UFPR Apostila 2012

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1 
 
 
 
2012 
Edição 2012 
Marco Andre Argenta 
Universidade Federal do Paraná 
Setor de Tecnologia 
Departamento de Construção Civil 
Resistência dos Materiais I 
 
PREFÁCIO 
 
 
 
 
Esta apostila é baseada na apostila de resistência dos materiais idealizada pelos professores Antônio 
Stramandinoli Jr., Luiz Carlos Giroldo, Mauro T. Kawai e Roberto Stramandinoli, atualizada até 2010. Nesta 
edição de 2012 a apostila é reformatada e complementada. 
A apostila tem como objetivo oferecer ao aluno a teoria de resistência dos materiais de uma forma clara e 
completa assim como da aplicação dos seus princípios. Serão explanados o comportamento físico dos materiais 
solicitados por cargas e a modelagem matemática desse comportamento. As condições de equilíbrio, 
compatibilidade da deformação e comportamento do material serão enfatizados dados a sua importância. 
 
 
 
Marco Andre Argenta 
Universidade Federal do Paraná 
Departamento de Construção Civil 
(41) 3361-3444 
marco.argenta@ufpr.br 
 
 
 
SUMÁRIO 
Prefácio ii 
Simbologia iii 
Capítulo 1 iii 
Símbolos base iii 
Símbolos Subscritos iii 
1 Introdução a Resistência dos materiais 1-1 
1.1 Introdução 1-1 
1.2 Objetivos 1-1 
1.3 Peça ou Elemento Resistente 1-1 
1.4 Hipóteses simplificadoras 1-1 
1.4.1 Hipóteses relativas ao material 1-2 
1.4.2 Hipóteses relativas aos deslocamentos 1-2 
1.5 Princípio fundamental 1-2 
1.6 Tensão 1-5 
1.7 Deformação 1-7 
1.8 Propriedades mecânicas dos materiais 1-10 
1.8.1 Diagrama tensão-deformação 1-10 
1.8.2 Materiais Dúcteis 1-11 
1.8.3 Materiais Frágeis 1-12 
1.9 Lei de Hooke 1-13 
1.10 Coeficiente de Poisson 1-13 
1.11 Classificação dos esforços 1-4 
2 Esforço normal simples 2-16 
2.1 Concentração de tensões: Princípio de Saint-Venant 1-15 
2.2 Princípio da superposição dos efeitos 1-14 
2.3 Métodos de análise estrutural (estado uniaxial de tensões) 1-15 
2.4 Coeficiente de segurança – Tensão admissível – Tensão de serviço 1-15 
2.5 Tensões provocadas pelo efeito da temperatura 1-15 
3 Carregamento transversal: flexão 3-17 
Referências Bibliográficas 3-18 
 
1-1 
 
1 INTRODUÇÃO A RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
1.1 INTRODUÇÃO 
A resistência dos materiais é o ramo da mecânica que estuda as relações entre cargas externas aplicadas a um 
corpo deformável e a intensidade das forças internas que atuam dentro do corpo, abrangendo também o cálculo 
das deformações do corpo e o estudo da sua estabilidade, quando submetido a solicitações externas (HIBBELER, 
2004). 
Em resumo, é o capítulo da Mecânica dos Corpos Sólidos no qual se estuda o equilíbrio dos referidos corpos, 
considerando os efeitos internos, produzidos pela ação das forças externas. 
A origem da resistência dos materiais remonta ao início do século XVII, época em que Galileu realizou 
experiências para estudar os efeitos de cargas em hastes e vigas feitas de vários materiais. No entanto, para a 
compreensão adequada dos fenômenos envolvidos, foi necessário estabelecer descrições experimentais precisas 
das propriedades mecânicas de materiais. Os métodos para tais descrições foram consideravelmente melhorados 
no início do século XVIII. Na época, estudos foram realizados, principalmente na França, baseados em aplicações 
da mecânica a corpos materiais, denominando-se o estudo de Resistência dos Materiais. Atualmente, no entanto, 
refere-se a esses estudos como mecânica dos corpos deformáveis ou simplesmente mecânica dos materiais 
(HIBBELER, 2004). 
Entre os diversos estudiosos e pesquisadores que colaboraram com a formação da Resistência dos Materiais, 
destacam-se: Galileo, Saint Venant, Bernouilli, Navier, Hooke, Poisson, Cauchy, Euler, Castigliano, Tresca, Von 
Mises, Lamé, entre outros. 
1.2 OBJETIVOS 
Os objetivos da Resistência dos Materiais são: 
 Determinação dos esforços; 
 Determinação das tensões e das deformações a que estão sujeitos os corpos sólidos devido à ação dos 
esforços atuantes; 
 Equilíbrio de um corpo deformável; 
 Verificação da segurança; 
 Dimensionamento. 
1.3 PEÇA OU ELEMENTO RESISTENTE 
Peça ou elemento resistente é todo corpo capaz de receber e transmitir forças. O conjunto de elementos 
resistentes de uma construção ou máquina denomina-se estrutura. 
Para efeito de estudo, podemos classificar os elementos resistentes em: 
a) Barras: aqueles que têm uma das dimensões bem superior às demais. Ex. tirantes, escoras, pilares e 
vigas; 
b) Placas e chapas: aqueles que possuem uma dimensão muito pequena em relação às outras duas. Caso as 
cargas atuantes sejam aplicadas perpendicularmente ao seu plano, denomina-se placa. Se as cargas 
atuarem em seu próprio plano médio, denomina-se chapa. Ex. laje, viga parede; 
c) Cascas: são elementos que possuem pequena espessura em relação à área da superfície média, que é 
curva. Ex. cúpula; 
d) Blocos: são elementos em que não há uma dimensão predominante em relação às outras. 
1.4 HIPÓTESES SIMPLIFICADORAS 
 
1-2 
 
As hipóteses simplificadoras são adotadas, em um nível inicial, para o fácil entendimento e simples 
implementação da teoria referente aos tipos de materiais a elas associados. 
1.4.1 HIPÓTESES RELATIVAS AO MATERIAL 
Apenas materiais com certas características são estudado nessa faze introdutória da resistência dos materiais. 
Esses materiais devem satisfazer os seguintes requisitos: 
 Isotrópicos: possuem as mesmas respostas mecânicas quando solicitados em qualquer direção; 
 Homogêneos: em uma direção, possuem as mesmas propriedades em qualquer ponto; 
 Contínuos: a matéria é distribuída continuamente no volume do corpo; 
 Coesos: significa que todas as suas partes estão muito bem unidas, sem a presença de trincas, separações 
ou falhas; 
 Linearidade: possuem solicitações que apenas façam com que o material trabalhe no regime elástico 
linear. 
De fato são poucos os materiais que apresentam todos os requisitos acima (um exemplo é o aço). No entanto, as 
hipóteses simplificadoras podem ser utilizadas em materiais que não se incluem nesses requisitos, utilizando os 
conceitos definidos na sequência como aproximações de cálculo (um exemplo é o concreto). 
1.4.2 HIPÓTESES RELATIVAS AOS DESLOCAMENTOS 
As equações desenvolvidas são válidas para corpos que sofrem pequenos deslocamentos, se comparadas com suas 
dimensões. 
 
Figura 1.1: Deslocamentos verticais em uma viga simplesmente apoiada. 
No caso da peça mostrada na Figura 1.1, caso os deslocamentos y dos pontos de seu eixo longitudinal forem 
grandes, os momentos poderão ser grandes, se comparados com os momentos da carga transversal . Sendo 
assim, hipótese de pequenos deslocamentos não é válida. 
Considerando a hipótese dos pequenos deslocamentos as equações da Resistência dos Materiais, poderão ser 
deduzidas a partir do equilíbrio dos corpos indeformados, ou seja, em suas dimensões e posição anterior à 
aplicação das cargas. 
1.5 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL 
“Toda parte de um sólido em equilíbrio, também está em equilíbrio e à qual se aplicam as equações da estática.” 
O método das seções é uma consequência desse princípio. Esse método é utilizado para a determinação dos 
esforços internos resultantes que atuam sobre a superfície seccionada do corpo. 
Através das equações de equilíbrio ∑ e ∑ , calculam-se as resultantes dos esforços internos. A variação 
dessas ações nessa seção é indeterminada e para se ter uma noção mais precisa, é necessário estudar as peças 
deformadas. As equações de equilíbrio devem ser satisfeitas a fim de impedir que o corpo se translade com 
movimento acelerado e que tenha rotação, em outras palavras, para que sofra um movimento de corpo rígido.1-3 
 
O impedimento desse movimento acelerado é feito através de apoios inseridos em certas posições, conectando o 
corpo a um elemento externo. Os tipos mais comuns de apoio no plano, ilustrados na Figura 1.2, são apoios 
simples, apenas uma incógnita, apoios rotulados, duas incógnitas e o engastamento, três incógnitas. Em um 
sistema tridimensional, os mesmos tipos de apoio ocorrem, no entanto, em alguns deles existe o acréscimo de 
algumas incógnitas. Por exemplo, o engastamento tridimensional possui seis incógnitas, três forças em x, y e x, e 
três momentos, em torno de x, y e z. 
 
Figura 1.2: Apoios no plano. 
A maneira mais fácil e usual de se observar os esforços externos aplicados a um corpo e os seus esforços internos 
resultantes é através do diagrama de corpo livre. 
 
Figura 1.3: Método das Seções (diagrama de corpo livre ilustrando as tensões internas os esforços internos normais ). 
Em um corpo sólido são definidos quatro tipos de diferentes de esforços internos: 
 Força Normal – N: força que atua perpendicularmente à área. Sempre aparece quando existam esforços 
externos que tendem a empurrar ou puxar o corpo; 
 
 Força de Cisalhamento – V: localiza-se no plano da área e é criada quando esforços externos tendem a 
provocar o deslizamento das duas partes do corpo, uma sobre a outra; 
 
N N
a
b
N N
a
b
Tração (+)
Compressão (-)
a
b
NN
a
b
N N
 
1-4 
 
 
 Momento Torçor ou Torque – T: esse efeito é criado quando os esforços externos tendem a torcer uma 
parte do corpo em relação à outra; 
 
 Momento Fletor – M: é provocado pelos esforços externos que tendem a fletir o corpo em relação ao eixo 
localizado no plano da área. 
 
Cada um dos esforços internos segue uma convenção de sinais para cada lado da seção. 
1.6 CLASSIFICAÇÃO DOS ESFORÇOS 
Os esforços são classificados basicamente de acordo com a sua localização no corpo analisado, podendo ser 
externos ou internos. Os esforços externos podem ser de dois tipos distintos, ativo que se refere às cargas 
aplicadas, e reativo as reações nos apoios. Os internos se subdividem em resultantes e tensões. As tensões são as 
forças internas no corpo subdivididas por todo o seu volume e existem apenas quando o corpo está sendo 
solicitado por algum esforço externo, seja uma carga ou uma reação. 
 
Figura 1.4: Classificação dos esforços. 
As resultantes, como o próprio nome sugere, são representações das tensões internas aplicadas no centro de 
gravidade da respectiva área do diagrama de tensões. De uma forma geral, os esforços são classificados de acordo 
com a Figura 1.4. 
 
a a
bb
Q
QQ
Q
a
b
Mt Mt
Mt
Mt
a
b
 
a
b
M M
a
b
 
a
b
MM a
b
 
1-5 
 
1.6.1 ESFORÇOS EXTERNOS 
Os esforços externos reativos são classificados em função do tipo de apoio utilizado para restringir o movimento 
de corpo rígido, sua classificação pode ser feita, de uma forma básica, de acordo com a Figura 1.2. 
Os esforços ativos podem ser classificados de acordo com a área onde atuam, podendo ser concentrados ou 
distribuídos, o modo como atuam, podendo ser relativos ao tempo ou relativos ao tempo e ao espaço e ainda 
quanto a sua origem, podendo ser estáticos, dinâmicos, repetidos ou do material. A Figura 1.5 ilustra uma 
classificação dos esforços ativos. 
 
Figura 1.5: Classificação dos esforços ativos. 
1.6.2 ESFORÇOS INTERNOS 
Os esforços internos desenvolvidos no corpo sólido podem ser simplificados para ações resultantes. Para tal, é 
importante a definição de um plano que secciona o corpo, um sistema de coordenadas e uma convenção de sinais 
definida de uma forma coerente para determinar os sentidos dos esforços de uma maneira equivalente nas duas 
faces da seção do corpo. 
Os esforços internos, como já comentado, atuam em determinados pontos da área de seção transversal, 
representando os efeitos resultantes da distribuição da força que atua na área seccionada. A determinação dessa 
distribuição de forças é de suma importância na resistência dos materiais e, para tal, é necessário se estabelecer 
o conceito de tensão. 
1.7 TENSÃO 
Tensão é uma medida das forças internas de um corpo deformável. Quantitativamente, é a medida da força por 
unidade de área em uma superfície do corpo onde existam forças internas. 
Considere que a área seccionada seja subdividida em áreas muito pequenas, como por exemplo, a área 
mostrada em escuro na Figura 1.6. 
Uma força típica finita muito pequena atua sobre essa área . Essa força, como todas as demais, pode ser 
decomposta em componentes de acordo com o sistema de referência adotado. No caso, são três componentes nas 
direções dos eixos x, y e z, sendo respectivamente , e . As componentes e são tangenciais à área 
e a componente é normal. Fazendo-se com que a área tenda a zero, a força e suas componente também 
 
1-6 
 
tenderão a zero. Entretanto, a relação entre a força e a área tende para um limite finito. Essa relação é chamada 
de tensão. 
 
Figura 1.6: Forças internas em uma seção qualquer do corpo. 
A intensidade da força, ou força por unidade de área, que atua no sentido perpendicular a área , é definida 
como tensão normal, . Como a componente é normal à área: 
 
 
 
 
 
 
 
 Equação 1.1 
Se a força normal puxa o elemento de área, conforme ilustrado na Figura 1.6, ela é denominada tensão de tração. 
Se ela empurra o elemento, é denominada tensão de compressão. 
As forças por unidade de área que atuam no sentido tangencial à área , são denominadas tensões de 
cisalhamento, . As componentes da tensão de cisalhamento são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Equação 1.2 
Observe que um dos índices é utilizado para indicar a direção normal à área e o outro índice indica a direção da 
força de cisalhamento. A tensão é sempre uma quantidade vetorial, pois possui intensidade, direção e sentido. 
Caso o corpo também seja seccionado por planos paralelos ao plano x-z e y-z, pode-se então extrair um elemento 
cúbico do corpo, conforme a Figura 1.7, o qual terá o volume tendendo à zero. 
 
Figura 1.7: Extração do elemento cúbico do corpo. 
Esse elemento representa o estado de tensões que atua em torno do ponto de intersecção dos planos cortantes. 
 
1-7 
 
 
Figura 1.8: Estado de tensões tridimensionais para o elemento cúbico infinitesimal. 
Esse estado de tensões, ilustrado pela Figura 1.8, é caracterizado pelas três componentes normais e as seis 
componentes de cisalhamento, duas em cada seção, que atuam em cada face do elemento cúbico. Essas 
componentes definem o estado de tensões apenas para o elemento cúbico orientado ao longo dos eixos x, y e z. 
Caso tivesse sido extraído por planos não paralelos aos planos x-z, x-y e y-z, o estado de tensões seria definido por 
meio de um conjunto diferente de componentes. 
Após conhecido o conceito de tensão, pode-se retomar a discussão anterior e definir os esforços resultantes das 
tensões internas do corpo. Observe que a força na Figura 1.6 foi decomposta em três componentes de força nos 
sentidos dos eixos x, y e z, e essas componentes foram utilizadas para calcularmos as tensões normais e as de 
cisalhamento para o plano que secciona o corpo sólido em questão. De uma forma inversa, se conhecêssemos o 
valor das tensões, poderíamos encontrar os esforços resultantes dessas tensões. No entanto, as resultantes 
tensões internas seriam seis, o esforço normal, dois cortantes, dois momentos fletores e o momento torçor. Essas 
resultantes são obtidas de acordo com a Equação 1.3. 
 ∫ 
 
 ∫ ( )∫ 
 
 ∫ 
 
 ∫ 
 
 ∫ 
 
 Equação 1.3 
O esforço normal e os esforços cortantes relacionam-se diretamente com as tensões normal e cisalhante do plano 
em questão. 
1.8 DEFORMAÇÃO 
Quando uma força é aplicada a um corpo, tende a mudar a forma e o tamanho dele. Tais mudanças são 
denominadas deformações e poder ser perfeitamente visíveis ou praticamente imperceptíveis sem a utilização de 
equipamentos de medições precisas. 
As medições de deformação são feitas, na prática, por meio de experimentos e, uma vez obtidos seus valores, é 
possível relacioná-los às cargas aplicadas ou às tensões que atuam no interior do corpo. Na teoria, seu conceito 
será apresentado por meio de mudanças no comprimentos de segmentos de reta do corpo e mudanças dos ângulos 
entre eles. O alongamento ou a contração de um segmento de reta de um corpo por unidade de comprimento é 
denominado deformação normal. Considere a reta AB da Figura 1.9, contida no interior do corpo sem 
deformação. 
 
1-8 
 
A reta localiza-se ao longo do eixo n e tem comprimento original de . Após a deformação, os pontos A e B são 
deslocados para as posições A’ e B’, respectivamente, e a reta torna-se curva, tendo um comprimento de . A 
mudança de comprimento da reta, portanto, é . 
 
(a) (b) 
Figura 1.9: Corpo sem deformação (a) e corpo deformado (b), deformação normal. 
Como a deformação normal média é definida pelo símbolo , então se pode escrever: 
 
 
 
 
 
 
 Equação 1.4 
A posição dos pontos B e A é escolhida de modo que o ponto B escolhido esteja muito próximo de A, fazendo com 
que . A consequência disso é que também o ponto B’, após a deformação, esteja muito próximo de A’, de 
modo que . No limite, a deformação normal na direção n é: 
 
 
 
 
 
 
 
 Equação 1.5 
Quando ε é positivo, a reta inicial alonga-se, quando é negativo, a reta contrai-se. Se for conhecida a deformação 
é possível se determinar o comprimento da reta deformada através da Equação 1.6. 
 Equação 1.6 
A deformação é uma grandeza adimensional, fato causado por ser a relação entre dois comprimentos. Apesar 
disso, é fato comum expressá-la em razão de unidades de comprimento, como por exemplo mm/mm 
(milímetro/milímetro). 
Sejam agora, dois segmentos de reta AB e AC, com origem no mesmo ponto A e comprimento tendendo a zero, 
originalmente perpendiculares entre si, direcionados ao longo dos eixos t e n. A mudança de ângulo ocorrida 
entre os dois segmentos após a aplicação de um carregamento é chamada de deformação por cisalhamento. 
 
 
1-9 
 
(a) (b) 
Figura 1.10: Corpo sem deformação (a) e corpo deformado (b), deformação por cisalhamento. 
Esse ângulo é designado por  e medido em radianos (rad). Após a deformação, as extremidades das retas são 
deslocadas e as próprias retas se tornam curvas, de modo que o ângulo entre elas em A é ’, Figura 1.10. 
Portanto, define-se a deformação por cisalhamento no ponto A associado aos eixos n e t como: 
 
 
 
 
 
 
 Equação 1.7 
Observe que, se ’ é menor que /2, a deformação por cisalhamento é positiva, se ’ é maior que /2, a deformação 
por cisalhamento é negativa. 
Da mesma forma que foi utilizada nas definições de tensão, imagine agora o corpo subdividido em infinitos 
pequenos pedaços, conforme a Figura 1.11. 
 
Figura 1.11: Corpo subdividido em infinitos pequenos pedaços, antes da deformação. 
Antes da deformação, esse elemento é retangular, possuindo dimensões x, y e z. Como estamos supondo suas 
dimensões muito pequenas, após a deformação esse elemento assumirá a forma de um paralelepípedo, conforme 
a Figura 1.12, uma vez que segmentos de reta muito pequenos permanecem aproximadamente retos após a 
deformação. 
O formato deformado é atingido considerando-se primeiro como a deformação normal muda os comprimentos dos 
lados do elemento retangular e, depois, como a deformação por cisalhamento muda os ângulos de cada lado. 
 
Figura 1.12: Elemento infinitesimal do corpo após a deformação. 
Portanto, usando a Equação 1.6, em relação aos eixos x, y e z, tem-se que os comprimentos aproximados dos lados 
do paralelepípedo após a deformação são: 
 
1-10 
 
 
 
 
 Equação 1.8 
Os ângulos resultantes aproximados entre os lados são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Equação 1.9 
Observe que, as deformações normais provocam mudança de volume do elemento retangular, enquanto 
deformações por cisalhamento provocam mudança no seu formato. Naturalmente, ambos os efeitos ocorrem 
simultaneamente durante a deformação. 
1.9 PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS 
A resistência de um material depende da sua capacidade de suportar carga sem deformações excessivas ou 
ruptura. Essa propriedade é própria do material e deve ser determinada experimentalmente. O teste mais 
importante para a obtenção de propriedades mecânicas do material é o teste de tração ou compressão axial. 
Esse teste é utilizado principalmente para a obtenção da relação entre a tensão média e a deformação normal 
média. O teste é realizado através da conformação do material selecionado em corpos de prova de dimensões 
padronizadas por normas. Uma máquina de teste, especialmente projetada para tal função, é utilizada para 
aplicar-se uma carga de compressão ou tração no corpo de prova em teste. Essa carga é aplicada a uma taxa 
muito lenta e constante até que o material atinja o ponto de ruptura. Os dados da carga aplicada são registrados 
em intervalos frequentes assim como o alongamento ou encurtamento do corpo de prova. O valor desse 
alongamento é utilizando então para calcular a deformação do corpo de prova e a carga aplicada, juntamente com 
propriedades da seção transversal do corpo de prova, para calcular a tensão, obtendo-se assim, ao final do teste, o 
diagrama tensão-deformação para o material ensaiado. 
1.9.1 DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO 
O diagrama tensão-deformação é um gráfico bidimensional no qual se relacionam a tensão , ordenada, com a 
deformação , abscissa, obtidos pelo ensaio. Cada ponto do gráfico identifica uma leitura de tensão-deformação 
feita pela máquina de testes durante o ensaio. O último ponto caracteriza a ruptura do material. 
A partir do diagrama tensão-deformação é possível se obter diversas propriedades do material ensaiado. A 
Figura 1.13 ilustra o diagrama tensão-deformação de alguns materiais. 
 
1-11 
 
 
Figura 1.13: Diagrama tensão-deformação. 
Os materiais são classificados como dúcteis e frágeis, dependendo das suas características de tensão e 
deformação. 
1.9.2 MATERIAIS DÚCTEIS 
Materiais dúcteis são aqueles que apresentam grandes deformações antes de se romperem como, por exemplo, o 
aço, borracha, alumínio. A madeira pode ser considerada como um material moderadamente dúctil, pois suas 
características variam muito de uma espécie para outra. 
 
Figura 1.14: Diagrama tensão-deformação do aço, material dúctil com patamar de escoamento. 
Sendo que é a tensão de ruptura do material, é a tensão de resistência do material, que indica o limite de 
resistência, é a tensão de escoamento, que indica o final do regime elástico do material, e a tensão de 
proporcionalidade, que indica o fim do regime elástico linear do material. A proporcionalidade entre a tensão  e 
a deformação  nesse regime é dada pelo módulo de elasticidade E. 
O comportamento elástico é caracterizado pelo fato de que uma carga aplicada ao material que não exceda do 
valor de , não provoca deformações irreversíveis no material, ou seja, assim que a carga parade ser aplicada, o 
material retorna ao seu formato original. 
A região de escoamento é caracterizada por uma deformação permanente do material, que se desenvolve sem o 
acréscimo da tensão. A partir da tensão de escoamento, o material passa a trabalhar no regime plástico. 
 
1-12 
 
O endurecimento por deformação pode ser entendido como uma sobra de resistência do material. Ocorre após o 
termino do escoamento e caracteriza-se por um pequeno aumento residual de resistência do material. 
A estricção é um fenômeno que causa a redução da seção transversal do corpo de prova. Ao atingir o limite de 
resistência, a área da seção transversal em uma região localizada do corpo de prova, começa a diminuir. Esse 
fenômeno é provocado por planos de deslizamento formados no interior do material, e as deformações produzidas 
são provocadas por tensão de cisalhamento até levar o corpo de prova à ruptura. 
Nem todos os materiais dúcteis apresentam o patamar de escoamento. A maioria dos metais não apresentam 
escoamento constante além da faixa de elasticidade, um exemplo disso é o alumínio. A borracha natural é uma 
exceção geral a regra, pois nem limite de proporcionalidade tem, uma vez que sua tensão e deformação não se 
relacionam linearmente em nenhuma parte do diagrama, apresentando assim um comportamento elástico não 
linear. 
1.9.3 MATERIAIS FRÁGEIS 
Materiais frágeis são aqueles que se rompem bruscamente apresentando pequenas deformações como, por 
exemplo, o concreto. Outra característica é que não possuem tensão de ruptura à tração bem definida e sua 
resistência a esse esforço normalmente é baixa. Essa indefinição é causada pela existência de imperfeições e 
microtrincas no material. A consequência é que o aparecimento de trincas iniciais seja bem aleatório. Essas 
imperfeições ou microtrincas são próprias da natureza do material. 
As características do diagrama tensão-deformação do concreto, por exemplo, dependem principalmente da 
mistura água, areia, brita e cimento, da duração e temperatura da cura (endurecimento do concreto). Um 
exemplo típico de um diagrama tensão-deformação do concreto é mostrado na Figura 1.15. 
 
Figura 1.15: Diagrama tensão-deformação do concreto. 
Como se observa, a resistência máxima a compressão é muito maior do que a resistência à tração. 
Limite elástico do concreto é caracterizado pela tensão , no entanto não possui a propriedade da 
proporcionalidade, como no caso do aço. No entanto, para se obter uma proporcionalidade aproximada, utiliza-se 
a inclinação da reta secante que passa pela origem e pelo ponto final do regime elástico. Em qualquer outro 
ponto da curva, pode-se estimar a relação da tensão com a deformação através da reta tangente ao ponto 
analisado da curva, inclusive no ponto inicial. 
 
1-13 
 
Alguns autores utilizam aproximações por funções para representar a curva tensão-deformação do concreto, 
alimentadas por constantes definidas por ensaios experimentais. 
Após o limite elástico o concreto começa a sofrer dano, inclusive às vezes visível através de fissuras, sendo que 
mesmo danificado o material ainda possui uma sobra de resistência até atingir a tensão máxima , e então, 
após, começa a perder resistência até a total ruptura. Vale ressaltar que a deformação durante todos esses 
estágios é muito pequena, sendo praticamente imperceptível, característica essa do material frágil. 
1.10 LEI DE HOOKE 
Como exposto na seção anterior, a maioria dos materiais possuem uma relação linear, ou seja, uma relação 
proporcional ou aproximadamente proporcional entre a tensão  e a deformação . Esse fato, descoberto por 
Robert Hooke, em 1676, com o auxílio de molas, é conhecido como lei de Hooke, e é expressa pela seguinte 
relação: 
 Equação 1.10 
Sendo E a constante de proporcionalidade, chamada de módulo de elasticidade ou módulo de Young. A Equação 
1.10 na verdade representa a porção inicial reta do diagrama tensão-deformação até o limite de 
proporcionalidade e o módulo de elasticidade representa a inclinação dessa reta. 
Vale ressaltar que até então as propriedades dos materiais aqui discutidas envolvem tensões normais. No 
entanto, para as tensões tangenciais também existe, para certos materiais, uma proporcionalidade linear no 
início do diagrama de tensão-deformação. No cisalhamento, essa relação é dada entre a tensão de cisalhamento  
e a distorção angular . 
 Equação 1.11 
Sendo G conhecido como módulo de elasticidade transversal. Caso o material em estudo siga as hipóteses 
simplificadoras apresentadas na seção 1.4, ou as siga de maneira aproximada, o módulo de elasticidade 
transversal pode ser calculado em função do módulo de elasticidade de acordo com a seguinte expressão: 
 
 
 
 Equação 1.12 
Onde o  é conhecido como coeficiente de Poisson. 
1.11 COEFICIENTE DE POISSON 
Um corpo deformável quando submetido a uma força normal de tração, não só se alonga como também se contrai 
lateralmente. Por exemplo, se uma borracha é esticada, observa-se que tanto a espessura quando a largura 
diminuem. Da mesma forma, se o corpo está submetido a uma força normal de compressão, lateralmente ele irá 
expandir. A Figura 1.16 
“As deformações específicas transversais são diretamente proporcionais às deformações específicas 
longitudinais.” Essa afirmação é válida desde que o limite de proporcionalidade do material não seja 
ultrapassado. 
 
1-14 
 
 
(a) (b) 
Figura 1.16: Deslocamentos laterais e longitudinais: tração(a) e compressão (b). 
Quando uma carga F é aplicada a uma barra engastada, como por exemplo, na Figura 1.16, tanto para a tração 
Figura 1.16a quanto para a compressão Figura 1.16b é possível calcular a deformação longitudinal e a 
deformação transversal , independente se for tração ou compressão, de acordo com a Equação 1.13, 
relacionando-se o deslocamento após a aplicação da força com o comprimento total da peça na direção analisada. 
 
 
 
 
 
 
 Equação 1.13 
No início do século XIX, o cientista francês S.D. Poisson percebeu que na faixa de elasticidade do material, a 
razão entre as deformações longitudinal e transversal era constante. Essa constante é denominada de coeficiente 
de Poisson  e possui valor numérico exclusivo para cada material, desde que o material seja homogêneo e 
isotrópico. Materiais que podem ser simplificados para homogêneos e isotrópicos também possuem um valor de 
coeficiente de Poisson. Matematicamente, o coeficiente de Poisson é dado por: 
 
 
 
 Equação 1.14 
O sinal negativo é usado pois o alongamento longitudinal, ou encurtamento, provoca uma contração lateral, ou 
expansão, e vice-versa. Observe que essa deformação lateral é a mesma em todas as direções laterais. 
1.12 PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO DOS EFEITOS 
A superposição dos efeitos é geralmente utilizada para determinar a tensão ou deslocamento em determinado 
ponto do corpo, quando esse está submetido a um carregamento complexo. O carregamento complexo é 
subdividido em carregamentos mais simples, mas que juntos mantem o mesmo efeitos do original, e para se 
determinar a tensão ou o deslocamento resultante no ponto, é preciso encontrar primeiro as tensões ou 
deslocamentos provocados pelas cargas ou componentes individuais que atuam separadamente sobre o corpo. A 
tensão ou deslocamento resultante são, então, determinados somando-se algebricamente as contribuições 
provocadas pelas componentes individuais. 
 
1-15 
 
 
Figura 1.17: Ilustração da Superposição dos efeitos. 
A superposição dos efeitos é válida somente se as condições a seguir forem satisfeitas: 
 A carga complexa deve ser linearmente relacionada à tensão e ao deslocamento a ser determinado. 
 A carga complexanão deve mudar significativamente a geometria ou a configuração original do corpo. 
Basicamente, para a aplicação da superposição dos efeitos o material deve se manter no regime elástico linear do 
diagrama tensão deformação, ou seja, possuir valores de tensões e deformações abaixo do limite de 
proporcionalidade, além de possuírem pequenos deslocamentos, se comparados com as dimensões do corpo. 
1.13 PRINCÍPIO DE SAINT-VENANT 
O princípio de Saint Venant, observado pela primeira vez pelo cientista francês Barré de Saint-Venant em 1855, 
nos diz que a tensão e a deformação produzidas em pontos do corpo suficientemente distantes da região da 
aplicação da carga serão as mesmas produzidas por quaisquer cargas aplicadas que tenham a mesma resultante, 
estaticamente equivalente, e que sejam aplicadas na mesma região do corpo. 
Considere como uma barra retangular deforma elasticamente quando submetida a uma força F aplicada ao longo 
de seu eixo geométrico, conforme Figura 1.18. No caso, a barra está fixada rigidamente em uma das 
extremidades e a força é aplicada por meio de um furo na outra extremidade. 
 
Figura 1.18: Ilustração do Princípio de Saint Venant. 
Devido ao carregamento, a barra deforma-se como indicado pelas distorções das retas horizontais e verticais nela 
desenhadas. Observa-se que deformações localizadas ocorrem nas extremidades, diminuindo a medida que se 
observa mais o centro da barra até tornarem-se iguais. 
Como a deformação está relacionada a tensão no interior da barra, pode-se dizer que a tensão distribui-se mais 
uniformemente ao longo da área da seção transversal se o corte for feito longe do ponto em que a carga externa 
foi aplicada ou dos apoios (observe as seções a-a, b-b e c-c). 
 
1-16 
 
Como regra geral, que se aplica também a muitos outros casos de carregamento e geometria do corpo, considera-
se que a distância para a homogeneização das tensões seja pelo menos igual à maior dimensão da seção 
transversal sob carga. Então, no casso da barra da Figura 1.18, a seção c-c deve estar localizada a uma distância 
pelo menos igual à largura da barra. 
No entanto, essa regra não se aplica a todo e qualquer tipo de corpo sólido e qualquer carregamento. Por 
exemplo, paredes finas quando submetidas a cargas que provoquem grandes deflexões, podem criar tensões e 
deformações localizadas que exercem influência a uma considerável distância do ponto de aplicação de carga. 
1.14 MÉTODOS BÁSICOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL (ESTADO UNIAXIAL DE 
TENSÕES) 
São métodos simples e clássicos na literatura nos quais baseia-se em um valor limite para uma tensão, 
deslocamento ou carga de colapso definida para certo tipo de material, e então verifica-se se todos os pontos da 
peça estrutural em análise respeitam esse limite. São métodos utilizados no dimensionamento de elementos 
estruturais. 
Análise baseado nas tensões: 
 ̅ Equação 1.15 
Na qual  é a tensão de serviço (tensão calculada no elemento estrutural) e ̅ é a tensão admissível para o 
material do elemento em questão. 
Análise baseada nos deslocamentos: 
 ̅ Equação 1.16 
Na qual  é o deslocamento do elemento estrutural e ̅ é o deslocamento admissível para o elemento em questão. 
Análise baseada na carga de colapso: 
 Equação 1.17 
Na qual F é a carga de serviço no elemento estrutural e é o deslocamento admissível para o elemento em 
questão. 
Essa metodologia básica é utilizada para verificações rápidas e pequenos dimensionamentos. Na atualidade, 
peças estruturais são dimensionadas de acordo com o Estado Limite Último. 
1.15 TENSÃO ADMISSÍVEL 
A tensão admissível para certo material é determinada em função de uma constante conhecida como fator de 
segurança. Esse fator é responsável por reduzir o valor da tensão determinada experimentalmente como tensão 
limite para o material em questão. Essa tensão pode ser definida como a tensão do limite de proporcionalidade, 
do limite elástico e às vezes até como a tensão de ruptura. Normalmente, as estruturas são calculadas para 
trabalhar dentro do regime elástico linear, ou seja, a tensão limite é definida como a tensão do limite de 
proporcionalidade. 
 
1-17 
 
O coeficiente de segurança é adotado para englobar fatores externos que possam ocorrer na estrutura e que não 
foram preditos no dimensionamento estrutural. Entre esses fatores que influenciam o valor do coeficiente de 
segurança, pode-se citar: 
 Probabilidades de erros na avaliação de cargas; 
 Imperfeições na execução da peça; 
 Variação das propriedades mecânicas do material; 
 Imperfeições no cálculo devido às hipóteses simplificadoras; 
 Tipo de carregamento: carga estática, dinâmica, choque, etc.; 
 Número de repetições da aplicação das cargas (fadiga); 
 Tipo de ruptura (dúctil ou frágil); 
 Importância de determinada peça para a integridade da estrutura. 
Sendo s o fator de segurança definido para certa estrutura em análise, a tensão admissível ̅ para o material 
dessa estrutura pode ser definida como: 
 ̅ 
 
 
 Equação 1.18 
Sendo a tensão limite. 
Usualmente o fator de segurança para uma estrutura metálica é adotado como 1,15 e para uma estrutura de 
concreto de 1,4. O fator de segurança para o concreto é maior que do aço pelas incertezas que o material impõe 
dadas as suas características heterogêneas e anisotrópicas. 
1.16 TENSÕES PROVOCADAS PELO EFEITO DA TEMPERATURA 
Uma mudança de temperatura, tanto no ambiente como externa (fogo), podem provocar alterações nas dimensões 
de um elemento estrutural em função do seu material. Em geral, se a temperatura aumenta, o material se 
expande, se diminui, contrai. Normalmente, a expansão ou contração está linearmente relacionada ao aumento 
ou diminuição da temperatura. Se esse for o caso e o material for homogêneo e isotrópico, ou puder ser 
aproximado a essas características, então o deslocamento , expansão ou contração, de um elemento estrutural 
de comprimento L é determinada pela seguinte equação: 
 Equação 1.19 
Onde α é uma propriedade do material desse elemento estrutural conhecida como coeficiente linear de dilatação 
térmica. Sua unidade de medida é a deformação específica por grau de temperatura (1/ºC), e para o aço, por 
exemplo, o seu valor é de aproximadamente 12,0 10−6 (C°)−1. é a variação da temperatura, diferença entre a 
temperatura final e a inicial. 
Caso a mudança da temperatura varie em todo o comprimento do elemento, ou seja, , ou se α variar 
ao longo do comprimento do elemento, então a Equação 1.19 aplica-se a cada segmento infinitesimal do elemento 
estrutural dx. 
 ∫ 
 
 
 Equação 1.20 
A mudança de comprimento em um elemento estrutural estaticamente determinado é calculada prontamente 
pela Equação 1.19 ou pela Equação 1.20, uma vez que o elemento possui liberdade para se expandir ou contrair. 
 
1-18 
 
No entanto, em um elemento estaticamente indeterminado, esses deslocamentos térmicos são limitados pelos 
apoios, o que produz tensões térmicas que devem ser consideradas no projeto. 
 
 
2-19 
 
2 ESTADO TRIPLO DE TENSÕES 
No ponto genérico de um corpo carregado, para cada plano que o contém, define-se um vetor tensão. Como o 
ponto contém uma família de planos, tem-se também uma família de vetores tensão nesse ponto. A esta família 
de vetores tensão, dá-se o nome de estado de tensão no ponto. 
O estado de tensões no ponto, fica perfeitamente definido, conhecendo-se as tensões em 3 planos que passam pelo 
ponto. 
2.1 TENSÕES NORMAIS E DEFORMAÇÕES ESPECÍFICAS NO PONTO GENÉRICO 
Seja o corpo da Figura 2.1 submetido a um estado de carregamento multiaxial. Extraindo-se desse corpo um 
elemento volumétrico infinitesimal e, através da superposição dos efeitos,considerando-se apenas a ação das 
tensões normais com a atuação de uma delas por vez, pode-se escrever uma relação entre todas as tensões e 
deformações do corpo em função da lei de Hooke e do coeficiente de Poisson. 
 
Figura 2.1: Tensões Volumétricas. 
Considerando apenas agindo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação 2.1 
Considerando apenas agindo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação 2.2 
Considerando apenas agindo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação 2.3 
 
2-20 
 
Aplicando-se o princípio superposição dos efeitos, considerando todos os efeitos conjuntos de todas as tensões 
normais, pode-se escrever para as deformações normais: 
 
 
 
[ ( )] 
 
 
 
[ ] 
 
 
 
[ ( )] 
Equação 2.4 
Nas quais, E é o módulo de elasticidade e  é o coeficiente de Poisson. 
Dessa forma, calculam-se os efeitos das tensões nas três tensões normais nas três deformações normais. 
2.2 TENSÕES TANGENCIAIS E DISTORÇÕES ANGULARES NO PONTO GENÉRICO 
Considerando-se, agora, somente as tensões de cisalhamento atuando no elemento infinitesimal, pode-se escrever 
em função da lei de Hooke, relações para as todas as tensões de cisalhamento e todas as deformações de 
cisalhamento, considerando-se a atuação de uma tensão cisalhante por vez. 
 
Figura 2.2: Tensões de Cisalhamento. 
Considerando apenas as tensões tangenciais e agindo no paralelepípedo elementar: 
 
Figura 2.3: Tensões e deformações de cisalhamento no plano XY. 
Aplicando a condição de equilíbrio ∑M0 =0, resulta: 
 
2-21 
 
 
 
Equação 2.5 
E, por analogia: 
 
 
Equação 2.6 
Estas relações são conhecidas como Teorema de Cauchy ou Teorema das Tensões Recíprocas e pode ser 
enunciado como: 
“As tensões tangenciais sobre dois planos ortogonais são recíprocas”. 
Isto é, existindo tensões tangenciais sobre um plano, existirão tensões tangenciais , também no plano 
ortogonal ao primeiro, de modo que seus sentidos se aproximam ou se afastam da aresta comum aos dois planos. 
Este teorema é consequência das condições de equilíbrio. 
A Lei de Hooke aplicada às tensões de cisalhamento e distorções angulares resulta: 
 
 
 
, 
 
 
, 
 
 
 Equação 2.7 
Note que as tensões de cisalhamento e suas respectivas deformações de cisalhamento são independentes das 
demais componentes de cisalhamento. Além disso, as deformações normais e tensões normais são independentes 
das deformações e tensões cisalhantes. 
2.3 LEI DE HOOKE GENERALIZADA 
Considerando o princípio da superposição dos efeitos e sabendo-se que nos planos definidos pelos eixos x, y e z, 
ocorrem simultaneamente tensões normais e cisalhantes, pode-se escrever uma relação geral entre as tensões e 
deformações, combinando-se as tensões em um vetor de tensões , as deformações em um vetor de deformações  
e a relação entre essas grandezas em uma matriz conhecida como matriz constitutiva D. Essas quantidades 
vetoriais são escritas de acordo com as equações encontradas anteriormente. 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 }
 
 
 
 
 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 }
 
 
 
 
 Equação 2.8 
 
2-22 
 
Ou, de uma forma compacta: 
 Equação 2.9 
Na Equação 2.9 a relação apresentada, cálculo das deformações em função das tensões, é escrita com a inversa 
da matriz constitutiva do material, que é definida em função da lei de Hooke que calcula as tensões em função 
das deformações, ou seja: 
 Equação 2.10 
Sendo que a lei de Hooke generalizada é então escrita como: 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 }
 
 
 
 
 
 
 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 }
 
 
 
 
 
Equação 
2.11 
Caso o corpo esteja submetido a uma pressão hidrostática p, que resulta em tensões e deformações normais 
iguais em todas as direções pode-se relacionar a pressão hidrostática p com a deformação volumétrica do corpo , 
em função do coeficiente de Poisson e do Módulo de Elasticidade, conforme segue. 
 
 
 
 Equação 2.12 
Na qual: 
 
 
Equação 2.13 
2.4 DEFORMAÇÃO NORMAL DO ELEMENTO INFINITAMENTE PEQUENO 
(DILATAÇÃO CÚBICA) 
O volume do elemento sólido infinitesimal, antes de qualquer solicitação é: V0 = dxdydz. 
Ao ser solicitado por forças de tração normais às faces Nx, Ny e Nz, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Equação 2.14 
Qualquer que seja o estado de tensões, teremos deformações nas três direções. 
 
2-23 
 
 
Figura 2.4: Solicitação por forças de tração normais. 
Após as deformações, o volume do elemento infinitesimal será (ver Equação 1.6): 
 ( ) Equação 2.15 
A variação de volume do elemento infinitesimal é V=V-V0 e, portanto: 
 ( ) Equação 2.16 
Sabendo-se que a dilatação cúbica e é a relação entre a variação do volume e o volume inicial, ou seja: 
 
 
 
 Equação 2.17 
Substituindo-se a Equação 2.16 na Equação 2.17, simplificando-se os termos, expandindo a equação e eliminando 
os termos de valores não significativos, chega-se a: 
 Equação 2.18 
Essa equação nos diz que: 
“A dilatação cúbica é a soma das deformações específicas nas três direções, qualquer que seja o estado elástico”. 
A dilatação cúbica também pode ser escrita em função das tensões normais. Da lei de Hooke generalizada tem-se: 
 
 
 
[ ( )] 
 
 
 
[ ] 
 
 
 
[ ( )] 
Equação 2.19 
 
2-24 
 
Substituindo esses valores de x, y e z, na expressão da dilatação cúbica e rearranjando os termos, Equação 2.18, 
teremos: 
 
 
 
( ) Equação 2.20 
Corpos incompressíveis (líquidos), a variação volumétrica é igual a zero. Assim é possível calcular o coeficiente de 
Poisson para esses corpos incompressíveis a partir da Equação 2.20, substituindo-se e=0. Como as tensões, nesse 
caso, são sempre não nulas, chega-se a conclusão que: 
 
 
 Equação 2.21 
E, portanto: 
 
 
 
 Equação 2.22 
Que é o máximo valor possível para o coeficiente de Poisson. 
2.5 TENSÕES PRINCIPAIS 
Todo estado de tensões apresenta três planos nos quais as tensões tangenciais são nulas, restando apenas 
tensões normais 1, 2 e 3. Estes planos são conhecidos como planos principais e as tensões que lhes 
correspondem, denominam-se tensões principais. 
Esse estado de tensões é obtido rotacionando-se o elemento infinitesimal em função de certos ângulos a, b e , 
respectivamente, até que na nova posição, o elemento infinitesimal apenas contenha tensões normais a suas 
superfícies. 
 
Figura 2.5: Tensões Principais. 
2.6 DECOMPOSIÇÃO DO ESTADO DE TENSÃO 
Pode-se decompor um estado geral de tensão em dois estados. Um chamado de estado de tensão de mudança de 
volume ou “hidrostático” e outro de estado de tensão de mudança de forma. Considerando um estado triplo de 
tensão principal 1, 2 e 3 pode-se escrever: 
 
2-25 
 
 
 
 
Equação 2.23 
No estado de mudança de forma representado pelas tensões linha (’) a deformação volumétrica é igual à zero, 
portanto:Equação 2.24 
Somando membro a membro, as Equação 2.23 e considerando a Equação 2.24, resulta: 
 
 
 
 Equação 2.25 
Substituindo-se a Equação 2.25 nas Equação 2.23 e isolando-se as tensões linha, chega-se a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação 2.26 
E dessa forma encontram-se os valores das tensões linha para a decomposição de um estado geral de tensões em 
dois estados, um hidrostático e outro de mudança de forma. 
 
 
 
3-25 
 
3 ESFORÇO NORMAL SIMPLES 
O esforço normal simples ocorre quando na seção transversal do prisma atua uma força normal a ela (resultante) 
e aplicada em seu centro de gravidade (CG). 
3.1 BARRA CARREGADA AXIALMENTE 
Um corpo tridimensional pode ser considerado como barra quando o seu comprimento é muito maior que as 
dimensões da seção transversal. Usando a lei de Hooke e as definições de tensão e deformação, será desenvolvida 
uma equação para determinar a deformação elástica de um elemento submetido a cargas normais. Considere a 
barra da Figura 3.1a, que possui seção transversal variável ao longo do comprimento. 
 
(a) (b) 
Figura 3.1: Barra com seção variável(a) e diagrama de corpo livre do elemento infinitesimal (b). 
A barra está submetida a cargas concentradas nas suas extremidades e uma carga variável distribuída ao longo 
do seu comprimento (por exemplo, peso da barra quando na vertical ou forças de atrito). O objetivo é calcular o 
deslocamento  de uma das extremidades da barra em ralação a outra. Considerando o princípio de Saint 
Venant, pode-se considerar que a barra, em sua maior parte, deforma-se uniformemente, de modo que a tensão 
normal se distribui de maneira uniforme pela seção transversal. 
Utilizando-se o método das seções, isola-se um elemento infinitesimal obtido de uma posição qualquer da barra, 
de comprimento dx e área A(x). O diagrama de corpo livre do elemento é mostrado na Figura 3.1b. A força axial 
interna resultante é representada por F(x), uma vez que o carregamento externo faz com que ela varie no 
comprimento da barra. A carga F(x) deformará o elemento infinitesimal, conforme ilustra a Figura 3.1b e, 
portanto, o deslocamento de uma extremidade do elemento em relação a outra será d. A tensão e a deformação 
do elemento são: 
 
 
 
, 
 
 
 Equação 3.1 
Desde que essas quantidades não excedam o limite de proporcionalidade do material, pode-se relacioná-las 
utilizando a lei de Hooke. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação 3.2 
O cálculo do deslocamento total  é feito com a integração dessa equação em todo o comprimento L da barra. 
 
3-26 
 
 ∫
 
 
 
 
 
 Equação 3.3 
Caso o carregamento externo fosse constante no comprimento, assim como a área de seção transversal, conforme 
mostra a Figura 3.2, e lembrando-se que o material sempre está sendo considerando homogêneo e isotrópico, a 
Equação 3.3, resume-se a: 
 
 
 
 Equação 3.4 
 
Figura 3.2: Barra com área constante e carregamento constante. 
Caso a barra esteja submetida a diversas cargas normais ou tipo do material mudar de forma abrupta de uma 
região para a outra a Equação 3.4 poderá ser aplicada a cada segmento de barra em que essas quantidades sejam 
diferentes e o deslocamento final de toda a barra será a soma dos deslocamentos de cada uma dessas regiões. 
Lembrando que para executar tal soma deverá ser aplicado o método das seções em cada uma dessas regiões 
para a determinação do esforço normal interno na região. 
3.2 BARRA ESTATICAMENTE INDETERMINADA 
Quando o número de restrições dos deslocamentos ou reações de apoio em uma barra é maior que o número de 
equações da estática, como por exemplo, a barra biengastada da Figura 3.3, a barra é dita estaticamente 
indeterminada, pois as relações de equilíbrio não são suficientes para se determinar todas as reações. 
O problema somente será solucionado ao estabelecerem-se equações adicionais de tal forma que seja possível 
calcular todas as reações. Essas equações adicionais levarão em conta a geometria da deformação. 
 
Figura 3.3: Barra biengastada. 
De forma explicita, uma equação que especifique as condições do deslocamento é denominada condição de 
compatibilidade. Uma condição de compatibilidade adequada para a barra da Figura 3.3 requer que o 
deslocamento entre as extremidades A e B seja nulo. Essa condição pode ser expressa em termos da relação entre 
cargas e deslocamentos dada pela Equação 3.4 dependente do comportamento do material, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação 3.5 
Supondo que o módulo de elasticidade e a área de seção transversal sejam constantes no comprimento, pode-se 
 
3-27 
 
escrever que as reações nos apoios são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação 3.6 
3.3 TENSÕES NORMAIS E TANGENCIAIS NUMA SEÇÃO OBLIQUA DE UMA BARRA 
SOLICITADA AXIALMENTE 
Em discussão anterior, 3.1, foi observado que uma barra solicitada axialmente apenas possui tensão normal em 
seu interior. No entanto, se tomarmos um plano qualquer aa que secciona a seção transversal de uma barra 
axialmente solicitada em um ângulo , observa-se que o esforço axial aplicado (resultante) pode ser decomposto 
em duas outras forças nas direções normal e tangencial ao plano aa. 
 
Figura 3.4: Esforço normal em uma seção obliqua 
Essas duas resultantes, Fn e Ft irão causar tensões normais e cisalhantes, respectivamente, no plano aa. O 
cálculo dessas tensões deve levar tanto a inclinação do plano quando a área Aa resultante do seccionamento 
(diferente da área A original da seção transversal), ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação 3.7 
Admitindo-se distribuição uniforme de tensão de cisalhamento, provocada pela componente Ft: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação 3.8 
Observando-se as relações resultantes para n e t é possível identificar um ângulo  onde as tensões normais 
serão máximas e um ângulo  onde as tensões cisalhantes serão máximas. 
Como n é função de cos , o máximo valor de n irá ocorrer quando  = 0, que corresponde a uma seção 
 
3-28 
 
perpendicular a seção transversal da barra, ou seja, max = . No caso de t, a tensão de cisalhamento no plano 
inclinada é função de sen 2, portanto o máximo valor de t ocorrerá quando o ângulo  = 45º, ou seja, max = /2. 
3.4 BARRA SOB A AÇÃO DO PESO PRÓPRIO 
Uma barra ou qualquer outro corpo tridimensional está sempre sujeito a ação do peso próprio, gerada pelo seu 
peso específico  em função da força da gravidade. Em certas análises, a resultante representativa do peso 
próprio pode ser suprimida, quando seu valor for muito inferior às outras cargas envolvidas na análise. 
A resultante representativa do peso próprio sempre estará aplicada no centro de massa do corpo, ou da barra, na 
direção vertical com sentido para baixo. 
 
Figura 3.5: Barra submetida a uma ação F e ao peso próprio P. 
Seja a barra da Figura 3.5 submetida a uma carga axial F e a carga P(x) representativa do peso da porção x da 
barra sobre a seção aa. A tensão nessa seção é calculada como segue, sendo N(x) a carga total (F + P(x)) na seção 
aa, a a tensão na seção aa e A a área da seção transversal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação 3.9 
O valor máximo da carga resultante do peso próprio é calculado considerando-se a barra como um todo, portanto, 
a tensão máxima na barra da Figura 3.5 é: 
 
 
 
 Equação 3.10 
A deformação na barra será calculada considerando-se o deslocamento em uma porção dxlocalizada entre as 
seções aa e bb. De acordo com a Equação 3.3, como o peso próprio está distribuído e agindo em todo o volume do 
corpo, ou no caso da barra, ou seja, é uma carga variável com o comprimento, o deslocamento é calculado como: 
 
3-29 
 
 ∫
 
 
 
 
 
 
 ∫
 
 
 
 
 
 ∫
 
 
 
 
 
 
Equação 3.11 
Integrando-se a Equação 3.11, chega-se a: 
 
 
 
 
 
 
 Equação 3.12 
Na qual, o segundo termo do lado direito da equação representa a quantidade de deslocamento causada pelo peso 
próprio da barra. A direção desse deslocamento é a mesma da direção da resultante do peso próprio e caso a 
barra não esteja na vertical não será um deslocamento axial, como será visto mais adiante. 
3.5 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO 
Quando forças externas são aplicadas a corpos os mesmos sofrem certa deformação, conforme já visto. Essa carga 
a cada unidade de deslocamento é conhecida como trabalho das forças externas. Esse trabalho é armazenado pelo 
corpo na forma de energia potencial de deformação. Seja a barra da Figura 3.6 com um módulo de elasticidade E 
e área da seção transversal A constantes. 
 
Figura 3.6: Barra deformando-se em função da carga F. 
Considerando a carga F crescendo de um valor zero até um valor F, de forma constante e lenta no tempo, se o 
material obedece a lei de Hooke, a relação entre a carga F e a deslocamento  é representada por uma reta, 
conforme a Figura 3.7. 
 
Figura 3.7: Relação força deslocamento, Energia de deformação. 
 
3-30 
 
A linearidade da relação entre força e deslocamento, torna possível escrever um deslocamento infinitesimal d, 
em função de uma carga infinitesimal dF, ou seja. 
 
 
 
 Equação 3.13 
Da mesma forma que o definido na Equação 3.4. 
3.5.1 PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DE ENERGIA 
De acordo com o exposto inicialmente, pode-se enunciar o princípio da conservação de energia. 
“O trabalho realizado é igual à variação na energia” 
Corpos inicialmente descarregados, solicitados por um carregamento estático de forma que o material permaneça 
trabalhando no regime elástico linear, quando não ocorre troca calorífica e os corpos não apresentam movimento 
de corpo rígido, tem-se que: 
 Equação 3.14 
Na qual, Ue é o trabalho das forças externas, calculado com a multiplicação da força pelo deslocamento, e U é a 
energia de deformação do corpo. 
Como o trabalho das forças externas é dado pelo valor da força a cada unidade de deslocamento, para uma carga 
F’ qualquer, representativa de um deslocamento ’, a variação do trabalho das forças externas é: 
 Equação 3.15 
O cálculo do trabalho das forças externas é feito substituindo-se na Equação 3.15 a Equação 3.13 e integrando. 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação 3.16 
A Equação 3.16 nos diz simplesmente que a energia de deformação de um corpo U, ou barra no caso, é igual a 
área sobre a reta que relaciona as forças com os deslocamentos desse corpo, ou barra. Sua unidade é 
[força].[deslocamento]. 
Da mesma forma que para a barra com carga axial, um corpo volumétrico tridimensional tem sua energia de 
deformação por unidade de volume dada por uma relação entre a tensão e a deformação durante o regime 
elástico linear do material, ou mais simplesmente, a área sob o diagrama tensão deformação em seu regime 
elástico linear e sua unidade é [força]/[área], ou [força].[deslocamento]/[volume]. 
3.6 MATERIAIS HOMOGÊNEOS ASSOCIADOS 
Imagine agora, uma peça estrutural que seja composta por materiais com diferentes propriedades mecânicas 
(módulo de elasticidade, coeficiente de Poisson, tensão limite, etc.). O comportamento dessa peça como um todo 
 
3-31 
 
deve ser avaliado considerando-se a participação de todos os materiais que a compõe. Seja o elemento estrutural 
de barra da Figura 3.8 composto de dois materiais, o material 1 e o material 2 que possuem propriedades 
mecânicas e geométricas de acordo com a Tabela 3.1. 
 
Figura 3.8: Elemento estrutura de barra composto de dois materiais. 
 Material 1 Material 2 
Módulo de Elasticidade E1 E2 
Coeficiente de Poisson 1 2 
Tensão Admissível ̅ ̅ 
Área da seção transversal A1 A2 
Tabela 3.1: Propriedades mecânicas e geométricas dos materiais do elemento estrutural de barra. 
Desde que a carga F não faça com que ambos os materiais X e Y ultrapassem os limites de proporcionalidade do 
material, pode-se relacionar as deformações como: 
 Equação 3.17 
De acordo com a lei de Hooke, a Equação 3.17 pode ser reescrita como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Equação 3.18 
A Equação 3.18 nos diz que a relação entre os módulos de elasticidade dos dois materiais, assim como a relação 
entre as tensões é constante (n). Da mesma forma, pode-se escrever uma relação constante para as áreas, onde 
A1/A2 = m, sendo m constante. 
A resultante ou esforço solicitante F, aplicado no centro geométrico da seção transversal, pode ser escrito como a 
soma da resultante do material 1 com a resultante do material 2, ou seja, F = F1 + F2. 
3.6.1 DIMENSIONAMENTO 
No caso do problema a ser resolvido ser sobre o dimensionamento do elemento estrutural com materiais 
associados, necessita-se calcular as áreas desses materiais para que as tensões admissíveis de cada um não 
sejam ultrapassadas, em função da carga externa axial aplicada ao conjunto. 
Sabendo-se que a força F resultante deve ser a soma das resultantes nas barras dos dois materiais, e ainda que a 
força externa resultante em uma das barras pode ser escrita como uma multiplicação das constantes n e m pela 
tensão e área da outra barra, ou seja, F1 = nm2A2, ou F2 = nm1A1, e que o cálculo das áreas pode ser feito em 
função das tensões limites, sempre verificando para os dois materiais, de acordo com: 
 
 
 ̅ 
 
 
 ̅ 
 Equação 3.19 
Sendo o valor final da área 2 o maior entre os valores calculados acima. A área 1 pode ser calculada com a 
 
3-32 
 
relação entre as áreas através da constante m. A verificação pode ser feita primeiro com a área 1, substituindo-se 
os índices adequadamente nas Equação 3.19. 
3.7 DEFORMAÇÕES AXIAIS ELASTOPLÁSTICAS - OPCIONAL 
Todos os resultados obtidos até esse ponto levavam em consideração a permanência do material em seu regime 
elástico linear. Se, por qualquer razão, a tensão de escoamento do material for excedida em qualquer ponto, 
ocorrerão deformações plásticas, e a maior parte dos resultados obtidos anteriormente deixam de ser válidos. 
Caso isso ocorra, deve se fazer uma análise mais minuciosa do problema, baseada em relações não-lineares entre 
tensões e deformações. 
Uma aproximação para considerar-se efeitos causados pela plastificação do material é considera-lo como um 
material elastoplastico idealizado, para o qual o diagrama tensão deformação é constituído de duas retas, 
conforme Figura 3.9, onde a reta inclinada representa o regime elástico linear e a reta horizontal a plastificação 
do material. 
 
Figura 3.9: Diagrama tensão deformação idealizado, material elastoplástico. 
O diagrama de tensão deformação para o aço doce na região elástica e na zona plástica é parecido com essa 
idealização. 
Enquanto a tensão  não ultrapassa o valor da tensão de escoamento e o material obedece a lei de Hooke. 
Quando o material atinge e começa a deformar-se plasticamente sob carregamento constante. Se o 
carregamento é removido, a linha de descarregamento, mostrada na Figura 3.9 em linha tracejada, paralela a 
linha que ilustra a região elástica linear, não retorna a origem, indicando que o elemento estrutural sofre uma 
deformação permanenteεp. 
Por exemplo, é possível calcular o deslocamento permanente de uma barra em função da deformação 
permanente. Sendo ε a deformação total sofrida pela barra, a deformação permanente será εp = ε – εe, sendo εe a 
deformação referente a tensão de escoamento, calculada ainda de acordo com a lei de Hooke. O deslocamento 
permanente então é p = εpL, na qual L e o comprimento da barra. 
 
 
 
 
4-35 
 
4 ESFORÇO DE FLEXÃO SIMPLES 
O esforço de flexão simples é normalmente resultante da ação de carregamentos transversais que tendem a 
curvar o corpo e que geram uma distribuição de tensões aproximadamente lineares no seu interior. Essa 
distribuição alterna entre tensões de tração e compressão na mesma seção transversal. Isso ocorre desde que a 
seção transversal do corpo seja simétrica em relação ao plano de aplicação do carregamento transversal (plano de 
solicitação). A resultante dessa distribuição é um binário de forças de igual intensidade, mas de sentidos opostos, 
conhecido como momento fletor, Figura 4.1b. 
 
(a) (b) (c) 
Figura 4.1: Flexão simples. 
O esforço de flexão simples ocorre em corpos nos quais o sistema de forças externas, ativas e reativas, e o eixo 
longitudinal do corpo estejam contidos em um mesmo plano (plano de solicitação), Figura 4.1c. No caso de barras, 
dado o seu grande comprimento em relação às dimensões da seção transversal, aliado às hipóteses 
simplificadoras, a fibra média possuirá um grande raio de curvatura e, portanto será considerada localmente 
como reta. A convenção de sinais adotada considera positivo o momento quando a barra é flexionada de forma 
que a concavidade fique voltada para cima, caso contrário, considera negativo, Figura 4.1a. 
4.1 FLEXÃO PURA 
A flexão pura é um caso particular da flexão simples onde corpos flexionados somente estão solicitados por um 
momento fletor, não existindo assim o carregamento transversal. É uma condição considerada idealizada, mas 
com a consideração das hipóteses simplificadoras, essa condição pode ser acoplada, posteriormente, aos efeitos 
das cargas transversais para se definir a deformada e as tensões na flexão simples. 
As condições de equilíbrio requerem que os esforços internos sejam equivalentes às solicitações externas. Como a 
solicitação na barra, no caso da flexão pura, é um momento constante M, em qualquer seção da barra a 
distribuição de tensões deve ser igual ao momento M. Seja uma seção feita na barra no ponto C da Figura 4.1a 
ilustrada na Figura 4.2. 
 
Figura 4.2: Tensões na seção transversal no ponto C durante a flexão. 
 
4-36 
 
Chamando de x a tensão normal em um ponto da seção transversal e xy e xz as componentes da tensão de 
cisalhamento é possível expressar o sistema de forças internas equivalentes ao momento M. Como o momento M 
consiste de duas forças de igual intensidade, mas sentidos opostos, Figura 4.1b, a soma dessas componentes é 
sempre igual a zero. Além disso, o momento fletor M é o mesmo em relação a qualquer eixo perpendicular ao seu 
plano e é zero em relação a qualquer eixo contido no seu plano. Aplicando-se as equações da estática, somatório 
de forças e somatório de momento, em função das resultantes, função das tensões nos elementos infinitesimais 
da seção em C, ilustrados na Figura 4.2, chega-se respectivamente a: 
∫ Equação 4.1 
Somatório dos momentos em torno do eixo y, e: 
∫ Equação 4.2 
Somatório dos momentos em torno do eixo z. 
As demais componentes normais e de cisalhamento, em uma barra submetida a flexão pura, não precisam ser 
consideradas, conforme será visto a seguir. 
4.1.1 HIPÓTESE DE BERNOULLI 
Em relação às tensões, seja o corpo da Figura 4.1 dividido em um grande número de pequenos elementos 
conforme ilustra a Figura 4.3, e considerando-se ainda apenas um momento M aplicado (Flexão Pura). 
 
(a) (b) 
Figura 4.3: Divisão em diversos elementos, seção vertical, longitudinal (a) e seção horizontal, longitudinal (b). 
A hipótese de Bernoulli nos diz que as seções transversais, após a deformação do de flexão pura do corpo com eixo 
de simetria, se mantém planas e ortogonais ao eixo longitudinal deformado. 
Aliando a hipótese de Bernoulli com o fato de que o raio de curvatura é grande, todas as seções ilustradas na 
Figura 4.3 estarão aproximadamente a 90º umas das outras, ou seja, as deformações angulares e, 
portanto, as tensões de cisalhamento . Com a utilização das hipóteses simplificadoras, em especial o 
fato de estarmos considerando pequenas deformações e o corpo em estudo possuir características de barra, 
 
4-37 
 
observa-se que nas superfícies as tensões . Sendo assim, na flexão pura de uma barra, ocorre um 
estado de tensões uniaxiais, sendo a única tensão existente a tensão normal na direção x, x. 
A partir da discussão inicial juntamente com a hipótese de Bernoulli, conclui-se que deve existir uma superfície 
paralela às faces superior e inferior da barra fletida, na qual a tensão x e a deformação x sejam iguais à zero. 
Essa superfície é conhecida como superfície neutra e a interceptação da linha neutra com o plano de simetria da 
seção transversal da barra, Figura 4.4a, é uma linha reta conhecida como linha neutra. 
4.1.2 DEFORMAÇÕES NA FLEXÃO PURA 
Seja um elemento de barra prismático com seção transversal simétrica em relação ao eixo vertical, submetido a 
um momento fletor M, conforme ilustra a Figura 4.4. Esse elemento sofrerá flexão sob a ação do momento M e 
permanecerá simétrico em relação ao plano de simetria da seção transversal, além disso, o momento M é igual 
em qualquer seção da barra entre A e B. 
 
(a) (b) 
Figura 4.4: Elemento de barra com seção transversal simétrica flexionado. 
Essa flexão da barra fará com que a linha AB da face superior, que intercepta o plano de simetria, originalmente 
reta, tenha uma curvatura constante, assim como a linha A’B’ da face inferior. Nota-se também que, sendo o 
momento M aplicado no sentido ilustrado na Figura 4.4, a linha AB sofrerá encurtamento no seu tamanho e a 
linha A’B’ sofrerá um alongamento. 
Adotando um sistema de coordenadas com origem na linha neutra, definida pelo segmento DE, conforme ilustra 
a Figura 4.5a, de modo que qualquer ponto até a superfície neutra será medido por sua coordenada y como, por 
exemplo, os pontos da linha tracejada, definida pelo segmento JK, ilustrada na Figura 4.5. 
Chamado de  o raio do arco DE e de  o ângulo central correspondente ao arco DE, e observando que o 
comprimento do arco DE é aproximadamente igual ao comprimento da barra indeformada1, L, pode-se escrever 
que: 
 Equação 4.3 
Lembrando que o segmento DE é a linha neutra da barra fletida e, portanto não sofre alongamento e nem 
encurtamento, pois as tensões e deformações na direção x são zero. 
No arco JK, localizado a uma distância y da linha neutra, o comprimento se modifica e não vale mais L. 
Chamando de L’ o seu comprimento, esse pode ser escrito como: 
 
1 Isso é válido pois se está considerando pequenas deformações e pequenos deslocamentos. 
 
4-38 
 
 Equação 4.4 
Como o comprimento original, com a barra indeformada, do segmento JK era L, o seu deslocamento longitudinal 
total pode ser escrito como: 
 Equação 4.5 
Substituindo as Equação 4.3 e Equação 4.4 na Equação 4.5, chega-se a: 
 Equação 4.6 
A deformação longitudinal do segmento JK podeser escrita dividindo-se o seu deslocamento longitudinal total 
pelo seu comprimento original. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Equação 4.7 
O sinal negativo na deformação vem do fato de supormos que o momento aplicado M seja positivo e que, portanto 
a barra fletida terá concavidade voltada para cima. 
 
(a) (b) 
Figura 4.5: Linha Neutra, seção longitudinal (a) e transversal (b). 
Sabendo-se que a maior deformação possível ocorre nos extremos da seção transversal, e sendo a distância da 
linha neutra até um desses extremos de c, pode-se escrever que a deformação máxima é igual a: 
 
 
 
 Equação 4.8 
Por fim, a deformação normal na direção x pode ainda ser escrita em função da deformação máxima. 
 
4-39 
 
 
 
 
 Equação 4.9 
Da hipótese de Bernoulli vem o fato de que as deformações serão idênticas em todos os planos paralelos ao plano 
de simetria. Dessa forma, o valor da deformação dado pela Equação 4.7 ou Equação 4.9 é válido em qualquer 
ponto e conclui-se que a deformação normal longitudinal, x varia linearmente com a distância y da linha neutra. 
4.1.3 TENSÕES E DEFORMAÇÕES NO REGIME ELÁSTICO 
Considere que o momento M aplicado é tal que as tensões desenvolvidas na barra por flexão, Figura 4.1c, não 
atinjam em nenhum ponto a tensão limite do material, ou seja, a barra fletida trabalha dentro do seu limite 
elástico linear, sendo válida então a lei de Hooke para a tensão uniaxial. 
Sendo E o módulo de elasticidade do material, da mesma forma que no esforço normal simples, pode-se escrever 
que: 
 
 
Equação 4.10 
Multiplicando-se ambos os membros da Equação 4.9 pelo módulo de elasticidade: 
 
 
 
 Equação 4.11 
Utilizando-se a Equação 4.10 na Equação 4.11: 
 
 
 
 Equação 4.12 
Na qual máx representa o máximo valor absoluto da tensão. A tensão normal também varia linearmente com a 
distância em relação a linha neutra, Figura 4.1b. 
Utilizando-se o primeiro resultado do equilíbrio na seção, a Equação 4.1, e substituindo nela a Equação 4.11: 
∫ ∫ 
 
 
 
 
 
∫ ∫ Equação 4.13 
A Equação 4.13 mostra que o primeiro momento estático da seção transversal em relação à linha neutra deve ser 
igual a zero. Isso significa que uma barra submetida a flexão pura, desde que as tensões permaneçam no regime 
elástico linear, possui linha neutra passando pelo centro geométrico da seção transversal. 
A outra equação de equilíbrio a Equação 4.2, momento em torno do eixo z, o qual deverá ser perpendicular a 
linha neutra, nos mostra o equilíbrio do momento M aplicado com as tensões x internas, e substituindo nessa 
equação a Equação 4.11, chega-se a: 
 
4-40 
 
∫ ( 
 
 
 ) 
 
 
∫ 
 
 
 
 
Equação 4.14 
Na qual o segundo momento estático da seção transversal é conhecido como momento de inércia, I em torno do 
eixo z contido na superfície neutra. 
Substituindo-se a Equação 4.11 na Equação 4.14, chega-se ao valor das tensões na direção x em função do 
momento fletor aplicado para qualquer altura y. 
 
 
 
 Equação 4.15 
A Equação 4.15 é conhecida como equação da flexão para o regime elástico, e a tensão x é chamada de tensão de 
flexão. Observe que se y é positivo, ou seja, acima da linha neutra, o valor das tensões é negativo, ou seja, 
compressão. Caso y seja negativo, abaixo da linha neutra, o valor das tensões é positivo indicando tração. Isso é, 
considerando-se o momento aplicado como positivo, no qual a concavidade da barra fletida é voltada para cima. 
Retornando a Equação 4.14, observa-se que a relação I/c depende somente da geometria da seção transversal. 
Essa relação é conhecida como módulo de resistência e é representada por W. Substituindo W na Equação 4.14, 
chega-se a: 
 
 
 
 Equação 4.16 
A deformação em uma barra fletida por um momento positivo M é medida pela curvatura da linha neutra. Essa 
curvatura é definida como o inverso do raio de curvatura  e pode ser obtida através de: 
 
 
 
 
 
 Equação 4.17 
Substituindo-se a Equação 4.10 na Equação 4.17, chega-se a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Equação 4.18 
Ou seja: 
 
 
 
 
 
 Equação 4.19 
 
4-41 
 
4.1.4 DEFORMAÇÕES TRANSVERSAIS NA SEÇÃO TRANSVERSAL 
Quando foi comentado que uma seção transversal de uma barra submetida a uma flexão pura, permanece plana 
após a deformação, hipótese de Bernoulli, não foi excluída a possibilidade de existirem deformações laterais no 
plano da seção. E de fato elas existem, lembrando-se do Item 1.11, Lei de Poisson, corpos submetidos a tensões 
normais na direção x, por exemplo, possuem deformações nas direções y e z, mesmo com as tensões em y e z 
sendo nulas. 
As deformações nas direções y e z dependem do coeficiente de Poisson e podem ser escritas como: 
 
 
Equação 4.20 
Ou então, utilizando-se a Equação 4.7: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação 4.21 
A Equação 4.21 nos indica que os a parte seção transversal localizada acima da linha neutra, y > 0, se alongará 
nas direções y e z, e a parte abaixo da linha neutra, y < 0 se encurtará nas direções y e z. 
Observe que como essas deformações não existiriam sem a tensão normal e como a tensão normal é independente 
delas, essas simplesmente são calculadas em função do coeficiente de Poisson, sem nenhum efeito tridimensional 
ou utilização da lei de Hooke generalizada. 
4.1.5 LIMITAÇÕES 
As análises apresentadas nessa seção são para flexões puras em vigas prismáticas compostas de materiais 
homogêneos e trabalhando dentro do seu limite elástico linear. Além disso, o plano de solicitação do momento 
deveria ser coincidente com o plano de simetria da seção transversal. Caso a viga seja submetida a uma flexão 
simples, função de um carregamento aplicado gerando momentos fletores e esforços cortantes, a seção 
transversal que era plana antes da flexão não o será depois da flexão. O empenamento devido às deformações de 
cisalhamento provindas do esforço cortante torna a análise muito mais complexa. 
No entanto, uma análise cautelosa revela que as tensões normais calculadas a partir da equação Equação 4.15, 
não são significativamente alteradas pela presença das forças cortantes e seu empenamento associado. Portanto, 
pode-se aproximadamente utilizar a teoria da flexão pura para calcular as tensões normais em barras 
submetidas a flexão simples. 
4.2 FLEXÃO DE BARRAS COMPOSTAS DE MATERIAIS HOMOGÊNEOS ASSOCIADOS 
As deduções feitas até então consideravam a barra fletida constituída de material único homogêneo com módulo 
de elasticidade E. Caso essa barra seja constituída de materiais com diferentes comportamentos mecânicos, ou 
seja, com diferentes módulos de elasticidade, a abordagem precisa ser modificada. 
Considere uma barra formada por dois materiais conforme Figura 4.6a, material 1 e material 2. 
 
4-42 
 
 
(a) (b) (c) 
Figura 4.6: Seção transversal da barra fletida constituída por dois materiais (a), distribuição da deformação (b) e da tensão (c) 
na seção transversal. 
Essa barra composta se deformará exatamente da mesma maneira descrita para uma barra homogênea, ou seja, 
sua deformação continua variando linearmente com y e vale: 
 
 
 
 Equação 4.22 
Como os módulos de elasticidade dos materiais são diferentes, E1 e E2, as expressões obtidas para o cálculo das 
tensões normais na seção transversal na área de cada material serão diferentes.