Geometria Plana Osvaldo Dolce

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,Materna
.:
Jo
OSVALDO DOLCE
JOSE NICOLAU POMPEO
FUNDAMENTOS DE
MATEMATICA 9
ELEMENTAR
GEOMETRIA PLANA
41 exercfcios resolvidos
971 exerdcios propostos com resposta
373 testes de vestibll1ares com resposta
7~ edic;ao
4~ reimpressao
~ATlJAJ.~EDrrORA
SUDlario
CAPITULO I - NO<;OES E PROPOSI<;OES PRIMITIVAS .. 1
I. No~oes primitivas 1
II. Proposi~oes primitivas 2
CAPITULO II - SEGMENTO DE RETA 7
Conceitos 7
CAPITULO III - ANGULOS 18
I. Introdu~ao 18
II. Defini~oes 20
III. Congruencia e compara~ao 22
IV. Angulo reto, agudo, obtuso - Medida 26
CAPiTULO IV - TRIANGULOS 36
I. Conceito - Elementos - Classifica~ao 36
II. Congruencia de triangulos 38
III. Desigualdades nos triangulos 54
Leitura: Euclides e a geometria dedutiva 59
CAPITULO V - PARALELISMO 61
Conceitos e propriedades 61
CAPITULO VI - PERPENDICULARIDADE 80
I. Defini~oes - Angulo reto 80
II. Existencia e unicidade da perpendicular..... 82
III. Proje~5es e distancia 85
CAPITULO VII - QUADRILA.TEROS OTA.VEIS 99
I. Quadrilatero - Defini~ao e elementos 99
II. Quadrilateros notaveis - Defini~5es 100
III. Propriedades dos trapezios 101
IV. Propriedades dos paralelogramos 103
V. Propriedades do retangulo, do losango e do quadrado 107
VI. ConseqiH~ncias - Bases medias 110
CAPITULO VlII - PONTOS NOTA.VEIS DO TRIANGULO 122
I. Barieentro - Medianas , 122
II. Incentro - Bissetrizes internas 124
III. Circuneentro - Mediatrizes 125
IV. Ortocentro - Alturas................................................ 126
Leitura: Papus: 0 epilogo da geometria grega , 130
CAPITULO IX - POLIGO OS........................................ 132
I. Defini~5es e elementos 132
II. Diagonais - Angulos internos - Angulos externos 136
CAPITULO X - CIRCU FERENCIA E CfRCULO 147
I. Defini~5es - Elementos 147
II. Posic,:5es relativas de reta e eircunfereneia 151
III. Posi~5es relativas de duas eireunferencias 155
IV. Segmentos tangentes - Quadrilateros circunseritiveis 156
CAPITULO XI - ANGULOS NA CIRCU FERENCIA 166
I. Congruencia, adi~ao e desigualdacte de areos 166
II. Angulo central 167
III. Angulo inserito 168
IV. Angulo de segmento ou angulo semi-inserito 173
CAPITULO XII - TEOREMA DE TALES 183
I. Teorema de Tales....... 183
II. Teorema das bissetrizes 190
Leitura: Legendre: por uma geometria rigorosa e didcitica 196
CAPITULO XIII - SEMELHANC;:A DE TRIA GULOS E
POTENCIA DE PONTO 198
I. Semelhan~a de triangulos 198
II. Casos ou criterios de semelhan~a 204
III. Potencia de ponto 212
CAPITULO XIV - TRIA GULOS RETANGULOS 220
I. Relac,:5es metricas 220
II. Aplica~5es do teorema de Pitagoras 239
CAPITULO XV - TRIANGULOS QUAISQUER 247
Rela~5es metricas e calculo de Iinhas notaveis 247
CAPITULO XVI - POLiGONOS REGULARES 267
Conceitos e propriedades 267
Leitura: Hilbert e a formaliza~ao da geometria 286
CAPiTULO XVII - COMPRIMENTO DA CIRCUNFERENCIA 288
Conceitos e propriedades 288
CAPiTULO XVIII - EQUIVALENCIA PLA A 300
I. Definii;oes 300
II. Redui;ao de poligonos par equivalencia 303
CAPiTULO XIX - AREAS DE SUPERFiCIES PLA AS ..... 312
I. Areas de superficies planas.......................................... 312
II. Areas de poligonos 315
III. Expressoes da area do triangulo 329
IV. Area do circulo e de suas partes :........................... 337
V. Razao entre areas 340
RESPOSTAS DOS EXERCiclOS 360
TESTES DE VESTmULARES 383
RESPOSTAS DOS TESTES............................................... 449
....---------- CAPITULO I
No~oes e
Proposi~oes
Primitivas
I. No(:5es primitivas
1. As nor6es (conceitos, termos, entes) geometricas sao estabelecidas par meio
de dejiniriio.
As nor6es primitivas sao adotadas sem definic;ao.
Adotaremos sem definir as noc;6es de:
PONTO, RETA E PLANO.
De cada urn desses entes temos conhecimento intuitivo, decorrente da ex-
periencia e da observaC;ao.
2. Nota{:oo de ponto, reta e plano
a) Com tetras
Ponto - letras maiusculas latinas: A, B, C,
Reta - letras minusculas latinas: a, b, c, .
Plano - letras gregas minusculas: 0', (3, 'Y, .
NOC;:OES E PROPOSIC;:OES PRIMITIVAS
b) Natar;6es grdficas
p
•
a ponto P. Areta r. a plano a.
M
•
II. Proposi~oes primitivas
3. As prapasir;6es (propriedades, afirmal;oes) geometricas sao aceitas me-
diante demanstrar;6es.
As prapasir;6es primitivas ou pastuladas ou axiamas sao aceitos sem de-
monstral;ao.
Iniciaremos a Geometria Plana com alguns postulados relacionando 0 pan-
ta, a reta e 0 plana.
4. Postulado da existencia
a) Numa reta, bern como fora dela, ha infinitos pontos.
b) Num plano ha infinitos pontos.
A expressao "infinitos pontos" tern 0 significado de "tantos pontos quan-
tos quisermos".
A figura ao lado indica uma reta
r e os pontos A, B, P, R, S e M, sendo
que:
A, Be P estao em r ou a reta r pas-
sa por A, Be P, ou ainda
A E r, B E r, PEr;
R, S e Mnao estao em r ou r nao
passa por R, S e M, ou ainda
R tt r, S tt r, M tt r.
s
•
NOC;:OES E PROPOSIC;:OES PRIMITIVAS
5. Posi~6es de dois pontos e de ponto e reta
Dados dois pontos A e B, de duas
uma:
ou A e B sao coincidentes
(e 0 mesmo ponto, urn so ponto, com
dois nomes: A e B)
ou A e B sao distintos.
Dados urn ponto P e uma reta r,
de duas uma:
ou 0 ponto Pesta na reta r
(a reta r passa por P)
PEr
ou 0 ponto P nao esta na reta r
(a reta r nao passa por P)
Ptt r
A.B
(A = B)
• •A B
(A ,r. B)
P
- r
(P E r)
P
•
(P $. r)
6. Pontos colineares sao pontos que pertencem a uma mesma reta.
as pontos A, Bee sao colineares.
7. Postulado da determina~ao
a) Da reta
T
as pontos R, SeT nao sao coli-
neares.
Dois pontos distintos determinam uma tmica (uma, e uma so) reta
que passa por eles.
as pontos A e B distintos deter-
minam a reta que indicamos por AB.
...(A ,r. B, A E r, B E r) =- r = AB
A expressao duas retas coinciden-
tes e equivalente a uma unica reta.
A
r = AS
•B
3
NOCOES E PROPOSICOES PRIMITIVAS
b) Do plano
Tres pontos nao eolineares determinam urn linieo plano que passa por eles.
Os pontos A, Be C nao eolinea-
res determinam urn plano ex que indiea-
mos por (A, B, C).
o plano ex e0 linieo plano que pas-
sa por A, B e C.
8. Postulado da inclusao
.6."
Se uma reta tern dois pontos distintos num plano, entao a reta esta
eontida nesse mesmo plano.
B
~
Ci
-(A -.c- B, r = AB, A E ex, B E ex) => r C ex
~
Dados dois pontos distintos A e B de urn plano, a reta r = AB tern
todos os pontos no plano.
9. Pontos coplanares sao pontos que perteneem a urn mesmo plano.
Figura e qualquer eonjunto de pontos.
Figura plana euma figura que tern todos os seus pontos num mesmo plano.
A Geometria Plana estuda as figuras planas.
10. Retas concorrentes
a) Definiriio
Duas retas sao concorrentes se, e
somente se, elas tern um unico ponto
eomum.
r n s = [PJ
4
~P
s
NOc;OES E PROPOSIc;OES PRIMITIVAS
b) Existencia
Usando 0 postulado da existencia
(item 4), tomemos uma reta r, urn pon-
to Pem r (P E r) e urn ponto Q fora
de r (Q f$. r).
as pontos P e Qsao distintos, pois
urn deles pertence are 0 outro nao.
Usando 0 postulado da determjna~ao(item 7a), consideremos a reta s de-
~
terminada pelos pontos P e Q (s = PQ).
As retas res sao distintas, pois se coincidissem 0 ponto Q estaria em r
(e ele foi construido fora de r), e 0 ponto P pertence as duas. Logo,
res sao concorrentes.
EXERCicIOS
1. Classifique em verdadeiro (V) au falso (F):
a) Par urn ponto passam infinitas retas.
b) Par dais pontos distintos passa uma reta.
c) Uma reta contem dais pontos distintos.
d) Dois pontos distintos determinam uma e uma s6 reta.
e) Por tres pontos dados passa uma s6 reta.
2. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Tres pontos distintos sao sempre colineares.
b) Tres pontos distintos sao sempre coplanares.
c) Quatro pontos todos distintos determinam duas retas.
d) Por quatro pontos todos distintos pode passar uma s6 reta.
e) Tres pontos pertencentes a urn plano sao sempre colineares.
NOC;:OES E PROPOSIC;:OES PRIMITIVAS
3. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Quaisquer que sejam os pontos A e B, se A edistinto de B, entao existe uma
reta Q tal que A E Q e B E Q.
b) Quaisquer que sejam os pontos P e Q e as retas res, se P e distinto de Q, e
P e Q pertencem as retas res, entao r = s.
c) Qualquer que seja uma reta r, existem dois pontos A e B tais que A edistinto
de B, com A Ere B E r.
d) Se A = B, existe uma reta r tal que A, B E r.
4. Usando quatro pontos todos distintos, sendo tres deles colineares, quantas retas
podemos construir?
5. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Duas retas distintas que tern urn ponto comum sao concorrentes.
b) Duas retas concorrentes tern urn ponto comum.
c) Se duas retas distintas tern urn ponto comum, entao elas possuem urn unico pon-
to comum.
CAPITULO II
Segmento de Reta
Conceitos
11. A noc;ao estar entre euma noc;ao primitiva que obedece aos postulados
(ou axiomas) que seguem:
A
•p •B
Quaisquer que sejam os pontos A, Be P:
1) Se Pesta entre A e B, ~ntao A, Be P sao colineares;
2) Se Pesta entre A e B, entao A, Be P sao distintos dois a dois;
3) Se Pesta entre A e B, entao A nao esta entre P e B nem B esta entre
A eP;
e ainda
4) Quaisquer que sejam os pontos A e B, se A edistinto de B, entao exis-
te urn ponto P que ~sta entre A e B.
7
SEGMENTO DE RETA
12. Segmento de reta - defini~ao
Dados dois pontos distintos, a reuniao do conjunto desses dois pon-
tos com 0 conjunto dos pontos que estao entre eles eurn segmento de reta.
Assim, dados A e B, A ,c B, a segmento de reta AB (indicado par AB) e0
que segue:
.
A
x
•
B A B
AB = [A, BJ U [X IX estd entre A e B]
Os pontos A e B sao as extremidades do segmento AB e as pontos que
estao entre A e B sao pontos internos do segmento AB.
Se os pontos A e B coincidem (A = B), dizemos que 0 segmento AB e0
segmento nu/o.
13. Semi-reta - defini~ao
Dados dois pontos distintos A e B, a reuniao do segmento de reta
AB com 0 conjunto dos pontos X tais que B esta entre A eX ea semi-reta
-AB (indicada por AB).
-o ponto A e a origem da semi-reta AB:
A B x
--AB AB U [X IB estd entre A e Xl
- -Se A esta entre B e C, as semi-retas AB e AC sao ditas semi-retas opostas.
..
---AB
.
B A
---AC
C
SEGMENTO DE RETA
14. Resumo
Considerando dois pontos distintos A e B, temos:
~
Areta AB:
.. • • •A B
o segmento AB: • •A B
-
a'
A semi-reta AB (ou Aa'): • • ~A B
-A semi-reta oposta a AB
(ou semi-reta Aa"): a".. •
-
A
A semi-reta BA (ou Ba"): a"
.. • •
-
A B
A semi-reta oposta a BA
(ou semi-reta Ba'): a'
• ~B
-+
semi-reta Aa" semi-reta AB = Aa'
a" \( B a'.. !\ ~a segmento AB
-+ semi-reta Ba'semi-reta BA = Ba"
- -Notamos ainda que: AB AB n BA.
15. Segmentos consecutivos
Dois segmentos de reta sao consecutivos se, e somente se, uma extremi-
dade de urn deles e tambern extremidade do outro (uma extremidade de urn
coincide com uma extremidade do outro).
B
o
A
AB e Be sao
consecutivos
c
M N
MNe NP sao
consecutivos
p R~
S
RS eST sao
consecutivos
9
SEGMENTO DE RETA
16. Segmentos colineares
Dois segmentos de reta sao colineares se, e somente se, estao numa mes-
rna reta.
A • •Be o M N ..p R T s
AS e CD sao colineares MN e NP sao colineares RS e ST sao colineares
(nao sao consecutivos) (e consecutivos) (e consecutivos)
17. Segmentos adjacentes
Dois segmentos consecutivos e co/ineares sao adjacentes se, e somente se,
possuem em comum apenas uma extremidade (nao tern pontos internos comuns).
M N p R T s
MN e NP sao adjacentes (sao con-
secutivos colineares, tendo somente
N comum)
MN n NP = [N]
18. Congruencia de segmentos
RS e ST nao sao adjacentes (sao con-
secutivos colineares e alem de Stem
outros pontos comuns)
RS n ST = ST
A congruencia (simbolo: ==) de segmentos e uma nOyaO primitiva que sa-
tisfaz os seguintes postulados:
1) Reflexiva. Todo segmento e congruente a si mesmo: AB == AB.
- - --
2) Simetrica. Se AB == CD, entao CD == AB.
- - - -3) Transitiva: Se AB == CD e CD == EF, entao AB == EF.
10
A
C
~ E F
SEGMENTO DE RETA
4) Postulado do transporte de segmentos
~~
Dados urn segmento AB e uma se-
mi-reta de origem A', existe sobre esta
semi-reta urn unico pon~ B' tal que
A'B' seja congruente a AB.
19. Comparafoo de segmentos
A
-
B
..
Dados dois segmentos AB e CD, pelo postulado do transporte podemos
-. - -
obter na semi-reta AB urn ponto P tal que AP == CD. Temos tres hip6teses a
considerar:
I ~) 2~) 3~)
C D C 0 c
IH
0
• • • ~ • • •I
A~CD A~CD
p B = P
B
AB > CD AB == CD AB < CD
1.2-a ponto Pesta entre A e B. Neste caso, dizemos que AB emaior que
CD (AB> CD).
2~a ponto P coincide com B. Caso em que AB e congruente a
CD (AB == CD).
~) a-..£onto !!..-esta entre A e P. Neste caso, dizemos que AB emenor
que CD CAB < CD).
11
SEGMENTO DE RETA
20. AdifQO de segmentos
Dados dois segmentos AB e CD, tomando-se numa semi-reta qualquer
de origem R os segmentos adjacentes RP e PT tais que
- - - -
RP == AB e PT = CD,
dizemos que 0 segmento RT ea soma de AB com CD.
B
~
• •
II
C
~
. ~
RP == AB
PT == CD
R P T
RT = AB + CD e tambem RT RP + PT
o segmento RS, que ea soma de n segmentos congruentes a AB, emlil-
tiplo de AB segundo n (RS = n . AB). Se RS = n . AB, dizemos que AB e
submliltiplo de RS segundo rL.
A B
•
RS = 5· AB
R
• •
S
21. Ponto medio de um segmento
a) Dejinirao
Urn ponto M e ponto medio do
segmento AB s~ somente se, M esta
entre A e BeAM == MB. A M B
M E AB e MA == MB
b) Unicidade do ponto medio
Se X e Y distintos (X .,e Y) fossem pontos medios de AB, teriamos:
AX == XB (1) e AY == YB (2)
By X.....-------...---...Ax y----_.....-----.BA
12
X esta entre A e Y =>
e
Y esta entre X e B =>
Y esta entre A eX=>
e
X esta entre Y e B =>
AY > AX] (I)
- - =>
XB > YB
ou
- -]AX> AY (2)
YB> XB =>
SEGMENTO DE RETA
AY > AX == XB > YB, 0 que
e absurdo, de acordo com (2)
AX > AY = YB > XB, 0 que
e absurdo, de acordo com (1)
Logo, 0 ponto medio de AB e unieo.
c) A existeneia do ponto medio esta provada no item 56.
22. Medida de um segmento - comprimento
A medida de urn segmento AB sera Indieada por m (AB) ou simplesmen-
te por AB.
A medida de urn segmento (nao nulo) e urn numero real positivo associa-
do ao segniento de forma tal que:
I?) Segmentos eongruentes tern medidas iguais e, reciprocamente, seg-
mentos que tern medidas iguais sao eongruentes.
AB == CD <=> m(AB) = m(CD)
2?) Se umsegmento e maior que outro, sua medida e maior que a deste
outro.
AB > CD <=> m(AB) > m(CD)
3?) A urn segmento soma esta associada uma medida que e a soma das
medidas dos segmentos parcelas.
RS = AB + CD <=> m(RS) = m(AB) + m(CD)
A medida de urn segmento da-se 0 nome de eomprimento do segmento.
Em geral, associa-se urn numero (medida) a urn segmento estabelecendo
a razao (quociente) entre este segmento e outro segmento tornado como unidade.
o segmento unitario usual e 0 metro (m). Seus muItiplos - decametro
(dam), hectometro (hm) e quilometro (km) - ou submultiplos - decimetro
(dm), centimetros (em) e milimetro (mm) - tambern sao utilizados.
23. Nota
A congruencia, a desigualdade e a adiCao de segmentos, aliadas ao postula-
do de Eudoxio-Arquimedes (Eudoxio: 408-355 a.C.; Arquimedes: 278-212 a.c.),
Gujo enunciado e:
13
SEGMENTO DE RETA
" dados dois segmentos, existe sempre urn multiplo de urn deles que su-
pera 0 outro", permitem-nos estabelecer a razao entre dois segmentos quais-
quer. Podemos
entao medir urn deles tomando 0 outro como unidade de com-
primento.
24. Distancia entre dais pantas
a) Distiincia geometrica
Dados dois pontos distintos A e B,
a distancia entre A e B (indicada por
dA B) e 0 segmento AB ou qualquer
segmento congruente a AB.
b) Distiincia metrica
A
8
Dados dois pontos distintos A e B, a distancia entre A e B e a medida
(numero, comprimento) do segmento AB.
Se A e B coincidem, dizemos que a distancia geometrica entre A e B e
nula e a distancia metrica e igual a zero.
EXERCicIOS
6. Se 0 segmento AB mede 17 em, determine 0 valor de x nos casos:
a)
A
•
p 8
b)
p B A
14
'~ ~
x 7cm x
21 em
c) d)
'I( -3
A P B A 8,.....--J'----.
• • • • .p
v ''---y----J
X + 3 -x 2x
SEGMENTO DE RETA
7. Determine x, sendo M ponto medio de AB:
a)
A
•
M
•
B
•
b)
A
•
M
•
B
~~
2x - 3 x + 4
8. Determine PQ, sendo AB = 31:
~ ~
~~-- .....v~-~
9 2x - 3
x - 1
~A. • Q•
B
•
A
•
p
•
B
•
Q
•
------,2""'xr---~7+1
9. Determine AB, sendo M ponto medio de AB:
a)
A M
•
B
b)
A
•
M
•
B
•
p
4x - 5
10. Quantas semi-retas hci numa reta, com origem nos quatros pontos A, B, C e D
da reta?
11. Tres pontos distintos de uma reta quantos segmentos distintos podem determinar?
12. Quantos segmentas hci que passam pelos pontos A e B distintos? Quantos hci com
extremidades A e B?
13. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Se dois segmentos sao consecutivos, entao eles sao colineares.
b) Se dois segmentos sao .colineares, entao eles sao consecutivos.
c) Se dois segmentos sao adjacentes, entao eles sao colineares.
d) Se dois segmentos sao colineares, entao eles sao adjacentes.
e) Se dois segmentos sao adjacentes, entao eles sao consecutivos.
f) Se dois segmentos sao consecutivos, entao eles sao adjacentes.
15
SEGMENTO DE RETA
14. 0 segmento AB de uma reta e igual ao quintuplo do segmento CD dessa mesma
reta. Determine a medida do segmento AB, considerando como unidade de medida
a quinta parte do segmento CD.
15. P, A e B sao tres pontos distintos de uma reta. Se Pesta entre A e B, que rela~ao
deve ser valida entre os segmentos PA, PB e AB?
16. P, Q e R sao tres pontos distintos de urn reta. Se PQ ~igu~ao triplo de
QR e PR = 32 em, determine as medidas dos segmentos PQ e QR.
Solu~io
Temos duas possibilidades:
1~) Q esta entre PeR
3x x
~~~
p ••------.---..... RQ
32
2~) R esta entre P e Q
32 X
~ --"A ~,----A--..
p ••---------......t----_.Q
R
3x
3x + x = 32 = x = 8
PQ = 24· QR = 8
Resposta: PQ = 24 em e QR = 8 em
3x = 32 + x = x = 16
PQ = 48 QR = 16
ou PQ = 48 em e QR = 16 em.
17. Os segmentos AB e BC, BC e CD sao adjacentes, de tal maneira que AB e 0
triplo de BC, BC eo dobro de CD, e AD = 36 em. Determine as medidas dos
segmentos AS, BC e CD.
18. Sejam P, A, Q e B pontos dispostos sobr~ma~ta r, nessa ordem. Se PA e QB
sao segmentos congruentes, mostre que PQ e AB sao congruentes.
19. Se A, B e C sao pontos colineares, determine AC, sendo AB = 20 em e
BC = /2 em.
20. AB e BC sao dois segmentos adjacentes. Se AB eo quintuplo de BC e AC = 42 em,
determine AB e Be.
21. Sendo AB e BC segmentos colineares consecutivos, AB 0 quadruplo de BC e
AC = 45 em, determine AB e BC.
22. Numa reta r, tomemos os segmentos AB e BC e urn ponto P de modo que AB
seja 0 quintuplo de PC, BC seja 0 quadruplo de PC e AP = 80 em. Sendo
MeN os pontos medios de AB e BC, respectivamente, determine MiV.
16
SEGMENTO DE RETA
23. Sejam quatro pontos A, B, C, D dispostos sobre uma mesma reta r, nessa ordem, e
tais que AB e CD sejam congruentes. Demonstre que os segmentos AD e BC
tern 0 mesmo ponto medio.
24. Sejam quatro pontos A, B, C, D dispostos sobre uma mesma reta, nessa ordem, e tais
que os segmentos AC e BD sejam congruentes. Demonstre que os segmentos
AB e CD sao congrutlltes e que as segmentos BC e AD tern 0 mesmo ponto medio.
25. Sejam MeN os pontos medios, respectivamente, dos segmentos AB e BC, con-
tidos numa mesma reta, sendo AB == BC, com A '" C. Demonstre que MN e can·
gruente a AB.
26. Dados tres pontos A, B, C sobre uma mesma reta, consideremos MeN os pon-
tos medios dos segmentos AB e Be. Demonstre que MN e igual a semi-soma ou a
semidiferen~a dos segmentos AB e BC.
27. Seja AB urn segmento de reta e M 0 seu ponto medio. Consideremos urn ponto P
entre os pontos Me B. Demonstre que PM e dado pela semidiferen~a positiva entre
PA e PB.
Solm;ao
lndicando a medida de AB por
20 e a de PM por x, temos:
A
•
a
x
,--."----.
M P
• •
a
B
•
PA = a + xl == PA - PB
PB = a - x J 2x == x
PA - PB
2 ==
== PM PA - PB2
28. Consideremos sobre uma reta,. urn segmento fixe AB e urn ponto movel P. Seja
M a ponto medifJ de AP eN a ponto medio de BP. 0 que podemos dizer a res-
peito do segmento MN?
CAPITULO III
A
Angulos
I. Introdu~ao
25. Regiao can vexa
Urn conjunto de pontos r; econvexo (ou euma regiao convexa) se, e so-
mente se, dois pontos distintos quaisquer A e B de r; sao extremidades de urn
segmento AB contido em r;, ou se r; e unitcirio, ou se r; e vazio.
Exemplos
1) Uma reta r e urn conjunto de pontos convexo, pois
A B
VA, VB, Vr (A ,c B, A E r, B E r => AB C r)
2) Urn plano a euma regiao convexa, pois, se A e B sao dois pontos dis-
tintos de a, 0 segmento AB estci contido em a.
~
VA, VB, Va (A ,c B, A E a, B E a => AB C a => AB C a)
18
ANGULOS
3) Urn segmento de reta tambem e uma figura convexa:
R
•
A B s
vA, VB, "IRS (A -;e B, A E RS, B E RS =- AB C RS)
4) Temos a seguir tres figuras ainda nao definidas que sao convexas:
A
~ A----B
AB C E1
regiao convexa
AB c Ez
conjunto de pontos convexo
AB C E3
figura convexa
26. Se uma regiao niio e convexa, ela e uma regiao concava.
Exemplos
E' E" E'"
AB et E'
E' e c6ncava
AB et E"
E" e c6ncava
AB et E'"
E'" e uma regiao c6ncava
19
ANGULOS
27. Postulado da separa{:Qo dos pontos de um plano
Vma reta r de urn plano Ci. separa este plano em dois conjuntos de pontos
Ci.' e Ci. u tais que:
a) Ci.' n Ci. u = 0
b) Ci.' e Ci. u sao convexos.
c) A E Ci.', B E Ci. u ==> AB n r ~ 0 cl
as pontos de Ci. que nao pertencem areta r formam dois conjuntos tais que:
• cada urn deles e convexo e
• se A pertence a urn deles e B pertence ao outro, entao 0 segmento AB
intercepta a reta r.
28. Semiplano - defini{:Qo
Cada urn dos dois conjuntos (Ci.' e Ci. U ) e chamado semiplano aberto.
as conjuntos r U Ci.' e r U Ci. u sao semiplanos.
Areta rea origem de cada urn dos semiplanos.
Ci.' e Ci. u sao semiplanos opostos.
II. Definic;oes
29. Chama-se lingulo a reuniao
de duas semi-retas de mesma ori-
gem, nao contidas numa mesma
reta (nao colineares).
~ ~ ~
AOB = OA U OB
o ponto Oe 0 vertice do angulo.
~ --3i0..
As semi-retas OA e OB sao os
lados do angulo.
a
AOB
a
A b
aOb = ab
30. Interior do angulo AGB e a interseriio de dois semipianos abertos, a saber:
~
Ci. 1 com origem na reta OA e que contem 0 ponto B e
~
(31 com origem em OB e que contem 0 ponto A.
Interior de AGB = Ci., n (31'
20
ANGULOS
o interior de urn angulo e convexo.
Os pontos do interior de urn angulo sao pontos internos ao angulo.
A reuniao de urn angulo com seu interior e urn setor angular ou angulo
completo e tambem e conhecido por "angulo convexo".
~1
.... .t..
.... \
o!,
.... ~1
s ..... ..J...
31. Exterior do angulo AGB e 0 conjunto dos pontos que nao pertencem nem
ao angulo AGB nem ao seu interior.
o exterior de AGB e a reuniiio de dois semipIanos abertos, a saber:
~
a2 com origem na reta OA e que nao contem 0 ponto B (oposto ao a 1) e
~
{32 com origem na reta OB e que nao contem 0 ponto A (oposto ao (31)'
Exterior de A GB = a 2 U {32'
o exterior de urn angulo e concavo.
Os pontos do exterior de urn angulo sao pontos externos ao angulo.
A reuniao do angulo com seu exterior tambern e conhecida por "angulo
c6ncavo" .
32. Angulos consecutivos
Dois angulos sao consecutivos se, e somente se, urn lade de urn deles e
tambem lade do outro (urn lado de urn deles coincide com urn lado do outro).
c
a
AGB e AGe sao
consecutivos
---+(OA e 0 lade comum).
AGe e BGe sao
consecutivos
---+(oe e 0 lade comum).
A
AGB e BGe sao
consecutivos
---+(OB e 0 lade comum).
21
ANGULOS
33. Angulos adjacentes
Dois angulos consecutivos sao ad-
jacentes se, e somente se, nao tern pon-
tos internos comuns.
AOR e ROC sao angulos adja-
centes.
OeoE--'-'-r-------+---
34. Angulos opostos pelo vertice (o.p. v.)
Dois angulos sao opostos pelo ver-
tice se, e somente se, os lados de urn de-
les sao as respectivas semi-retas opostas
aos lados do outro.
-+ -+ ]OA e OC opostas
-+ -+
OB e OD opostas
=> AOB e COD sao opostos pelo vertice.
Notemos que duas retas concorrentes determinam dois pares de angulos
opostos pelo vertice.
III. Congruencia e compara~ao
35. A congruencia (simbolo ==) entre angulos e uma no~ao primitiva que sa-
tisfaz os seguintes postulados:
I?) Reflexiva. Todo angulo e congruente a si mesmo: at == at.
2?) Simetrica. Se at = cd, entao td == at.
3?) Transitiva. Se at == c'd e c~ == <f'f, entao at == d.
22
ANGULOS
4?) Postulado do transporte de dngulos
Dados urn angulo ADB e uma semi-reta aA' de urn plano, existe
---sabre este plano, e num dos semiplanas que 0'A' permite determinar,
--- --- ~uma unica semi-reta 0'B' que forma com 0'A' urn angulo A' 0'E'
congruente ao angula AGE.
o
36. Compara(:Qo de angulos
Dados dois angulos AGE (au aOb ou a~) e C?D (ou cPd au Cd), pelo
postulado do transporte podemos obter, no semiplano que tern origem em
OA e contem E, uma semi-reta oj)' (Od' ou d') tal que ad' =0 Cd. Temos
tres hip6teses a considerar:
2~) 3~)
d d
p
C
c c
b = d' d'
0
a a
A A I
ab == cd ab < cd
23
o
p
ANGULOS
l~) A semi-reta d' e interna a ab (d' tern pontos -internos a ab). este
caso, dizemos que ab e maior que cd (ab > cd).
-+- -+-2~) A serni-reta d' coincide com b (OD' = DB). Neste caso, ab e
congruente a ea (at, = cd).
3~) A semi-reta d' eexterna a abo Neste caso, dizemos que ab emenor
que cd (ab < cd).
37. AdifQO de dngulos
Se a semi-reta Db einterna ao an-
gulo aOe, 0 angulo aOe esoma dos an-
gulos aOb e bOe.
c
o ,a
Dados dois angulos ab e cd, se existem rs == ab e sf == ea tais que s e
interna a rt, dizemos que 0 angulo Tt ea soma de ab e ca.
a
d
c s
it=ab+td rt rs+st
o angulo is que e~oma de n angulos ~h, se existir, echamado mz1ltiplo
de ab segundo n (is = n . ab).
Se ab = n . cd, dizemos que ea e5ubmz1ltiplo de a~b segundo n.
b
~
a
24
ANGULOS
38. Bissetriz de um angulo
a) Dejinirao
Vma semi-reta Oc interna a urn
angulo aOb e bissetriz do angulo aOb
se, e somente se,
aOc == bOc. o
a
A bissetriz de urn angulo euma semi-reta interna ao angulo, com origem
no vertice do angulo e que 0 divide em dois angulos congruentes.
b) Unicidade da bissetriz
Se Ox e Oy distintas (Ox ,c Oy) fossem bissetrizes de aOb, teriamos:
aOx == bOx (1) e aOy = bOy (2)
o~:::l:::;~----__
a
b
o -......-...........il
a
Ox interna a aOy :=>
e
Oy interna a xOb :=>
Oy interna a aOx :=>
e
Ox interna a yOb :=>
ay > ~]
~h > yb
ax >~]
yh > xb
(I)
:=>
ou
(2)
:=>
ay>ax==~h>yh
o que eabsurdo, de acordo com (2)
ax > ely == ih > ~h
o que eabsurdo, de acordo com (1)
Logo, a bissetriz de urn angulo e unica.
c) A existencia da bissetriz esta provada no item 57.
25
ANGULOS
IV. Angulo reto, agudo, obtuso - Medida
39. Angulo suplementar adjacente
Dado 0 angulo AGB, a semi-reta
- -OC oposta asemi-reta OA e a semi-reta
- -OB determinam urn angulo BOC que se
chama lingulo suplementar adjacente ou
suplemento adjacente de AGB.
40. Angulos: reto, agudo, obtuso
c o A
Angulo reto e todo angulo congruente a seu suplementar adjacente.
Angulo agudo e urn angulo menor que urn angulo reto.
Angulo obtuso e urn angulo maior que urn angulo reto.
b
d
_______ :-•..L......L__-.
a c e
ab e reto cd e agudo ef e obtuso
41. Medida de um angulo - amplitude
A medida de urn angulo AGB sera indicada por m(AGB).
A medida de urn angulo eurn numero real positivo associado ao angulo
de forma tal que:
I?) Angulos congruentes tern medidas iguais e, reciprocamente, angulos
que tern medidas iguais sao congruentes.
AGB == CPD *==? m(AGB) = m(CPD)
2?} Se urn angulo emaior que outro, sua medida emaior que a deste outro.
AGB > CPD *==? m(AGB) > m(CPD)
26
ANGULOS
3?) A urn iingulo soma esta associada urna rnedida que e a soma das rne-
didas dos angulos parcelas.
;t == ~h + C'd = rn(;t) = rn(~h) + rn(cd)
A rnedida de urn angulo da-se 0 nome de amplitude do angulo.
Em geral, associa-se urn nurnero a urn angulo estabelecendo a razao (quo-
ciente) entre este angulo e outro angulo tornado como unidade.
42. Unidades de medida de angulos
Angulo de um grau (l 0) e 0 angulo subrnultiplo segundo 90 (noventa) de
urn angulo reto.
angulo de urn grau = angulo reto
90
Urn angulo reto tern 90 graus (90°).
A rnedida de urn angulo agudo e rnenor que 90 0 (urn angulo agudo tern
rnenos de 90 0 ).
A rnedida de urn angulo obtuso e rnaior que 90 0 (urn angulo obtuso tern
rnais de 90 0 ).
A rnedida a de urn angulo e tal que:
0° < a < 180°
Angulo de um minuto (l ') e 0 angulo subrnultiplo segundo 60 (sessenta)
do angulo de urn grau.
l' =~
60
Urn grau tern 60 rninutos (60').
Angulo de urn segundo (l ") e 0 angulo subrnultiplo segundo 60 (sessen-
ta) do angulo de urn rninuto.
1" = _1_'
60
Urn rninuto tern 60 segundos (60").
Angulo de um grado (1 gr) e 0 angulo subrnUitiplo segundo 100 (cern) de
urn angulo reto.
angulo de urn grado = angulo reto
100
Dos subrnultiplos do grado, dois se destacarn:
• 0 centigrado (0,01 gr), tambern charnado rninuto de grado, e
• 0 decirniligrado (0,0001 gr), tarnbern charnado segundo de grado.
27
ANGULOS
43. Angulos complementares e angulos suplementares
Dois angulos sao complementares se, e somente se, a soma de suas medi-
das e90°. Urn deles e 0 complemento do outro.
Dois angulos sao suplementares se, e somente se, a soma de suas medidas
e 180°. Urn deles e 0 suplemento do outro.
44. Angulo nulo e angulo raso
Pode-se estender 0 conceito de angulo para se ter 0 iingulo nulo (cujos
lados sao coincidentes) ou 0 iingulo raso (cujos lados sao semi-retas opostas).
Entao, a medida a de urn angulo e tal que
0° ~ a ~ 180°
EXERCicIOS
29. Simplifique as seguintes medidas:
a) 30°70'
b) 45° 150'
c) 65°39' 123"
30. Determine as somas:
a) 30°40' + 15°35'
b) 10°30'45" + 15°29'20"
31. Determine as diferencas:
a) 20°50'45" - 5°45'30"
b) 31 °40' - 20°45'
32. Determine os produtos:
a) 2 x (10°35'45")
d) 110°58'300"
e) 30°56'240"
c) 90°15'20" - 45°30'50"
d) 90° - 50°30'45"
b) 5 x (6015'30")
33~ Determine as divis6es:
a) (46°48'54") : 2
28
b) (31°32'45"): 3 c) (52°63'42") : 5
ANGULOS
34. Determine 0 valor de x nos casos:
a)
b)
c)
30°
x
d)
e)
4x + 30°
2x ~
4x - 25°
~
x
35. Oa e Ob sao duas semi-retas colineares opostas. Oc e uma semi-reta qualquer. Os
iingulos aOc e cOb sao adjacentes? Sao suplementares?
36. Se dois iingulos sao opostos pelo vertice, entao eles sao congruentes.
Dois iingulos o.p.v. sao congruentes.
Solu~iio
AOB e COD sao o.p.v.
'~---v J
Hipotese
=> AOB == COD
'----v--'
Tese
Demonstrafiio
Considerando AOB de medida x
e COD de medida y opostos pelo
vertice e 0 iingulo BOC de medi-
da Z, temos:
x + z = 1800 ]Y + Z = 1800 => x = y => AOB == COD
29
ANGULOS
37. Determine 0 valor de x nos casos:
a)
38. Determine 0 valor de Ci nos casos:
b)
a) b)
IX
c)
IX
----+- -39. Se OP e bissetriz de AOB, determine x nos casos:
a)
OoE---+--------
b)
o
p
A
40. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Dois angulos consecutivos sao adjacentes.
b) Dois angulos adjacentes sao consecutivos.
c) Dois angulos adjacentes sao opostos pelo vertice.
d) Dois angulos opostos pelo vertice sao adjacentes.
e) Dois angulos opostos pelo vertice sao consecutivos.
30
ANGULOS
41. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Dois angulos suplementares sao adjacentes.
b) Dois angulos complementares sao adjacentes.
c) Dois angulos adjacentes sao complementares.
d) Os angulos de medida J0 0 , 20° e 60° sao complementares.
e) Os angulos de medida 30°, 60° e 90° sao suplementares.
42. Os angulos da figura a seguir sao complementares? Sao adjacentes?
60°
43. Calcule 0 valor de x no caso ao lade,
em que m(rOs) = 90°.
s
44. A soma de dois angulos adjacentes e 120°. Calcule a medida de cada angulo, sa-
bendo que a medida de urn deles e a diferen~a entre 0 triplo do outro e 40°.
45. Calcule 0 complemento dos seguintes angu!os:
46. Calcule 0 suplemento dos seguintes angulos:
a) 72° b) 141 ° c) 93°15'
47. Dado urn angulo de medida x, indique:
a) seu complemento;
b) seu suplemento;
c) 0 dobro do seu complemento;
d) a metade de seu suplemento;
e) 0 triplo de seu suplemento;
f) a setima parte do complemento;
g) a quinta parte ·do suplemento;
h) 0 complemento da sua ter~a parte;
i) 0 triplo do suplemento da sua quin-
ta parte.
31
ANGULOS
48. De a medida do angulo que vale 0 dobra do seu complemento.
49. Determine a medida do angulo igual ao triplo do seu complemento.
50. Calcule 0 angulo que vale 0 quadruplo de seu complemento.
51. Calcule urn angulo, sabendo que urn quarto do seu suplemento vale 36°.
52. Qual e 0 angulo que excede 0 seu complemento em 76°?
Solm.ao
angulo -+ x complemento -+ 900 - x
"Angulo menos complemento e igual a 76°."
x - (90° - x) = 76° ~ 2x = 1660 ~ x = 83°.
Resposta: 0 angulo mede 83°.
53. Qual e 0 angulo que excede 0 seu suplemento em 66°?
54. Determine urn angulo, sabendo que 0 seu suplemento excede 0 proprio angulo em
70°.
55. Qual e 0 angulo que somado ao triplo do seu complemento da 210°?
56. Urn angulo excede 0 seu complemento em 48°. Determine 0 suplemento desse
angulo.
57. 0 suplemento de urn angulo excede este angulo em 120°. Determine 0 angulo.
58. 0 complemento da ter~a parte de urn angulo excede 0 complemento desse angulo
em 30°. Determine 0 angulo.
Solu~ao
angulo --+ x
complemento da ter~a parte
complemento do angulo --+ 90° - x
90° -~
3
32
(900 - ~) - (90 - x) = 30° ~ 2x
Resposta: 0 angulo mede 45°.
90° ~ x
ANGULOS
59. 0 suplemento do triplo do complemento da metade de urn angulo eigual ao triplo
do complemento desse angulo. Determine 0 angulo.
60. 0 suplemento do complemento de urn angulo excede a ter~a parte do complemen-
to do dobro desse angulo em 85°. Determine 0 angulo.
61. Dois angulos sao suplementares e a razao entre 0 complemento de urn e 0 suple-
mento do outro, nessa ordem, e ~ . Determine esses angulos.
Solu~ao
x e y sao as medidas dos angulos.
complemento de urn: 90° - x suplemento do outro: 180° - y
[
X + Y = 180° [y = 1800 - x [x 800
90° - x =...!... ~ 7200 - 8x = 1800 - y ~ y 1000
180° - y 8
Resposta: Os angulos medem 80° e 100°.
62. Dois angulos estao na rela~ao ~ . Sendo 130° sua soma, determine 0 complemento
do menor.
63. Determine dois angulos suplementares, sabendo que urn deles e0 triplo do outro.
64. Dois angulos sao suplementares. Urn deles e 0 complemento da quarta parte do
outro. Calcule esses angulos.
65. A raziio entre dois angulos suplementares eigual a ~ . Determine 0 complemento do
menor.
66. Determine 0 complemento de urn angulo, sabendo que a razao entre 0 angulo e seu
I .. I 5comp emento e Igua a 4'
67. 0 complemento de urn angulo esta para 0 seu suplemento como 2 para 7. Calcule
a medida do angulo.
33
ANGULOS
68. 0 triplo do complemento de urn angulo, aumentado em 50°, e igual ao suplemento
do angulo. Determine a medida do angulo.
69. Determine as medidas de dois angulos suplementares, sabendo que 0 dobro de urn
deles, somado com a setima parte do outro, resulta 100°.
70. A soma de urn angulo com a ten;:a parte do seu complemento resulta 46°. Determi-
ne 0 suplemento desse angulo.
71. Determine dois angulos complementares tais que 0 dobro de urn, aumentado da
ten;:a parte do outro, seja igual a urn angulo reto.
72. Na figura, 0 angulo x mede a sexta par-
te do angulo Yl mais a metade do an-
gulo z. Calcule 0 angulo y.
73. Os angulos ex e {3 sao opostos pelo vertice. 0 primeiro e expresso em graus por
9x - 2 e 0 segundo por 4x + 8. Determine esses angulos.
74. Cinco semi-retas partem de urn mesmo ponto V, formando cinco angulos que co-
brem todo 0 plano e sao proporcionais aos numeros 2, 3, 4, 5 e 6. Calcule 0 maior
dos angulos.
75. Demonstre que as bissetrizes de dois angulos opostos pelo vertice sao semi-retas
opostas.
76. Demonstre que as bissetrizes de dois angulos adjacentes e suplementares formam
angulo reto.
Solu~ao
34
Hip6tese
rOs e sOt adjacentes ]
e suplementares
Ox e Oy respectivas
bissetrizes.
Tese
=0> xOy e reto ,,¥,
,
\
\
\
b
o
s
ANGULOS
DemonSlrar;iio
Sejam a·a medida de rOx e xOs e b a medida de sOy e yOI.
a + a + b + b = 1800 = 2a + 2b = 1800 = a + b = 900 = xOye
reto.
77. Demonstre que as bissetrizes de dois iingulos adjacentes e complementares formam
urn iingulo de 45°.
78. Dois iingulos adjacentes somam 136°. Qual a medida do iingulo formado pelas suas
bissetrizes?
79. As bissetrizes de dois iingulos consecutivos formam urn iingulo de 5r. Se urn deles
mede 40°, qual e a medida do outro?
CAPITULO IV
Triangulos
I. Conceito - Elementos - Classifica«;ao
45. Defini~ao
B L-JiL- ......UJ.~ C
a
Dados tres pontos A, B e C nao
colineares, areuniao dos segmentos AB,
ACe BC chama-se triangu/o ABC.
IndicaC;ao:
triangulo ABC = .6,ABC
- -
.6,ABC = AB U AC U BC
46. Elementos
c
A
b
Vertices: os pontos A, B e C sao os vertices do .6,ABC.
Lados: os segmentos AB (de medida c), AC (de medida b) e BC (de medi-
da a) sao os /ados do triangulo.
Angu/os: os angulos BAc ou A, ABC ou Be ACB ou C sao os angu/os
do MBC (ou angulos internos do MBC).
Diz-se que os lados BC, AC e AB e os angulos A, B e C sao, res-
pectivamente, opostos.
36
TRI.A.NGULOS
47. Interior e exterior
Dado urn triangulo ABC, vamos considerar os semipIanos abertos, a saber:
-++
(XI com origem na reta BC e que contem 0 ponto A,
(X2 oposto a (XI'
-(3, com origem na reta AC e que contem 0 ponto B,
(32 oposto a (31'
-1'1 com origem na reta AB e que contem 0 ponto C,
1'2 oposto a 1'1 •
A~
I \
I \
I \
II- 'Y, ..\P, \
I. . \
I Intenor \
"" B I "', \ C "',
.l. .. !--_.i_~... t.
exterior
A~
I \
exterior I \ exteriorI \
'Y2"'f \. f32
J \
I \
I \ C
....~;,--T-~.... ·
exterior: ot2 '. exterior
exterior
Interior do MBC = (XI n (31 n 1'1'
a interior de urn trianguIo e uma regiao convexa.
as pontos do interior do MBC sao pontos in ternos ao MBG.
Exterior do 6ABC = (X2 U (32 U 1'2'
a exterior de urn trianguIo e uma regiao c6ncava.
as pontos do exterior do MBC sao pontos externos ao MBC.
A reuniao do trianguIo com seu interior e uma superjfcie triangular (ou
superficie do trianguIo).
48. ClassijicafQO
Quanto aos lados, os trianguIos se cIassificam em:
equildteros se, e somente se, tern os tres Iados congruentes;
isosceles se, e somente se, tern dois Iados congruentes;
escalenos se, e somente se, dois quaisquer Iados nao sao congruentes.
37
TRIANGULOS
.6ABC equilcitero
A
6.RST isosceles
R
6.MNP escaleno
N
p
Urn triangulo com dois lados congruentes eisosceles; 0 outro lade e cha-
mado base e 0 angulo oposto a base e 0 angulo do vertice.
Notemos que todo triangulo equilcitero e tambem triangulo isosceles.
Quanto aos angulos, os triangulos se c1assificam em:
retangulos se, e somente se, tern urn angulo reto;
acutangulos se, e somente se, tern os tres angulos agudos;
obtusangulos se, e somente se, tern urn angulo obtuso.
F
c
A
.6ABC retangulo em A
D
6JJEF acutangulo
R
T
/':;.RST obtusangulo em S
o lade oposto ao angulo reto de urn triangulo retangulo esua hipotenusa
e os outros dois sao os catetos do triangulo.
II. Congruencia de triangulos
49. Defini~ao
Urn triangulo econgruente (simbolo ==) a outro se, e somente se, epossi-
vel estabelecer uma correspondencia entre seus vertices de modo que:
38
TRIANGULOS
• seus lados sao ordenadamente congruentes aos lados do outro e
• seus angulos sao ordenadamente congruentes aos angulos do outro.
A A'
C C'
(
AB == A'B'
L:.ABC == L\A'B'C' ¢=> AC == A'C'
BC == B'C'
A == k)
e B == B'
C == C'
A congruencia entre triangulos e rej/exiva, simetrica e transitiva.
50. Casos de congruencia
A defini<;ao de congruencia de triangulos d<i todas as condi~6es que de-
vern ser satisfeitas para que dois triangulos sejam congruentes. Essas condi-
<;6es (seis congruencias: tres entre lades e tres entre angulos) sao totais. Exis-
tern condir6es mfnimas para que dois triangulos sejam congruentes. Sao os cha-
mados casos ou criterios de congruencia.
51. 1? caso - LAL - postulado
Se dois triangulos tern ordenadamente congruentes dois lades e 0
angulo compreendido, entao eles sao congruentes.
Esta proposi<;ao e urn postu/ado e indica que, se dois triangulos tern or-
denadamente congruentes dois lades e 0 angulo compreendido, entao 0 lade
restante e os dois angulos restantes tambern sao ordenadamente congruentes.
A
C
A'
C'
39
LAL
=- 6ABC == 6A'B'C' =-
TRIANGULOS
Esquema do 1~ caso:
A~ == ~'B' ]
A == A'
- -
AC == A'C'
52. Teorema do triongulo isosceles
[
B == B'
B<: == ~'C'
C == C'
"Se urn triangulo tern dois lados congruentes, entao os angulos opostos
a esses lados sao congruentes."
ou
"Todo triangulo isosceles eisoan-
gulo. "
"Se urn triangulo eisosceles,
os angulos da base sao congruen-
tes. "
Hip6tese
ou ainda
Tese
A
6ACB => B - C
(6ABC, AB == AC) =- B == C
Demonstrariio
Consideremos os triangulos ABC e ACB, isto e, associemos a A, Be C,
respectivamente, A, C e B.
Hipotese => r--AB-: == :AC-~ ]
1 I I ,
:BA.C: == :CA.B: ~ 6ABC
I I I '
-I t- I
Hipotese => ~ __~~_J == ~~~__J
t
do 6ABC
53. 2? caso - ALA
t
do 6ACB
"Se dois triangulos tern ordenadamente congruentes urn lado e os
dois angulos a ele adjacentes, entao esses triangulos sao congruentes."
40
TRJANGULOS
Os angulos adjacentes ao lado BC s~o H e <3; os adjacentes ao lado
B'C' sao H' e <3'.
A
B~
Hip6tese Tese
C'
~ L".ABC == L".XB'C' ~ BCA == B'C'X (5)
(B = H' (1); BC == B'C' (2); C == C' (3» =- L".ABC = L".A'B'C'
Demonstrar;ao
Vamos provar que BA = B'A', pois com isso recairemos no 1~ caso.
Pelo postulado do transporte de segmentos (item 18), obtemos na semi-reta
---. - -
B'A' urn ponto X tal que B'X == BA. (4)
(2) Be: == ~'C' ]
(1) B == B'
- -(4) BA = B'X
Da hip6tese (3) BCA = B'C'A', com (5) BCA = B'C'X e com 0 postu-
--- --- ---lado do transporte de angulos (item 35), decorre que B'A' e C'X = C'A'
interceptam-se num unico ponto X = A'.
De X == A', com (4), decorre que B'A' == BA.
Entao:
(BA == B'A', B = H', BC == B'C')
54. Notas
1) Esquema do 2? caso
LAL
=- L".ABC == L".A'B'C'
& L".ABC == L".A'B'C' =- [ A~ =.~'B'A== A'- -AC == A'C'
41
TRIANGULOS
2) Com base no 2? caso (ALA), pode-se provar a reciproca do teorema
do triiingulo isosceles:
"Se urn triiingulo possui dois iingulos congruentes, entao esse triiin-
gulo e isosceles."
Considerando urn triiingulo isosceles ABC de base BC, basta observar os
triiingulos ABC e ACB e proceder de modo analogo ao do teorema direto.
55. 3? coso - LLL
Se dois triiingulos tern ordenadamente congruentes os tres lados, en-
tao esses triiingulos sao congruentes.
C C'
A~BA~B
Hip6tese Tese
(AB == A'B' (1), AC == A'C' (2), BC == B'C' (3)) ==> 6ABC == 6A'B'C'
Demonstrariio
C'
Pelo postulado do transporte de
iingulos (item 35) e do transporte de seg-
mentos (item 18) obtemos urn ponto X
tal que:
XA'B' == CAB (4)
- -
A'X == AC (5)
estando X no semiplano oposto ao de C'
-----em rela<;ao it reta A'B' .
De (5) e (2), vern: x
- -
A'X == A'C'. (6)
-----Seja D 0 ponto de interse<;ao de C'X com a reta A'B' .
42
S'
TRI.A.NGULOS
(1), (4), (5) ~ 6ABC = 6A'B'X' (7) =* XB' = CB ~ XB' == C'B' (8)
(6) =- 6A'C'X e isosceles de base C'X =* A'C'X == A'XC' (9)
(8) =- 6B'C'X e iso"sceles de base C'X =* B'C'X == B'XC' (10)
Por soma ou diferenl;a de (9) e (10) (conforme D seja interno ou nao ao
segmento A'B'), obtemos:
A'C'B' == A'XB' (II)
(6), (11), (8) =- 6A'B'C' = 6A'B'X ~ 6ABC == 6A'B'C:
56. Existencia do ponto medio
D
,
,
,
,
,
",'. ~.
c
"'" .,,
,
,
, M
A~>----_-----r--'-t B
Dado urn segmento de reta AB,
usando os postulados de transporte de
iingulos (item 35) e de segmentos (item
18) construimos
CAB == DBA
- -
AC == DB
com C e D em semiplanos opostos em
-relal;ao a reta AB.
o segmento CD intercepta 0 segmento AB num ponto M. Vejamos uma
sequencia de congruencias de triiingulos:
6CAB == 6DBA
6CAD == 6DBC
6AMD == 6BMC
(LAL, AB e comurn)
(ALA, com soma de iingulos ou pelo caso LLL)
(ALA)
Desta ultima"congruencia decorre que AM == BM, ou seja, Me 0 ponto
medio de AB.
57. Existencia da bissetriz
Dado urn iingulo aOb, usando 0
postulado do transporte de segmentos
(item 18) obtemos A e A' em Oa e B e
B' em Ob tais que:
OA == OB (1)
- -
OA' == OB' (2)
com OA' > OA e OB' > OB.
b
O*=---~~-----e
a
43
TRIANGULOS
Seja Co ponto de intersec;:ao de AB' com A'Be consideremos a semi-reta
-OC = Oc.
Vejamos uma seqiiencia de congruencias de triangulos:
6AOB' = 6BOA'
6ACA' == 6BCB'
60AC == 60BC
(LAL, aOb (comum)
(ALA, angulos adjacentes suplementares, diferen-
c;:a de segmentos)
(LAL)
Desta ultima congruencia decorre que AOC = BOC, ou seja,
Oc e bissetriz de aOb.
58. Mediana de um triangulo - defini(:oo
Mediana de urn triangulo e urn
segmento com extremidades num verti-
ce e no ponto medio do lado oposto.
MI e 0 ponto medio do lado BC.
AMI e a mediana relativa ao lado
BC.
AMI e a mediana relativa ao
vertice A.
~
B M, C
59. Bissetriz interna de um triangulo defini~oo
Bissetriz interna de urn triangulo
e 0 segmento, com extremidades num
vertice e no lado oposto, que divide 0
angulo desse vertice em dois angulos
congruentes.
Sl E BC, SlAB == SIAC
ASI e a bissetriz relativa ao ladoBe.
AS j e a bissetriz relativa ao ver-
tice A.
44
B 5, C
Uilmo
Nota
Bissetriz Interna
TRIANGULOS
60. Teorema do angulo externo
---+-
Dado urn !':ABC e sendo CX a
---+-
semi-reta oposta asemi-reta CB, 0 an-
gulo
e = ACX
e 0 angulo externo do !':ABC adjacente
aCe nao adjacente aos angulos A e B.
A
G.
B C X
o angulo e e 0 suplementar adjacente de C.
Teorema
Urn angulo externo de urn triangulo e maior que qualquer urn dos
angulos internos nao adjacentes.
Hip6tese Tese
(.6ABC, e externo adjacente a C) ==> (e > A e e > 13)
Demonstrariio
Seja M 0 ponto medio de ACe
-P pertencente a semi-reta BM tal que:
BM = MP
PelocasoLAL,6BAM== 6PMC
e dai:
BAM == PCM (I)
i><:ZP
B C X
Como P e interno aa angula e = ACX, vern: e > PCM. (2)
De (1) e (2), decorre que e > A.
Analogamente, tomando 0 ponto medio de BC e usando
angulos opostos
pelo vertice, concluimos que:
e> B
45
TRIANGULOS
61. 4? caso de congruencia - LAAo
Se dois triangulos tern ordenadamente congruentes urn lado, urn an-
gulo adjacente e 0 angulo oposto a esse lado, entao esses triangulos sao
congruentes.
o
",8,
A' \
,G
e
Hip6tese
BC == B'C' (I), B == B' (2), A == A' (3)
Demonstrarao
Ha tres possibilidades para AB e A'B':
- - --1~) AB == A'B' 2~) AB < A'B'
Se a 1~ se verifica, temos:
Tese
.6ABC == .6A'B'C'
3~) AB > A'B'
(AB == A'B', B == B', BC == B'C') ~ .6ABC == .6A'B'C'
---+-
Se a 2~ se verificasse, tomando urn ponto D na semi-reta BA tal que
BD = A'B' (postulado do transporte de segmentos - item 18), teriamos:
- - _ _ - - LAL - -(DB == A'B', B == B', BC = B'C') => .6ABC == .6A'B'C' ~ D == A=>
(3) - _
=> A == A', 0 que e absurdo, de acordo com 0 teorema do angulo externo
no .6ADC. Logo, a 2~ possibilidade nao se verifica.
A 3~ possibilidade tambem nao se verifica, pelo mesmo motivo, com a
diferen~a que D estaria entre A e B.
Como s6 pode oearrer a 1~ possibilidade, temos:
.6ABC == .6A'B'C'.
62. Caso especial de congruencia de tridngulos retdngulos
Se dois triangulos retangulos tern ordenadamente congruentes urn
cateto e a hipotenusa, entao esses triangulos sao congruentes.
46
uilmo
Nota
aqui
c
B
TRIANGULOS
B'
"-
C~,,----------~~,J- - - - - +- - - - - ~D
Hip6tese lese
A == A' (retos) (I), AB == A'B' (2), BC == B'C' (3) =- 6ABC == 6A'B'C'
Demonstrar;iio
-+-
Tomemos 0 ponto D na semi-reta oposta a semi-reta A'C' tal que
A'D == AC (postulado do transporte de segmentos - item 18).
- - - - - - LAL(AB == A'B', A == A', AC == A'D) =- 6ABC = 6A'B'D =>
=> BC == B'D (4) e C == f> (5)
(4) e (3) =- B'C' == B'D =- 6B'C'D e isosceles de base
C'D =- C' == IS (6)
(5) e (6) =- C == C'
Considerando agora os triangulos ABC e A'B' C', temos:
- -- LAAo
(BC == B'C', C = C', A = A') =- 6ABC == 6A'B'C'
EXERCicIOS
80. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Todo triangulo isosceles e equilitero.
b) Todo triangulo equilitero e isosceles.
c) Urn triangulo escaleno pode ser isosceles.
d) Todo triangulo isosceles e triangulo acurangulo.
e) Todo triangulo retangulo e triangulo escaleno.
f) Existe triangulo retangulo e isosceles.
g) Existe triangulo isosceles obtusangulo.
h) Todo triangulo acutangu!o ou e isosceles ou e equilitero.
47
TRIANGULOS
81. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Todos os triiingulos isosceles sao congruentes.
b) Todos os triiingulos equilciteros sao congruentes.
c) Todos os triiingulos retiingulos sao congruentes.
d) Todos os triiingulos retangulos isosceles sao congruentes.
e) Todos os triiingulos acutiingulos sao congruentes.
82. Se 0 LABC e isosceles de base BC,
determine x. A
83. 0 triangulo ABC eequilatero. Deter-
mine x e y.
AB = 2x - 7
AB = 15 - Y
AC = 9
AC
BC
x + 5
2x - 7
A
84. Se 0 LABC e isosceles de base BC,
determine BC.
AB = 3x - 10 BC = 2x + 4
AC = x + 4
A
L's
B 2x + 4 c
85. Se 0 LABC eisosceles de base BC, de-
termine x.
48
B = 2x - 10° 30°
A
~
B C
86. Se 0 MBC e isosceles de base AC,
determine x.
A = x + 30° 2x - 20°
B
TRIANGULOS
A
c
87. Se 0 MBC eisosceles de base BC, de-
termine x e y.
2x - 40°
B
A
y
x + 45°
c
88. Determine x e y, sabendo que 0 triiingulo ABC eequilatero.
a)
B
A
y c
b)
A
89. Se 0 perimetro de urn triiingulo equilMero ede 75 em, quanto mede cada lado?
90. Se 0 perimetro de urn triiingulo isosceles ede 100 mea base mede 40 m, quanto
mede cada urn dos outros lados?
91. Determine 0 perimetro do triiingulo ABC nos casos:
a) Triiingulo equilMero com AB = x + 2y, AC = 2x - ye BC = x + Y + 3.
b) Triiingulo isosceles de base BC com AB = 2x + 3, AC = 3x - 3 e
BC = x + 3.
92. Num triiingulo isosceles, 0 semiperimetro vale 7,5 m. Calcule os lados desse triiin-
gulo, sabendo que a soma dos lados congruentes e 0 quadruplo da base.
49
TRIANGULOS
93. Os pares de triangulos abaixo sao congruentes. Indique 0 caso de congruencia.
a) b) c) d)
vp ~v ~ DD
e) f) g)
v4 ~
~
~~
94. Considere os triangulos T" T], ... , etc., abaixo. Assinale os pares de triangulos
congruentes e indique 0 caso de congruencia.
~T,70°
4
~
6
50
6
20°
5 i
TRIANGULOS
95. Nos casos a), b) e c) abaixo, selecione os triangulos congruentes e indique 0 caso
de congruencia.
a)
b)
c)
~
6
~
~
13
96. Indique nas figuras abaixo os triangulos congruentes, citando 0 caso de con-
gruencia.
a)
c)
D
A <E---------7 C
B
B
b)
d)
A
B
E
D
E
E
51
E
TRIANGULOS
97. Por que ALL ou LLA nao e caso de congruencia entre triiingulos?
98. Na figura, 0 triiingulo ABC e con-
gruente ao triiingulo DEC. Determi-
ne 0 valor de ex e {3.
Po. = 3ex B = {3 + 48°
E = 5{3 0 = 2ex + 10° A ..,-,,---+--""T'"-i-:-'---+_..I.L.-....:>o. 0
B
BC = 2y
DA = 2x
99_ Na figura ao lado, 0 triiingulo ABD
econgruente ao triiingulo CBD. Cal-
cule x eye os lados do triiingulo
ACD.
AB = x
CD = 3y + 8
o
z1's:
A x B 2y C
100. Na figura, 0 triiingulo CBA e con- B
gruente ao triiingulo CDE. Determi-
ne 0 valor de x eye a razao entre os
perimetros desses triiingulos.
AB = 35 AC = 2x + 6 35
CE = 22 DE = 3y + 5
A
E
22
3y + 5
2x - 6
o
101. Na figura, 0 triiingulo PCD e con-
gruente ao triiingulo PEA. Determi-
ne 0 valor de x eye a razao entre os
perimetros dos triiingulos PCA e
PBD.
AB = 15, CD = x + 5
AP = 2y + 17 PD = 3y - 2
p
102. Na figura ao lado, os triiingulos ABC
e CDA sao congruentes. Calcule xey.
B
52
~.-_-II- ,D
TRIANGULOS
103. Na Figura ao lado, sabendo que C e
ponto medio de BE, prove que os
triangulos ABC e DEC sao con-
gruentes.
D
B
104. Na Figura ao lado. sabendo que
Ci == J e) == o. pro\e que 0- riling -
10 ABC e CDA ao congruenre .
105. Se Ci == (3 e 'P == 0, demonstre que 0
triangulo ABC e congruente ao trian-
guloABD.
c
Ci
A~-+----------',-'---7B
(3
D
106. Na Figura ao lado, sendo BF == CD,
m(ABC) = m(FDE) , m(BAC) =
= m(DEF), prove que AC == EF.
A E
b<1
B F c D
E
B
107. Na Figura ao lado, sendo AB == AE,
m(BAD) = m(CAE), m(ABC) = 90° C
e_m(AED) = 90°, prove que A'C""=----:Ll-------+--"7
BC == DE.
53
TRIANGULaS
108. Demonstre que a mediana relativa il base de urn triangulo isosceles e tam bern bis-
setriz.
109. Prove que a bissetriz relativa il base de urn triangulo isosceles etambem mediana.
110. Prove que as medianas relativas aos lados congruentes de urn triangulo isosceles
sao congruentes.
SolUl;lio
A
[
AB = AC
H: BM e CN
sao medianas
DemonslrOl;ao
T: BM CN
B/£.--------" C
Consideremos os triangulos BAM e CAN.
B1 : ~A] ~ 6BAM == 6CAN => BM
AM = AN
CN
111. Prove que as bissetrizes relativas aos lados congruente de urn triangulo i 0 cele
sao congruentes.
112. Prove que, se a bissetriz relativa a urn lado de urn triangulo e tambem mediana
relativa a esse lado, en tao esse triangulo e isosceles.
III. Desigualdades nos triangulos
63. Ao maior lado op6e-se 0 maior angulo
Se dais lados de urn triangulo nao sao congruentes, entao os angu-
los opostos a eIes nao sao congruentes e 0 maior deles esta oposto ao maior
lado.
54
TRIANGULOS
BC > AC =- BAc > ABC
Hip6tese
ou
a>b =- A>B
Tese
c
.... AL----r----
B
Demonstrariio
Considerernos D em BC tal que CD := CA.
BC > AC =- D e interno a CAB =- CAB> CAD
6CAD is6sceles de base AD =- CAD:= CDA
=- CAB> CDA (I)
CDA e angulo externo no 6ABD =- CDA > ABD
De (1) e (2), vern:
CAB > ABC ou seja A > B.
ABC (2)
64. Ao maior angulo opoe-se 0 maior lado
Se dois angulos de urn triangulo nao sao congruentes, entao os la-
dos opostos a eles nao sao congruentes e 0 maior
deles esta oposto ao
maior lado.
BAc> ABC =- BC > AC
Hip6tese
ou
A>B =- a>b
Tese
a
c
b
Demonstrariio
BL.----------~ A
c
Ha tres possibilidades para BC e AC:
- -I~) BC < AC ou 2~) BC := AC ou 3~) BC > AC
I~) Se BC < AC, entao, pelo teorerna anterior, A < B, 0 que contraria
a hip6tese.
55
TRIANGULOS
2~) Se BC == AC, entao, pelo teorema do triangulo isosceles, A == 13,0
que contraria a hipotese.
Logo, por exclusao, temos:
BC > AC.
65. A desigualdade triangular
Em todo triangulo, cada lade e menor que a soma dos outros dois.
Demonstrafao
Consideremos urn ponto D na se-
~
mi-reta oposta a semi-reta AC, tal que
AD == AB (1).
A, B e C nao colineares = BC < AC + AB
ou
a, bee lados de urn triangulo = a < b + c
Hip6tese Tese D
1\
U
/ \
c / \
)<. \
/ \
/ \
A / \~CaB
DC = AC + AD ~ DC = AC + AB (2)
(1) => l:ABD isosceles de base~BD => A?B == A~D] => CBD > AOB == COB (3)
A e interno ao angulo CBD => CBD > ABD
No triangulo BCD com (3) e 0 teorema anterior, vern:
- - - - -
BC < DC e com (2) BC < AC + AB, ou ainda:
a < b + c
66. Notas
l~) A desigualdade triangular tambem pode ser enunciada como segue:
Em todo triangulo, cada lade e maior que a diferenfa dos outros
dois.
2~) Se a, bee sao as medidas dos lados de urn triangulo, devemos ter
as tres condi<,:6es abaixo:
a<b+c b<a+c e c<a+b
56
uilmo
Nota
Desigualdade triangular
TRIANGULOS
Estas rela~6es podem ser resumidas como segue:
: ~ ~ : ~ ·~··b·~·~··~·~J···········lb·······I·······]
. ~ -c < a
c<a+b ~ c-b<a
~ I Ib - cl < a < b + C
EXERCicIOS
113. Com segmentos de 8 em, 5 em e /8 em pode-se construir urn triangulo? Por que?
114. Dois lados, AB e BC, de urn triangulo ABC medem respectivamente 8 em e 2/ em.
Quanto poden! medir 0 terceiro lado, sabendo que e multiplo de 6?
115. Determine 0 intervalo de variavao x, sabendo que os lados de urn triangulo sao
expressos por x + /0, 2x + 4 e 20 - 2x.
116. Se dois lados de urn triangulo isosceles medem 38 em e /4 em, qual podeni ser
a medida do terceiro lado?
117. 0 lade AB de urn triangulo ABC eexpresso por urn numero inteiro. Determine 0
seu valor maximo, sabendo que os lados ACe BC medem respectivamente 27 em e
/6 em e que C < A < 8.
118. Mostre que 0 triangulo retangulo tern dois angulos agudos.
Solu~iio
Considere 0 angulo externo adjacente ao angulo rete do triiingulo retangu-
10. Note que 'Y' = 90°.
Sendo a e (3 os angulos internos nao
retos do triangulo, de acordo com 0
teorema do angulo externo, temos:
'Y' > a e 'Y' > (3.
E como "(' = 90°, obtemos:
a < 90° e (3 < 90°. Entao 0 triiingu-
10 tern dois angulos agudos.
57
TRIANGULOS
119. Mostre que a hipotenusa de urn triiingulo retiingulo e maior que cada urn dos
catetos.
120. Mostre que 0 triiingulo obtusiingulo tern dois iingulos agudos.
121. Mostre que 0 lado oposto ao angulo obtuso de urn triiingulo obtusiingulo e maior
que cada urn dos outros lados.
122. Mostre que a hipotenusa de urn triiingulo retiingulo e maior que a semi-soma dos
catetos.
123. Prove que qualquer lado de urn triiingulo e menor que 0 semiperimetro.
124. Se P e urn ponto interno de urn triiingulo ABC, mostre que BPC e maior que BAC.
125. Se P e urn ponto interno de urn triiingulo ABC, mostre que:
PB + PC < AB + AC.
So1Ul;30
Tese [pB + PC < AB + AC ou x + Y < b + c
Demonstraffio
I) Prolonguemos BP ate que en-
contre AC num ponto Q.
2) De acordo com a desigualdade
triangular, temos:
(c + b' > x + f ==U+ b" > y
c + f + b' + b" > x + Y + f ==
c+b>x+y ==
== PB + PC < AB + AC
A
126. Se P e urn ponto interno de urn triiingulo ABC e x = PA, y = PB e z = PC,
mostre que x + y + Z esta entre 0 semiperimetro e 0 perfmetro do triangulo.
127. Demonstre que 0 perimetro do triiin-
gulo MNP e menor que 0 perimetro
do triiingulo ABC da figura ao lado.
58
TRIANGULOS
128. Se rna ea mediana relativa ao Iado a de um triiingulo de Iados a, bee, entiio:
I b-CI b+c--2- < ma < --2-
129. Prove que a soma das medianas de um triiingulo emenor que 0 perimetro e maior
que 0 semiperimetro.
LEITURA
Euclides e a
Geometria Dedutiva
Hygino H. Domingues
Derrotada na batalha de Queroneia pelas forps do rei Filipe, a
Grecia torna-se parte do imperio macedonia no ana 338 a.C. Dois anos
depois, com a morte de Filipe, assume 0 poder seu filho Alexandre,
entao com 20 anos de idade. Ao morrer, cerca de 13 anos depois, Ale-
xandre incorporara ao seu imperio grande parte do mundo civilizado
de entao. Dessa forma a cultura grega, adotada pelos macedonios (em
cuja formac;ao populacional predominava 0 elemento grego), foi es-
tendida ao Oriente antigo. Em sua arrancada expansionista, Alexan-
dre fundou muitas cidades. Vma delas, em especial, teria urn papel ex-
traordinario na hist6ria da Matematica: Alexandria, no Egito.
Com a morte de Alexandre, 0 dominic sobre 0 Egito passou as
maos de Ptolomeu, urn de seus lideres mil~tares. E uma das primeiras
e talvez mais importante obra de Ptolomeu foi criar em Alexandria,
junto ao Museu (templo as musas), 0 primeiro modelo do que viriam
a ser as universidades, seculos depois. Nesse centro, intelectuais do mun-
do inteiro, trabalhando ali em tempo integral, dedicavam-se as pesqui-
sas e ao ensino as expensas dos cofres do Estado. Ponto alto da insta-
lac;ao era uma biblioteca, que chegou a ter, no auge de seu esplendor,
perto de 700 mil rolos de papiro. Muitos grandes matematicos traba-
lharam ou se formaram no Museu. Dentre eles, 0 primeiro talvez, e
urn dos mais notaveis, foi Euclides (c. 300 a.C.).
Quase nada se sabe sobre a vida de Euclides, salvo algumas pou-
cas informac;6es esparsas. Mesmo sobre sua formac;ao matematica nao
ha nenhuma certeza: e possivel que tenha side feita em Atenas, na Aca-
demia de Platao. Papus de Alexandria (sec. IV) deixou registrados elo-
gios a sua modestia e considerac;ao para com os outros. Mas sua
~
59
60
presenr;;a de espirito talvez possa ser avalia-
da pela hist6ria segundo a qual, a uma in-
dagar;;ao de Ptolomeu sobre se nao haveria
urn caminho mais curto para a geometria
(que 0 proposto por Euelides), teria respon-
dido: "Nao ha nenhum carninho real na geo-
metria". Ou seja, perante a geometria todos
sao iguais, ate reis poderosos como Ptolo-
meu.
Embora autor de outros trabalhos, a
fama de Euelides praticamente repousa so-
bre seus Elementos, 0 mais antigo texto da
matematica grega a chegar completo a nos-
sos dias. Obra em treze livros, apesar de na
sua maior parte ser uma compilar;;ao e siste-
matizar;;ao de trabalhos anteriores sobre a
matematica elementar da epoca, seu exito foi
enorme. Haja vista suas rnais de mil edir;;6es
impressas em todo 0 mundo, desde a primei- Euclides (sec. 1/1 a. C.J em
ra em 1482, urn feito editorial talvez s6 su- pintura de Juste de Gond
perado pela Biblia. (sec. XV).
OS Elementos dediCam urn born espar;;o ateoria dos numeros (tres
livros), mas com 0 enfoque geometrico que permeia toda a obra. Eu-
elides representava os numeros por segmentos de reta, assim como re-
presentava 0 produto de dois numeros por urn retangulo. Contudo a
argumentar;;ao usada por ele independe da geometria. Ha tambern no
texto urn pouco de algebra geometrica, onde, por exemplo, algumas
equar;;6es do segundo grau sao resolvidas geometricamente, sendo suas
raizes dadas na forma de segmentos de retas.
Mas, sem duvida, 0 forte dos Elementos e a geometria. A partir
de cinco nor;;6es comuns, cinco postulados especificos e algumas defi-
nir;;6es, centenas de teoremas (467 em toda a obra) sao deduzidos, al-
guns de grande profundidade. Alem de ser 0 mais antigo texto de ma-
tematica na forma axiomatico-dedutiva a chegar a nossos dias, nele
Euelides foi muito feliz na escolha e no enunciado de seus postulados
basicos. E soube usa-los com proficiencia. Assim, nao e sem motivo
que os Elementos,
por dois milenios, alem de texto fundamental de
geometria, foi 0 modelo de boa matematica.
Falhas em sua estruturar;;ao l6gica foram sendo achadas ao lon-
go do tempo. Por exemplo, a questao da continuidade nao foi focali-
zada, 0 que levava Euelides a usar pressupostos nao explicitados sobre
o assunto. Tudo isso porem cheW-! a ser irrelevante em face da gran-
diosidade da obra e de sua inigualavel influencia cientifica.
CAPITULO V
Paralelismo
Conceitos e propriedades
67. Retas paralelas - defini900
Duas retas sao paralelas (simbo-
10: II) se, e somente se,
sao coincidentes (iguais)
ou
sao coplanares e nao tern nenhum
ponto comum
(a C lX, b C lX, a n b = 0) ~ a II b
a
b
68. Sejam a e b duas retas distintas, paralelas ou nao, e t uma reta concorren-
te c.om a e b:
1) t e uma transversal de a e b;
b
a
a
b 5 6
8 7
1 2
4 3
61
uilmo
Nota
paralelismo, angulos alternos internos, externos
PARALELISMO
2) dos oito angulos determinados por essas retas indicados nas figuras
acima, chamam-se angulos
alternos:
correspondentes:
colaterais:
69. Notas
1 e 7, 2 e 8, 3 e 5, 4 e 6
I e 5, 2 e 6, 3 e 7, 4 e 8
I e 8, 2 e 7, 3 e 6, 4 e 5
1~) Com mais detalhes podemos ter:
[
alternos internos:
alternos
alternos externos:
I . [colaterais internos:co aterals
colaterais externos:
3 e 5, 4 e 6
Ie7,2e8
3 e 6, 4 e 5
I e 8, 2 e 7
2 ~) A congruencia de dois angulos alternos de um dos pares
(por exemplo, 1 == 7)
equivale
a) a congruencia dos angu!os de todos os pares de angulos alternos
(2 == 8, 3 == 5, 4 == 6);
b) acongruencia dos angulos de todos os pares de angulos correspondentes
(1 == 5, 2 = 6, 3 == 7,.4 == 8); e
c) a suplementaridade dos angulos de todos os pares de colaterais
(1 + 8 = 2 + 7 = 3 + 6 = 4 + 5 = 180°).
70. Existencia da paralela
Se duas retas coplanares distintas e uma transversal determinam an-
gulos alternos (ou angulos correspondentes) congruentes, entao essas duas
retas sao paralelas.
ou
62
se Ci (3, entao a !I b
ou
Hip6tese Tese
=> a!lb
b -+-.--__
ex
a_---'~-----
PARALELISMO
Demonstrar;iio
Se a e b nao fossem paralelas, teriam um ponto P em comum e
a n b = [Pl.
Sendo
ant = [AJ e b n t [B],
teriamos 0 triangulo ABP.
a
b
Pelo teorema do angulo externo (item 60) aplicado ao LABP, teriamos:
Ci > (3 ou (3 > Ci
o que e absurdo, de acordo com a hip6tese.
Logo, as retas a e b sao paralelas, isto e, a II b.
71. ConstrufOo da paralela
b
{3
B
Construir uma reta b, paralela a uma reta a dada, por urn ponto P dado
fora de a.
Passamos uma reta t por P, que
determina urn ponto M em a.
Tomamos em a urn ponto A dis-
tinto de M.
a
A
Construimos, com vertice P, com
---+- -
urn lado PM, urn angulo MPB congruen-
te ao angulo AMP, estando B no semi-
plano oposto ao de A em rela<;ao areta
---+-
PM (transporte de angulos - item 35).
~
Areta PB e a reta b pedida.
De fato, sendo AMP = Ci e MPB = (3, pelo teorema anterior temos:
Ci=(3 ==> allb
63
PARALELISMO
72. Unicidade da paralela - postulado de Euclides
A unicidade da reta paralela a uma reta dada e0 postulado de Euclides
(300 a.c.) ou postulado das paralelas que caracteriza a Geometria que desen-
volvemos: a Geometria Euclidiana.
Por urn ponto passa uma unica reta paralela a uma reta dada.
Com base nesse axioma podemos provar 0 reciproco do teorema ante-
rior. E 0 que segue.
73. Se duas retas paralelas distintas interceptam uma transversal,
entao os angulos alternos (ou os angulos correspondentes) sao con-
gruentes.
ou
a ~ b, a II b =- a = (3
Se a ~ b e a II b, entao a == (3
ou
Hip6tese Tese
b
a
Demonstrarao
b
a
70),
a == (3' =- x II a
Por P teriamos duas retas distintas x e b, ambas paralelas a reta a, 0 que
e absurdo, pois contraria 0 postulado das paralelas.
Logo, a e congruente a (3, isto e, a == (3.
Se a e (3 nao fossem congruentes,
existiria uma reta x, distinta de b, pas-
sando por P, [PJ = b n t, tal que:
xt = (3' alterno de a e (3' == a
Pelo teorema da existencia (item
64
PARALELISMO
74. Condifao necessaria e suficiente
Reunindo os resultados dos itens 70 e 73,
a-={3 ==> a#b e a#b ==> a-={3
temos 0 enunciado que segue:
Vma condi<;iio necessaria e
suficiente para duas retas distintas
serem para/etas e formarem com
uma transversal angulos alternos
(ou angulos correspondentes) con-
gruentes.
a={3<=*a#b
75. Angulo externo
b
a
Em todo triangulo, qualquer angulo externo eigual asoma dos dois
angulos internos niio adjacentes a ele.
ou
Hip6tese
e e angulo externo adjacente a C
Demonstrariio
==>
Tese
e=A+
~ ~
Por C conduzimos a reta CD paralela a reta AB, determinando os an-
gulos a e {3 caracterizados na figura:
A 0/ A 0/~!~!/ I( A /a / I{3 a I
B ICe B~
/ /
/ /
~ ~
AB # CD ==> a -= A (alternos)
~ ~
AB # CD ==> {3 -= B (correspondentes)
A 0/
Ll
B / C
/
65
PARALELISMO
Somando as duas rela<;:oes acima, vern:
a+I3=A.+B
~
ou seja:
76. Soma dos angulos de um triangulo
A soma dos angulos de qualquer triangulo e igual a dois angulos
retos.
Hip6tese Tese
MBC e urn triangulo =- A. + B + C = 2 retos
Demonstrar;iio
Sendo eo angulo externo adjacente aCe aplicando 0 item anterior, vern:
A
~ e e (; sao suplementares =- e + ~ = :. retos]teorema anterior =- e = A + B2 retos.
B c
Considerando as medidas dos angulos, temos:
m(A.) + m(B) + m(C) = 1800
que representaremos simplesmente por:
A. + B + C 1800
77. Notas
1~) Angulos de lados paralelos
Dois angulos de lados respectivamente paralelos sao congruentes ou
suplementares.
66
PARALELISMO
Demonstrar;iio
Consideremos os angulos de me-
didas ex e ex' adjacentes suplementares e
(3 e (3' adjacentes suplementares (vide
figura).
Pelo paralelismo, considerando 0
angulo auxiliar 'Y, temos:
ex = 'Y] ~ ex = (3
(3 = "Y
Daf, vern: ex' (3'
ex + (3' 1800
ex' + (3 1800
2~) Triiingulo equildtero
ct'
Num triangulo equilMero cada angulo mede 600 •
Demonstrar;iio
Seja ABC 0 triangulo equilatero:
AB = AC = BC
Usando 0 teorema do triangulo
isosceles (item 52), temos:
B
A
c
CA = CB ~ A = 13] A-
- - ~AB = AC ~ B = C
Como A + 13 + c-
AU seja:
1800 (item 76), vern: A
Todo triangulo equihitero e equiangulo e cada angu10 mede 60°.
67
PARALELISMO
EXERCICIOS
130. Sendo a reta a paralela a reta b, determine x nos casos:
a) b)
a
b
50° a
b
120°
131. Se as retas res sao paralelas, determine x nos casos:
a)
s
b)
132. As retas res da figura sao paralelas. Determine x e y.
68
a)
s
b)
s
3x - 10°
PARALELISMO
133. Na figura, sendo a II b, calcule
Ct + {3 - 'Y.
134. A soma dos quatro iingulos agudos
formados por duas retas paralelas cor-
tadas por uma reta transversal eigual
a 80 0 • Determine 0 iingulo obtuso.
a
b
135. Sendo a paralela a b, calcule x. 136. Na figura, sendo a /I b, calcule x.
c
8x + go
___---,----I- .=.b .:::b~__T""'"lI___-----_
_______--1-~---..;;..a ....:a -'-r-- _
137. Na figura abaixo, sendo r II s, calcule
x e y.
3x - 20° s
138. Na figura ternos os iingulos Ct e {3 de
lados respectivamente paralelos.
Sendo Ct = 8x e {3 = 2x + 30°, de-
termine 0 suplemento de {3.
139. Calcule 0 valor de x + y, sendo r II s
e t II v. v
y
s
69
PARALELISMO
140. Se as retas res sao paralelas, determine x, y e Z nos casas:
a) b)
s s
141. Determine a valor de x nos casas:
a)
70°
142. Determine y nos casas:
a)
b)
b)
50° x
143. Determine x nos casas:
a)
45°
b)
70
PARALElISMO
144. Determine x e y nos casos:
145. Determine os angulos do triangulo nos casos:
a)
a) c
B <-..........--- ~x..J::.~ A
b)
b) c
xB'--L-------.L..::>.A
146.
Se 0 triangulo ABC e isosceles de base BC, determine x nos casos:
a)
c)
B
A
BL....J'----~C
'-'-----"""c
b)
d)
A
xB L..- --'--" C
B
147. Determine ex + 13 + 'Y nos casos:
a) b)
71
PARALELISMO
148. 0 triiingulo ABC e isosceles de base BC. Determine 0 valor de x nos casos:
a)
A
BL.-L..- --> C
b)
B
c)
B
C
149. Determine 0 valor da incognita (segmentos com "marcas iguais" sao congruentes).
a) b) c)
·1
d) AB AC
A
e) f)
BL--it--::::lC
g) h)
72
x + Y
PARALELISMO
150. Na figura abaixo, ED e paralela a BC. Sendo BAE igual a 80° e ABC igual a
35°, calcule a medida de AED.
B
SOIUl,:iio
Basta prolongar DE ate que a
- -reta DE encontre AB.
Note que x e externo do triangu-
10 APE.
Entao:
[
ex = 35° 115°
x = ex + 800 = x
c
pp~• _ :;,-8_0_0 _--oD>--
~E
•B C
151. Determine 0 valor de x e y, sendo 152. Calcule 0 valor de x, sendo r II s.
r II s.
5
5
153. Se r II s, calcule ex.
5
154. Na figura abaixo, as retas res sao
paralelas. Calcule ex.
A
30'
B
5
C
73
PARALELlSMO
155. Na figura, calcule a medida do iin-
gulo Ci, sendo r II s.
156. Na figura, AB eparalelo a CD. Sen-
do CDB = 150° e ABC = 25°, ca1-
cule CBD.
C D
~
s 50 0
A B
157. Determine 0 valor de x. 158. Calcule x no triiingulo ABC da
figura.
159. Os iingulos internos de um triiingu!o sao proporcionais a 2, 3 e 4, respectivamen-
teo Determine a medida do maior deles.
Nos exercicios 160, 161, 162, no triiingulo ABC, calcule a(s) inc6gnita(s).
160. 161. 162.
A
~xt500
B C
A A
C
74
2x
163. Na figura, 0 triangulo ABC e isos-
celes de base BC. Calcule 0 valor
de x.
A
~ ---.",,'C
B
165. A Figura mostra urn triangulo ABC,
isosceles, de base Be. Sendo BD bis-
setriz de ABC e CD bissetriz de
ACB, calcule 0 valor de x.
A
B'O:::::""---------~C
PARALELISMO
164. Calcule x e y indicados na Figura
abaixo.
A E C
166. 0 triangulo A CD da Figura e isosce-
les de base AD. Sendo 12° a medida
do angulo BAD e 20° a medida do
angulo ABC, calcule a medida do
angulo ACD.
C
~
A B
167. Urn angulo externo da base de urn triangulo isosceles e os ~ do angulo do vertice.
Calcule os angulos desse triangulo.
168. Num triangulo isosceles ABC, 0 angulo do vertice A vale _1_ da soma dos iingulos10 .
externos em Be C. Sendo BC a base do triangulo, determine 0 angulo A.
169. Num triangulo ABC, 0 angulo obtuso formado pelas bissetrizes dos angulos B
e C excede 0 angulo A em 76°. Determine A.
170. Prove que no triangulo ABC, da fi-
gura, vale a rela~ao ex - {3 = B - C,
sendo AD bissetriz do angulo BAC.
A
~
B 0 C
75
PARALELlSMO
171. Num triangulo ABC, 0 angulo formado pelas bissetrizes dos angulos fj e t, oposto
a BC, e 0 quintuplo do angulo A. Determine a medida do angulo A.
172. Na figura ao lado, calcule 0 valor de
x em fun<;ao de m.
Com os elementos caracterizados
na figura, temos:
173. Num triangulo ABC qualquer, 0 angulo oposto a BC formado pelas bissetrizes
dos angulos internos em Be C e igual ao suplemento do complemento da metade
do angulo do vertice A.
SolUl;iio
Nota inicial
Em problemas cujo enunciado e uma proposi<;ao, e normal que 0 pedi-
do seja a demonstra<;ao da propriedade.
A
hJJBC: x + b + c
MBC: 2b + 2c + A = 1800 ==
174. Na figura, calcule 0 angulo x, sendo
C< 0 triplo de {3 e 'Y 0 sextuplo de {3.
180
0
- (b + c)A ]
b + C = 90 0 --
2
A
76
B c o
PARALELISMO
175. Em urn triangulo ABC, 0 angulo do vertice A e igual a oitava parte do angulo
obtuso formado pelas bissetrizes dos angulos adjacentes a Be. Determine a medida
do angulo do vertice A.
176. Urn angulo externo do vertice de urn triangulo isosceles mede 150°. Determine:
a) os angulos do triangulo;
b) 0 angulo obtuso formado pelas bissetrizes dos angulos da base do triangulo;
c) os angulos formados pela bissetriz de urn dos angulos da base e pela bissetriz
do angulo do vertice.
177. Determine a medida do menor angulo formado pelas bissetrizes externas relati-
vas aos vertices Be C de urn triangulo ABC, sabendo que 0 angulo A mede 76°.
80luI;80
I) B + C + 760 = 1800
2) f2b + ~ = 1800 ==
l2c+C 1800
A
76°
\
\ I
\ I
\ I
\ I
\ /
\ x I
'\t
..;
== B + C = 1040
2(b + c) + B + C =
== 2(b + c)+ 1040 = 3600 == b + c = 1280
3) x + b + c = 1800 == x + 128° = 1800 == x = 520
178. Determine as medidas dos tres angulos de urn triangulo, sabendo que 0 segundo e os
; do primeiro e que 0 terceiro e a semi-soma dos dois primeiros.
179. Os tres angulos de urn triangulo sao tais que 0 segundo mede 28° menos que 0
primeiro e 0 terceiro 10° mais que 0 primeiro. Determine os tres angulos do
triangulo.
77
PARALELISMO
180. Em urn triangulo isosceles 0 angulo do vertice e a metade de cada urn dos angulos
da base. Determine os tres angulos do triangulo.
181. Determine 0 angulo formado pelas bissetrizes de dois angulos colaterais internos
de duas retas paralelas interceptadas par uma transversal qualquer.
182. Na figura, determine a medida do an-
gulo Ci em funCao de m.
A = 3 m
...............
BCM = Ci
BCM
13 = 2m
D=m
B
A
183. Num triangulo ABC qualquer, 0 angulo, oposto a BC, formado pelas bissetrizes
dos angulos externos em B e C e igual ao complemento da metade do angulo
do vertice A do triangulo.
184. Na figura, sendo AB congruente a
AC, AE congruente a AD, calcule a
medida do angulo CDE, dado
BAD = 48°.
185. Determine a medida do angulo do ver-
tice A do triiingulo isosceles ABC, sa-
bendo que os segmentos BC. CD, DE,
EF e FA sao congruentes.
78
A
A
186. Na figura, 0 triangulo ABC eequil<i-
tero e 0 triangulo CDB e isosceles.
Calcule 0 valor de 2x + y.
BCD = x
AIm = y A
PARALELlSMO
c
B
187. Considere 0 triangulo ABC, em que AB = AC = 5 em e BC = 7 em. Sobre 0
lado BC tomamos urn ponto D tal ~ BD = 3 em e pelo ponto QJra~amos
DEe DFrespectivamente paralelos aACeAB, com Eem AB e Fern AC. Calcule
o perimetro de AEDF.
188. Da figura, sabemos que AB = AC,
A = 100 0 e AD = BC. Determine
x = CBD.
o
A
f"-'.._- B
CAPITULO VI
Perpendicularidade
I. Defini~oes Angulo reto
78. Retas perpendiculares
p
a, a
b
b,
Ouas retas sao perpendiculares
(simbolo: .1) se, e somente se, sao con-
correntes e formam angulos adjacentes
suplementares congruentes
a .1 b ~ (a n b = [PJ e
a,Pb, = a,Pbl )
em que a l euma das semi-retas de a de
origem P e b, e bl sao semi-retas opos-
tas de b com origem em P.
Ouas semi-retas sao perpendicula-
res se, e somente se, estao contidas em
retas perpendiculares e tern urn ponto
cornurn.
Oois segmentos de reta sao perpendiculares se, e somente se, estao conti-
dos em retas perpendiculares e tern urn ponto comum.
Urn angulo a,Pb j erela se a serni-reta a, eperpendicular a serni-reta bl.
80
PERPENDICULARlDADE
79. Retas ob/fquas
Se duas retas sao concorrentes e
nao sao perpendiculares, diz-se que es-
sas retas sao oblfquas.
Se r n s = lPJ e r ~ s, entao
res sao obliquas.
80. Existencia do angulo reto
~p
Consideremos uma reta r e urn seu ponto o.
Tomemos dois pontos P e Qem semipianos opostos em relaGao a r tais que:
em que r J e uma das semi-retas de r de origem O.
o segmento PQ intercepta r num ponto X.
Temos os tres casos abaixo:
1~ caso: 2~ caso:
I p p
I
I
I
I
I r1 r1
0 o = x
Q
3~ caso:
pi
I
I
I
I
I r 1
No 2? caso, em que X = 0, temos:
.... .... ~ ....
PXr, == QXr l e r.l PQ e PXr l e reto
No I? caso e no 3? caso temos:
6POX == 6QOX pelo caso LAL «2), (1) e OX comum)
Entao:
-6POX == 6QOX =- PXO == QXO =- r.l PQ =- PXO e reto
81
PERPENDICULARIDADE
II. Existencia e unicidade da perpendicular
I'! parte
Num plano por urn ponto dado de uma reta dada passa uma (mica