Guia de Estudos da Unidade 2 Mecânica dos Fluídos

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Mecânica dos Flúidos
UNIDADE 2
1
MECÂNICA DOS FLUIDOS
UNIDADE 2
 
EQUAÇÕES DE BALANÇO PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS
 Palavras do Professor
Olá amigo (a) aluno (a), como vai?
Na unidade I, você aprendeu quais as generalidades e propriedade dos fluidos. Lembra que eu lhe disse 
que existem duas abordagens principais de se aprender mecânica dos fluidos? 
 
 Orientações da Disciplina
Nessa unidade II, você irá utilizar de uma delas para iniciarmos um importante tópico na engenharia: As 
equações de balanço.
E a motivação é bem simples... “O que acontece quando alguma massa (que transporta energia, entropia, 
quantidade de movimento...) interage com a vizinhança por onde passa?”. 
 
 
 Exemplo
Pegue, por exemplo, uma bomba hidráulica que deve recalcar determinado volume de água de um ponto a 
outro de uma tubulação, ou, a passagem de esgoto por um canal. Em ambas situações há a transferência 
de energia do meio para o fluido que escoa. Você concorda?
Então, para solucionar esses problemas vamos aplicar novas ferramentas que envolvem essas situações 
de movimento de massa (e com isso movimentam também a energia e a quantidade de movimento), para 
simplificar nossa abordagem iremos tratar de problemas que envolvem sistemas isotérmicos, onde a 
massa entra e sai do equipamento.
Para todas as situações abordadas nessa unidade, vale a pena lembrar-se de três leis fundamentais da 
física:
Ø	 O princípio da conservação da massa;
Ø	 A segunda lei de Newton do movimento;
Ø	 O princípio da conservação da energia (1ª lei da termodinâmica).
2
 Para início de conversa
Só para deixar claro: 
Nos nossos problemas, desconsidere as reações nucleares onde massa e energia podem se transformar 
e despreze também os efeitos relativísticos onde as leis de Newton podem ser modificadas. Caso você 
tenha alguma dificuldade em algum desses princípios, eu sugiro que antes de iniciar, reveja cada uma 
dessas leis. 
 Veja os vídeos!
Para lhe ajudar, caso realmente você não se lembre dessas leis, aconselho que assista aos vídeos: T2: 
Introdução à Primeira Lei da Termodinâmica, um vídeo com duração de cinquenta e três minutos e cin-
quenta e quatro segundos, que apresenta uma aula do professor Paulo Seleghim da USP/São Carlos 
introduzindo o conceito da Primeira Lei da Termodinâmica, Conservação de energia, energia, desordem 
e transformação: inclusive, aconselho a você assistir a todos os vídeos do curso de termodinâmica do 
professor Paulo.
Assista também - Me Salva! DIN02 - Segunda Lei de Newton, um vídeo curto com duração de oito minu-
tos e treze segundos.
 Acesse sua Biblioteca Virtual
Antes de iniciarmos nosso tópico sobre balanço de massa e energia é necessário que você tenha uma 
noção sobre sistemas e volume de controle e, para isso, eu peço que você leia na íntegra a seção 10.1 do 
livro Brunetti, Franco – Mecânica dos fluidos, presente na sua Biblioteca Virtual. Boa leitura!
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BALANÇO GLOBAL DE MASSA E ENERGIA 
Amigo (a) aluno (a), já que nosso interesse é abordar problemas com o fluido em movimento existem dois 
métodos que você pode aprender para descrever tal movimento: as representações de Lagrange e Euler. 
A diferença que você irá encontrar será na maneira de como e como a posição da partícula fluida será 
especificada.
Na representação de Lagrange, o fluido é descrito observando-se a posição de suas partículas ao longo 
de suas trajetórias em função do tempo, com isso, quero dizer que a posição no espaço das partículas 
do fluido é também função do tempo, então, por exemplo, se quisermos descrever a velocidade de uma 
partícula fluída, em coordenadas cartesianas, você poderia descrever como:
 (1)
Já na descrição de Euler o fluido é descrito na medida em que as partículas passam por determinados 
pontos em função do tempo e, assim, a posição das partículas é independente do tempo, se desejássemos 
descrever a velocidade de uma partícula fluida usando a descrição de Euler, ela seria descrita como:
 
(2)
Para ilustrar os dois métodos, considere que seja importante avaliar a temperatura dos vapores que saem 
de uma chaminé, como ilustra a figura 1:
Figura 1 - Diferença entre a abordagem de Lagrange e de Euler na descrição do movimento de uma partícula fluída. 
Fonte: fisica.unipv.it (com adaptações)
Na abordagem de Euler, você iria anexar um termômetro no topo chaminé (ponto 0). Daí, em cada intervalo 
de tempo, anotar a temperatura T que sai dali. Isto é, a temperatura como uma função do tempo. Como 
diferentes partículas de fumaça passam pelo ponto O, a temperatura muda. 
Já na abordagem de Lagrange os termômetros deveriam estar “ligados” (anexados) a várias partículas, 
e você teria de ter muitos desses termômetros especiais e rastrear a temperatura T para todas elas. Não 
é difícil perceber que a abordagem de Euler é preferida pela engenharia, dada a facilidade com que os 
resultados podem ser obtidos.
4
 
 Acesse sua Biblioteca Virtual
 Para aprender um pouco mais sobre o escoamento de fluidos é necessário que você leia na 
íntegra as seções 3.3 e 3.4 do livro Brunetti, Franco – Mecânica dos fluidos, presente na sua Biblioteca 
Virtual. Boa leitura! 
 
 Veja o vídeo!
Caso você precise de maiores informações, recomendo que acesse ao vídeo com duração de 
trinta e seis minutos e cinquenta e seis segundos, que fala de uma maneira geral sobre aspectos introdu-
tórios da: Mecânica dos Fluidos.
Com as leituras recomendadas das seções 10.1, 3.3 e 3.4 acredito que será melhor seu aprendizado. 
Só recordando... Como você pôde ler na seção 10.1 existe uma diferença entre o sistema e o volume de 
controle de forma que você pode dizer que, se um fluido estiver em movimento, existem vários sistemas 
atravessando um determinado volume de controle. Você concorda?
Agora imagine a situação a seguir: Considere o escoamento de um fluido através de um duto circular, 
como ilustra a figura 2.
Figura 2 - Fluido escoando em um duto circular. 
Fonte: LIVI, C. P., Fundamentos de Fenômenos de Transporte: Um Texto para Cursos Básicos, 2ª Edição.
O que eu estou interessado em entender é como ocorre a interação entre o sistema e a vizinhança desse 
sistema. Só para deixar claro, as leis da Mecânica são escritas para um sistema. Entretanto, em muitos 
problemas de Mecânica dos Fluidos, é mais comum a análise dos problemas utilizando-se a formulação 
de volume de controle. Para resolver esse pequeno impasse, você pode utilizar o Teorema de Transporte 
de Reynolds, pois, o fundamento matemático do teorema permite que as leis da Mecânica sejam escritas 
para um volume de controle, em outras palavras, o teorema converte do sistema Lagrangeano para o 
sistema Euleriano.
 Veja o vídeo!
Para entender sobre esse teorema, peço que você vá até a internet e assista ao vídeo: MFL20 - Teorema 
de transporte de Reynolds, com duração de nove minutos e cinquenta e um segundos. Então, até breve!
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E aí, entendeu? Só reformulando as ideias...
Se N for uma propriedade Extensiva Arbitrária qualquer, o Teorema de Transporte de Reynolds estabelece 
que:
 (3)
O que cada termo da equação 3 nos indica?
Em outras palavras, o teorema pode ser dito da seguinte maneira: A taxa de variação com o tempo da 
quantidade total da propriedade extensiva N é igual às variações instantâneas de N no interior do volu-
me de controle, somadas à integral da taxa na qual N está sendo transportada através da superfície de 
controle para a vizinhança.
E agora, uma questão que eu levanto para realizarmos um balanço global de massa e energia: Como o 
Teorema de Transporte de Reynolds pode nos ajudar a determinar a mudança de massa e energia dentro 
de um volume de controle?
Vamos responder a essa questão dividindo em duas partes; primeiro eu aplico o teorema para um balanço 
de massa e depois para um balançode energia. Acompanhe...
BALANÇO GLOBAL DE MASSA. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 
Para iniciarmos a discussão sobre o balanço de massa, vale à pena lembrar que um sistema consiste de 
uma quantidade identificada e definida de matéria. O princípio parte da ideia que ocorre a conservação da 
massa, lembre-se que não estamos envolvendo reações nucleares e nem tão pouco efeitos relativísticos 
nessa abordagem. 
No estudo da conservação da massa (que é uma grandeza extensiva) sua respectiva propriedade intensiva 
corresponderá a uma unidade, então N=M e ŋ= n/m = 1. Como a massa se conserva vale escrever a 
seguinte igualdade:
 
 (4)
Ou seja, não há variação de massa no sistema no qual estou trabalhando. Já que não há variação de 
massa dentro do sistema, a equação (3) pode ser reescrita da seguinte forma:
 
 (5)
A equação (5) será então chamada de equação da continuidade em sua forma integral e representa um 
6
balanço de massa para um volume de controle que pode ser entendido como sendo:
 
 (6)
Quando você começar a entender o significado dessa equação, irá perceber que o fluxo líquido de massa 
que atravessa a superfície de controle nada mais é, do que a diferença entre o fluxo de massa que sai e o 
fluxo de massa que entra no volume de controle. Será que você concorda?
O importante na resolução dos problemas envolvendo balanços de massa é saber escolher a superfície 
de controle adequada para que não haja muitas simplificações, e daí você calculando mal o balanço, nem 
tantos parâmetros, para que a equação se torne muito complexa na sua resolução.
Para começarmos a praticar sobre esse conceito a equação da continuidade, a equação (5), pode ser sim-
plificada em alguns casos, vamos considerar os dois casos mais abrangentes:
Equação da continuidade no caso de regime permanente 
Antes de iniciarmos nosso tópico sobre Equação da continuidade, no caso de regime permanente é ne-
cessário que você leia na íntegra a seção 3.6 do livro Brunetti, Franco – Mecânica dos fluidos, presente 
na sua Biblioteca Virtual. Boa leitura!
Então, quando lidamos com um escoamento de um fluido em regime permanente, nos admitimos que as 
propriedades do fluido e as características do escoamento ficam invariantes com o tempo, isto é, qualquer 
derivada em relação ao tempo será nula e, sendo assim, a equação da continuidade toma a seguinte 
forma:
 
 (7) 
Observe a equação (7) o que será que podemos dizer, sob o ponto de vista fenomenológico que essa 
equação quer nos dizer?
A equação está nos dizendo que o fluxo de massa que sai é igual ao fluxo de controle que entra no volume 
de controle. Solucionar a integral da equação (7) na condição de regime permanente é escrever que:
 
 (8)
 
 (8.1)
Equação da continuidade no caso de um escoamento permanente e incompressível
Quando lidamos com um escoamento de um fluido em regime permanente e um fluido considerado incom-
pressível a massa específica desse fluido, será considerada constante e a equação (7) ficará da seguinte 
forma:
 (9) 
7
Solucionar a integral da equação (9) na condição de regime permanente e fluido incompressível é escrever 
que:
 
 (10) 
 
 (10.1)
O termo é conhecido como vazão (simbolizado pela letra Q), ou seja, o volume que escoa 
através de uma superfície de controle ou seção de área transversal por unidade de tempo.
Já o termo é chamado de fluxo de massa ou fluxo convectivo (simbolizado por ṁ), ou 
seja, a massa de fluido que escoa através de uma superfície de controle ou seção de área transversal por 
unidade de tempo.
 Veja os vídeos!
Caso você necessite de mais alguma explicação, talvez uma vídeo-aula possa lhe ajudar, se esse for seu 
caso, aconselho-o a acessar o link a seguir: Me Salva! MFL21 - Conservação de massa para um volume 
de controle, um vídeo com quatro minutos e cinquenta e quatro minutos de duração, que tem o tópico que 
acabei de escrever, bom vídeo!
Outra boa dica é assistir ao vídeo: Cinemática do Fluido, um vídeo com vinte e sete minutos e trinta e dois 
segundos de duração.
 
Voltou? Ótimo! 
 Exemplos
Agora iremos praticar alguns exemplos:
Exemplo 1: O tanque indicado na figura 3, recebe água através da válvula 1 com V�= 10 ft/s e através 
da válvula 3 com Q3 = 0.35 ft³/s. Determine a velocidade através da válvula 2 para manter o nível de 
água constante. Utilize as seguintes hipóteses simplificadoras:
Ø	 Regime permanente;
Ø	 Fluido incompressível;
Ø	 As paredes do tanque são incompressíveis.
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Ø	
Figura 3 - Tanque do exemplo 1
 Fonte: Çengel Y.A, Cimbala, J.M. Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e Aplicações. McGraw-Hill, (com adaptações)
Vendo as hipóteses simplificadoras, resolver o problema do exemplo 1 é aplicar a equação 10.1:
Exemplo 2: Na figura 4, um óleo incompressível é despejado com uma vazão Q constante em um reserva-
tório cilíndrico de diâmetro D. O óleo vaza através de um orifício de diâmetro d na base do reservatório, 
com uma velocidade de saída dada por V=√2gh em que h é o nível do óleo. Considerando que o jato de 
óleo possui diâmetro d no orifício de saída, determine a equação de balanço de massa que descreve a 
evolução temporal da altura h.
Figura 4 - Exemplo 2 
Fonte: LIVI, C. P., Fundamentos de Fenômenos de Transporte: Um Texto para Cursos Básicos, 2ª Edição (com adaptações). 
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Para resolver esse problema, vamos primeiramente fazer uma escolha consciente do volume de controle, 
esse volume será coincidente com o volume do fluido no tanque, porque assim, a variação da altura h 
implicará na variação do volume de controle. Usando a equação da continuidade em sua forma integral, 
equação (5):
 
 Veja o vídeo!
Se você ainda tiver alguma dúvida sobre o tópico, talvez um vídeo que está no endereço: 
FENTRAN - AULA 06 - Conservação de massa em volumes de controle, o vídeo tem duração vinte e um 
minutos e quarenta e quatro segundos:
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BALANÇO GLOBAL DE ENERGIA 
Como você pode perceber no vídeo que lhe pedi para assistir no início dessa nossa unidade, a termodi-
nâmica estuda as relações que ocorrem entre as propriedades de um sistema e as trocas de calor que 
ocorrem entre o sistema e sua vizinhança. O que irei apresentar agora é a equação de energia tratada na 
forma integral, a equação (3) dessa unidade.
Em primeiro lugar, vamos considerar um sistema arbitrário que troca calor com sua vizinhança, figura 5:
Figura 5 - Um sistema qualquer e sua relação de calor com a vizinhança.
Fonte: www.boundless.com (com adaptações) 
Aplicando a 1ª lei da termodinâmica, o sistema da figura 5 pode ser descrito como sendo:
 
 (11)
O que a equação (11) diz é que a taxa de variação da energia do sistema é igual ao fluxo de calor que entra 
no sistema (que convencionarei como sendo positiva) menos a taxa de variação do trabalho realizado pelo 
sistema sobre a vizinhança (que convencionarei como sendo negativa) o símbolo aplicado ao calor e ao 
trabalho é para reforçar que essas quantidades são dependentes do processo termodinâmico que estão 
sofrendo.
Voltando à equação (3), você lembra que: 
Agora vou assumir que a grandeza extensiva a ser aplicada na equação (3) será a energia, então terei:
N=Energia total do sistema=E
η=energia total específica (por unidade de massa)=e
A forma integral da equação (3) será, portanto:
 
(12)
Igualando as equações (11) e (12) e considerando que o sistema e o volume de controle são coincidentes 
no instante qualquer, teremos a equação (13).
 
 (13)
11
A equação (13) é uma expressão da 1ª lei da termodinâmica em sua forma integral e representa um balan-
ço global de energia para um volume de controleque pode ser entendido como sendo:
 
 (14) 
Agora vamos aos detalhes que não podem deixar de existir:1. A energia total especifica, isto é, a energia por unidade de massa, será a soma da energia potencial 
especifica (gy) mais a energia cinética total especifica (V²⁄2) mais a energia interna específica (u)
2. Existem três diferentes formas de trabalho que compõe o termo :
ü	 W eixo– Este é o trabalho realizado pelo fluido dentro do volume de controle e que é transmitido para 
vizinhança (ou vice-versa). É o caso de turbinas, compressores, ventiladores ou bombas hidráulicas.
ü	 W escoamento– Este é o trabalho realizado pelo fluido ao escoar através da superfície de controle. 
São as tensões normais do escoamento, ou seja, o trabalho realizado pelas forças de pressão (р). Esse 
trabalho costuma ser representado por: 
ü	 W cisalhamento– Este é o trabalho realizado pelo fluido contra as tensões cisalhantes no volume de 
controle. São as forças relacionadas ao atrito viscoso. Esse trabalho costuma ser representado por 
Wμ.
Se for considerado que os efeitos do aumento da energia interna do fluido e do fluxo de calor do fluido 
para a vizinhança são causados pelo atrito viscoso no volume de controle o termo do W cisalhamento pode 
ser desconsiderado e nossa equação (13) pode ser arrumada como:
 
 
 
 
 
 (15)
A equação (15) é outra maneira de escrever a equação global de energia.
12
BALANÇO DE ENERGIA MECÂNICA. A EQUACAO DE BERNOULLI E O TEOREMA DE TORRICELLI 
 Biblioteca virtual
Antes de iniciarmos nosso tópico sobre balanço de energia mecânica, eu peço que você leia na 
íntegra as seções 4.1 a 4.3 do livro Brunetti, Franco – Mecânica dos fluidos, presente na sua Biblioteca 
Virtual. Boa leitura!
Bem, como você pode ler no livro a equação de Bernoulli é um caso particular da equação (15), a equação 
da energia. Vamos considerar que um escoamento acontece em um fluido como o que está sendo apre-
sentado na figura 6, o fluido é dito incompressível, sob um regime permanente sem efeitos viscosos e com 
propriedades uniformes. Considere também, que não há trocas de calor e nem a realização de trabalho 
de eixo.
Figura 6 - Fluido escoando em uma tubulação. 
Fonte: https://pt.wikipedia.org
O que quero fazer é determinar a equação da energia desse esquema, você já lembra a equação da ener-
gia? Vou reescrevê-la para você:
Querido (a) aluno (a), a cada restrição feita por uma redução na equação da energia, deve ser considerada, 
então eu gostaria que você acompanhasse o passo a passo dessas hipóteses simplificadoras, vamos lá.
1. Escoamento incompressível, ou seja, ρ constante ;
2. Regime permanente, então o termo da equação (15) é nulo;
3. Dizer que o escoamento é sem efeito viscosos é reafirmar que não há dissipação da energia mecânica;
4. As propriedades são constantes no escoamento;
5. Não há troca de calor, e, portanto ;
6. Não há realização do trabalho de eixo, assim.
Se você aplicar as hipóteses simplificadoras na equação da energia, equação (15) ficará:
 
 (16) 
13
Ao integrar a equação (16) e aplicá-la entre as seções transversais das áreas A1 e A2 da figura 6, teremos:
 
 (17)
Conforme as hipóteses (3) e (5): e conforme a hipótese (2): , então a equação (17) fica:
 
 (18)
A equação (18) é conhecida como equação de Bernoulli sem dissipação de energia mecânica. Se você fizer 
um exame da dimensionalidade de cada termo da equação, perceberá que elas representam a energia 
por unidade de massa (recorde a leitura do livro, caso você ainda esteja em dúvida). E o que a equação 
nos revela? 
Ela diz que a soma das energias relacionadas com as cotas de escoamento (energia potencial) com a 
velocidade do escoamento (energia cinética) e as relacionadas com a pressão do fluido (energia piezomé-
trica) devem se manter ao longo do escoamento, a forma mais comum de se escrever a equação (18) é em 
dimensões de comprimento, isto é, em metros. Isso se consegue simplesmente dividindo-se os termos da 
equação (18) pela gravidade, resultando:
 (19)
Os termos da equação (19) são expressos em metros e, geralmente, essa energia por unidade de peso é 
chamada de carga:
A soma desses termos é chamada da carga total e é denotado pela letra . A figura 7, mostra um esquema 
onde podemos ver que no escoamento do fluido a carga total se conserva, porém, ao longo do escoamento 
ocorre a mudança das cargas, isto é, das energias por unidade de peso.
Figura 7 - representação das cargas potencial, cinética e piezométrica e a carga total de um escoamento sem dissipação de 
energia - equação de Bernoulli. - Fonte: www.dec.ufcg.edu.br (com adaptações)
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Aplicações Imediatas da Equação de Bernoulli
O que quero mostrar agora são algumas aplicações que, de forma simples, possibilita calcular a velocida-
de e a vazão do escoamento dos fluidos. Nessas aplicações, a principal característica é que a velocidade 
(ou a vazão) é obtida indiretamente através de uma grandeza mensurável.
Ø	 Teorema de Torriceli:
Vou tentar aplicar o teorema de Torriceli através de um exemplo.
 Exemplo
Exemplo 3: A figura 8, mostra um tanque de armazenamento de gasolina com uma área transversal A1, 
cheio até a altura O espaço por cima do gás contém ar a uma pressão considerada e escoa através de 
uma área A2 na base do tanque e aberto para a atmosfera. Extraia a expressão para a velocidade de saída 
no tubo:
Figura 8 - Exemplo 3
 Fonte: Çengel Y.A, Cimbala, J.M. Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e Aplicações. McGraw-Hill, (com adaptações)
Para solucionar o problema, vamos considerar dois pontos no tanque: O ponto (1), na superfície livre do 
líquido armazenado (observe a figura) e o ponto 2 na saída do tanque, onde convenientemente conside-
rarei meu plano horizontal de referência (P.H.R.) a partir do qual irei calcular a carga potencial do fluido. 
Outra consideração que irei fazer é dizer que o nível de combustível vai cair lentamente de forma que você 
pode admitir (fazemos isso porque o tanque será considerado de grandes dimensões, ou seja, claro que 
o nível de combustível irá diminuir, mas em uma taxa que podemos desprezar). Aplicando Bernoulli entre 
os pontos 1 e 2, equação (19).
15
A forma mais usual da expressão, acontece quando não existe diferença de pressão entre os pontos (1) e 
(2), e, portanto, a equação fica:
 (20) 
A equação encontra uma relação entre a velocidade de um jato livre e, se você necessitar de resultados 
mais precisos deve considerar os efeitos do atrito viscoso e o vena contracta do escoamento, que é um 
coeficiente determinado experimentalmente, chamado de coeficiente de velocidade ou de descarga. Caso 
você deseje reforçar seus conhecimentos, sugiro que você acesse o link a seguir:
 Leitura complementar: Teorema_de_Torricelli 
Ø	Tubo de Pitot-Prandtl:
Este dispositivo serve para medir a velocidade escoamento de um fluido. O instrumento foi apresentado 
em 1732 por Henry de Pitot. Mais tarde o físico alemão Ludwig Prandtl, considerado o pai da aerodinâ-
mica, aperfeiçoou o tubo de Pitot (o tubo de Prandtl). O tubo de Pitot-Prandtl é um dispositivo que mede 
ao mesmo tempo a pressão estática p e a pressão de estagnação p0, de forma que você pode calcular a 
velocidade do fluxo. O tubo combina duas sondas, como mostra a figura 9. A pressão de estagnação, isto 
é, a pressão do fluido em repouso, é medida no ponto b. A pressão estática (o valor que está na equação 
de Bernoulli) é medida por meio de furos na superfície exterior do tubo, ponto a.
Assume-se que, a pressão estática p não varie ao longo do instrumento e que a pressão de estagnação é 
a soma da pressão estática p e outro termo de pressão conhecido comopressão dinâmica: 
pdinâmica= .
. 
 (21)
16
Figura 9 - Tubo de Pitot-Prandtl
 Fonte: https://davidrodriguez2206.files.wordpress.com/2014/09/pitot-tube1.gif
Se substituirmos a leitura do medidor de pressão diferencial que contém um líquido manométrico de 
massa especifica , temos a equação de Pitot-Prandtl. Da estática dos fluidos sabe-se que um diferen-
cial de pressão pode ser escrito em função de uma altura de coluna 
de líquido, assim, a velocidade em um tudo de Pitot pode ser escrita 
como na equação (22).
 (22)
Por ser baseado na equação de Bernoulli, o tubo de Pitot só funciona com fluidos incompressíveis e com 
viscosidades muito baixas. No entanto, a velocidades baixas o ar rarefeito a elevadas altitudes pode ser 
aproximado por esse modelo. Assim, o tubo de Pitot é muito usado para medir a velocidade de aviões. 
Vamos a um exemplo:
 Exemplo
Exemplo 4: Um tubo de Pitot, como o da figura 9, mede um diferencial de pressão em um escoamento de 
ar (ρar=1,23 kg/m³) em uma tubulação. A altura h medida no manômetro diferencial em U de água é igual 
a 0,6 m. Qual é a velocidade do escoamento?
Ora, como a diferença de altura revela a diferença de pressão entre a pressão total e a pressão de estag-
nação, iremos fazer:
Ø	 Tubo de Venturi:
Para o medidor de Venturi, observe o exemplo:
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Figura 10 - Exemplo 5
 Fonte: pt.wikipedia.org (com adapatações)
 Exemplo
Exemplo 5: A figura 10 mostra um medidor de Venturi utilizado para medir a velocidade de fluxo de um 
tubo. O dispositivo é construído com uma parte convergente (a parte mais estreita do tubo chamada de 
garganta). O que eu desejo fazer é derivar uma expressão para o fluxo de velocidade V1 em função das 
áreas de secção transversal A1 e A2 e a diferença de altura h dos tubos verticais.
Para solucionar o problema, vou convenientemente escolher o plano horizontal de referência coincidindo 
com os pontos (1) e (2) no tubo de Venturi, figura 11:
Figura 11 - Plano horizontal de referência coincidente com os pontos (1) e (2) no tubo de Venturi.
 Fonte: pt.wikipedia.org (com adaptações).
Aplicando Bernoulli entre os pontos 1 e 2, equação (19).
Lembrando-se da equação da continuidade: .
18
Para determinar a diferença de pressão entre os pontos (1) e (2), observe a figura 12 e recorde do teorema 
de Stevin (equação (13) de nossa unidade I):
Figura 12 - Pressão sobre os pontos (1) e (2). - Fonte: pt.wikipedia.org (com adaptações).
Continuando a aplicar a equação de Bernoulli:
 
 
 
 
 
 
(22) 
 Visite a Página:
 Caso você deseje reforçar seus conhecimentos, sugiro que o link: Efeito_Venturi 
Caro (a) aluno (a), obviamente que você deve ter percebido a importância de se realizar um balanço de 
massa e energia, afinal, esse é o fundamento de muitos processos de nossa engenharia “newtoniana” e é 
19
claro, que não poderei esgotar o assunto, pois existem vários problemas onde a equação da continuidade 
e a equação de Bernoulli pode ser aplicada, mas eu não gostaria que você ficasse preso a esse guia e 
acredito que depois de lê-lo até esse tópico, você tenha que exercitar seus conhecimentos para que eles 
fixem melhor, então eu o convido a realizar os dez primeiros problemas 4.1 a 4.10 do nosso livro texto 
Brunetti, Franco – Mecânica dos fluidos. Esse será um bom exercício para aprimorar seus mais novos 
conhecimentos sobre o assunto, faça os exercícios com calma e procure em vídeos do youtube outros 
exemplos de resolução de questões como essas que eu estou lhe passando. Bons estudos!
BALANÇO GLOBAL DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
Prezado (a) aluno (a), agora vamos nos preocupar com a conservação do momento linear. Lembra que no 
início dessa unidade eu falei dos fundamentos da física? 
Esse será o terceiro fundamento que você não poderá jamais esquecer. Lembre-se que: A massa se con-
serva, a energia se conserva e o momento se conserva! 
Então, antes que possamos utilizar o teorema do transporte de Reynolds para essa propriedade extensiva, 
gostaria de lhe apresentar um projeto muito bacana da USP (Universidade de São Paulo). Inspirados em 
serviços já em uso por Universidades como a Harvard, Yale, Columbia, MIT e Princeton, a USP coloca à 
sua disposição esse serviço, o e-Aulas. 
 Visite a Página: 
 O endereço para você visitar o projeto é: eaulas.usp.br/portal
Agora que você deu uma boa olhada no projeto, eu gostaria que você assistisse à aula disponível no 
endereço a seguir, um vídeo com treze minutos e trinta e dois segundos, e aproveito que você está dis-
posto e o convido a terminar de assistir às vídeo-aulas que são a continuação dessas, porque nelas você 
encontrará um curso completo de física mecânica (mas isso só quando você puder, claro!). Então, mãos à 
obra e boa aula!
 Veja o vídeo! eaulas.usp.br 
Então, já voltou? Ok! 
Para começar, vou lhe contar que quando Newton enunciou sua 2ª lei ele não escreveu que 
, e sim, disse que:
 (2ª Lei de Newton) 
 (23) 
A equação (23) nos conta que a soma das forças que agem em um sistema é igual à taxa de variação do 
20
momento linear ( ) total do sistema, então vamos novamente aplicar o Teorema do Transporte de Rey-
nolds, a equação (3):
Nesse caso, vou considerar que substituindo os valores 
na equação 3, você encontrará:
 
 (24) 
Substituindo a equação (23) na equação (24), você terá:
 
 (25) 
Só para esclarecer um pouco mais a equação (25). O termo representa todas as forças (do corpo e da 
superfície) que atuam no sistema, e vale lembrar também, que irei considerar que o sistema e o volume 
de controle são coincidentes no instante t qualquer. A equação (25) será então chamada de equação do 
momento linear e ela estabelece que:
 (26) 
Observe um pouco mais a equação (25), nela pode-se ver que o momento e a velocidade são vetores e, 
dessa maneira, a equação também se torna uma equação vetorial que pode ser decomposta em equações 
escalares, segundo um sistema de referência escolhido, no caso das coordenadas retangulares, a equa-
ção (25) se desdobra em:
(25.1) 
(25.2) 
 
 (25.3)
 Veja o vídeo!
Caso você ainda esteja com dúvidas, eu o aconselho a assistir a um vídeo bem simples que 
resolve um exemplo de quantidade de movimento -Exercício Quantidade de movimento 1, com duração 
de dez minutos e vinte e oito segundos.
21
 
 Acesse o Ambiente Virtual:
Bem, caro (a) aluno (a), encerramos nossa segunda unidade. Após você ter estudado no Guia I sobre as 
Generalidades e Propriedades dos Fluidos, bem como, a Estática dos Fluidos, nesta unidade II, você aca-
bou de conhecer (e aprender) sobre as Equações de Balanço para Sistemas Isotérmicos. Espero que você 
tenha gostado!
 
Não se esqueça de realizar as atividades avaliativas (fórum e questionário) disponíveis no Ambiente 
Virtual de Aprendizagem – AVA.
Bons estudos e até mais breve!
 
 Referências Bibliográficas:
Ø	BISTAFA, S. R.. Mecânica dos fluidos. Editora Blucher, 2010
Ø	BRAGA FILHO, Washington. Fenômenos de Transporte para Engenharia. 2ª Ed. Rio de Janeiro: LTC, 
2006.
Ø	BRUNETTI, F.. Mecânica dos fluidos. Editora Pearson/Prentice Hall, 2008
Ø	LIVI, C. P., Fundamentos de Fenômenos de Transporte: Um Texto para Cursos Básicos, 2ª Edição, Rio 
de Janeiro: LTC, 2012. 
Ø	MUNSON, Bruce R. ; OKIISHI, Theodore H.; YOUNG, Donald F. Uma introdução concisa à mecânica 
dos fluídos. 2ª Ed. São Paulo: Edgard Blucher, 2005.
Ø	POTTER et al.. Mecânica dos fluidos. Editora Thomson Learning, 2004
Ø	VARGAS, Marina et al . Modelagem do fluxo de pedestres pela teoria macroscópica. Rev. Bras. Ensino 
Fís.,São Paulo, v. 34, n. 4, p. 1-10, Dec. 2012. Disponível em: <http://www.scielo.br/scielo.php?scrip-
t=sci_arttext&pid=S1806-11172012000400018&lng=en&nrm=iso>.