INTEGARAIS DEFINIDOS (2)

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Introdução
O cálculo diferencial e integral, também chamado de cálculo infinitesimal, ou simplesmente Cálculo é um ramo importante da matemática, desenvolvido a partir da Álgebra e da Geometria, que se dedica ao estudo das taxas de variação de grandezas (como a inclinação de uma reta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido), calculados respectivamente pela derivada e integral. Por volta de 1854, o matemático alemão Bernhard Riemann (1826-1866) realizou um estudo bem mais aprofundado sobre a integral e em sua homenagem a integral estudada por ele passou a receber o nome de Integral de Riemann. Tal nome serve para distinguir essa integral de outras que foram introduzidas mais tarde, como por exemplo, a Integral de Lebesgue. A forma usada para introduzir o conceito de Integral de Riemann nos cursos de Cálculo é a versão devida a Cauchy. O que justifica isto é que, ela é simples e bastante acessível aos alunos de um curso de inicial de Cálculo, além de atender aos propósitos de um curso desta natureza. O presente trabalho tem por objectivo faser a conhecer os Integrais definidos procurando trazer a sua denotação os seus Teoremas de calculos as suas propriedades e sua aplicação no ceio Humano. 
Integral Definida
É o cálculo da área do grafico de uma função entre dois número dados. A Geometria é ineficaz para o cálculo da área do gráfico de uma função, para esse fim utiliza-se o conceito integrais definidas.
 Pelo Método da Antidiferenciação a eliminação da constante de integração pode ser obtida através de um tipo de integral chamado de integral definida, que é uma integral cujo processo de integração deve ser realizado entre dois valores da variável de integração.
Suponha que você conheça a taxa f(x) = dF/dx = F', na qual uma certa grandeza F está variando e deseje encontrar a quantidade pela qual a grandeza F variará entre x = a e x = b. Você pode primeiro encontrar F por antidiferenciação, e então calcular a diferença:
Variação em F entre x= a e x = b = F(b) – F(a). O resultado numérico deste cálculo é chamado de integral definida da função f e é denotado pela fórmula: 
	
 = F(b) - F(a)
Leitura: integral definida de f de a até b. 
Os números a e b são denominados limites de integração. 
Se f é uma função de x, então a sua integral definida é uma integral restrita à valores em um intervalo específico, digamos, a ≤ x ≤ b. O resultado é um número que depende apenas de a e b, e não de x. Vejamos a definição:
Definição: Seja f uma função contínua no intervalo [a, b]. Supondo que este intervalo seja dividido em n partes iguais de largura Δx = (b - a)/n e seja xi um número pertencente ao i-mésimo intervalo, para i = 1, 2, ..., n. Nesse caso, a integral definida de f em [a,b], denotada por , é dado por , se este limite existir.
Pode-se mostrar que se a função y = f(x) é contínua em um intervalo [a,b], então ela é integrável em [a,b].
Devido ao importante trabalho de Riemann, já citado antes, a integral definida por (1) é denominada Integral de Riemann e as somas
Sn= 
O processo de construção usado na definição da Integral de Riemann sugere que:
Seja uma funcao f(x) definida e continua num intervalo real [a,b]. A integral definida de f(x), de a ate b, e um numero real , e e indicado pelo simbolo:
	
a e o limite inferior de integracao,
b e o limite superior de integracao, 
f(x) e o integrando.
Teorema Fundamental do Cálculo
I) Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b] e seja x qualquer número neste intervalo.
	Se F for uma função tal que, então F'(x) = f(x).
Se F for uma função tal que , então F'(x) = f(x).
Leitura: 
A integral da derivada de f(x) é igual a F(x) chamada de antiderivada.
Análise:
Se F(x) = f(x) + C, derivando os dois lados da equação, tem-se: F'(x) = f'(x), então:F(x) é a antiderivada de f(x).
II) Se f uma função contínua no intervalo fechado [a, b] e seja F uma primitiva de f . Então:
 
Este segundo teorema estabelece uma conexão entre as integrais indefinidas e as integrais definidas. Esta conexão é a fórmula também conhecida como fórmula de Newton-Leibniz.
Propriedades da Integral Definida
Nas propriedades enunciadas a seguir consideremos, f e g, funções contínuas nos intervalos fechados sugeridos pelos limites de integração.
O Teorema da Média
O nome Teorema Fundamental do Cálculo já diz sobre a importância do mesmo. Este teorema permite exprimir a integral de uma função em termos de uma outra função conhecida como primitiva e esta notável descoberta de Newton e Leibniz no século XVII, forneceu ao Cálculo uma ferramenta eficaz para o cálculo da maioria das integrais que aparecem no cotidiano.
Necessitamos do Teorema da Média, que é um resultado preparatório para demonstrar o Teorema Fundamental do Cálculo.
Teorema da Média: Seja f uma função contínua num intervalo [a,b]. Então existe um valor c nesse intervalo tal que
	b
a
	f(x) dx = f(c) (b-a)
Demonstração: Relembramos que
=
onde cj é um ponto qualquer do j-ésimo subintervalo de medida dx=(b-a)/n e o limite é tomado quando n.
Se m=min{f(x):x em [a,b]}, M=max{f(x):x em [a,b]} e f é contínua sobre um intervalo fechado e limitado da reta, temos a garantia (pelo Teorema dos valores extremos de Weierstrass) que existem x=xo e x=x1 tal que m=f(xo) e M=f(x1), então, para todo cj do intervalo [a,b] tem-se que:
m < f(cj) < M
donde segue que:
m dx < f(cj) dx < M dx
Realizando a soma sobre todos os índices j=0...n, obteremos
m dx <  f(ci) dx <  M dx
logo
	m(b-a) <
	n
j=0
	f(ci) dx < M(b-a)
Tomando o limite com n sobre todas as três expressões nas desigualdades, teremos:
	m (b-a) <
	b
a
	f(x) dx < M (b-a)
isto é:
	m <
	1
b-a
	b
a
	f(x) dx < M
Portanto, o termo do meio dessas desigualdades está entre f(xo) e f(x1) e pelo Teorema do Valor Intermediário, podemos concluir que existe c em [a,b] tal que
	f(c) =
	1
b-a
	b
a
	f(x) dx
o que completa a demonstração do Teorema da média.
Primitivas
Uma primitiva para uma função f=f(x) é uma outra função F=F(x) cuja derivada coincide com f, isto é, F'(x)=f(x). Pode ser que existam várias primitivas para uma mesma função f. Você conhece alguma função real que não tem primitiva?
Exemplos: Algumas primitivas para f(x)=x², são:
F(x)=x³/3
G(x)=x³/3 + 1
H(x)=x³/3 + C
pois as derivadas destas funções são iguais a f(x)=x².
A constante C da última primitiva é tão geral, que na verdade poderia assumir qualquer valor numérico. Assim, uma primitiva geral para f(x)=x², teria a forma:
F(x) = x³/3 + C
em que o número C é uma constante arbitrária e x em Dom(f).
Observação: Se F=F(x) e G=G(x) são primitivas para uma função f, então para todo x no domínio da função f, existe uma constante C tal que:
F(x) - G(x) = C
Isto significa geometricamente, que o gráfico de uma primitiva é a translação vertical do gráfico da outra primitiva no plano cartesiano. Traçando segmentos de retas verticais com extremidades nas curvas y=F(x) e y=G(x), estes segmentos terão sempre a mesma medida C.
Observação: Para o cálculo de uma integral mediante o uso do Teorema Fundamental do Cálculo, necessitamos conhecer uma primitiva para a função envolvida. Obter uma primitiva de uma função nem sempre é um problema simples de ser resolvido e algumas vezes é impossível, como é o caso das integrais elípticas, que aparecem naturalmente quando se deseja calcular o comprimento do arco de uma elipse através de integrais.
Obter uma primitiva para uma função pode envolver técnicas bastante sofisticadas, que são desenvolvidas nos cursos de Cálculo e Análise Matemática. Nosso objetivo aqui não é desenvolver estas técnicas de integração. Estamos mais interessados na compreensão do conceito de integral e de suas consequências.
BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo. Editora Edgar Blucher Ltda. 19962 Courant, R. e Robbins H. O que é Matemática?.Rio de Janeiro:Editora Ciência Moderna Ltda., 2000