Apostila Desenho Técnico - Ponto

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Notas de Aula de Geometria Descritiva
Luiz Fernando Reis
UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo
Setor de Representação Gráfica e Tecnologia
Anotações
21
Plano Vertical de
Projeções
Plano Horizontal de
Projeções
Linha de Terra
2 Diedroo
1 Diedroo
3 Diedroo
4 Diedroo
Afastamento
Cota
Abscissa
Capítulo 2 - Estudo do Ponto
Generalidades
Figura 1
Figura 3
Abscissa
- O Sistema Mongeano de Projeções é composto por dois planos
ortogonais entre sí. Estes planos são denominados de Plano Horizontal de
Projeções e Plano Vertical de Projeções.
Estes dois planos dividem o espaço em quartro regiões denominadas
diedros. Cada diedro é delimitado por um par de semi-planos, conforme
mostra o quadro a seguir:
- Por tratar-se de um sistema tridimensional, serão necessárias
três coordenadas para que um ponto seja individualizado. Desta
maneira,a distância do ponto objetivo a um plano lateral de projeções,
ortogonal aos dois planos de projeções, definirá a terceira coordenada
descritiva, denominada de .
1 Diedroo
2o Diedro
3 Diedroo
4 Diedroo
HA
HP
HP
HA
VS
VS
VI
VI
Figura 2 - A colocação de um ponto no
Sistema Mongeano fará com que este se
refira aos dois planos de projeções. Estas
referências serão as distâncias deste
ponto ao Plano Vertical, denominada de e ao Plano
Horizontal, denominada de , as quais constituem-se em coordenadas
de um ponto.
Afastamento
Cota
Conforme o ponto objetivo esteja à frente
ou atrás do Plano Vertical (PV) ou ( ’), ele
terá afastamento positivo ou negativo,
respectivamente.
Da mesma forma, conforme o ponto esteja
acima ou abaixo do Plano Horizontal (PH)
ou ( ), o ponto terá cota positiva ou
negativa, respectivamente.
Estando sobre o Plano Vertical, ou sobre o
Plano Horizontal, o Ponto terá,
respectivamente, afastamento ou cota
nulos.
O quadro a seguir resumirá o sinal das
coordenadas descritivas do ponto segundo
a sua localização.
Por convenção:
. a designação de um
se faz por letra latina, maiúscula,
entre parênteses;
. A designação da de
um ponto se faz por letra latina, maiúscula,
sem parênteses.
�
�
Observação:
Ponto
Objetivo
Projeção
Posição do Ponto
Cota
Afastamento
4o3o2o1o VIVSHPHA LT
007
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Anotações
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A’
A
O
x
y
z
Capítulo 2 - Estudo do Ponto
Determinação da Épura e o Alfabeto do Ponto
Figura 1
Figura 2 Épura
A’ A Linha de Chamada
A’ A
- Ponto (A), colocado no 1 Diedro. Observe-se que a projeção vertical localiza-se sobre o ( ’s) e a projeção horizontal sobre o ( a), já que o
ponto possui, respectivamente afastamento e cota positivos.
- A transposição do sistema tridimensional para um sistema bidimensional, é denominada . Trata-se do rebatimento do plano horizontal ( ),
sobre o plano vertical ( ’), através de um giro de 90 , em torno da Linha de Terra , de forma que sejam fechados os segundo e
quarto diedros.
Após este rebatimento, o semi-plano horizontal posterior ( p) coincidirá com o semi-plano vertical superior ( ’s), acima da linha de terra, assim como o
semi-plano horizontal anterior ( a), coincidirá com o semi-plano vertical inferior ( ’i), abaixo da linha de terra.
Considerando-se que, por estar localizado no 1 diedro, o ponto tem projeção vertical sobre ( ’s) e horizontal sobre ( a) e, considerando, como já citado
acima, a localização de cada um destes semi-planos após o rebatimento, a épura do ponto (A) terá seu aspecto definitivo conforme mostrado ao lado da
perspectiva da figura 2.
Os segmentos de retas que unem as projeções vertical e horizontal à linha de terra, recebem o nome de . Considerando-se que,
na Geometria Descritiva utiliza-se o Sistema de Projeções Ortogonais, as linhas de chamada serão sempre perpendiculares à linha de terra.
A distância da projeção vertical , até a linha de terra representa a cota do ponto (A), assim como a distância da projeção horizontal até a linha de terra
representa o afastamento deste ponto. A abscissa do ponto (A), que corresponde no espaço, à distância do ponto objetivo até o plano lateral de projeções,
será, em épura, rerpesentada pela distância dos pés das linhas de chamada das projeções do ponto, até a interseção do plano lateral com a linha de terra,
ponto marcado arbitrariamente sobre a linha de terra.
o
o
o
� �
�
� � �
� �
� �
� �
(interseção de ( ) com ( ’))
As coordenadas descritivas de um ponto
objetivo serão sempre apresentadas
conforme a ordem abaixo
Abscissa = x;
Afastamento = y;
Cota. = z.
Assim, para o ponto (A) do exemplo ao
lado, ter-se-á a seguinte notação:
(A) (x; y; z)
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Anotações
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A’
A
O x
y
z
A’
A
O x
y z
Capítulo 2 - Estudo do Ponto
Alfabeto do Ponto
Figura 1 2 diedro
Figura 2 3 diedro
Figura 3 4 diedro
- Ponto localizado no , ou seja, atrás do plano vertical e
acima do plano horizontal. Portanto, o ponto (A) possui afastamento negativo
e cota positiva. A considerar-se a posição dos semi-planos após o
rebatimento dos mesmos para a obtenção da épura, as projeções de (A)
apresentam-se como nesta figura, ou seja, ambas acima da linha de terra.
- Ponto localizado no , ou seja atrás do plano vertical e
abaixo do plano horizontal. Neste caso (A) possui cota e afastamento
negativos.
Em épura, a projeção vertical ficará abaixo da linha de terra e a horizontal
acima.
- Ponto localizado no , ou seja, abaixo do plano horizontal
a à frente do plano vertical. Aqui, (A) possui cota negativa e afastamento
positivo. Em épura, ambas as projeções estarão localizadas abaixo da linha
de terra.
o
o
o
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A’
A
O x
y
A’
A
O x
y
A’
A
O x
Z
A’
A
O x
Z
Capítulo 2 - Estudo do Ponto
Alfabeto do Ponto
Figura 1
Figura 2
Além das localizações apresentadas nas
figuras anteriores, o ponto pode
, também, em cada um dos
semi-planos de projeção. Neste caso, ou o
afastamento ou a cota serão nulos.
- Ponto localizado no semi-plano
horizontal anterior. A cota é nula. O
afastamento é positivo. Em épura, a
projeção vertical apresenta-se sobre a
linha de terra e a horizontal abaixo desta
linha.
- Ponto localizado no
estar
localizado
semi-plano
horizontal posterior. Aqui também a cota é
nula. O afastamento é negativo. Em épura,
a projeção vertical apresenta-se sobre a
linha de terra e a horizontal acima desta
linha.
- Ponto localizado no semi-plano
vertical superior. Aqui o afastamento é
nulo. A cota é positiva. Em épura, a
projeção horizontal apresenta-se sobre a
linha de terra e a vertical acima desta
linha.
Ponto localizado no semi-plano
vertical inferior. Aqui também afastamento
é nulo. A cota é negativa. Em épura, a
projeção horizontal apresenta-se sobre a
linha de terra e a vertical abaixo desta
linha.
Para um ponto localizado na linha de terra,
ambos, afastamento e cota, serão nulos.
Dessa maneira, em épura, projeções
vertical e horizontal localizar-seão sobre a
linha de terra.
Figura 3
Figura 3 -
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Plano Bissetor
Ímpar
Plano Bissetor
Par
Bissetor Ímpar ( i)�
I’
I
O x
Z
Y
P’ P
O x
=
Y
=
z
Bissetor Par (p)�
Capítulo 2 - Estudo do Ponto
Planos Bissetores
- Planos Bissetores são planos que contêm a linha de terra e
dividem os diedros em partes iguais. Estes planos formam ângulos de 45
com cada um dos planos de projeção.
Os planos bissetores são em número de dois. Um atravessa o 1 e o 3
diedros e é denominado de Bissetor Ímpar, ou ( i); o outro atravessa o 2 e o
4 diedros e é denominado de Bissetor Par, ou ( p).
- Todo ponto pertencente ao bissetor ímpar tem cota e afastamento
iguais, em módulo e sinal. Em épura, suas projeções são simétricas em
relação à linha de terra.
- Todo ponto pertencente ao bissetor par tem cota e afastamento
iguais em módulo, porém os sinais são opostos. Em épura, suas projeções
são coincidentes.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
o
o o
o
�
�
o
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(A)
(B)
( C )
(A)
(B)
(r)
A’
A=B
O
B’
A
A’=B’
O
B
Capítulo 2 - Estudo do Ponto
Simetria
Figura 1 Tipos de Simetria
Casos de Simetria
Figura 2 - Simetria em relação ao Plano Horizontal de Projeções
coincidentes
simétricas
Figura 3 - Simetria em relação ao Plano Vertical de Projeções
coincidentes
simétricas
-
. Se dois pontos ( simétricos em relação a um
terceiro ponto (B), este ponto é equidistante de (A) e de ( C);
. Se dois pontos simétricos em relação a uma reta
(r), então a reta é a mediatriz do segmento formado pelos dois pontos;
. Se dois pontos simétricos em relação a um plano
( ), o plano alfa é o mediador do segmento formado pelos dois pontos.
Se dois pontos são simétricos em relação ao plano horizontal de projeções,
em épura as suas projeções horizontais são e as projeções
verticais são em relação à linha de terra.
Se dois pontos são simétricos em relação ao plano vertical de projeções, em
épura as suas projeções verticais são e as projeções
horizontais são em relação à linha de terra.
A) e (C), são
(A) e (B), são
(A) e (B), são
�
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O
A=B’
B=A’
�� �P
(A)
A’
(B)
A
B’
B
( ’s)�
( p)�
O
A
B
B’
A’
O
A
B
B’
A’
�� �i
(A)A’
(B)
A
B’
B
�� �i
(A)A’
(B)
A
B’
B
( ’s)�
( a)�
O
A
B
B’
A’
Capítulo 2 - Estudo do Ponto
Simetria
Figura 1 - Simetria em relação ao Bissetor Ímpar
Figura 2 - Simetria em relação ao Bissetor Par
Figura 3 - Simetria em relação à Linha de Terra
Se dois pontos são simétricos em relação ao bissetor ímpar, em épura as
suas projeções de nomes contrários são simétricas em relação à linha de
terra.
Se dois pontos são simétricos em relação ao bissetor par, em épura as suas
projeções de nomes contrários são coincidentes.
Se dois pontos são simétricos em relação à linha de terra, em épura as
suas projeções de mesmo nome são simétricas em relação à linha de terra.
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Anotações
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Capítulo 2 -
Exercícios
I - Complete
1.Todo ponto situado acimadoplano horizontal de projeções, temcota __________ e os situados abaixo do referido plano, temcota ______.
2.Todo ponto situado à frente do plano vertical, temafastamento __________ e os situados atrás do referido plano, temafastamento ___________.
3.Baseado nas respostas anteriores, pode-se afirmar que todo ponto que esteja localizado em:
a) 1 diedro, temcota (+) (-) e afastamento (+) (-);
b) 2 diedro, temcota (+) (-) e afastamento (+) (-);
c) 3 diedro, temcota (+) (-) e afastamento (+) (-);
d) 4 diedro, temcota (+) (-) e afastamento (+) (-).
4. Desenhar a épura dos pontos abaixo, dados por suas coordenadas:
(A) (0;0;0)
(B) (2;1;3)
( C) (3;2;-2)
(D) (4;-3;-1)
(E) (5;-1;2)
o
o
o
o
0
== D’D
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K
K’
L’
L
M
M’
== N’N
==O’O
A
A’
B’
B
E’
E
J’
J
F’
F
G
G’
C’
C
T’
T
S
S’Q’
Q
Capítulo 2 -
Exercícios
II - Dadas as épuras dos pontos ao lado,
dê a localizaçãodecadaumdeles:
(A): ___________________
(B): ___________________
(C): ___________________
(D): ___________________
(E): ___________________
(F): ___________________
(G): ___________________
(J): ___________________
(K): ___________________
(L): ___________________
(M): ___________________
(N): ___________________
(O): ___________________
(P): ___________________
(Q): ___________________
(R): ___________________
(S): ___________________
(T): ___________________
015
Anotações
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Capítulo 2 -
Exercícios
III - Dar as coordenadas dos simétricos
dospontos abaixo em relaçãoa:
IIIa - Desenhar a épura de cada um dos
pontos e de seus simétricos no espaço ao
lado.
Observação:
(A) (0;0;0), simétrico de (F), em
relação a ( ’);
(B) (2;1;3), simétrico de (G), em
relação a ( );
(C ) (3;2;-2), simétrico de (J), em
relação ao ( i);
(D) (4;-3;-1), simétrico de (K), em
relaçao ao ( p);
(E) (5;-1;2), simétrico de (L), em
relação à Linha deTerra.
Utilizar uma única linha de
terra.
�
�
�
�
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