-a-dois
„ Operação de subtração
=−+=− )3(434 1
0 110
1 101
(X = +3)
(X = -3)
complementar
00 1
00 01
1 101
0
1
+
(Valor = +4)
(Valor = -3)
(Valor = +1)
1
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00 10(Valor = +1)
Esse carry pode ser descartado nos casos em que não ocorrer overflow,
ou seja, quando o valor do resultado estiver dentro da faixa de valores
representáveis pela largura da palavra. 
1.2.1 Representação complemento-a-dois
„ Operação de subtração
=−+−=−− )5()3(53 8−
0 110
1 101
(X = +3)
(X = -3)
complementar
00 0
01 11
1 110
1
1
+
(Valor = -3)
(Valor = -5)
(Valor = 8)
1 1 1
0 101(X = +5)
complementar
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
00 01(Valor = -8)
1 110(X = -5)
complementar
7
1.2.1 Representação complemento-a-dois
„ Operação de soma/subtração
…O overflow pode ser identificado através da 
i i ê i d i l d l dinconsistência do sinal do resultado
=−+−=−− )5()4(54 9−
0 001
1 001
(X = +4)
(X = -4)
complementar
01 01(Valor = -4)
1
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
11 1
1 110
0
+(Valor = -5)
(Valor = +7!)
0 101
1 110
(X = +5)
(X = -5)
complementar
1.2.1 Representação complemento-a-dois
„ Operação de soma/subtração
…O overflow pode ser identificado através da 
i i ê i d i l d l dinconsistência do sinal do resultado:
=+ 65
00 11(Valor = +5)
1
11
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
10 1
0 011
1
+(Valor = +6)
(Valor = -5!)
8
1.2.1 Representação complemento-a-dois
„ Operação de soma/subtração
…O overflow ocorre quando o carry-in para o MSB 
dif d i d MSBdifere do carry-out proveniente do MSB.
00 11(Valor = +5)
1 1 10
Carry-inCarry-out
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
00 0
0 110
1
+(Valor = +3)
(Valor = -8!)
Overflow
1.2.1 Representação complemento-a-dois
„ Operação de soma/subtração
…O overflow ocorre quando o carry-in para o MSB 
dif d i d MSBdifere do carry-out proveniente do MSB.
11 00(Valor = -6)
01
Carry-out Carry-in
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
11 0
1 001
0
+(Valor = -4)
(Valor = +6!)
Overflow
9
1.2.1 Representação complemento-a-dois
„ Operação de soma/subtração
…Não há overflow quando o carry-in para o MSB é 
i l i d MSBigual ao carry-out proveniente do MSB.
00 11(Valor = +5)
00
Carry-out Carry-in
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
11 1
0 010
0
+(Valor = +2)
(Valor = +7)
Resultado correto
1.2.1 Representação complemento-a-dois
„ Operação de soma/subtração
…Não há overflow quando o carry-in para o MSB é 
i l i d MSBigual ao carry-out proveniente do MSB.
11 10(Valor = -5)
11
Carry-out Carry-in
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
00 1
1 011
1
+(Valor = -2)
(Valor = -7)
Resultado correto
10
1.2.1 Outras Representações de Nos Negativos
„ Existem outras formas para representar 
números negativos que são raramente 
ili dutilizadas
„ A principal razão para a não utilização dessas 
outras representações é que os algoritmos das 
operações aritméticas para elas, quando 
comparados com os mesmos algoritmos para a
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
comparados com os mesmos algoritmos para a 
representação complemento-a-dois, 
apresentam uma maior complexidade.
1.2.1 Outras Representações de Nos Negativos
„ Representação sinal-magnitude
…O bit mais significativo (xn-1) representa o sinal
„ xn-1= 1 ⇒ número negativo
„ xn-1 = 0 ⇒ número positivo
…Os outros bits representam o valor absoluto
012321 ... xxxxxx nnn −−−
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
012321 nnn −−−
MagnitudeSinal
11
1.2.1 Outras Representações de Nos Negativos
„ Representação sinal-magnitude para n=4
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
1.2.1 Outras Representações de Nos Negativos
„ Representação complemento-a-um
…O bit mais significativo (xn-1) representa o sinal
„ xn-1= 1 ⇒ número negativo
„ xn-1 = 0 ⇒ número positivo
… O complemento-a-um de um número nessa 
representação corresponde ao mesmo número com 
sinal oposto
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
( ) XXumaoComplement N −−=−− 12)(
12
1.2.1 Outras Representações de Nos Negativos
„ Representação complemento-a-um para n=4( ) XXumaoComplement n −−=−− 12)(
„ Na prática, a operação complemento-a-um
11 1
001 00
−0 100
1
1 11 1
n2
12 −n
−
01 0
11 11
0 110
1Valor=-3
Valor=+3
12 −n
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
p p p
envolve apenas a complementação de todos os 
bits da palavra!
1.2.1Outras Representações de Nos Negativos
„ Representação complemento-a-um para n=4
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
13
1.2.1 Outras Representações de Nos Negativos
„ Representação complemento-a-um
…Fácil obtenção do negativo de um número
…No entanto, uma operação de adição de dois 
números nessa representação apresenta um 
algoritmo de maior complexidade do que o 
algoritmo de adição na representação 
complemento-a-dois.
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
1.3 Representação de Números Reais
„ Representação em ponto fixo
…Reserva-se um número de bits para representar a 
f i á iparte fracionária
…Assume-se uma posição fixa para o ponto binário
(que não é armazenado explicitamente).
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
14
1.3.1 Representação em Ponto Fixo
167
83 51 010 0 111
1 010 0 111
Binário Valor Decimal
20.875
41.75
83.5
10.4375
5 218751 010 0 111
1 010 0 111
1 010 0 111
1 010 0 111
1 010 0 111
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
1.3046875
2.609375
5.21875
1 010 0 111
1 010 0 111
1 010 0 111
1 010 0 111 0.65234375
1.3.1 Representação em Ponto Fixo
„ Note que, para números de n bits, a quantidade 
de valores representáveis é 2n
„ Supondo
… i bits para a parte inteira
… f bits para a parte fracionária
…n=i+f
„ Se ã e t e ú e : 2-f
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
„ Separação entre números: 2-f
„ Maior número positivo: (2n-1-1)/2-f
„ Número mais negativo: -2n-1/2-f
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1.3.1 Representação em Ponto Fixo
„ Para palavras de largura n=8
n i f Valores Menor valor Maior valor Intervalo
8 8 0 256 -128 127 1
8 7 1 256 -64 63.5 0.5
8 6 2 256 -32 31.75 0.25
8 5 3 256 -16 15.875 0.125.
8 4 4 256 -8 7.9375 0.0625
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8 3 5 256 -4 3.96875 0.03125
8 2 6 256 -2 1.984375 0.015625
8 1 7 256 -1 0.9921875 0.0078125
8 0 8 256 -0.5 0.49609375 0.00390625
1.3.2 Representação em Ponto Flutuante
„ Um número representado em ponto flutuante
apresenta quatro partes
…Sinal
…Mantissa
…Base
…Expoente
„ Esses quatro componentes se combinam para
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
„ Esses quatro componentes se combinam para 
formar o valor X:
expoentebasemantissasinalX **=
16
1.3.2 Representação em Ponto Flutuante
„ Números em ponto flutuante podem ser 
representados de diversas maneiras
…Exemplo: X=-3 Sinal Mantissa Expoente
-1 30 -1
-1 3 0
-1 0.3 1
-1 0.03 2
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
…Para números normalizados, a mantissa está na 
faixa
11 ≤≤ mantissa
base
1.3.2 Representação em Ponto Flutuante
„ Números normalizados apresentam uma 
mantissa com um dígito não-nulo 
i di à di i d í l dí iimediatamente à direita da vírgula, e o dígito 
nulo imediatamente à esquerda da vírgula.
N t ã há t ã li d
11 ≤≤ mantissa
base
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
„ Note que não há representação normalizada 
para o valor 0 (zero).
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1.3.2 Representação Binária em Ponto Flutuante
„ Padrão IEEE 754, de 1985
… Precisão simples – 32 bits
… Precisão dupla 64 bits… Precisão dupla – 64 bits
„ A base 2 é implícita, e apenas o sinal, a mantissa e 
o expoente são armazenados
„ Número de bits:
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
Precisão Sinal Expoente Mantissa
Simples 1 8 23
Dupla 1 11 52
1.3.2 Representação Binária em Ponto Flutuante
„ Sinal
…1 indica número negativo
…0 indica número positivo
„ Mantissa
…A posição do ponto binário é assumida como 
sendo aquela adotada na notação científica 
normalizada, com exatamente um dígito diferente 
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
, g
de zero antes do ponto binário
…Como esse dígito tem que necessariamente ser “1”, 
ele não é armazenado (bit implícito), o que 
aumenta em um bit a precisão do número!
18
1.3.2 Representação Binária em Ponto Flutuante
„ Atribuição dos bits para precisão simples:
27 26 25 24 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-22 2-23...
„ Valor decimal correspondente:
1272*)1()1( −+−= ES FY
S Expoente (E) Fração (F)
8 bits 23 bits1 bit
„ Para números normalizados:
„ Ou seja:
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
2541 ≤≤ E
127126 ≤≤− e
e
1.3.2 Representação Binária em Ponto Flutuante
„ Expoente
…Note que foi adicionada uma polarização (bias) 
d d l ( )que deve ser somada ao expoente real (e) para 
obter o expoente armazenado (E):
…Valor da polarização
„ 127 na precisão simples:
127+= eE
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
19
1.3.2 Representação Binária em Ponto Flutuante
„ Expoente
…Precisão simples: 127+= eE
Expoente real (e)Expoente armazenado (E)
0 000 0 000
……
-1260 000 0 100
-10 111 1 011
+11 000 0 000
00 111 1 111 Reservados para valores especiais
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
1 111 1 111
……
+11 000 0 000
+1271 111 1 011
1.3.2 Representação Binária em Ponto Flutuante
„ Exemplo 1
27 26 25 24 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-22 2-23...
1=S
1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0
...
Expoente (8 bits) Fração (23 bits)Sinal
0 0...
127=E 5.0=F
1271271127 2*)5.01()1(2*)1()1( −− +−=+−= ES FY
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
)5.0()()()(
5.1−=Y
20
1.3.2 Representação Binária em Ponto Flutuante
„ Exemplo 2
27 26 25 24 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-22 2-23...
0=S
0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0
...
Expoente (8 bits) Fração (23 bits)Sinal
0 0...
129=E 25.0=F
1271290127 2*)25.01()1(2*)1()1( −− +−=+−= ES FY
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
)5.0()()()(
5225.1 2 =×=Y
1.3.2 Representação Binária em Ponto Flutuante
„ Exemplo 3
( ) ( ) 12222 21.1211234
3
4
1
2
175.0 −−− ×=×=×==+==Y
0=S
7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 22 23
126=E 5.0=F
eS FY 2*)1()1( +−=
442
127+= eE
1−=e
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
0
27 26 25 24 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-22 2-23
0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0
...
Expoente (8 bits) Fração (23 bits)Sinal
0 0...
21
1.3.2 Representação Binária em Ponto Flutuante
„ Exemplo 4
8
21
8
1
2
12625,2 −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++−=−=Y
eS FY 2*)1()1( +−= 127+= eE
1=e
( ) ( ) 12323 20101.1210101221 ×−=×−=×−= −−Y
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
1=S
1
27 26 25 24 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-22 2-23
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0
...
Expoente (8 bits) Fração (23 bits)Sinal
0 0...
128=E 3125.022 42 =+= −−F
1.3.2 Representação Binária em Ponto Flutuante
„ Exemplo 5 5237
32
37 −×==Y
eS FY 2*)1()1( +−= 127+= eE
0=e
( ) ( ) 0252 200101.12100101 ×=×= −Y
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
0=S
1
27 26 25 24 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-22 2-23
0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0
...
Expoente (8 bits) Fração (23 bits)Sinal
0 0...
127=E 15625.022 53 =+= −−F
22
1.3.2 Representação Binária em Ponto Flutuante
„ Atribuição dos bits para precisão dupla:
21029 28 22 21 20 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-51 2-52......
„ Valor decimal correspondente:
10232*)1()1( −+−= ES FY
S Expoente (E) Fração (F)
11 bits 52 bits1 bit
„ Para números normalizados:
„ Ou seja:
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
20461 ≤≤ E
10231022 ≤≤− e
e
1.3.2 Representação Binária em Ponto Flutuante
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
23
1.3.2 Representação Binária em Ponto Flutuante
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais
Referências
„ Goldberg, David (March 1991),What every 
computer scientist should know about floating-
i i h i C i Spoint arithmetic, Computing Surveys. 
(http://www.validlab.com/goldberg/paper.ps)
„ Pedroni, Volnei A. (2010), Eletrônica Digital 
Moderna e VHDL, Elsevier
Márcio Brandão – CIC/UnB Circuitos Digitais